Teoría y practica sobre cálculos de amortización en matemáticas financiera.

1. Temas de Matemática Financiera
Interés simple
Definición.- Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero
tomado en préstamo. Según las Leyes de cada país donde rigen los contratos y
relaciones entre prestatarios y prestamistas, por un dinero tomado en préstamo es
necesario pagar un precio, este precio se expresa mediante una suma que debe
pagar por cada unidad de dinero prestado, en una unidad de tiempo
convencionalmente estipulado.
El Interés es simple cuando los Intereses devengados durante el tiempo de su
utilización hasta la fecha de su reembolso no forma parte del préstamo de capital
(Es decir se produce únicamente el tiempo de la operación).
El interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe
original que lo produjo.
Cálculo del interés.- El interés o rédito que se paga por una suma de dinero
tomado en calidad de préstamo, depende de la condición contractual y varia en
razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del
préstamo y la tasa de interés aplicada.
Dónde:

2. Co = Capital Inicial o principal, (Valor Presente): Es la suma de dinero tomado en
préstamo, esta variable se lo mide en unidad monetaria.
n = Tiempo o Plazo: Es el intervalo que transcurre desde el inicio hasta la
finalización de una operación financiera, que puede ser anual, semestral, trimestral,
mensual o diario. (Expresado en las mismas unidades que corresponden a la tasa
de interés)
Año Comercial: Compuesta por 360 días, 12 meses c/u de 30 días, 52 semanas.
Año calendario o Exacto: Compuesta por 365 días, 366 si es bisiesto, cada mes con
el número exacto de días.
i = Tasa de interés: Es un (%) es el número de unidades monetarias que deben
pagarse por cada 100 tomados en préstamo y unidad de tiempo (porcentaje del
capital inicial que se paga por unidad de tiempo)
I = Interés Simple representado en dinero o Tipo de interés: Es el rédito que se
cobra por el préstamo de dinero con relación a 100 unidades y por la unidad de
tiempo o periodo.
Nota. En los problemas de Interés simple, se debe tener cuidado en expresar tanto el
tiempo “n” como la tasa de Interés “i” en la misma unidad cronológica es decir, si “n”
esta expresado en meses la “i” también tiene que estar expresado mensualmente. Si
la tasa “i” es anual, el tiempo “n” tiene que estar en años, (deben ser homogéneas)
Ejemplo 1 : Hallar el Interés que se obtiene al invertir $ 20.000 por un tiempo de 3
años a una tasa de Interés del 18%.

3. Ejemplo 2. Calcular el interés de un capital de $ 7.000, colocado durante 4 meses,
al 2% mensual.
Ejemplo 3: Hallar el interés de un capital de $ 12.000 por un tiempo de 30 meses al
18%.

4. Ejemplo 4:Calcular el interés de un capital de $ 5.000 colocado al 12% semestral
durante 1,5 años (En años, semestres, meses, trimestres)

5. Ejemplo 5: El Sr Mendoza tiene un Capital de $ 85.000, e invierte el 60% de su
capital al 3,3% trimestral y el saldo al 6% semestral ¿Cuánto recibe el Sr Mendoza
de interés total, cada mes?

6. Ejemplo 6: E. Sr. Barry, invierte un capital de $ 18.000 a una tasa de interés del
15%. Calcular el interés obtenido, si el capital fue obtenido el 11 de enero y se
desea calcular el interés al 18 de septiembre del mismo año.

7. Ejemplo 7: ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un
capital de $ 15.000 al 24% anual?
Ejemplo 8: Cuanto tendría que pagar mensualmente por concepto de interés una
persona que adeuda $ 40.000 si le cobran el 30% de interés semestral?
Ejemplo 9: Se invierte un capital de $ 80.000 a una tasa de interés del
18%. Calcular el interés obtenido, si el capital fue obtenido el 20 de febrero y se
desea calcular al 8 de septiembre del mismo año.
Ejemplo 10: Calcular el interés de una deuda de $ 11.000 pactada al 12,5% durante
3 años con 5 meses y 13 días. (En años y en días)

8. Ventas a plazos
Es costumbre que las transacciones comerciales, muchas ventas se efectúan a
plazos, es decir se recibe un pago anual y el saldo se paga en una serie de cuotas
iguales cada determinado tiempo.
Sobre el precio al contado, el comerciante carga una suma adicional por la venta a
plazos; esta suma adicional es por concepto de intereses sobre la deuda que
contrae el comprador, para cubrir el mayor costo que representa la venta a plazos,
estos costos representan los gastos de contabilidad, cobranzas, gastos legales,
castigo de deudas incobrables y otros.
Ejemplo 38: Se vende un bien que cuesta $ 9000 con una cuota inicial de $ 1000 y
cuatro cuotas mensuales de $ 2000 con un recargo del 3% mensual sobre saldos.

