El documento trata sobre la transferencia de calor. Explica los tres mecanismos de transferencia de calor: conducción, convección y radiación. También describe conceptos clave como temperatura, presión, flujo de calor y difusividad térmica. Resume las ecuaciones que rigen cada mecanismo como la ley de Fourier para la conducción y las ecuaciones para la convección y radiación de un cuerpo negro.

1. TRANSFERENCIADE
CALOR
FACULTADDECIENCIASQUÍMICASUANL
DR.JORGEIBARRARDZ.

2. ElconceptodeOperacionesunitariasfueacuñadoen
1923,comounaaproximaciónalasseparacionesfísicas
(destilación,evaporación,secado,etc.).Conllevalaideade
queexistensimilitudesenlosfundamentosyequipo
utilizadosinimportarelprocesodelcualsetrate.
Debidoaesto,losfenómenosdetransporteseestudiana
nivellicenciaturaporserlabaseyprincipiosquesellevan
acaboendichosprocesos.
Fenómenosde
Transporte
Transferenciadecalor
Transferenciademasa
Transferenciademomento
TransferenciadeCalor

3. TransferenciadeCalor
Procesosdeequilibrio:Latermodinámicatratabásicamentecon
sistemasenequilibrio,ademásdehaberdiferentestiposde
equilibrio.
Velocidaddeproceso:Cuandoseconsideransistemasquenoestán
enequilibrio,elsistemaavanzadeunmodotalqueseaproximaal
equilibrio.Estavelocidadestácaracterizadaporunafuerza
impulsora.Lavelocidaddetransporteesproporcionalalafuerza
impulsora.
Variablesfundamentales:
Temperatura:Puedeserdefinidasóloempíricamentecomouna
medidarelativadelcalor.Semanifiestaenelmovimientodelas
moléculas.
Presión:Eselresultadodelacolisióndelasmoléculasadyacentes
deunfluido.(F/A)

4. TransferenciadeCalor
Volumen:Espacioocupadoporuncuerpo.
Concentración:Cantidaddemateriadentrodeunespacio
ovolumendado.Seutilizausualmenteenmolesomasa
porvolumen.
Esfuerzodecortet:Esunafuerzaejercidaporunidadde
áreaconcomponentesentodaslasdirecciones,porloque
seprovocaunrozamientoentrecapasadyacentesde
materia.
Flux:Esunacantidadde“algo”medidaporunidaddeárea
yunidaddetiempo.(Razóndetransferencia).
Fases.
Unidades.

5. TransferenciadeCalor
Elpuntodepartidaparaelanálisisdelosproblemasde
TCesla1ªleydelatermodinámica.Cuandosetratacon
laconveccióntambiéndebeinvolucrarselaleydela
conservacióndelamasayla2ªleydelmovimientode
Newton.
EnelanálisisdeTCsebuscacalcularlatemperaturaen
unpuntodado,ladistribucióndetemperaturasalolargo
deunafronteraoregiónolarazóndetransferenciade
calor.Asípues,lasleyesfísicasparaelanálisisdeTC:
1ªLeydelaTermodinámica
Conservacióndelamateria
2ªLeydelmovimientodeNewton
TransferenciadeCalor

6. TransferenciadeCalor
Elmáspuroejemplodetransportemolecularesla
conduccióndecalordesdeunaregióndealtatemperaturaa
unadebajatemperaturaporunabarrametálica.
Desdeelpuntodevistaingenieril,lafuerzaconductoradela
transferenciadecaloresladiferenciadetemperaturas.
ANALOGÍA
Sepuedeformularunaecuacióngeneraldevelocidadcomo:
VT=FC/RVT=Velocidadde
Transferencia
FC=Fuerzaconductora
R=Resistencia
CONDUCCIÓN

7. TransferenciadeCalor
Mecanismosparalaconducción:
•Interacciónmoleculardirecta
•Electroneslibres
LaecuacióndeFourierseexpresausandolarelacióndeanalogía:
x
T
k
Ax
q
T1
qx
T2
qx=razóndeflujodecaloren
ladirecciónx
A=áreanormalalflujo
dT/dx=gradientede
temperaturaenla
direcciónx
k=Conductividadtérmica

8. TransferenciadeCalor
CONVECCIÓN
Estaformadetransferenciainvolucraintercambiodeenergíaentreunfluido
yunasuperficieointerfase.Existelaconvecciónlibreylaconvección
forzada.
Convecciónforzada:Seobligaalfluidoamoversesobreunasuperficiecon
unagenteexterno.
Convecciónlibre:Elfluidosemuevecomoconsecuenciadeloscambiosde
densidaddebidosadiferenciasentemperaturasobrediferentesregiones.
Ecuacióndetransferenciadecalorporconvección:
)(fsTThAq
q=Flujodetransferencia
decalorconvectivo
A=áreanormalala
direccióndeflujo
Ts-Tf=Fuerzamotriz
h=coeficienteconvectivo
detransferenciade
calor

