Introducción a las ecuaciones diferenciales

1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y XVIII.
Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo,
con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las
ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas   f y
dx
dy
f x
dx
dy
 ,  y
f x, y.
dx
dy
 En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: .
2
1 2  ydy  y Y descubrió
el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las
ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A
Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda
del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas
de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no
lineales de primer orden 1 ( )  . 2 y  y  c
En aquel tiempo, pasar de la ecuación
2
1
2 2 3
3





 
b y a
a
y a la forma diferencial y,
entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales,
excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por
ejemplo, mientras Johann sabía que 






1
1
p
ax
ax dx d
p
p no era para p = -1 no sabía que
x
x
dx
 ln . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación ,
ax
y
dx
dy
 que podemos
resolver escribiéndola como ,
x
dx
y
dy
a  y tiene la solución c.
x
ya

A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones
de la forma f y, y, y  0 . Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de
problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas
matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones
de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante;
en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de
potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales.
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes
aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por
primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.

2. PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV
ECUACIONES DIFERENCIALES
Definición: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Ejemplos:
0
4
2
3
2
2
2
2
2
2
 





 


 







  
 
x
u
y
u
x
u
y x
dx
dy
dx
d y
y e
dx
dy
x x
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
DE ACUERDO AL TIPO:
i. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO): Si una ecuación
diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes
con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria.
Ejemplos:
3 2 2  xy  x 
dx
dy
(x  2y  3)dx  (2x  y 1)dy  0
y
dx
dy
x
dx
d y
y 3 3
3
  
3  2  0
dx
dz
dx
dy
ii. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Toda ecuación
diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes
con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial
parcial.
Ejemplos:
3 0
2
  


 











 

y
u
x
u
x y
u
y xyz
x y z
u
y
u
x
u
x   


 


  

  


 




 




 3
2
2
3

3. PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV
NOTA: Las ecuaciones diferenciales son:
ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable
PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN:
DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden de
una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en
dicha ecuación.
i. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden:
3 2 2  xy  x 
dx
dy
(x  2y 3)dx  (2x  y 1)dy  0
 3x  0
dx
dy
y
ii. Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden:
3xy´´2y´4y  Sen(x)
3 0
2
  


 











 

y
u
x
u
x y
u
y´´3y´2y  0
iii. Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden:
xyz
x y z
u
y
u
x
u
x   


 


  

  


 




  



 3
2
2
3
y
dx
dy
x
dx
d y
y 3 3
3
  
´´´ 2 ´´ 5 4 3 1 2 2 y  y  y  e  x  x
iv. Ecuaciones diferenciales de Orden Superior:
    3 5 2 4 3 y  y  y  x 

4. PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO:
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un polinomio
en la variable dependiente y sus derivadas, es la potencia a la cual esta elevada su
derivada de mayor orden.
Ejemplos:
 3 5 .
2
3
3 7
2
2
x
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
d y
 



 



  


 


Como es de orden dos, es una ecuación
diferencial de tercer grado.
 5 4 .
2
2
2
y x
dx
dy
dx
d y
  



 Como es de orden dos, es una ecuación diferencial de
primer grado.
   0.
3 2
4 3
4
   sen y 
dx
dy
x
dx
d y
dx
d y
No tiene grado a causa del término seny.
¡Justifica¡
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD:
Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden
expresarse de la siguiente forma:
                            
 2 1 0
1
1 a x y x a x x a x y x a x y x a x y x f x n
n
n
n 
 Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es homogénea.

 Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea.
Si a x i n i ( ),  0,1,2,..., son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial
lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal
es de coeficientes variables.
3 ( ) ´´´( ) ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ´( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 0
2 1 0
1 0
orden a x y x a x y x a x y x a x y x f x
orden a x y x a x y x a x y x f x
orden a x y x a x y x f x
er
do
er
    
   
  

5. PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV
En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades:
i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado.
ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x.
iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama
ecuación no lineal.
´´´ 2 ´ 4 ln( )
2 cos( )
( )
2 2
2
2
2
y y y x
x y x x
dx
dy
dx
d y
x
sen x y e
dx
dy
x x
  
   
 
Ecuaciones diferenciales no lineales:
1
3 ( )
3
4
2
2

 
 

dx
dy
e
sen y
dx
dy
dx
d y
y
dx
dy
e
dx
dy
xy
xy
x
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
Definición: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos n
derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el
intervalo I.
 SOLUCIÓN EXPLÍCITA: Se denomina solución explícita de
( , , ´,..., ) ( 1)  n
n
n
f x y y y
dx
d y
en un intervalo I a toda función  que al
sustituirse por y y  x en la ecuación diferencial la satisface para
cualquier valor de x del intervalo I.

6. PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo: Sea y3y 2y  0 donde ( ) . x  x  e Al comprobar que la función
 satisface la ecuación diferencial dada, puesto que:
x  (x)  e y ( ) . x  x  e
Luego:
 3   2  3  2  0 x x x y y y e e e
Y se concluye que
x  (x)  e es solución explícita de la ecuación diferencial dada.
Ejercicio: Dada la función ( ) 2 1   x  x . Diga si es solución de la ecuación
diferencial ordinaria (EDO): 0
2
2 2
2
 y 
dx x
d y
 SOLUCIÓN IMPLÍCITA: La relación Gx, y 0 se denomina solución
implícita de la ecuación diferencial ( , , ´,..., ) ( 1)  n
n
n
f x y y y
dx
d y
en un
intervalo I, si es que la relación Gx, y 0 define una o más soluciones
explícitas de dicha ecuación diferencial en I.
Ejemplo: Demostrar que    0 xy x y e es una solución implícita de la ecuación
diferencial: 1  1  0 xy xy ye
dx
dy
xe
(*)
En efecto: Derivando implícitamente:
xy
xy
xy xy xy
xe
ye
dx
dy
ye
dx
dy
y xe
dx
dy
e x
dx
dy


           
1
1
(1 ) ( ) 0 (1 ) 1
Sustituyendo en (*):
) 1 1 1 0
1
1
(1 ) *(        


  xy xy xy
xy
xy
xy ye ye ye
xe
ye
xe
    0 xy x y e es solución implícita de (*)
Ejercicio: La relación 4 0 2 2 x  y   es una solución implícita de la ecuación
diferencial
y
x
dx
dy
 
en el intervalo  2  x  2.