1. Camila Aldana
1101

2. Elementos BIEN DEFINIDOS, es decir que
pertenecen o no a un conjunto.
Se expresan por:
Comprensión: es dar un nombre especifico que se
conoce globalmente. Ejemplo: abecedario
Extensión: nombrar cada uno de los elementos del
conjunto. Ejemplo:
[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z]
 Ejemplo:
 A=[las vocales] = [a,e,i,o,u]
 B= [comidas rápidas] = [perro caliente,
hamburguesa, pizza, salchipapas]

3. Universal: A=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
A=[-3,-2,-1,0,1,2,3]
Unitario: B=[9]
B=[-3]
Vacío: C=[ ]
C=[ ]
Subconjunto: D=[1,3,5,7,9]
D=[-3,-2,-1]

4. Unión: z U y = [x/ x€z v x€y] ejemplo:
U=[a,e,i,o,u] Z=[a,e,i] Y=[e,o]
Z U Y= [a,e,i,o]
U=[perro, gato, vaca, caballo, cerdo]
Z=[perro, gato, cerdo] Y=[cerdo, caballo]
ZUY= [perro, gato, cerdo, caballo]
Intersección: es el termino medio entre Z y Y ZnY=[e]
ZnY=[cerdo]
Complemento:
Z’=[o, u] Y’=[a,i,u]
Z´=[vaca, caballo]
Y´=[perro, gato, vaca]

5. 2
4
8 6
10
1
2 5
31
A B
C
AnB=[12]
A=[2, 4, 8, 12] B=[6, 10, 12]
Universal= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10,
12]
CnB=[ ] (conjunto vacío)
CnA=[ ] (conjunto vacío)
C=[1, 3, 5]
A=[números pares]
B= [números pares]
C=[números impar del 1 al 5]

6.  Números naturales:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,2
7,28,29,30, …} se dieron, a partir de que el ser humano empezó a
contar todo.
 Números enteros: {…, -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-
1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} se dieron, a causa de los trueque, o cambios
que se hacían anteriormente.
 Números racionales: {a/b, b/c, c/d, d/e, …} se dieron, a causa de que no
había un resultado exacto.
 Números irracionales: es todo numero primo divisible por uno y por si
mismo.
Un ejemplo es el numero:¶ (pi)

7. Números naturales: 3, 1, 7, 29, 32, 45, 58, …
Números enteros: 0, 3, -5, -15, 1, 7, -29,…
Números racionales:
7
3
, -
2
3
,
24
8
…
Números irracionales: 2, 3, 5, ¶(pi)= 3,14159…,
℮= 2,718...

8. Números reales: son todos los números existentes, utilizados
en la matemática clásica.
Ejemplo: la unión entre enteros positivos, 0 y enteros negativos, a
partir de los números naturales.
La unión entre los racionales y los irracionales, son los números
reales.
 Números complejos: es un conjunto numérico formado por una
parte de números
reales y otra, de números imaginarios.
Ejemplo: √4= 2
√-4= para que de, hay que hacer esto = √4*(-1)= √4*√-1 numero
imaginario.
a+bi
0+2i

9. Suma: Resta:
(5)+ (4i) (5)+(4i)
(7)- (6i) (7)- (6i)
12 – 2i -2 + 10i
 multiplicación:
(5+4i) (7-6i)
35 - 30i + 28i - 24𝑖2
35 – 2i – 24 (-1)
35 – 2i + 24
59 – 2i

10. Suma: 5+4=9 8+13=21
(inverso aditivo) Resta: 5-3=2 8-13=-5
Multiplicación: 5+5+5+5+5 = 5*5 = 25
8+8+8+8+8+8+8+8 = 8*8 = 64
(inverso multiplicativo) División:
25
5
= 5
64
8
= 8
Potenciación: 5*5*5*5 = 54
= 625
8*8*8 = 83
= 512
(inverso potencial) Radicación:
3
125 = 5
3
512 = 8

11. P. conmutativa: el orden de los números, no altera el
resultado
9+8+5=22 8+9+5=22 5+8+9=22
9*8*5=360 8*9*5=360 5*8*9=360
P. asociativa:
(9+8)+5=22 (8+9)+5=22 (5+8)+9=22
(9*8)*5=360 (8*9)*5=360 (5*8)*9=360
P. distributiva:
9*(8+5)=(9*8)+(9*5)=117
8*(9+5)=(8*9)+(8*5)=117
P. modulativa:
9+0=9 8+0=8 5+0=5
9*1=9 8*1=8 5*1=5