9. TransferenciadeCalor
RADIACIÓN
Norequieredeunmedioparapropagarse.Setratadeunfenómeno
electromagnético,cuyoorigenonaturalezasedesconoceaúnconexactitud.
Laecuacióndecalorparauncuerponegroes:
4
T
A
qq=emisiónradiantedeenergía
A=áreadelasuperficieemisiva
T=temperaturaabsolutadela
superficieemisiva
=constantedeStefan-Boltzmann
5.67x10-8W/(m2K4)

10. TransferenciadeCalor
TransferenciadeCalor
Cu
Perfildetemperaturas
T(K)
x(m)
t=t0
T(K)
x(m)
t=t2
T(K)
x(m)
t=t1
Edo.inestable
T(K)
x(m)
t=∞
Edo.estable
CuHielo
Vapor
CuHielo
Vapor
CuHielo
Vapor

11. TransferenciadeCalor
Setransfierecalordesdeelvaporhastaelhieloquesefunde.
Enestadoestable,estecalortransferidoporunidaddeáreay
tiempo(flujocalorífico)esdirectamenteproporcionalala
diferenciadetemperaturaseinversamenteproporcionalala
distancia(gradientedetemperaturas∂T/∂x):
x
T
k
Ax
q1ªleydeFourier
q=CalortransferidoporunidaddetiempoJ/s
A=Áream2
k=ConductividadtérmicaW/(mK)
Sisedeseahacerlaanalogía
VT=q
R=∂x/(kA)FC=∂T

12. TransferenciadeCalor
Enlaformamatemáticadelaanalogíasepuedeescribir:
x
x
Ecuacióndelarazóndetransferencia
unidimensional
Ψx=Razóndetransferenciadeloquesetransfieraenladirecciónxpor
unidaddetiempoyárea.
=constantedeproporcionalidad
∂ψ/∂x=derivadaogradientedelapropiedadψ
ψ=concentracióndelotransferido(unidadestransferidas/unidadde
volumen)

13. Parala1ªLeydeFourier:
qeslacantidadtransferida(J/s).
Portanto,ψdebetenerunidadesdeJ/m3.Lacapacidadcaloríficacpes
lapropiedadqueseasociaconelcontenidodecalordeuncuerpo
(J·kg-1·K-1).Portanto,cp·TtieneunidadesJ/kg.Debeincluirse
entoncesladensidad(kg/m3)paraconvertireltérmino∂Ten
unidadesJ/m3.
TransferenciadeCalor

14. TransferenciadeCalor
EltérminocpTeslaconcentracióndecalor,asíquesellega
alaformaanálogamultiplicandoelladoderechodelaecn.de
Fourierporcp/cp
x
Tc
x
Tc
c
k
A
pp
px
)(q
Eltérminok/(cp)serepresentapor(m2/s)yseconoce
comoladifusividadtérmica:=k/(cp)
Laexpresióncompletaparaelflujodecalores:
Tk
A
q1ªleydeFourier
q=Vectordeflujodecalor(fluxcalorífico)
T=gradienteespacialdetemperatura

15. TransferenciadeCalor
EJEMPLO
Calcularelflujodecalorenestadoestableatravésdeunbloquedecobre
de10cmdegrosor.Unodelosladossemantienea0ºCyelotroa100ºC.
Laconductividadtérmicaesde380W/m·Kysesuponeconstante.
Separandolasvariablesenla1ªleydeFourierseobtiene:
(q/A)xT2=100ºC=373KT1=0ºC=273K
12
010cm
scmcal
A
mcmx
mW
A
TTkxx
A
KT
dtkdx
A
x
T
T
x
xx
2
2
25
2
1212
1.9
q
1.010
108.31.0)100)(380(
q
)()(
q
100
q2
1
2
1

16. TransferenciadeCalor
EJEMPLO
Setransportavaporpormediodeuntubodeacerode1.5incalibre80de
acerosuave.Lastemperaturasdelasparedesinterioryexteriorson205y
195ºFrespectivamente.Hallar:
•Pérdidadecaloren10ftdetubo.
•Flujodecalorenbasealasáreasinternayexterna.
Te=195ºF
Ti=205ºFdr
dT
kArq
TomandoeláreaA=2rLnosqueda
qr=-k(2rL)dT/dr

17. TransferenciadeCalor
Paraestadoestable:
ei
i
e
r
eiie
i
e
r
r
r
T
T
r
TT
r
r
kL
TTkLTTkL
r
r
dTkL
r
dre
i
e
i
ln
2
q
2)(2lnq
2q
Paraelacerosuavek=24.8Btu/hr·ftºFyparatubo1.5incal.80
De=1.9inyDi=1.5in
hr
BtuFfthr
Btu
r
Fft
65918
ln
)º10)(10)(8.24(2
q
5.1
9.1
·º·
Lasáreasinterioryexteriorson:Porloquelosflujosson:
Ai=(1.5/12ft)(10ft)=3.93ft2qr/Ai=65918/3.93=16773Btu/hr·ft2
Ae=(1.9/12ft)(10ft)=4.97ft2qr/Ae=65918/4.98=13236Btu/hr·ft2