9. Tasas proporcionales
Contenido
 Ejemplos
En el interés simple, se conoce como las tasas proporcionales aquellas que, siendo
expresadas en tiempo distinto, producen igual interés. Como:
Ejemplo 11: Calcule el interés que produce $ 55.000 colocado durante 1 año y 6
meses al 18%

10. Ejemplo 12: ¿Cuál es el saldo al 31 de julio de una cuenta de ahorro, si el Banco
carga el 36% de interés simple anual a una cuenta que tiene las siguientes
operaciones?
1º de Julio se abre la cuenta con $ 50.000
10 de julio se retira $ 10.000
18 de julio deposita $ 20.000
24 de julio retira $ 40.000
28 de julio deposita $ 10.000
Ejemplo 13: La Sra. Blanca abre una cuenta corriente en el mes de marzo con $
100.000, donde prosigue con el siguiente movimiento:

11. 5 de marzo gira un cheque por $ 40.000
12 de marzo gira un cheque por $ 30.000
15 de marzo efectúa depósito por $ 10.000
20 de marzo gira un cheque por $ 60.000
28 de marzo deposita $ 30.000
Elaborar la libreta de ahorro y determinar el saldo al 30 de marzo, sabiendo que la
tasa de interés que paga y cobra el banco es del 18%
Ejemplo 14: El Sr. Almagro abre una cuenta corriente con $ 40.000 en un banco
que abona el 8% y realiza las siguientes operaciones durante el mes de diciembre.
El 6 de diciembre gira el cheque Nº 1 por $ 20.000
12 de diciembre gira el cheque Nº2 por $ 15.000
16 de diciembre gira el cheque N°3 por $ 35.000

12. 22 de diciembre realiza un depósito de $ 20.000
25 de diciembre realiza otro depósito de $ 18.000
27 de diciembre gira el cheque N°4 por $ 3.000
Hallar ni importo total de la cuenta al 31 de diciembre de ese año. Si la tasa activa
es del 20%

13. Descuento simple o bancario. Interés
simple por adelantado
Contenido
 Ejemplos
Existen operaciones financiera donde se calculan los intereses sobre el valor final
durante toda la duración de una transacción. Es decir cuando una persona toma
dinero prestado de un banco, por lo general se descuenta, es decir el interés o
Descuento, se rebaja al inicio del periodo del préstamo en lugar de añadirlo al final.
La tasa de interés y descuento simple se utilizan normalmente para periodos
cortos, máximo hasta tres o cinco años.
El Descuento Bancario es; por Io general, el interés simple ordinario pagado por
adelantado. Casi siempre se deduce del importe del préstamo, recibiendo el
deudor únicamente el saldo.
Dónde:
D = Descuento Bancario o Descuento Simple
n = Tiempo o Plazo
d = Tasa de descuento
Cn = Capital Final

14. El Valor Presente resulta ser la diferencia entre el Valor Final y el descuento
bancario, es decir:
Ejemplo 1: Hallar el descuento Simple sobre una deuda de $ 1.500 con
vencimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6% ¿Cuál es el valor presente
de la deuda?
Respuesta: el valor de la deuda es de $ 1432,50
Ejemplo 2: Un préstamo por G meses de $ 3.000 se lo efectúa a la tasa de
descuento simple del 4% ¿Qué descuento ganó y cuanto recibe en realidad el
deudor?
Respuesta: Ganó un descuento de $ 60 y recibe el deudor $ 2.940
Pagaré
Contenido

