ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
1. Supóngase que un peso de 4 libras estira un muelle, desde su posición natural,
en 8 pulgadas. Si se estira el muelle hacia abajo otras 6 pulgadas y se suelta
con velocidad inicial hacia arriba de 8 pies por segundo, hallar la fórmula para la
posición del peso en función del tiempo t.
Solución:
Por la ley de Hooke:
4 = 𝑘 (
2
3
)
𝑘 = 6
Sabemos:
𝑤 = 𝑚𝑔
𝑚 = (
𝑤
𝑔
)
𝑚 = (
4
32
)
𝑚 = (
1
8
)
Por lo tanto la ecuación diferencial resultante para el movimiento no
amortiguado es:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
+ 48𝑦 = 𝑜
Puesto que la ecuación característica:
𝑚2
+ 48 = 0
Tiene raíces complejas:
𝑚2
= 0 + 3𝑖√4
𝑚2
= 0 − 3𝑖√4
Si la solución general es:
𝑦 = 𝐶1 𝑒0
cos 4 3𝑡 + 𝐶2 𝑒0
𝑠𝑒𝑛4 √3𝑡
𝑦 = √𝐶1 cos4 √3𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛4 3𝑡
Usando las condiciones iniciales se tiene:

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2
1
2
= 𝐶1(1)+ 𝐶2(0)
𝑦(0) =
1
2
𝑦´( 𝑡) = 3√−4 𝐶1 √𝑠𝑒𝑛4 √3𝑡 + (4)(3) √𝐶2 cos4 3𝑡
8 = √−4
(3)(1)
2
√0 + (4)(3) 𝐶2(1)
=> √𝐶2 =
(3)(2)
2
𝑦´(0) = 8
En consecuencia, la posición en un tiempo t viene dada por
𝑦 =
1
2
𝑐𝑜𝑠√4 √3𝑡 +
2√3
3
𝑠𝑒𝑛4 (3𝑡)

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2. Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al
extremo del resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una
velocidad dirigida hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.
Solución:
𝐹 = 400 𝑁 𝑥 = 2 𝑚 𝑚 = 50 𝑘𝑔 𝑣 = 10 𝑚/𝑠
400
2
= 𝑘
𝑘 = 200
𝜔2 = 4
𝜔 = 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
| 𝑡=0 = −10
Ecuación del movimiento
50𝑥" + 200 𝑥 = 0
𝑥" + 4𝑥 = 0
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos
1
2
𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
𝑐1 = 2
𝑥´(0) = [−10 = −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐2cos2𝑡]
𝑥´(0) = [−10 = 2𝑐2]
𝑐2 = −5
𝑥( 𝑡) = 2 cos2𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡

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3. Un cuerpo que pesa 2 lb. se estira un resorte 6 plg. Dicho cuerpo se suelta en
t=0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad
dirigida hacia arriba de
4
3
pie/seg. Determine la función x(t) que describe el
movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las
magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies:
6 plg =
6
12
= 1
2
pie
8 plg =
8
12
= 2
3
pie
Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa.
M = W/g
Tenemos
𝑚 =
2
32
=
1
16
𝑠𝑙𝑢𝑔
Además, por la Ley de Hooke se tiene:
2 = 𝑘 (
1
2
) 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑘 = 4 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒
Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,
1
16
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 = −4𝑥 𝑦
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 + 64𝑥 = 0
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
𝑥(0) =
2
3
,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
| 𝑡=0 = −
4
3
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia
de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es,
dirigida hacia arriba.
Ahora bien, 𝜔2 = 64, o sea 𝜔 = 8 de modo que la solución general de la ecuación
diferencial es:
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos8 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 8 𝑡
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
𝑥(0) =
2
3
= 𝐶11 + 𝐶20 ( 𝑐1 =
2
3
)
Y
𝑥( 𝑡) =
2
3
cos8 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 8 𝑡

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𝑥´( 𝑡) = −
2
3
sen 8 𝑡 + 8𝐶2 𝑐𝑜𝑠 8𝑡
𝑥´(0) = −
4
3
= −
16
3
0 + 8𝐶21, ( 𝑐2 = −
1
6
)
Luego
𝑐2 = −
1
6
Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
𝑥( 𝑡) =
2
3
cos8 𝑡 −
1
6
𝑠𝑒𝑛 8 𝑡 (7)
Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distinción entre peso y
masa. Así, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte
y también, del movimiento de un peso sujeto a un resorte.
Forma alternativa de x(t)
Cuando 𝑐1 ≠ 0 y 𝑐1 ≠ 0, la amplitud real A de las oscilaciones libres no se
obtiene en forma inmediata de la ecuación (5). Por ejemplo, aunque la masa del
Ejemplo 2 es inicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posición de equilibrio,
la amplitud de las oscilaciones es un número mayor que 2/3. Por lo tanto, a
menudo conviene transformar una solución de la forma (5) a una forma más
simple
𝑥( 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛( 𝜔𝑡+ ∅) (8)
En donde
𝐴 = √𝑐1
2+𝑐2
2
Y en donde ∅ es un ángulo de fase definido por
tan ∅ =
𝑐1
𝑐2
{
𝑠𝑒𝑛∅ =
𝑐1
𝐴
𝑐𝑜𝑠∅ =
𝑐2
𝐴
(9)
Para verificar esto, desarrollamos (8) mediante la fórmula del seno de una suma
de ángulos:
𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡cos∅ + 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛 ∅ = ( 𝐴 𝑠𝑒𝑛 ∅) cos 𝜔𝑡 + (cos∅)𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 (10)
Se define ∅ como:
𝑠𝑒𝑛∅ =
𝑐1
√𝑐1
2+𝑐2
2
=
𝑐1
𝐴
, cos∅ =
𝑐2
√𝑐1
2+𝑐2
2
=
𝑐2
𝐴
Entonces (10) se transforma en
𝐴
𝑐1
𝐴
cos 𝜔𝑡+ A
𝑐2
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑥(𝑡)