12.  𝑥 𝑎 * 𝑥 𝑏= 𝑥 𝑎+𝑏
 (𝑥 𝑎
)𝑏 = 𝑥 𝑎∗𝑏
Ej.: (53)2=(125)2 = 15625 (5)3∗2 = 56= 15625
 𝑥 𝑎/𝑥 𝑏 =𝑥 𝑎−𝑏
Ej.: 53/52=
125
25
= 5 53−2 = 51= 5
 (𝑥 ∗ 𝑦) 𝑎
= 𝑥 𝑎
/𝑦 𝑏
=
Ej.: (5 ∗ 2)3
= 103
= 1000 53
∗ 23
=125*8 = 1000
 (
𝑥
𝑦
) 𝑎= 𝑥 𝑎/𝑦 𝑎
Ej.: 5/23
= 2.53
= 15625 53
/23
= 125/8 = 15625
 𝑥−𝑎= 1/𝑥 𝑎
Ej.: 5−3
= 1/53
=
1
25
= 8 𝑥10−3
 𝑥0
= 1 Ej.: 40
=1
 𝑥1
=x Ej.: 41
= 4

13. Resta: a – b= a + (-b)
15 - 9=6 o 9 -15=9+(-15) = -6
División: a b= a*1/b =a/b
9 ÷ 2= 9*
1
2
=
9
2
= 4.5
Radicación: 𝑎
𝑥=y
8
64 = 2 (8 64)8 = 28
64 = 28

14. N. primos: son los divisibles por uno y por si mismos.
Ej.: (2,3,5,7,11,13,17,19,…)
Teorema fundamental de la aritmética: son los
números naturales, no primos, pero resultado de ellos.
Ej.: (30=2*3*5)
480 2 2*2*2*2*2*3*5 = 480
240 2 25*3*5 = 480
120 2 32*3*5 = 480
60 2 96*5 = 480
30 2 480 = 480
15 3
5 5
1

15. MCD
32/ 1,2,4,8,16 El numero Mayor que tienen en
24/ 1,2,3,4,6,8 común es 8
 MCM
5*1=5 7*1=7
5*2=10 7*2=14
5*3=15 7*3=21
5*4=20 7*4=28
5*5=25 7*5=35 El MCM entre 5 y 7
5*6=30 es 35
5*7=35

16. Suma
7<11 8+3<9+5
 Multiplicación
8*5>7*3
5*(-2)<3*(-3)
Transitividad
3<5 4<7
3<7
Suma= 4+2>2+1

17. propias= 2/4 5/7
Impropias= 9/3
Mixtas= 1 3/6

18. Simplificación=
36 = 18= 9 = 3 = 1
48 24 12 6 2
Suma/resta=
a ± c se saca el MCM del denominador y se suman
b d los numeradores
Multiplicación=
a x b
c d
División=
a/c
b/d

19. Suma y resta=
4 + 8 – 2 = (60/5)*3 + (60/4)*8 – (60/3)*2 = 116/4=
5 4 3 60
60/4
29
15
Multiplicación y división =
116 / 60 = 116 * 4 = 116*4 = 116
4 4 4 60 4*60 60

20. Multiplicación=
9 * 3 = 27 9 * 4 = 36 = 18 = 9
5 4 20 5 2 10 5 5
División=
5 / 4 = 5/6 25 5 / 4 = 5*5 = 25
6 5 4/5 24 6 5 6*4 24
Ejemplo=
2 * 5 = 2 * 5 / 10 2 / 5 = 2 / 5
8 1 8 8 8 1 8
2 * 8 = 16 2/1 = 16
1 5 5 5/8 5

21. a*d = b*c 30 = 5 30*1=6*5 30=30
6 1
a = b 30 = 6 6=6
c d 5 1
b = d 6 = 1 a*d=c*b = d=b 1 = 6
1= 1
a c 30 5 c a 5 30
5 5
a ± b = c ± d 30+5 = 35 = 5
b d 6+1 7
a + c = a = 30 = 5

