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Prof. Micaela Uribe C. Fecha: ___/___/2013
CARL FRIEDRICH GAUSS
(1777 - 1855)
"El príncipe de los matemáticos"
La apacible vida de un genio precoz:
El viejo párroco de la iglesia de
Wendergraben, en Brunswick,
Alemania, procede a inscribir en el
registro parroquial al más reciente
de sus nuevos feligreses: Johann
Friedrich Carl; se trata de un niño
varón, nacido cuatro días antes del
mes de abril, el hijo de un humilde
matrimonio, la pareja formada por
Geghard Dietrich Gauss y Dorothea
Benze; ambos de 33 años.
Con el paso de los años, este niño abandonará su primer
nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl
Friedrich Gauss; así es como firmará sus obras.
A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para
convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una
2
vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G.
Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La
disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de
Büttner, y de casi todos los maestros de la época.
A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de
Aritmética; Büttner propone a su centenar de pupilos un
problema terrible: calcular la suma de los cien primeros
números. Nada más terminar de proponer el problema, el
jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita
en la mesa del maestro exclamando: "Ligget se!" (¡Ahí está!).
Había escrito 5 050. La respuesta correcta.
Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus
compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo,
el algoritmo de la suma de los términos de una progresión
aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la
primera y última cifra daba el mismo resultado que la suma
de la segunda y la penúltima, etc., es decir:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..... = 101
Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado
se obtendrá multiplicando: 101 × 50 = 5 050
"Ligget se!"
1 + 2 + 3 + 4 + ...................... + 100 = 5 050
3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para desarrollar este tema debemos de conocer las leyes de signos:
Multiplicación
(+) (+)
(-) (-)
(+) (-)
(-) (+)
+
+
-
-
División
(+) (+)
(-) (-)
(+) (-)
(-) (+)
+
+
-
-
Ahora, observa cómo se desarrolla.
Ejemplos: Ejemplos:
a. (+3) (+2) = +6 a.
15
2
30
b. (-2) (+3) = -6 b.
5
2
10
c. (-3) (-4) = +12 c.
3
2
6
d.(-3) (5) = -15 d.
4
2
8
4
a. Efectuar:
(+3) (-2) +
(-8)
(2)
+ 1
-6 + (-4) + 1Resolución:
-6 -4 + 1 = -10 + 1 = -9
b. )3(
)6(
)4()2(
c. )2(
)6(
)2(
)20(
)3()5(
d. )2(
)10(
)3()2()2()3(
e. (-7) (-2) - (3) (2) - (-4) (-3)
5
f. (+3) (-7) + (2) (3) g. (+4) (+3) - (+2) (-3)
h. (+5) (+2) - (+2) (+1) i. (+3) (-2) + (-2) (-3)
j. )2(
)2(
)3(
)6(
)2(
)30(
6
Observaciones:
1. Primero debemos de multiplicar y dividir.
2. Luego debemos de sumar y restar.
3. No te olvides de las leyes de signos.
4. Mantén un orden y será sencillo.
a. (+3) (+2) - (-2) (-3) b. (-2) (-4) + (-2) (+3)
c. (-4) (+3) - (+2) (+4) d. (-2) (+5) - (-2) (-6) + (7) (2)
e.
)3)(2(
)2(
)10(
f.
)3)(2()3)(4(
)2(
)6(
7
g.
)5()2(
)2(
)6(
)2()3(
h. 2
4
)2(
)12(
)2()7(
i.
)2()4()2()3(
3
6
j. (+3) (-2) + (-3) (+2) + (-3) (-2)
k. (-2) (-4) - (-2) (+4) + (+2) (+4) l.
)3()7(
2
6
2
4
)4()2(
8
¿POR QUÉ SE UTILIZAN LAS VARIABLES?
Las variables se utilizan para representar cosas. Ahora, observa
cómo se representan:
2 naranjas
< > 2n
variable
3 peras
< > 3p
variable
Entonces representa por variables lo siguiente:
Descripción Resultado
5 conejos
3 años
7 meses
8 enanos
2 gremlins
3 fantasmas
5c
I. Ahora, observa cómo es la potenciación:
(x ) = x
2 3 6
se multiplica
9
II. Ahora, observa cómo es la radicación.
x = x
2 10
10
2
= x
5
I. Potenciación
a. (x5)2 = b. (x3)2 =
c. (x2)4 = d. ((x2)2)3 =
e. (x y ) = x y2 3 2 4 6
f. (x3y5)2 =
g. (x.y2)3 = h. (x4y3)2 =
i. (x3y2)2 = j. (x3y3)4 =
II. Radicación:
a.