15.  ¿Qué es un Pagaré?
Ejemplos
¿Qué es un Pagaré?
Un pagaré es un compromiso escrito para el pago de un capital. La persona que se
compromete y firma el pagaré es el deudor de la operación.
Los pagarés pueden extenderse a favor de una persona determinada, en cuyo caso
se llaman nominativos o bien ser el portador, los pagarés pueden ser con o sin
interés, la persona que hace la promesa es el deudor y la persona que cobra el
pagaré es el beneficiario o tenedor.
Expresión:
— Valor nominal: es la cantidad prestada que se muestra en el pagaré.
Normalmente aparece en cifras y en palabras.
— Fecha: es en la que se expide el pagaré
— Plazo. Es el tiempo a transcurrir entre la fecha en se expide el pagaré y la fecha
de su vencimiento.
— Tasa: es el porcentaje sobre el que se calcula el interés (debe especificarse el
periodo asociado a la tasa)
— Acreedor: es la persona o razón social a quien se debe el pagaré
— Deudor: es la persona o razón social que extiende el pagaré la que se
compromete a pagar el dinero.
— Fecha de vencimiento: es aquella en que se liquida el pagaré. Se calcula a partir
de la fecha de expedición del pagaré y del plazo.
— Valor de vencimiento: es el valor nominal más los intereses, si los hubiera. Si no
se especifica alguna tasa de interés, se sobrentiende que el pagaré no produce
intereses y que el valor de vencimiento coincide con el valor nominal. Esto no
implica necesariamente que el préstamo original careciera de intereses, sino que en
caso de haberlos se le añadirán al capital inicial, de tal modo que el pagaré exprese
la cantidad total a pagar a su vencimiento.

16. Además del cálculo de los intereses, la fórmula del interés simple tiene muchas
otras aplicaciones. Las sociedades de préstamo y ahorro y las otras instituciones de
crédito aplican para determinar los dividendos correspondientes a la participación
de sus miembros. El beneficio de las acciones comunes y preferentes, también se
obtiene por sustitución en la fórmula de interés simple.
Ejemplo 3: Un inversionista descuenta dos pagares de un Banco que cobra el 15%
de interés simple por adelantado, el primero de valor nominal de $ 20.000 a 90 días
y el segundo de $ 30.000 a 60 días. Hallar el importe total que recibe.
Respuesta: Recibe un total de $ 48.500
Ejemplo 4: Se firma un pagaré por $ 50.000 al interés del 10% a 120 días, este
documento se negocia en un Banco que descuenta intereses del 12% por
adelantado. Hallar el valor líquido que recibe del banco.
Respuesta: Recibe del banco el valor líquido de $ 49.600
Ejemplo 5: El Señor Y, firma un pagare por $ 40.000 al interés del 10% a 120 días,
este documento se negocia en un banco que descuenta el 12% de interés por
adelantado. Hallar el valor líquido que recibe del banco. (Redondear la respuesta al
inmediato superior)

17. Respuesta: El Sr. Y recibe del banco $ 39.680
Ejemplo 6: Se firma un pagare de $ 25 000 al interés del 12% a 180 días. Sin
embargo este documento se negocia en un banco que descuenta a un interés del
18% por adelantado. Hallar el líquido que recibe del Banco.
Respuesta: El valor líquido que recibe el banco será de $ 24115
Ejemplo 7: Cuál es la venta del pagare al Señor Inocencio Bueno, 70 días después
del inicio a la tasa de descuento del 12%. Si tenemos el siguiente documento.

18. Respuesta: La venta del pagare al Sr Inocencio Bueno el cual se beneficia con el
documento es de $ 12.144 el Sr Armando Paredes se lleva la suma de $ 12.144 y la
deudora es Rosa Espinoza.
Ejemplo 8: Cual es el importe de la venta el tipo de interés del descuento bancario
al Señor José Caritas 50 días antes del vencimiento a la tasa de descuento del 12%
teniendo el siguiente documento.

