Definicion de funciones y realizacion de graficas, linea recta, parabola y funciones racioneales.

1. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
MATEMÁTICAS I

2. PLANO CARTESIANO
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Dos rectas numéricas perpendiculares a las cuales se les llamaran
ejes, al eje horizontal eje x y al vertical eje y, un punto en el plano
se representa como P(x,y).

3. LINEA RECTA
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Al calcular el impuesto al ingreso o impuesto sobre la renta, a las empresas
comerciales se les permite por ley depreciar ciertos activos como edificios,
máquinas, muebles, automóviles, etc., a lo largo de un lapso de tiempo. La
depreciación lineal o método de línea recta, a menudo se utiliza para este
propósito. La gráfica de la línea recta mostrada en la figura 5 describe el valor
en libros V de un servidor web que tiene un valor inicial de $10,000 y que está
siendo depreciado linealmente a lo largo de 5 años con un valor de
recuperación de $3,000. Observe que sólo la parte continua de la línea recta es
de interés en este caso.

4. Pendiente de una línea recta
4

5. Pendiente de una línea recta
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6. Forma Punto Pendiente
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La ecuación (2) se conoce como forma punto-pendiente de una ecuación de una
recta porque utiliza un punto dado (x1, y1) sobre una recta y la pendiente m de
ésta.

7. Forma pendiente-ordenada al origen
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Una línea recta L que no es horizontal ni vertical corta el eje x y el eje y en, por
ejemplo, los puntos (a, 0) y (0, b), respectivamente. Los números a y b se llaman
intersección con x y ordenada al origen o intersección con y,
respectivamente, de L. Ahora sea L una recta con pendiente m e intersección con
y b. Utilizando la ecuación (2), la forma punto-pendiente de una recta, con el punto
dado por (0, b) y la pendiente m se obtiene

8. Ecuación Lineal
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9. Parábola
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Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que
equidistan de una recta fija y un punto fijo: d(P,F) = d(P,D)

10. Elementos de la Parábola
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•Foco: Es el punto fijo F.
•Directriz: Es la recta fija D.
•Parámetro: A la distancia entre el foco y la
directriz de una parábola se le llama
parámetro .
•Eje: La recta perpendicular a la directriz y
que pasa por el foco recibe el nombre de
eje. Es el eje de simetría de la parábola.
•Vértice: Es el punto medio entre el foco y
la directriz. También se puede ver como el
punto de intersección del eje con la
parábola.
•Radio vector: Es el segmento que une un
punto cualquiera de la parábola con el
foco.

11. ELIPSE
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•La elipse es el lugar geométrico de los puntos
del plano cuya suma de las distancias a los
dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es
constante. Es decir, para todo punto a de la
elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es
constante.
También podemos definir la elipse como
una cónica, consecuencia de la
intersección de un cono con un plano
oblicuo que no corta la base.

12. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
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Los elementos más importante de la elipse
son:
Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que
generan la elipse. La suma de las dos
distancias de cualquier punto de la elipse a los
dos focos (d1 y d2) es constante.
Distancia focal (2c): distancia entre los dos
focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
Centro: es el punto medio de los dos focos
(O).
Semieje mayor: longitud del segmento OI o
OK (a). La longitud es mayor (o igual en el
caso de la circunferencia) a la del semieje
menor. La suma de las distancias de cualquier
punto de la elipse a los focos es constante y
ésta es igual a dos veces el semieje mayor:

13. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
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Semieje menor: longitud del segmento OJ o
OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de
simetría de la elipse. Se cumple que:
Radios vectores: los radios vectores de
cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los
dos segmentos que lo unen con los dos
focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
Vértices: son los puntos resultantes de la
intersección de la elipse con la recta que
pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular
que pasa por el centro. Es decir, son los
puntos I, J, K y L

14. ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
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Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que
cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La
ecuación de la elipse es la siguiente:
En el caso de que la elipse esté centrada (el
centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

15. HIPÉRBOLA
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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia
de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la
hipérbola (2a).

16. HIPÉRBOLA
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La hipérbola también se
puede definir como una
cónica, siendo la
intersección del cono con
un plano que no pase por
su vértice y que forme un
ángulo con el eje del
cono menor que el
ángulo que forma con el
eje generatriz g del cono.

17. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
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Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
Radio vector: es la distancia R de un
punto de la hipérbola (P) a cualquiera de
los focos.
Eje focal: es el eje de simetría E que une a
los dos focos. También se llama eje
transverso.
Eje no transverso: es la mediatriz T del
eje focal.
Centro: es el punto medio O de los dos
focos. También se puede definir como la
intersección del eje focal y el transverso.
Vértices: son los dos puntos de
intersección del eje focal con la hipérbola
(V1 y V2).

18. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
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Distancia focal: es la distancia 2c entre
focos. También se denota como F1F2.
Eje real: es la distancia 2a entre vértices.
Eje imaginario: es la distancia 2b de los
puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se
generan como vemos en las relaciones
entre semiejes.
Así pues, existe una relación entre los
semiejes y la distancia focal:
Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2)
que se aproximan a la hipérbola en el
infinito.

19. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
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•Puntos interiores y
exteriores: la hipérbola divide el
plano en tres regiones. Dos
regiones que contienen un foco
cada una y otra región sin
ningún foco. Los puntos
contenidos en las regiones con
un foco se llaman interiores (I) y
los otros exteriores (Ex).
•Tangentes de la hipérbola:
sobre cada punto Pi de ambas
ramas de la misma. Cada
tangente es la bisectriz de los
dos radios vectores del punto Pi.

20. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
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Circunferencia principal (CP):
su radio r=a y su centro en O. Es
el lugar geométrico de las
proyecciones de un foco sobre
las tangentes.
Directrices de la hipérbola: son
dos rectas paralelas al eje
transverso (D1 y D2). Su
distancia a cada una es a/e (e es
la excentricidad de la hipérbola).
Pasan por las intersecciones de
la circunferencia principal con
las asíntotas (A1 y A2).

21. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
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La ecuación de la hipérbola se
puede expresar cuando su
centro es O=(o1,o2) como:
Si la hipérbola tiene su centro en el origen,
O=(0,0), su ecuación es:

22. FUNCIONES
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A un fabricante le gustaría conocer la relación que la utilidad de la empresa
mantiene con su nivel de producción; a un biólogo le gustaría conocer cómo
cambia el tamaño de la población de un cierto cultivo en el tiempo; a un
psicólogo le gustaría conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de un
individuo y la longitud de una lista de vocabulario, y a un químico le gustaría
conocer cómo se relaciona la velocidad inicial de una reacción química con la
cantidad de sustrato empleada.
En cada caso nos interesa la misma pregunta. ¿Cómo depende una cantidad
de otra? La relación entre dos cantidades se describe convenientemente en
matemáticas utilizando el concepto de función.

23. FUNCIÓN
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El conjunto A se llama dominio de la función. Se acostumbra denotar una
función con una letra del alfabeto, tal como la letra f. Si x es un elemento en
el dominio de una función f, entonces el elemento y en B con el que f se
asocia se escribe f(x) (leído “f de x”) y se llama valor de f en x. El conjunto
que comprende todos los valores asumidos por y = f(x) cuando x adopta
todos los valores posibles en su dominio se llama rango de la
función f.

24. FUNCIÓN
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Pensemos en una función f como una máquina. El dominio es el conjunto de
insumos (materia prima) de la máquina, la regla describe cómo se procesará el
insumo, y el valor o los valores de la función son los resultados de la máquina
(rango).

25. FUNCIÓN
EJEMPLO
25

26. DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA
FUNCIÓN
26
Suponga que se nos da la función y = f(x).* Entonces, la variable x se llama
variable independiente. La variable y, cuyo valor depende de x, se llama
variable dependiente. Para determinar el dominio de una función, tenemos
que determinar qué restricciones, si las hay, se tienen que imponer en la
variable independiente x. En muchas aplicaciones prácticas, la naturaleza
del problema dicta el dominio de una función,
EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 Empaque Se tiene que hacer una caja
abierta con un trozo de cartón rectangular de 16 pulgadas de largo por 10 de
ancho, recortando cuadrados idénticos (de x por x pulgadas) de cada esquina
y plegando las pestañas resultantes (figura 25). Encuentre una expresión que dé el
volumen V de la caja en función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

27. EJEMPLO DE APLICACIÓN
27
Empaque Se tiene que hacer una caja abierta con un trozo de cartón
rectangular de 16 pulgadas de largo por 10 de ancho, recortando cuadrados
idénticos (de x por x pulgadas) de cada esquina y plegando las pestañas
resultantes (figura 25). Encuentre una expresión que dé el volumen V de la caja
en función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

28. SOLUCIÓN
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29. EJERCICIOS
29
Determine el dominio de cada función.

30. GRÁFICAS DE FUNCIONES
30

31. GRÁFICAS DE FUNCIONES
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La figura 26 muestra la gráfica
de una función f. Observe que
la coordenada y del punto (x, y)
en la gráfica de f da la altura de
dicho punto (la distancia sobre
el eje x, si f(x) es positiva. Si
f(x) es negativa, entonces -f(x)
da la profundidad del punto (x,
y) (la distancia por debajo del
eje x). También, observe que el
dominio de f es un conjunto de
números reales situados sobre
el eje x, mientras que el rango
de f queda sobre el eje y.

32. GRÁFICAS DE FUNCIONES
EJERCICIO
32
La gráfica de una función f se muestra
en la figura 27.
a. ¿Cuál es el valor de f(3)? ¿El valor
de f(5)?
b. ¿Cuál es la altura o profundidad del
punto (3, f(3)) con respecto al eje x?
¿Del punto (5, f(5)) con respecto al eje
x?
c. ¿Cuál es el dominio de f ? ¿El rango
de f ?

33. FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES
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Una función definida por más de una regla se llama función definida por partes.
Trace la gráfica de la
función f definida por

34. GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES
PASOS
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1. Encuentre las asíntotas de la función racional, si las hay.
2. Dibuje las asíntotas como rectas punteadas.
3. Encuentre la intercepción en x y la intercepción en y de la función racional, si
las hay.
4. Encuentre los valores de y para varios valores diferentes de x .
5. Grafique los puntos y dibuje una curva lisa que conecte los puntos. Asegúrese
que la gráfica no cruce las asíntotas verticales.

35. EJEMPLO
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Grafique la función racional y =
4𝑥+1
2𝑥+1
La asíntota vertical de una función racional es el valor de x donde el
denominador de la función es cero. Iguale el denominador a cero y
encuentre el valor de x .
2𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −
1
2

36. ASINTOTA VERTICAL
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37. GRÁFICA
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Esta función tiene la intercepción en x en (-1/4, 0) y la intercepción en
y en (0, 1). Encuentre más puntos en la función y grafique la función.

38. MUCHAS GRACIAS