18. CONDUCCIÓN
Latransferenciadecalorporconducciónsedapor2mecanismos.
Interacciónmolecular:sólidos,líquidosygases.Lasmoléculascon
mayorniveldeenergíacedenamoléculasmenosenergéticas.
Electroneslibres:sólidosmetálicospuros.Porlaaltaexcitaciónde
electronesenlabandadeconducción.
TransferenciadeCalor
Tk
A
q1ªleydeFourier

19. SepuededefinirlarelacióndeTCcomoelproductodeunafuerza
motrizporunaconductanciatérmica(ecuacióndeanalogía).
Conductividadtérmicak
Dependedelmedioestudiadoydeterminalaadaptabilidaddeun
materialalcalorparaunusodado.
DependenciadekconT
Paragases,kaumentaconlatemperatura.Lamayoragitacióny
vibracióndelasmoléculasproduceunamayorcantidaddechoques
y,portanto,mayorintercambiomoleculardeenergía.
TransferenciadeCalor

20. TransferenciadeCalor

21. TransferenciadeCalor
Paraungasmonoatómico(consideracióndeesferarígida)
d=diámetromolecular
k=cte.DeBoltzmann
m=masapormolécula
ConsiderandolateoríadeChapman-Enskog(gasmonoatómico)
M=Pesomolecular
yWk=ParámetrosdeLennard-Jones
m
TK
d
k
3
22/3
1
k
MT
k
W2
4
/109891.1

22. TransferenciadeCalor

23. TransferenciadeCalor
Paramaterialessólidosylíquidos,debidoaladensidadatómica,la
conductividadtérmicaescompletamenteindependientedelapresión
ymenosdependientedelatemperatura.
Enlosmetalespuros,hayelectroneslibresqueaumentanla
capacidaddeconducción.

24. TransferenciadeCalor
TEORÍACINÉTICADELOSGASES
Lateoríacinéticadelosgasesintentaexplicarlaspropiedadesdelosgasesen
basealamolécula:eslamenorcantidaddesustanciaqueretienesus
propiedadesquímicas.
LasmásimportantessuposicionesdelaTCG:
•Lamoléculaeslacantidadapropiadadesustanciaatratar.
•Lasleyesdeconservacióndelamecánicasonválidas:conservaciónde
momentoyenergía.
•Elcomportamientodelgasesdescritoporelcomportamientopromediode
lasmoléculas.
•Lasmoléculassonidealizadascomoesferasrígidas,elásticasylisas,de
diámetrod.
•Sedesprecialapresenciadefuerzasdelargoalcance.
Trayectolibrepromedio:Esladistanciapromedioqueviajaunamoléculaantes
dechocarconunasuperficieuotramolécula(opromedioestadísticodela
distribucióndevelocidadescausadaporladistribucióndetemperaturasenla
muestrademoléculasdegasenuncontenedordetemperaturaypresión
promedio).

25. TransferenciadeCalor
Enelcasodeunamoléculaduranteunlargoperíododetiempotenelque
recorreunadistanciaL:
L=Ut
ElnúmerodecolisionesenestelapsodetiempoesQt
LadistancialibrepromediolesladistanciapromedioentrecolisionesyLes
tambiénelproductodeladistancialporelnúmerodecolisiones:
L=Ut=lQtdespejandoparal:l=U/Q
Tomandoencuentalaconcentraciónmolecularenmol/m3
(númerototalde
moléculasenelvolumentotaldegas):
Cm=CTN=/m=N/MN=#deAvogadro
CT=Conc.Totalmolar
=densidad(kg/m3)
m=masadeunamolécula(kg/molécula)
M=Pesomolecular(kg/kmol)

26. TransferenciadeCalor
Paraungasideal:CT=n/V
Cualquiermoléculaqueestéencontactoconelcilindrodeinfluenciaserá
colisionadapornuestramolécula,porloquelaregióndeinfluenciaseráun
círculodediámetro2d.Elnúmerodemoléculasquechocanporunidadde
tiempo(frecuenciadecolisiones)será:
Tomandoencuentaunpromediodevelocidadyángulosdechoque(90°en
promedio)
Tk
p
TNR
p
RT
pN
V
nN
NCC
B
Tm
)/(
mUCd2
Q
pd
Tk
Cd
U
CUd
B
m
m
222/1
22/1
22
1
2
l
Q
Q

27. TransferenciadeCalor
Seobtienelavelocidadpromedioentoncescomo:
BALANCEDETRANSPORTE
Seasumequelavariaciónenlaconcentración
depropiedadesuniformeenladirecciónx.Se
tomaentonceselfluxΨAatravésdeunplano
colocadoenx=0.Elnúmerodemoléculasque
cruzanelplanoporunidaddetiempoyáreaserá
proporcionala1/6CmU.Cadaunadelas
moléculasquecruzanelplanotienela
propiedadψmcaracterísticadelaregiónde
dondeproviene.Laregiónofuenteseindicará
porx.xesdelmismoordendemagnitudque
l(trayectolibrepromedio).
x
x
2
1
8
m
Tk
UB