19. Respuesta: La venta del pagaré será de $ 15126,13 con el tipo de interés anticipado
que asciende a $ 256,37 estipulado al 12%.
Ejemplo 9: Un pagare de $ 10 000 con interés al 10 % firmado el 15 de enero fue
descontado el 16 de agosto al 8%. Hallar el importe de la operación si el plazo es
pactado a 9 meses.
Respuesta: El importe pactado asciende a $ 10606,67
Ejemplo 10: Un pagare de $ 5000 firmado el 10 de abril a 120 días exactos con
interés del 12% fue descontado en el mes de junio por un valor de $ 5110. Hallar la
fecha de operación si la tasa de descuento es del 15%.
Respuesta: La fecha de la operación llevada a cabo con una tasa de descuento del
15% es el 27 de junio.
Interés compuesto

20. Contenido
 Concepto
Diferencia entre interés simple e interés compuesto
Periodo de capitalización
El dinero el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con
la vida de las personas y de los negocios. En periodos cortos se utiliza
generalmente el interés simple, el capital que generan los intereses permanece
constante todo el tiempo de duración del préstamo.
El interés compuesto en cambio, los intereses que se van generando se
incrementan al capital original en cada período establecido, a su vez genera un
nuevo interés adicional para el siguiente periodo.
Concepto.- Cuando los intereses se calculan a intervalos de tiempo (periodos),
estos intereses se agregan al capital y este nuevo monto genera intereses,
entonces se dice que es Interés Compuesto. Este interés se agrega al capital y este
nuevo capital genera interés.
Diferencia entre interés simple e interés compuesto:
Periodo de capitalización

21. AMORTIZACIÓN
Para el cálculo del valor de la amortización nos estamos refiriendo exactamente a la
renta o pago periódico que se debe hacer para pagar los intereses y reducir la
deuda y se utiliza las fórmulas de las anualidades vencidas.
Ejemplo 1: Usted adquiere su crédito de $ 10.000 pagaderos en 3 años con cuotas
semestrales iguales del 12% capitalizare semestralmente. Hallar el pago semestral y
construir el cuadro de amortización.
El pago de la deuda es de $ 10.000 más los intereses de $ 2.201,75 que suman un
total de $ 12.201,75

22. Ejemplo 2.- Una deuda de $ 500.000 se debe amortizar en 5 años con pagos
anuales iguales al 8%. Hallar el valor de cada cuota y elaborar el cuadro de
amortización de la deuda.
Ejemplo 3.- Prepare la tabla de amortización de un préstamo de $ 10.000
desembolsado el 8 de marzo, el mismo que debe ser cancelado con 6 cuotas
constantes cada 90 días aplicando una tasa del 5% trimestral.

23. Ejemplo 4.- Una deuda de $ 200.000 se debe cancelar con 4 pagos trimestrales
vencidos iguales más intereses del 8% convertible trimestralmente amortización
constante y cuota variable decreciente.
Resp.: El pago total del préstamo es de $ 210 000 a una tasa de interés del 8% cap.
trim.
Ejemplo 5.- Una deuda de $ 100.000 a 5 años plazo debe pagarse con el siguiente
plan de amortización cuotas semestrales iguales a la tasa del 10% convertible
semestralmente. Durante el primer año y medio se pagaran solo intereses a partir
del cuarto semestre se cancelaran las cuotas hasta extinguir su deuda al final de su
plazo.

24. El total de pago de las anualidades de amortización representa.
Resp.: El pago total de la deuda será de $ 135.973,87
Ejemplo 6.- Con el objetivo de desarrollar un área industrial se conceden
prestamos de fomento con el siguiente plan de amortización plazo a 5 años cuotas
semestrales una tasa del 4% efectivo semestral; en los 2 primeros años se amortiza

25. el 20% de la deuda y en los 3 últimos años el 80% restante aplicar el modelo a un
préstamo de $ 500.000.
Amortización en los 2 primeros años: 500.000 x 20% = 100.000
Amortización en los 3 siguientes años: 500.000 x 30% = 400.000
Número de depósito y fondo de
ahorro
En algunos casos se conoce la suma que periódicamente puede ingresarse en un
fondo de amortización, para proveer la cancelación de una deuda y ocurre que es
necesario determinar el plazo de la deuda, o el número de depósitos necesarios
para acumular el monto requerido en el fondo.