3 6
x b.
2 4
x
c.
2 6
y
d.
4 8
N
e.
2 10
N f.
5 15
x
10
Observa detenidamente cómo se desarrolla:
¡AHORA, HAZLO TÚ!
I. Completar:
a. x5 = xm el valor de "m" es ..............
b. x2 = xn el valor de "n" es ..............
c. y21 = yx el valor de "x" es ..............
d. x20 = x10 + n el valor de "n" es ..............
e. x10 = x5 + m el valor de "m" es ..............
f. y2 + n = y4 el valor de "n" es ..............
g. x2y3 = xayb el valor de "a" es ..............
el valor de "b" es ..............
h. x2ym = xny5 el valor de "m" es ..............
el valor de "n" es ..............
i. x10 = x2n + 2 el valor de "n" es ..............
j. x8 = x2p + 4 el valor de "p" es ..............
11
k. x5 + py2 + n = x9y9 el valor de "p" es ..............
el valor de "n" es ..............
II. Resolver:
1. Hallar "a"
2006a
2
5
932
x
x.x
x.x.x
2. Hallar "a + b"
2ba
3
3
252
y.x
x
y.x.x
3. Hallar "a + b + c"
(x32.y24.z17)2 = xa - 1.yb - 1.zc - 1
4. Hallar "m" en función de "k"
k3m
k5
k8k3 2k12
x
x
x.x
12
"El álgebra es generosa: a menudo da más
de lo que se le pide"
Jean le Rond D'alembert
Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII
INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia, la Matemática ha
mantenido una evolución en todas sus áreas,
permitiendo al hombre hacer frente a
problemas que en principio fueron originados
por situaciones cotidianas y que,
posteriormente, surgieron a raíz de la propia
evolución de esta ciencia.
El Álgebra, siendo una de las principales
áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se
remonta aproximadamente al año 3000 a.C.
Fue la cultura babilónica la que dejó indicios,
en sus "tablas cuneiformes", sobre las
nociones básicas para la resolución de
ecuaciones de primer y segundo grado.
Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.)
en su obra "Aritméticas", difunde la teoría
sobre las ecuaciones de primer y segundo
grado, influenciado por los trabajos de los
babilonios.
Luego, durante la Edad de Oro del mundo
musulmán, que corresponde a la Edad Media
del Mundo Occidental, aproximadamente 700
- 1200 d.C., el árabe fue la lengua
internacional de las matemáticas. Los
matemáticos árabes conservaron el patrimonio
matemático de los griegos, divulgaron los
conocimientos matemáticos de la India,
asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar
tanto el Álgebra como la Trigonometría.
Es durante esta época que surge la fi-gura
de Mohammed ibn Musa Al - Khwarizmi (780 -
850 d.C.) llamado por algunos el "Padre del
Álgebra". Escribió varios libros sobre
Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En uno de sus libros "Al - jabr -
wa'l muqäbala", aparece la palabra
"Al Jabr", de la cual deriva la palabra
"ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa
"restauración", refiriéndose al
equilibrio de una ecuación mediante
la transposición de términos.
"Muqäbala" significa "simplificación",
refiriéndose a la reducción de
términos semejantes en cada
miembro de una ecuación.
Otros matemáticos que dieron
gran impulso al desarrollo del
Álgebra fueron: Niccolo Fontana,
llamado TARTAGLIA ("El
Tartamudo"); matemático italiano
que centró su trabajo en la ecuación
cúbica.
Girolamo Cardano, en su obra
"Ars Magna" publica un resultado
similar a TARTAGLIA. Ludovico
Ferrari, trabajó investigando las
ecuaciones de cuarto grado. Francois
Vietté, emplea las letras en el
Álgebra; utilizando las primeras (a,
b, c, ...) para representar cantidades
conocidas, y las últimas (z, y, w, x,
....) como incógnitas.
Como habrás visto, todos los
matemáticos mencionados son extranjeros; sin
embargo, también existieron matemáticos
peruanos que trabajaron para el desarrollo del
Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de
Losada y Puga, Godofredo García, José Tola
Pasquel y principalmente Federico Villareal.
13
CUESTIONARIO
De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Qué cultura es considerada
como la iniciadora del Álgebra?
______________________________
2. ¿En qué temas basó su
investigación DIOFANTO?
______________________________
______________________________
3. ¿Cuándo nació
aproximadamente Al -
Khwarizmi?
______________________________
______________________________
4. Del año 700 al 1200 d.C., la
lengua internacional de la
Matemática fue:
______________________________
______________________________
5. ¿Quién es considerado "Padre
del Álgebra"?