22. Directa= si x aumenta, y aumenta; si x disminuye, y disminuye.
X = V*t V= 2 m/s t(s) x(m) V
0 0
1 2
2 4
3 6 P
4 8
Inversa= si x aumenta, disminuye y; si y aumenta, x disminuye.
PV= RTn V= RTn
p V
A= 12 mol
T= 298 ° k
R= 0,08206 P
V= 293.44656
P 1 2 3 4
V 293,4 122,26 81, 51 61,133

23. Simple directa:
X = V*t
x ÷ 40 x= 40 seg 30 m = 60 m
30 ÷ 20 20 seg
Simple inversa:
V = x/t
x 60 = x ÷ 40 = X= 60 m/s* 20 seg= 30 s
20 40 20 ÷ 60 40 m/s

24. Días 25 X
Horas 12 6
Dinero 190 340
X = 6 * 340
25 12 190
X= 12 h * 340 $ * 25 d
6 h * 190$
X = 89.473
maquinas días Medios
A 50 30 6000
B x 15 9000
X 15 9000
50 30 6000
X 30 9000
50 15 6000
X = 30 días * 9000 m * 50 maq.
15 días * 6000 m
13500000
90000
X = 150 maquinas

25. Edad fi hi Fi hi%
16 15 0.555 15 55.5
17 8 0.296 23 29.6
18 4 0.148 27 14.8
Alumnos de grado decimo
ℎ𝑖 = fi / total de datos
∑fi = numero de personas que tiene esa edad
hi% = fi * 100%
total de datos

26. Diagrama de barras:
X ° 16 = 55.5% * 360°/100%
= 199.8
X ° 17 = 29.6 * 360°/100%
= 106.56
X ° 18 = 14.8 * 360°/100% = 53.28
Diagrama circular:
0
20
16 años17 años18 años
alumnos
alumnos
hi%
55.5
29.6
14.8

27. Año fi
2003 220
2004 198
2005 303
2006 296
Muertes en accidente de automóvil
0
100
200
300
400
cantidad
cantidad
Menor porcentaje de caída:
198 ÷ 100%
178 X %
X % = 178 * 100/198
= 89.89%

28. % trabajadores Salario mínimo
28 1 ≤ SM ‹ 2
34 2 ≤ SM ‹ 3
46 3 ≤ SM ‹ 4
6 4 ≤ SM
0
10
20
30
40
50
1 2 3 4
SM
SM

29. F(x)
6𝑥3
- 8𝑥2
+ 5x -1
Literal= x
Constantes= 6 x.. -8 x.. 5x
Termino 1= 6𝑥3
2= -8𝑥2
3= 5x
4= 1
Grado= 3 (mayor exponente)
F(x, y)
2𝑥3
– 3𝑥2
y + 4𝑥𝑦2
– 10𝑦3
+6
Constantes= 2 … -3 … 4 … -10 … 6
Términos 1 = 2𝑥3
2= -3𝑥2 𝑦
3= 4 𝑥𝑦2
4= -10 𝑦3
5= 6
Grado= (3,3)

30. Suma/ resta
(5𝑥3 -7𝑥2 + 4x – 1) + (2𝑥2 - 2x)
2𝑥2
- 2x
5𝑥2 - 5𝑥2 + 2x - 1
Multiplicación
( -7𝑥2 + 4x – 1) * ( 2𝑥2 - 2x )
-14𝑥4
+ 14𝑥3
+ 8𝑥3
– 8𝑥2
– 2𝑥2
+ 2x
-14𝑥4 + 22𝑥3 – 10𝑥2 + 2x

31. Suma / resta
( 6𝑥3 + 5𝑥2 + 8x – 5 ) + ( 15𝑥4 - 𝑥2 - 6x + 6)
RESULTADO=
15𝑥4 + 6𝑥3 + 4𝑥2 + 2x + 1
 (4𝑥2 𝑦 + 5𝑥𝑦2 - 4xy - 𝑦3) – ( 5𝑥3 + 2𝑥𝑦2 -
2𝑥2 𝑦 + 5xy – 5)
RESULTADO=
-5𝑥3
+ 2𝑥2
𝑦 – 9xy + 3𝑥𝑦2
+ y + 5