28. TransferenciadeCalor
Balancesobreelplano
Transportedelladoizq.=1/6CmUψm1(x)
Lapropiedadψm2esψm2=ψm1+dψm/dx(2x)
Transportedelladoder.=1/6CmUψm2(x)
Lacantidadnetadepropiedadtransportadaatravésdelaunidaddeáreay
tiempoesigualalarestadeψm2yψm1
Sehaestablecidoxcomodelmismoordendemagnitudquel,
dx
d
UC
x
dx
d
xUCxUC
m
mA
m
mmmmA
l
3
1
)2(
6
1
6
1
21
dx
d
UCm
mAl
3
1

29. TransferenciadeCalor
Laenergíaintercambiadaenlacolisiónentredosmoléculasdemasames
deltipotraslacional:
v2
=cuadradodelavelocidadpromedio
Puededemostrarsequelapresiónejercidaporlasmoléculasdeungases:
MultiplicandoestaecuaciónporelvolumenV
AsíqueentérminosdelaconstantedeBoltzmann:
2
2
vm
m
2
3
1
vmCpm
N
RT
nN
vm
nNvm
VC
pVm
23
2
3
2
2Tk
p
TNR
p
RT
pN
V
nN
NCC
B
Tm
)/(
2
3
2
3
2
3
2
2
Tk
Tk
N
RTvm
B
m
B

30. TransferenciadeCalor
Combinandolasecuacionescorrespondientesobtenemoselfluxcalorífico
ComparandoconlaecuacióndeFourier:
Sepuedenrealizaroperacionesadicionalestomandoencuentalacapacidad
calorífica(mv2/2=mcvT,porloquemcv=3kB/2yentonces):
Cv=capacidadcaloríficaa
volumenconstante(kJ/(kgK))
dx
dTkUC
A
qBm
x2
l
dx
d
UC
Tk
m
mA
B
m
l
3
1
2
3
2/BmkUCkl
vvmcUcUmCkll
3
1
3
1

31. TransferenciadeCalor
Existenteoríasconuntratamientomásrealistayrigurosodelosgases,como
lateoríadelgasnouniforme(Chapman-Enskog):
•Elgasestálosuficientementediluido
•Elmovimientodelasmoléculasestádescritoporlamecánicaclásica
•Lascolisionessonelásticas
•Lasfuerzasintermolecularesnodependendelángulo.
e=energíacaracterísticadeinteracción
=diámetrocaracterísticodecolisión,m
k[=]Wm-1K-1
M=Pesomolecular,kg/kmol
T=Temperaturaabsoluta,K
pc=Presióncrítica(atm)
Tc=Temperaturacrítica(K)
w=Factoracéntrico
w
e
w
e
1693.07915.0
/
)087.03551.2)(10(
)/(
103224.8
43787.216178.27732.0
52487.014874.016145.1
)exp()exp()(
/
10
2
2/1
22
***
*
W
W
c
B
c
c
B
B
T
k
T
p
MT
k
FED
CBA
FT
E
DT
C
T
A
k
T
T
vck
2
5

32. TransferenciadeCalor
Gasespoliatómicos:
Seconsideraquekobtenidaanteriormenteesdebidaamovimiento
traslacionalúnicamente,demodoquesesumaaotrascontribucionespara
obtenerlacorrelacióndeEuckenydeEuckenmodificada.
g=cp/cv
M
c
M
cc
k
M
R
c
M
R
cc
k
p
vv
vpv
44
104728.1
32.1
104728.1
32.1
4
720.1032.7
4
9
4
5
4
59
g
g
g

33. TransferenciadeCalor
Líquidos
Noexisteaúnunateoríapredictivaparalaconductividadapartirde
informaciónfundamental,solamenteaproximacionessemiteóricas.
eserefierealpuntodeebullición
TenK,Meselpesomolecularenkg/kmol
ykestáenWm-1
K-1
Sólidos
Noexistetampocoaúnunateoríaquedeterminelasconductividadesen
sólidos.Afortunadamente,estapropiedadesfácilmentemedible,contrarioa
loscasosdegasesylíquidos.
T
T
c
c
M
ke
epe
p
3/4
2/1
105.1

34. Balanceoconservación
ENTRADAS+GENERACIÓN=SALIDA+ACUMULACIÓN
(xA)1+Generación=(xA)2+Acumulación
Generación=(gV)
Acumulación=(∂/∂t)(V)
𝜕𝜓
𝜕𝑡
−𝜓𝑔=−
𝜕Ψ𝑥
𝜕𝑥

35. Transportemolecularyconvectivo
Transportemolecularm=-
Transporteconvectivox,c=Ux
Ψ𝑥=Ψ𝑥,𝑚+Ψ𝑥,𝑐=−𝛿
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+𝜓𝑼𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
−𝛿
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜓𝑼𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑡
−𝜓𝑔=𝛿
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
−
𝜕(𝜓𝑼𝑥)
𝜕𝑥