______________________________
______________________________
6. ¿Sobre qué materias escribió Al
- Khwarizmi?
______________________________
______________________________
7. ¿De dónde se deriva la palabra
ÁLGEBRA?
______________________________
______________________________
8. ¿Qué significa la palabra
"Al - jabr"?
___________________________
___________________________
9. ¿Qué otros matemáticos
impulsaron el desarrollo del
Álgebra?
___________________________
___________________________
10. Menciona a matemáticos
peruanos investigadores del
Álgebra.
___________________________
___________________________
11. ¿Por qué crees que es
importante la Matemática
para el ser humano?
___________________________
___________________________
12. Resume brevemente la
lectura anterior:
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___
14
"El olvido de las matemáticas perjudica a
todo el conocimiento,
ya que el que las ignora no puede conocer
las otras ciencias ni las cosas de este
mundo".
Roger Bacón
Filósofo inglés del siglo XIII
... Y aquí una historia...
Historia de los signos
Los signos no se empezaron a usar hasta el
siglo XV. La primera vez que aparecieron
impresos fue en un libro de Aritmética
Comercial escrito en 1489 por Johann
Widman, un maestro calculista alemán.
Antes se utilizaban las letras "p" y "m" del latín "plus" (+) y
"minus" (-) respectivamente.
Los signos para las operaciones de multiplicación y división son
más modernos, fueron introducidos en el siglo XVII
(concretamente en 1657) por William Oughted. Sólo un par de
años después, Johann Rahn en su libro "Álgebra alemana", utiliza
por primera vez el signo " " para indicar la división.

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Carl Friedrich Gauss, el genio de las matemáticas

  • 1. 1 Prof. Micaela Uribe C. Fecha: ___/___/2013 CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855) "El príncipe de los matemáticos" La apacible vida de un genio precoz: El viejo párroco de la iglesia de Wendergraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze; ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Friedrich Gauss; así es como firmará sus obras. A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una
  • 2. 2 vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G. Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética; Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: "Ligget se!" (¡Ahí está!). Había escrito 5 050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando: 101 × 50 = 5 050 "Ligget se!" 1 + 2 + 3 + 4 + ...................... + 100 = 5 050
  • 3. 3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para desarrollar este tema debemos de conocer las leyes de signos: Multiplicación (+) (+) (-) (-) (+) (-) (-) (+) + + - - División (+) (+) (-) (-) (+) (-) (-) (+) + + - - Ahora, observa cómo se desarrolla. Ejemplos: Ejemplos: a. (+3) (+2) = +6 a. 15 2 30 b. (-2) (+3) = -6 b. 5 2 10 c. (-3) (-4) = +12 c. 3 2 6 d.(-3) (5) = -15 d. 4 2 8
  • 4. 4 a. Efectuar: (+3) (-2) + (-8) (2) + 1 -6 + (-4) + 1Resolución: -6 -4 + 1 = -10 + 1 = -9 b. )3( )6( )4()2( c. )2( )6( )2( )20( )3()5( d. )2( )10( )3()2()2()3( e. (-7) (-2) - (3) (2) - (-4) (-3)
  • 5. 5 f. (+3) (-7) + (2) (3) g. (+4) (+3) - (+2) (-3) h. (+5) (+2) - (+2) (+1) i. (+3) (-2) + (-2) (-3) j. )2( )2( )3( )6( )2( )30(
  • 6. 6 Observaciones: 1. Primero debemos de multiplicar y dividir. 2. Luego debemos de sumar y restar. 3. No te olvides de las leyes de signos. 4. Mantén un orden y será sencillo. a. (+3) (+2) - (-2) (-3) b. (-2) (-4) + (-2) (+3) c. (-4) (+3) - (+2) (+4) d. (-2) (+5) - (-2) (-6) + (7) (2) e. )3)(2( )2( )10( f. )3)(2()3)(4( )2( )6(
  • 7. 7 g. )5()2( )2( )6( )2()3( h. 2 4 )2( )12( )2()7( i. )2()4()2()3( 3 6 j. (+3) (-2) + (-3) (+2) + (-3) (-2) k. (-2) (-4) - (-2) (+4) + (+2) (+4) l. )3()7( 2 6 2 4 )4()2(
  • 8. 8 ¿POR QUÉ SE UTILIZAN LAS VARIABLES? Las variables se utilizan para representar cosas. Ahora, observa cómo se representan: 2 naranjas < > 2n variable 3 peras < > 3p variable Entonces representa por variables lo siguiente: Descripción Resultado 5 conejos 3 años 7 meses 8 enanos 2 gremlins 3 fantasmas 5c I. Ahora, observa cómo es la potenciación: (x ) = x 2 3 6 se multiplica
  • 9. 9 II. Ahora, observa cómo es la radicación. x = x 2 10 10 2 = x 5 I. Potenciación a. (x5)2 = b. (x3)2 = c. (x2)4 = d. ((x2)2)3 = e. (x y ) = x y2 3 2 4 6 f. (x3y5)2 = g. (x.y2)3 = h. (x4y3)2 = i. (x3y2)2 = j. (x3y3)4 = II. Radicación: a. 3 6 x b. 2 4 x c. 2 6 y d. 4 8 N e. 2 10 N f. 5 15 x
  • 10. 10 Observa detenidamente cómo se desarrolla: ¡AHORA, HAZLO TÚ! I. Completar: a. x5 = xm el valor de "m" es .............. b. x2 = xn el valor de "n" es .............. c. y21 = yx el valor de "x" es .............. d. x20 = x10 + n el valor de "n" es .............. e. x10 = x5 + m el valor de "m" es .............. f. y2 + n = y4 el valor de "n" es .............. g. x2y3 = xayb el valor de "a" es .............. el valor de "b" es .............. h. x2ym = xny5 el valor de "m" es .............. el valor de "n" es .............. i. x10 = x2n + 2 el valor de "n" es .............. j. x8 = x2p + 4 el valor de "p" es ..............