32. (4𝑥2 + 2x – 5) * (x – 3)
(4𝑥3 - 2𝑥2 - 5x) – (12𝑥2 + 6x – 15)
Rta/ 4𝑥3 - 10𝑥2 - 11x + 15
 (4𝑥3
+ 5𝑥2
𝑦 - 𝑦3
) * (3y – x)
(12𝑥3 𝑦 + 15𝑥2 𝑦2 - 3𝑦4) – (4𝑥4 + 5𝑥3 𝑦 - 𝑥𝑦3)
Rta/ - 4𝑥4
- 7𝑥3
𝑦 + 15𝑥2
𝑦2
+ 𝑥𝑦3
- 3𝑦4

33. 4𝑥4-5𝑥3+2𝑥2-x+2 x – 5
4𝑥4-12𝑥3 4𝑥3 + 7𝑥2 - 33x - 166
7𝑥3+2𝑥2
7𝑥3-35𝑥2
-33𝑥2-x
-33𝑥2+165x
-166 x+2
-166x+830
- 828
P (x) = ( 4𝑥3
+ 7𝑥2
- 33x – 166) + (- 828)
D (x)

34. X3 – x2 – 10x – 8 = 0
divisores de 8= (x+1) (x+2) (x-4)
P (x) = 𝑥3 - 𝑥2 - 10x – 8 = 1
¶ d(x) (x+1) (x+2) (x-4)
= (x+2)(x-4)
(x+1)

35. 4𝑥3 + 3𝑥2 - 5x + 2 x – 3
-4𝑥3
+ 12𝑥2
4𝑥2
+ 5x + 40
15𝑥2
-5x
-15𝑥2
+45x
40x+2
-40x+120
122
p(x) = Q(x)
d(x)

36. (4+(5*3))2 = (4 + 15)2 = 192 = 361
( 4+ (5*3))2 = (4 + (5*3)) (4 + (5*3))
16 + 4 (5*3) + (5*3) 4 + (5*3) (5*3)
16 + 4*15 + 4*15 + 15*15
16 + 60 + 60 + 225
361
( 4 – (5*3))2 = (4 – (5*3)) (4 – (5*3))
16 – 60 – 60 + 225
121

37. ( 4 – 5 ) ( 4 + 5 ) = (-1) (9) = -9
42 - 52 = 16 – 25 = -9
(4- (5*5)) (4+ (5*5) = (4 – 25) (4 + 25)
( -21 ) ( 29 ) = -609
( 42 - (5*5)2) = 16 – (25)2 = 16 – 625
= -609

38. (4x + 5y)3 = (4𝑥)3+3(4x)2*(5y)+3(4x)*(5y)2 + (5y)3
64𝑥3 + 240𝑥2 𝑦 + 300x𝑦2 + 125𝑦3
64(4)3 + 240(4)25 + 300 (4) (5)2 + 125 (5)3
4096 + 19200 + 30000 + 15625
68921
(4*4)+(5*5)3 = (16+25)3 = 413 = 68921
(4x – 5y)3 = (4x)3 - 33(4x)^2*(5y) )+3(4x)*(5y)^2 –
(5y)^3
64𝑥^3 + 240𝑥^2 𝑦 + 300x𝑦^2 + 125𝑦^3
4096 – 19200 + 30000 + 15625
- 729
(16 – 25)3 = (-9)3 = - 729

39. (4x + 5y)5
(4x)5
+ 5(4x)4
∗ 5𝑦 + 10(2x)3
*(5y)2
+
10(2x)2
*(5y)3
+ 5(2x)*(5y)4
+ (5y)5
1024𝑥5 + 6400𝑥4 𝑦 + 2000𝑥3 𝑦2 +
5000𝑥2
𝑦3
+6250𝑥𝑦4
+ 3125𝑦5

40. Factor común 2
términos
f. C. agrup. de términos
binomio
Diferencia de cuadrados
trinomio cuadrado perfecto 3
términos
T. C. de la forma 𝑥2
+bx+c
trinomio
T. C. de la forma a𝑥2
+bx+c
T. C. perfecto por adi./sustra. 4 o mas