36. LAECUACIÓNDEBALANCEEN3
DIMENSIONES
UnelementodevolumenesdV=dxdydz
EltérminodegeneraciónenesteelementoserágdV=gdxdydz
Lomismoaplicaparalaacumulación(/t)dV=(/t)dxdydz
Sinembargo,lasentradasysalidasdebenanalizarsesobrecaras
paralelasenladosopuestosdelelementodevolumenconsiderado.
Lasentradasysalidassedefinendeformasimilar
Entradas:x1dydz+y1dxdz+z1dxdy
Salidas:x2dydz+y2dxdz+z2dxdy
Perodeladefinicióndederivada
x2=x1+(x/x)dx

37. Alintroducirtodoslostérminosysimplificarenlaecuaciónde
balance,seobtiene
𝜕𝜓
𝜕𝑡
−𝜓𝑔=−
𝜕Ψ𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕Ψ𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕Ψ𝑧
𝜕𝑧
Enelteoremadedivergenciaseaplicaeloperadoraunvector
𝜕𝜓
𝜕𝑡
−𝜓𝑔=−(𝛁∙𝚿)
Siseaplicaelmismoteoremaaltérminoconvectivoúnicamente
𝛻∙𝜓𝐔=
𝜕(𝜓𝑈𝑥)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜓𝑈𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜓𝑈𝑧)
𝜕𝑧
𝛻∙𝜓𝐔=𝜓
𝜕𝑈𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑈𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑧
+𝑈𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+𝑈𝑦
𝜕𝜓
𝜕𝑦
+𝑈𝑧
𝜕𝜓
𝜕𝑧

38. Ahoraobsérvenselostérminosyhágasenotarque
𝐔∙𝛁𝜓=𝑈𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+𝑈𝑦
𝜕𝜓
𝜕𝑦
+𝑈𝑧
𝜕𝜓
𝜕𝑧
Yque𝜓𝛁∙𝐔=𝜓
𝜕𝑈𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑈𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑈𝑧
𝜕𝑧
Portanto𝛁∙𝜓𝐔=𝜓𝛁∙𝐔+𝐔∙𝛁𝜓
Paraobtenerladivergenciasobreelvectortotal:
𝛁∙𝚿=𝛁∙−𝛿𝛁𝜓+𝛁∙𝜓𝐔
Asíqueseobtienelaecuacióngeneraldebalancesustituyendo
todoslostérminos
𝜕𝜓
𝜕𝑡
−𝜓𝑔=𝛁∙𝛿𝛁𝜓−𝛁∙𝜓𝐔
Queserearregladelmodomáscomún
𝜕𝜓
𝜕𝑡
+𝐔∙𝛁𝜓=𝜓𝑔+𝛁∙𝛿𝛁𝜓−𝜓𝛁∙𝐔

39. Ecuacióngeneraldebalancedepropiedad
(TC)
𝜕(𝜌𝑐𝑝𝑇)
𝜕𝑡
+𝐔∙𝛁(𝜌𝑐𝑝𝑇)=𝑞𝑔+𝛁∙𝛼𝛁𝜌𝑐𝑝𝑇−(𝜌𝑐𝑝𝑇)𝛁∙𝐔
Ejemplo:Obtengalaecuacióntridimensionalparatransferenciade
calorennotaciónvectorialymuestralaformaqueseobtienepara
propiedadesconstantes.Expreseestaecuacióncompletamenteen
coordenadasrectangulares.

40. Paraunsistemasinfuentesdecalor:
Paraunsistemaenestadoestableconfuentesdecalor:
Paraunsistemasinfuentesdecaloryenestadoestable:
SegundaleydeFourier
EcuacióndePoisson
EcuacióndeLaplace
T
t
T2
02
k
q
Tg
02
T
TransferenciadeCalor

41. CONDUCCIÓNDECALORENESTADO
ESTABLE
Paralaconduccióndecalorenestadoestablesingeneracióninternadecalor,se
aplicalaecn.DeLaplaceycuandoexistegeneración,ladePoisson:
Sistemasunidimensionalessingeneración:
SeutilizalaecuacióndeLaplace.
02
T02
k
q
T
TipodesistemaRectangularCilíndricasEsféricas
Ecuaciónausar
02
2
dx
Td
0
dr
dT
r
dr
d
02
dr
dT
r
dr
d
TransferenciadeCalor

42. Latransferenciadecaloratravésdeunmedioestridimensionalenelmás
generaldeloscasos.
Portanto,ladistribucióndetemperaturasdentrodeesemedio,asícomola
transferenciadecalorencualquierubicaciónsepuedendescribirporun
conjuntodetrescoordenadas.
TipodeconducciónSistemacartesianoSistemacilíndricoSistemaesférico
Tridimensionalx,y,z
T(x,y,z)
r,f,z
T(r,f,z)
r,f,q
T(r,f,q
Bidimensionalx,yr,qr,q
Unidimensionalxrr
TransferenciadeCalor

43. Ecuaciónunidimensionalcombinada
Podemosexpresarlostrestiposdesistemasporunasolaecuación:
Donden=0paraunaparedplana,n=1parauncilindroyn=2parauna
esfera.
0
1
q
r
T
kr
rr
n
n
TransferenciadeCalor