  • 11. 11 k. x5 + py2 + n = x9y9 el valor de "p" es .............. el valor de "n" es .............. II. Resolver: 1. Hallar "a" 2006a 2 5 932 x x.x x.x.x 2. Hallar "a + b" 2ba 3 3 252 y.x x y.x.x 3. Hallar "a + b + c" (x32.y24.z17)2 = xa - 1.yb - 1.zc - 1 4. Hallar "m" en función de "k" k3m k5 k8k3 2k12 x x x.x
  • 12. 12 "El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide" Jean le Rond D'alembert Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas, permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en principio fueron originados por situaciones cotidianas y que, posteriormente, surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia. El Álgebra, siendo una de las principales áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios, en sus "tablas cuneiformes", sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado, influenciado por los trabajos de los babilonios. Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, que corresponde a la Edad Media del Mundo Occidental, aproximadamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el Álgebra como la Trigonometría. Es durante esta época que surge la fi-gura de Mohammed ibn Musa Al - Khwarizmi (780 - 850 d.C.) llamado por algunos el "Padre del Álgebra". Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas. En uno de sus libros "Al - jabr - wa'l muqäbala", aparece la palabra "Al Jabr", de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa "restauración", refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. "Muqäbala" significa "simplificación", refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación. Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollo del Álgebra fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"); matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica. Girolamo Cardano, en su obra "Ars Magna" publica un resultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté, emplea las letras en el Álgebra; utilizando las primeras (a, b, c, ...) para representar cantidades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ....) como incógnitas. Como habrás visto, todos los matemáticos mencionados son extranjeros; sin embargo, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y principalmente Federico Villareal.
  • 13. 13 CUESTIONARIO De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora del Álgebra? ______________________________ 2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO? ______________________________ ______________________________ 3. ¿Cuándo nació aproximadamente Al - Khwarizmi? ______________________________ ______________________________ 4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de la Matemática fue: ______________________________ ______________________________ 5. ¿Quién es considerado "Padre del Álgebra"? ______________________________ ______________________________ 6. ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi? ______________________________ ______________________________ 7. ¿De dónde se deriva la palabra ÁLGEBRA? ______________________________ ______________________________ 8. ¿Qué significa la palabra "Al - jabr"? ___________________________ ___________________________ 9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra? ___________________________ ___________________________ 10. Menciona a matemáticos peruanos investigadores del Álgebra. ___________________________ ___________________________ 11. ¿Por qué crees que es importante la Matemática para el ser humano? ___________________________ ___________________________ 12. Resume brevemente la lectura anterior: ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___
  • 14. 14 "El olvido de las matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo". Roger Bacón Filósofo inglés del siglo XIII ... Y aquí una historia... Historia de los signos Los signos no se empezaron a usar hasta el siglo XV. La primera vez que aparecieron impresos fue en un libro de Aritmética Comercial escrito en 1489 por Johann Widman, un maestro calculista alemán. Antes se utilizaban las letras "p" y "m" del latín "plus" (+) y "minus" (-) respectivamente. Los signos para las operaciones de multiplicación y división son más modernos, fueron introducidos en el siglo XVII (concretamente en 1657) por William Oughted. Sólo un par de años después, Johann Rahn en su libro "Álgebra alemana", utiliza por primera vez el signo " " para indicar la división.