Este documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como funciones, límites, derivadas y integrales. Incluye definiciones de derivadas primera y segunda, y teoremas sobre monotonía y concavidad. Contiene ejemplos para ilustrar cómo usar estas ideas para determinar si funciones son crecientes, decrecientes, cóncavas hacia arriba o abajo. También presenta dos problemas prácticos sobre volúmenes de cilindros y energía requerida para que un pez nade contra la corriente.

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. DERIVADAS

4. MONOTONÍA Y CONCAVIDAD
DEFINICIÓN

5. PRIMERA DERIVADA Y MONOTONÍA
TEOREMA DE MONOTONÍA

6. EJEMPLO 1
Si , encuentre en donde f es creciente y en dónde es decreciente3 2
( ) 2 3 12 7f x x x x= − − +
( )( )2
'( ) 6 6 12 6 1 2f x x x x x= − − = + −
Necesitamos conocer en dónde
( )( )1 2 0x x+ − 
y en dónde
( )( )1 2 0x x+ − 

7. EJEMPLO 2
Determine en donde , es creciente y en dónde es decreciente.2
( )
1
x
g x
x
=
+
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
2 2
2 2 22 2 2
1 2 1 11
'( )
1 1 1
x x x x xx
g x
x x x
+ − − +−
= = =
+ + +

8. SEGUNDA DERIVADA Y CONCAVIDAD
DEFINICIÓN

9. SEGUNDA DERIVADA Y CONCAVIDAD
TEOREMA DE CONCAVIDAD

10. EJEMPLO 3
¿En dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia
abajo
3 21
( ) 3 4
3
f x x x x= − − +
( )( )2
'( ) 2 3 1 3f x x x x x= − − = + −
( )''( ) 2 2 2 1f x x x= − = −

11. EJEMPLO 4
¿En dónde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo2
( )
1
x
g x
x
=
+
( )
2
22
1
'( )
1
x
g x
x
−
=
+
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )
22 2 2
42
1 2 1 2 1 2
''( )
1
x x x x x
g x
x
+ − − − +
=
+
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2 2
42
1 1 2 1 4
''( )
1
x x x x x
g x
x
 + + − − − =
+
( )
( )
( )
23
3 32 2
2 32 6
''( )
1 1
x xx x
g x
x x
−−
= =
+ +

12. EJEMPLO 4
¿En dónde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo2
( )
1
x
g x
x
=
+
( )
2
22
1
'( )
1
x
g x
x
−
=
+
( )
( )
2
32
2 3
''( )
1
x x
g x
x
−
=
+

13. PROBLEMAS PRÁCTICOS
EJERCICIO 1: Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en un cono circular recto dado.
0r b V  
0 0h a r V    
El volumen del cilindro inscrito es:
2
V r h=
Por semejanza de triángulos
a h a
r b
−
=
a
h a r
b
= −
Sustituyendo h en la fórmula para V
2 2 3a a
V r a r ar r
b b
  
 
= − = − 
 
Queremos maximizar V para r en [0,b]
2 3
2 3 2
dV a
ar r ar r
dr b b
  
 
= − = − 
 
Puntos estacionarios
2
0, ,
3
b
b

14. PROBLEMAS PRÁCTICOS
EJERCICIO 1: Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en un cono circular recto dado.
0r b V  
0 0h a r V    
El volumen del cilindro inscrito es:
2
V r h=
Por semejanza de triángulos
a h a
r b
−
=
a
h a r
b
= −
Sustituyendo h en la fórmula para V
2 2 3a a
V r a r ar r
b b
  
 
= − = − 
 
Queremos maximizar V para r en [0,b]
2 3
2 3 2
dV a
ar r ar r
dr b b
  
 
= − = − 
 
Puntos estacionarios:
2
0, ,
3
b
b
Máximo:
2
3
b
3
a
h =

15. PROBLEMAS PRÁCTICOS
EJERCICIO 2: Suponga que un pez nada río arriba con velocidad relativa al agua v y que la corriente del río
tiene velocidad –vc La energía empleada en recorrer una distancia d a contracorriente es directamente
proporcional al tiempo requerido para recorrer la distancia d y el cubo de la velocidad. ¿Qué velocidad v
minimiza la energía empleada en nadar esa distancia.
Velocidad del pez a contracorriente es:
cv v−
Tiempo requerido: t
( )cd v v t= −
( )c
d
t
v v
=
−
Energía requerida para que el pez
recorra la distancia d para un valor
fijo de v
( )
( ) ( )
3
3
c c
d v
E v k v kd
v v v v
= =
− −
Dominio para la función E:
( ),cv 
( )
( ) ( )
( )
2 3
2
3 1
' c
c
v v v v
E v kd
v v
− −
=
−
( )
( )
( )2
2
' 2 3 0c
c
kd
E v v v v
v v
= − =
−
Punto crítico en el intervalo
( )2 3 0cv v− =
3
2
cv v=
( ),cv 

16. PREGUNTAS