41. F(x, y, z) = 52𝑥5
− 13𝑥𝑦2
𝑧2
2𝑥2 - yz
52 (1)5 − 13(1)(1)2(2)2
2(1)2
- (1) (2)
(F. común) F(x,y,z)= 13x (4𝑥4
− 𝑦2
𝑧2
)
2𝑥2 - yz
(D, de cuadrados)
F(x, y, z)= 13x (2𝑥2 − 𝑦𝑧)(2𝑥2+𝑦𝑧)
2𝑥2 − yz
F(x, y, z)= 13x (2𝑥2
+ yz)
= 13(1) /2 (1)2
+ (1*2)/
= 13 (2 + 2)
= 48

42. 5𝑥2 - 12x + 19 = 0
X = -(-12) ± 12 2 − 4 5 19
2 (5)
X = 12 ± 144 − 95
10
X = 12 ± 49
10
X = 12 + 7 = 19
10 5
X = 12 – 7 = 5
10 5
(5x – 19) (x – 5)= 0

43. F(x)= -(-7) ± √(-7)2
-(4*5*2)/2(5)
7 ± √49 – 40 / 10
7 ± √9/10
7+3/10 = 10/10 = 1/5
7-3/10 = 4/10 = 2/5
 5𝑥2
- 7x + 2
25𝑥2- 5(7x) + 10/5
(5x – 2) (5x-5)
1(5x-1)5(x-1)

44. Sea X=5 y Y=2
9𝑥3
− 2𝑥2
𝑦 − 36𝑥𝑦2
+ 18𝑦3
(9𝑥3
− 36𝑥𝑦2
) + (−2𝑥2
𝑦 + 32𝑦3
)/x-4y
(9𝑥3
− 36𝑥𝑦2
) − (2𝑥2
𝑦 − 32𝑦3
)/x-4y
9x(𝑥2
− 4𝑦2
) − 2𝑦(𝑥2
− 16𝑦2
) /x-4y
(9x-2y) (𝑥2
-16𝑦2
) /x-4y
(9x-2y) (x-4y) (x + 4y)/x-4y
(9x-2y) (x+4y)
(9*5 – 2*2) (5 + 4*2)
(45 – 4) (13) = 533

45. 𝑥16
− 18𝑥8
+ 125𝑥4
− 318
𝑥4
- 6 =44
− 6 =250
(𝑥4
- 6)4
=
-18(𝑥4)2 = 3(𝑥4)2 * No?= 6
18𝑥8
3𝑥8 = 6
(𝑥4-6)4= 𝑥16 − 18𝑥8 + 3 ∗ 36𝑥4 − 216
= 𝑥16 − 18𝑥8 + 108𝑥4 − 216
125𝑥4 − 108𝑥4= 17𝑥4
318 – 216= 102
(𝑥16 − 18𝑥8 + 108𝑥4 − 216) + (17𝑥4 − 102) /𝑥4 − 6
(𝑥4 − 6)3 + 17(𝑥4 − 6)/𝑥4 −6
(𝑥4 − 6)(𝑥4 − 6)2 + 17(𝑥4 − 6)
(𝑥4 −6)
(𝑥4 − 6)2+17

46. Se trata de igualar las ecuaciones:
F1(x) = ax+b
f2(x)= cx+d
f1(x)= 7x+6 f2(x)=5x-4
7x+6 = 5x-4
7x-5x = -4-6
2x = -8
X= -8 -4
7(-4)+6 5(-4)-4
-28 + 6 -20-4
-22 -24

47. F(x)= 3𝑥2-6x-2=0 a=3; b=-6; c=-2
+6±√(-6)2 −4(3)(-2)/2*3
6 ± 36 − (−24) / 6
6 ± 60 /6 = 6± 4 ∗ 15 /6 = 6 ± 2√15 /6
X= 3 ±√15 x1= 3±√15 x2= 3±√15
3 3 3

48. 4x – 5y = 8
5x +y = 13/19
4x – 5(1-3x) = 8
4x – 5 + 15x = 8
4x + 15x = 8+5
19x=13 = X=13/19
Y= 1-3 (13/19) = 1 – 39/19 =
-20/19=y
5 (13/19) + (-20/19)=
65/19 – 20/19= 45/19

49. 4x – 5y = 6 y= 3-5 (29/21) = 3 – 145/21
5x + y= 3 y= -82/21
4x – 6 = 5y 4(29) -6(-82)=6
4x-6/5 =y 21 21
y= 3-5x 116 + 492 = 608
4x-6/5 = 3-5x 21 21 21
4x-6 = 15-25x
4x+25x = 15+6
29x = 21
X= 29/21