44. Elflujodecaloryelperfildetemperaturadependendelascondiciones
delassuperficies.Laexpresiónmatemáticadelascondicionestérmicas
enlasfronterassellamacondicionesdefrontera.Parasolucionarun
problemadeTC,debendarsedoscondicionesenlafronteraparacada
direccióndelsistemadecoordenadas.
Lascondicionesfronteramáscomunesson:
•Detemperaturaespecífica
•Deflujoespecíficodecalor
•Deconvección
•Deradiación
Enunasuperficie,sinembargo,puedendarsetodoslostiposde
transferenciadecalorsimultáneamente,demodoquelascondiciones
defronteradebenobtenersedeunbalancedeenergíasuperficial.
CondicionesdeFrontera

45. T0
TL
L
Lascondicionesfronteraquedebensatisfacerseson:
enx=0T(0)=T0
enx=LT(L)=TL
ResolviendolaecuacióndeLaplaceparaestecaso:
T(x)=C1x+C2
SeaplicanlascondicionesdefronteraparaevaluarC1yC2:
T0=C2
TL=C1L+C2
TL–T0=C1LC1=(TL–T0)/L
Luegosesustituyenlasconstantesenlasolución:
PerfildeTemperaturaparalaparedplana
x
L
TT
TTx
L
TT
xTLL0
00
0
)(
TransferenciadeCalor
Elcasodeunaparedplana

46. Siseconsiderala1a.LeydeFourierparacalcularelflujodecalory
utilizamoslasolucióndelaecuacióndeLaplacepararesolverla:
EltérminokA/Lseconocecomolaconductanciatérmicadelapared.El
inversoL/(kA)seconocecomolaresistenciatérmica.
)(
)(
0
0
0
0
0
L
L
x
L
L
TT
L
kA
L
TT
kAq
L
TT
dx
dT
x
L
TT
TxT
TransferenciadeCalor

47. Considéreseunaparedcompuestapor2materiales,cadaunotienesu
propiaexpresióndecalorconlamismaforma,difiriendoenloslímites.
M1
M2
T1
T2
T3
k2k1
L1L2
ParaelmaterialM2seobtiene:
Comosetieneestadoestable,todosloscaloresdebenseriguales,ysi
seexpresanlastemperaturasenfuncióndeloscalores:
)(21
1
1
1
0
1
2
1
1
1
TT
L
Ak
q
dTAkdxq
M
T
T
L
M
)(32
2
2
2
TT
L
Ak
qM
Ak
L
qTT
Ak
L
qTT
2
2
32
1
1
21
TransferenciadeCalor

48. Asíquesisesumanlasdosexpresiones,seobtiene:
Cadatérminoeslaresistenciatérmica,demodoquepodemosdecir:
Seconstruyeunapareddehornoconladrillodearcillarefractariade3in
(k=0.65Btu/ht-ft-°F)yacerosuavede¼depulgada(k=24Btu/hr-ft-°F)
enelexterior.Lasuperficieinteriordeltabiqueestáa1200°Fyladel
aceroenelexteriora278°F.Encontrar
a)elflujodecaloratravésdecadapiecuadradodeacero.
b)latemperaturaenlainterfaseladrillo-acero.
Ak
L
Ak
L
TT
q
Ak
L
Ak
L
q
Ak
L
q
Ak
L
qTTTT
2
2
1
1
31
2
2
1
1
2
2
1
1
3221
tR
T
q
TransferenciadeCalor

49. Te
Ti
ri
re
Siseaplicanlascondicionesfrontera
T(ri)=TiyT(re)=Te
21
1
ln
0
crcT
r
c
dr
dT
dr
dT
r
dr
d
ii
i
e
ei
rcTc
r
r
TT
c
ln
ln
12
1
)(
ln
ln
)(ei
i
e
i
iTT
r
r
r
r
rTT
TransferenciadeCalor
Elcasodecilindroshuecosotubos

50. Sesustituyenlasconstantesyderivadasobtenidasenlaecuaciónde
Fourierenformacilíndricaparaobtenerelflujodecalorenuntubo:
)(
ln
2
ei
i
e
rTT
r
r
kL
q
TransferenciadeCalor

51. Siserealizaelmismotipodeprocedimientoparaunaesferahueca,se
obtienelaexpresióndeflujodecaloryportanto,laresistencia.
krr
rr
R
TT
rr
krr
q
ei
ie
t
ei
ie
ei
r
4
)(
4
TransferenciadeCalor
Elcasodeesferashuecas

52. Enalgunasocasionespuedeserposiblemedirelflujodecalorquepasapor
unasuperficie,W/m2,porloqueesainformaciónsepuedeutilizarcomo
condiciónfrontera.SeusalaecuacióndeFourierparaexpresarla:
)(W/mxencalordeFlujo2
x
T
k
A
q
TransferenciadeCalor
Condicióndefronteradeflujoespecíficodecalor