26. Ejemplo 15.- Se depositan mensualmente $ 800 en un fondo que pagan el 18%
capitalizable mensualmente. Se desea reunir $ 28.000. ¿Cuantos depósitos de $ 800
se debe realizar? (redondear al número entero).
Resp.: Los depósitos de $ 800 se deberán realizar durante 28 meses con una tasa
de interés del 18% capitalizable mensualmente.
Ejemplo 16.- Un municipio desea mejorar el acueducto de la población y para ello
necesita $ 20.000.000. Los estudios económicos indican que por medio de
contribuciones pueden obtenerse la cantidad de $ 150.000 netos semestrales de
aportes al fondo de amortización del proyecto. Si para estas inversiones se obtiene
el interés del 6% capitalizable semestralmente. Hallar el tiempo que debe fijarse
para recaudar el valor de la emisión de bonos que cubra las mejoras del acueducto.
(Redondear al entero superior).

27. Resp.: Para recaudar el valor que cubra las mejoras del acueducto en el tiempo de
27 ½ años, al 6% cap. sem. O bien 54 pagos semestrales.
Cálculo de lo acumulado en el fondo
de amortización (saldo insoluto)
Para calcular el monto acumulado en el Fondo de Amortización, en cada fin de
periodo se suma el depósito del periodo el interés que genera lo acumulado en el
fondo, suma que se incrementa al fondo en el periodo y así sucesivamente. El
Saldo Insoluto es la Diferencia entre el total a acumular o deuda y lo Acumulado en
el Fondo.
Ejemplo 13.- Una deuda de $ 300.000 vence dentro de 6 años. Para cancelarla se
establece un Fondo de Amortización que gana el 8% de interés efectivo. Hallar el
saldo insoluto al finalizar el cuarto año.
Resp.: Saldo Insoluto es 300.000 – 115.724,26 = $ 184.275,74
Ejemplo 14.- Una compañía adquiere maquinaria por un valor de $ 2.000.000
pagando al contado el 50% y el saldo debe cancelarse dentro de 8 años. Para
cumplir esta obligación decide efectuar, depósitos anuales en un fondo que abona

28. el 12%. Hallar el importe que deposita anualmente y el saldo insoluto al final del
5to año.
Resp.: El saldo insoluto al final del 5to año será 1.000.000 – 483.495,47 =
516.514,53 $.
Cálculo del valor del fondo de
amortización
Para calcular el valor de un fondo de amortización utilizaremos la fórmula del valor
final de una anualidad ordinaria de cuya relación se despeja el importe del
depósito ordinario.
Ejemplo 11.- Una empresa contrae una deuda de $ 500 000 para cancelarse dentro
de 4 años. La junta de directorio de la empresa decide hacer reservas anuales

29. iguales con el objeto de cancelar la deuda en la fecha de su vencimiento. Si el
dinero puede invertirse ganando el 8%. Hallar la suma que es necesario acumular
cada año y elaborar el cuadro que muestre el crecimiento del fondo.
Ejemplo 12.- Una persona desea reunir $ 75.000 para comprar un nuevo automóvil
dentro de 3 años ¿Cuánto deberá depositarse cada 6 meses en una cuenta que
paga el 6% capitalizable semestralmente?

30. Renegociación de la deuda
En el proceso de pago de un préstamo a mediado o largo plazo, el saldo insoluto
se puede renegociar a una tasa más baja, lo que produce una reducción en los
cargos totales por intereses o ampliando el plazo a fin de que los pagos constantes
disminuyan.
- Ampliar el tiempo.
- Disminuir la tasa de interés.
Ejemplo 9.- Se compra una casa mediante un préstamo hipotecario de $ 250.000,
el cual establece pagos mensuales iguales durante 10 años plazo a la tasa de
interés del 15% capitalizable mensualmente. Posteriormente al efectuarse el pago
mensual al final del 6to año se logra renegociar la tasa de interés disminuyendo al

31. 12% capitalizable mensualmente si se mantiene el plazo del préstamo calcular el
pago mensual.
Primero: Se halla el pago mensual inicial.
Segundo: Determinar el saldo insoluto después de 72 pago.
Tercero: Saldo insoluto es el Valor Presente de 48 pagos (120 – 72 = 48)
Resp.: Dada la renegociación por la rebaja del interés al 12% capitalizable
mensualmente este nos dará un importe de $ 3.816,45
Ejemplo 10.- De un crédito de $ 150.000 a un plazo de 10 años, y tasa de interés
del 18% capitalizable mensualmente. Luego del pago de 6 ½ años, se logra
renegociar a la ampliación del tiempo para 12 años (2 años más) afectando la tasa
de interés al 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el nuevo pago mensual?