50. 2x – 3y = 4 2(7/11) -3(-10/11)
3x+y = 1 14 + 30 = 44
9x + 3y = 4 11 11 11
2x – 3y = 3
11x = 7 =4
X= 7/11
3(7/11) +y =1
Y= 1 -21/11
Y= -10/11

51. 2x-3y=4
3x+y=1
3y= 4-2x y2
Y1= 2x-4
3
y2= 1-3x y1
(7/11)

52. M (a o b) + m (F o B) = 360
oo´ // AF
oA // O´F
m(ao´b) +m (fo´b) = 180
m(ao´b) = 180°- m(Fo´B)
180° -m(Fo´B) + m(Lo´B)
= 180°
-m(Fo´B) +m(Co´B)=0
m(Co´B) = m(Fo´B)
𝜎 ≅ 𝜃

53. Todo par de ángulos alternos externos son
congruentes
M(A o´B)+m(B o´C) = 180°
AD// εo´ ^ Aε // 0´0
m(A o´D)+m(ε o´D)=180°
m(A o´D)=180° -m( ε o´D)
m(A o´D)= ∝= m(B o´C)
Opuestos por vértice
m(A o´B)+180-m(ε o´D)=180°
m(A o´B) = m(ε o´B)
m(ε o´B) =𝜎 opuesto x el vértice
m(A o´ B)= 𝜎
𝜃 ≅ 𝜎

54. M(A o´ D)+m(εo´D) =180
m(A o´ D) =m(B o´ C)
m(A o´ D) =180° - m(εo´ D)
m(B o´ C) +m(ε o´ C) = 180°
m(B o´ C)= 180° -m
m(A o´ B) + 180° -m (ε o´ D) = 180
m(A o´ B)= m(ε o´ D)
𝜃 = 𝜃2

55. ε o´ G = 180 = ε o´ D+ D o´ G
m(D o´ G) = 180° - ∝ = 180 – 130 = 50°
(D o´ G) ≅ (ε o´ f) opuesto vértice
m(D o´ G) =m(ε o´ F) = 50°
m(∝) =m(G o´ F) opuesto vértice
m(G o´ F) =130°
m(∝)=m(A o´ B)
130° =m(A o´ B)
m(∝)=m(C o´ D) alternativos internos
130°=m(C o´ D)
(A o´ D) /= (B o´ C) opuesto vértice
m(A o´ D) = 180° -m(∝)
180 – 130° = 50°
= ( ε o´ F)
m(B o´ C) = 50°

56. m(∝) ≅m(𝜃3) opuestos x vertice
m(𝜃3)=40°
B´ ≅ x c´ y corresp.
m(xzy)=110°
xc´y = xc´z +∝´
m(xc´z)=m(xc´y)-m(∝)
=110-40
m(xc´z) =70°
xc´z≅ 𝜃1 corresp.
m(𝜃1) = 70°
180=m(xc´y)+m(yc´w)
m(yc´w)= 180-110°
= 70°
yc´w≅ 𝜃2 corresp.
m(𝜃2) = 70°

57. Es una figura plana compuesta por una secuencia finita de
segmentos que cierran una región en el espacio.
A= 𝑙2* √3/4
A= b*h/2 = h= 2A/B
h= 2 𝑙2 √3/4 /l
= l√3/2
x= √𝑐12 + 𝑐22
= √(l/2)2
+(l√3/2)2
x= √
𝑙2
22 + 𝑙2
*(√
3)2
22
x= √
𝑙2
22 +
𝑙2
4
* 3
= √𝑙2 +
3𝑙2
4
= √4
𝑙2
4
= √𝑙2
X= l = equilátero=
la medida de todos sus lados es igual.

58. x2= h2 + (l/2)2
x= √ℎ2
+
1
2
2
x=√𝑙2 + (
𝑙
2
)2 - (
𝑥
𝑦) 𝑛 =
𝑥
𝑦
𝑛
a ±b/c = a*c+b/c
x= √𝑙2
(4+1/4) = √
𝑙
4
2
∗ 5
√x*y = √x * √y ^ √x/y = √x/√y
a= l-l/2 = 2l-l/2 = l/2
x1=x2= √5l/2 ≅ 1.12l
triangulo isósceles=
tiene solo dos lados de la misma longitud.