53. 00
)0(0
x
T
o
x
T
k
Latransferenciadecaloratravésdeunasuperficieaisladasepuede
tomarcomocercanamentecero,porloqueelflujoespecíficodecalor
ensusuperficieescero.Lacondicióndefronterasobreuna
superficieperfectamenteaisladaes:
Laderivadadelatemperaturaconrespectoalavariableespacialen
ladirecciónnormalaesasuperficieescero;estosignificaquela
funcióndelatemperaturadebeserperpendicularalasuperficiede
aislamiento.
TransferenciadeCalor
Fronterasaisladas

54. EnalgunosproblemasdeTCsetienelasimetríatérmica
encuerpossimétricos.Porejemplocuandounaplaca
calientesesuspendeenairefrío.Setienesimetría
térmicasobreelplanocentralenx=L/2.Ladireccióndel
flujodecalorsedaráhacialasuperficiemáscercanay
enelplanocentralnohabráflujodecalor.Elplano
centralsepuedeperfilarcomounasuperficieaisladay
esunasoluciónmuyparecidaalcasoanterior.
0
)2/(
x
LT
0L/2L
TransferenciadeCalor
Simetríatérmica

55. LamayorpartedelosproblemasprácticosdeTCinvolucranel
contactoconunmediofluidoenunasuperficie.Estas
condicionesfronteraseresuelvenporunbalancedeenergía
superficial:
Conducciónenlasuperficie=Convecciónenlasuperficie
ParaunaplacadeespesorL,lascondicionesenlassuperficies
son:
22
11
)(
)(
)0(
)0(
TLTh
x
LT
k
TTh
x
T
kh1(T∞1-T0)
0L
h2(T∞2-T0)
TransferenciadeCalor
Condicióndeconvección
x
T
k0
x
T
kL

56. RadioCríticodeAislamiento
Elaislamientosobreparedesesefectivodebidoaláreaconstantequese
manejayéstatieneunefectoobviosobrelaecuacióndetransferenciade
calor.Sinembargo,ocurrealgodiferentealaplicaraislantesobreuncilindro.
Alaumentarelespesordeaislamiento,tambiénseincrementaelárea
expuestaalaconvección,comopuedesuponersedelaecuaciónparael
áreadeuncilindroAc=2rL.
Elradiodeuncilindroalcualseencuentraunmáximoenlatransferenciade
calorseconocecomo“radiocríticodeaislamiento”.Esdecir,alaumentarel
espesordeuncilindroseobservaqueaumentalatransferenciadecalor
hastaunvalormáximo,traslocuallatransferenciadecalorempiezaa
disminuir.
TransferenciadeCalor

57. )2(
1
2
ln1
2
ln22
OO
r
r
OO
r
r
t
LrhLkAhkL
R
OO
1
21ln
2
)2(
1
2
ln
2
2OO
r
r
OO
r
rr
rhk
TL
LrhLk
TT
q
O
O
2
2
2
111ln
)(202
OOOOO
r
r
Orhkrrhk
TTL
dr
dqO
O
cO
OOO
h
k
r
rhkr
,
2
0
11
TransferenciadeCalor

58. PROBLEMASYEJERCICIOS
Doscilindrosdematerialesdiferentesseponenencontacto.Elcilindro1tiene2
mdelongitudconunáreatransversalde0.03m2yk=0.7W/(mK).Elcilindro
2esde3mdelongitudconáreatransversalde0.04m2yk=1.2W/(mK).Las
temperaturasenlosextremosson280K(T1)y310K(T3).Encuentrela
temperaturaT2enelpuntoenqueloscilindrosestánencontacto.
Imagineelmismoproblemaqueelanterior,peroparaelcilindro2noseconoce
laconductividadk.Silatemperaturaenelpuntodeuniónes300K,hallela
conductividadtérmicadelcilindro2.
Obtengaunaexpresiónparaelflujodecaloryparalaresistenciaenunaesfera
hueca,sabiendoqueA=4r2.
TransferenciadeCalor

59. Problemasyejercicios
ConsidereuntuboconvapordeaguadelongitudL=20m,radiointeriorri=6cm,radio
exteriorre=8cmyconductividadtérmicak=20W/mºC.Lassuperficiesinterioryexterior
deltubosemantienenalastemperaturaspromediodeTi=150ºCyTe=60ºC,
respectivamente.Determinelarazóndepérdidadecalordelvaporatravésdelas
paredesdeltubo.
Considerelaplacabasedeunaplanchadomésticade1200Wquetienenunespesor
deL=0.5cm,conáreadeA=300cm2yconductividadtérmicak=15W/m·K.La
superficieinteriordelaplacabasesesujetaaunflujodecaloruniformegeneradopor
lasresistenciasdelinteriordelaplancha,yelexteriorpierdecalorporconvecciónhacia
losalrededoresqueestánaunatemperaturaT∞=20ºC.Tomandoelcoeficienteh=80
W/m2·Kydescartandolapérdidadecalorporradiación,obtengaunaexpresiónparael
perfildetemperaturaenlaplacabaseyevalúelastemperaturasenlassuperficies
exterioreinterior.
Sevacíaunacolumnacilíndricadeconcretode3ftempleadaparalaconstrucciónde
unpuente.Lalongituddelacolumnaestalquesedesprecialavariacióndela
temperaturaensudireccióndelalongitud.Sisetrataalacolumnacomoconcreto
sólidoconk=0.54Btu/hr·ft·ºF,determinarlatemperaturaalcentrodelcilindro,tomando
encuentaquelatemperaturaenlasuperficiedelacolumnaesde180ºF.Sepuede
considerarqueelcalordehidratacióndelconcretoesiguala1.1Btu/lbm·hr,conuna
densidadpromediode150lb/ft3.
TransferenciadeCalor