59. h=√𝑐12 + 𝑐22
x= √(
𝑙
4
)2
+(ℎ)2
=
𝑙
4
2
+ (2 ∗
1
4
)2
=√(l/4)2
+ (
𝑙
2
)2
(
𝑥
𝑦
) 𝑛
= 𝑥 𝑛
𝑦 𝑛
x1= √𝑙2 1
16
+
4
16
=
𝑙2
16
∗ 5 =
𝑙
4
5
x2= √𝑏22
+ ℎ2
b2= l –l/4 * 4l-l/4
b2= ¾l h= 2b1 = 2 * 1l/4 = 1/2l
x2= √(
3𝑙
4
)2 + (
1𝑙
2
)2 = (32∗ 𝑙2) + 𝑙2/22
42
x2= √13 * √𝑙2
= √13*l = ¼ √13l
√16 4
triangulo escaleno=
todos sus lados tienen longitudes diferentes.

60. x1=√𝑏12 + ℎ2
= √(2𝑏2)2+(2𝑏2)2
=2b2 √2
x2= √ℎ2 + 𝑏22
=l√5
∝ = 𝑠𝑒𝑛−1(√2/2) =45°
𝜃1= 180 - ∝ - h
𝜃1= 45°
sen𝛽= h/𝑥2 = 2l/l√5 = 2/√5
𝛽= 𝑠𝑒𝑛−1 (2√5/5) = 63.4°
𝜃2= 26.6°
𝜃total= 𝜃1 + 𝜃2
45 + 26.6
𝜃=71.6°
todo ángulo es menor a 90°

80. X= 12 h= √122 - 4 *5
v= ? h= √124 = √31 * 4cm
v= Abase * h = √31 * √4 cm
Abase= 4cm * 8cm = 2√31cm
Abase= 32 𝑐𝑚2 v= 4cm * 8cm * 2√31 cm
x= ℎ2 + 𝑐ℎ 2 v= 64 √31 𝑐𝑚2
ch= (8 𝑐𝑚)2 + (4𝑐𝑚)2
= 64 + 16
= 80 𝑐𝑚2
= 5 ∗ 16 𝑐𝑚2
= 5 ∗ 16 cm
= 4 5 cm
x= ℎ2 + 4√52
h= 𝑥2 − 4 √52

81. x= 12cm
D= 6cm
v= 𝜋 𝑟2*h
d= 3r r=D/2
v= 𝜋(D/2)2 * h
v= 𝜋𝐷2*h/4
v= 𝜋/4 *𝐷2* √𝑥2 − 𝐷2
v= 𝜋/4 *(6)2 𝑐𝑚2 * √(12)2 - (6)2cm
v= 𝜋 ∗ 6 ∗ √144 – 36 𝑐𝑚2
v= 6𝜋 √108 = 6𝜋 √4 * √27 𝑐𝑚2
v= 12𝜋 √27 𝑐𝑚3
= 5.1961 𝑐𝑚3

82. V= 1/3 Abase * h
Abase= 7cm * 8cm sen 60 = √3/2 = √3
Abase= 56 𝑐𝑚2 cos 60 1/2
cos ∞ = ca/co
tan ∞ = h/ca v= 56 * √113 * √3 = 9.3
√339𝑐𝑚3
ca= ½ h
h= √7282 V= 171.23 𝑐𝑚3
h= √49+64
h= √1132 𝑐𝑚
ca= ½ √113 cm
h= (tan ∞) * ½ √113
v= 1/3 56𝑐𝑚3 * ½ √113cm * tan 60°

83. ri = 4cm
vi= 4𝜋/3 r𝑖3
Vf= 10 vi
Vf= 4𝜋/3 r𝑓3
rf=
3
4
∗
10𝑣𝑖
𝜋
rf= 3
3
4
∗
10
𝜋
∗ 4𝜋𝑟 𝑖3
/3
rf= 3 10 𝑟𝑖3
rf=
3
10 *
3
𝑟𝑖3
rf= ri
3
10
rf= 4
3
10𝑐𝑚
rf= 8.6 cm

87. FINNNNNNNN
NNN ;)