60. Superficiesextendidas
Paraaumentarlatransferenciadecalorentreunasuperficieyunfluido,se
aumentaeláreadecontactoentreelmetalyelfluidoqueesmalconductor.Esto
selograconálabes,puntasyotrostiposdesuperficies.
Enestadoestable,elanálisissobreunelementodelaaletasetiene:
0
dt
dq
Análisisdelmodelo:
1.Tvariaendos
dimensiones,perola
variaciónenxesmás
importante
2.Sepierdeunacantidadde
calormuypequeñaporlos
extremos
3.ElcoeficientehdeTCes
funcióndelaposición.
TransferenciadeCalor
𝜕(𝜌𝑐𝑝𝑇)
𝜕𝑡
+𝐔∙𝛁(𝜌𝑐𝑝𝑇)=𝑞𝑔+𝛁∙𝛼𝛁𝜌𝑐𝑝𝑇−(𝜌𝑐𝑝𝑇)𝛁∙𝐔

61. Considerandounbalancedeenergíaenunelementodelaaleta,
tenemosquelaenergíadeentradaporconducciónenxesigualala
energíadesalidaenx+xmáslaenergíadesalidaporconvección:
qx|x–qx|x+x–qconv=0
Tomandoeláreadel
segmentodelaaleta
comoelproductodel
perímetroPporel
grosordelelementox,
S=Px
Tomandoellímite
cuandox→0.
0)()(
0)(
0)(
TTxhP
dx
dT
xkA
dx
d
TThP
x
dx
dT
kA
dx
dT
kA
TThS
dx
dT
kA
dx
dT
kA
xxx
xxx
TransferenciadeCalor

62. Solución
SerealizauncambiodevariableconsustitucióndehP/(kA)=m2,yq=T-T∞
paratenerlaecuaciónenlaforma:
Lasoluciónaestetipodeecuacióndiferencialesdelaforma
Aletasdeseccióntransversaluniforme
Enestecasoeláreayelperímetrosonconstantesalolargodex.Sise
tienetambiéncomoconstantesakyh,seobtienelaecuaciónparaeste
caso:
0)(2
2
TT
kA
hP
dx
Td
00)(2
2
2
2
2
q
q
m
dx
d
TT
kA
hP
dx
Td
)sinh()cosh(
21
mxBmxA
ececmxmx
q
q
TransferenciadeCalor

63. Paraevaluarlasconstantesdeintegraciónaplicandocondiciones
frontera,haycuatroposibilidades:
Elcálculodelatransferenciadecalorpuedehacerseporlaecuaciónde
enfriamientodeNewtonq=∫hqdSoporla1a.LeydeFourier
considerandolatransferenciaenlabase
q=-kAdq/dx|x=0.
ConjuntoAleta
muy
larga
Unatemperatura
conocidaenx=L
Aislamiento
enelextremo
Conducciónigualala
convecciónenelextremo
Condiciones
frontera
q=q0en
x=0
q=0en
x→∞
q=q0enx=0
q=qLenx=L
q=q0enx=0
dq/dx=0en
x=L
q=q0enx=0
kdq/dx=hqenx=L
Relaciónq/q0
e-mx
Flujodecalor
q(x)kAmq0
mx
mLmL
mxmx
mLL
e
ee
ee
e
0q
q
mL
xLm
cosh
)](cosh[
mLmkhmL
xLmmkhxLm
sinh)/(cosh
)](sinh[)/()](cosh[
mLmL
mL
L
ee
e
kAm
)(2
10
0
qq
q)tanh(0mLkAmq
mLmkhmL
mLmkhmL
kAm
sinh)/(cosh
cosh)/(sinh
0q
TransferenciadeCalor

64. Superficiesrectasconseccióntransversaluniformementevariable
Sieláreadelaaletavaríalinealmenteconx,sepuedeexpresarel
cambiodeA(x)yP(x)tomandolosvaloresinicialesyfinalesA0,P0,AL,
PL.
Superficiescurvasconespesoruniforme
Debeconsiderarseelproblemacon
coordenadascilíndricasyáreay
perímetrocomoA(r)=4rtyP(r)=4r
0)()()(
)(
)(
0000
00
00
TT
L
x
PPP
k
h
dx
dT
L
x
AAA
dx
d
L
x
PPPP
L
x
AAAA
LL
L
L
0)(TT
kt
hr
dr
dT
r
dr
d
TransferenciadeCalor

65. Latransferenciadecalorenunaaletaesmásefectivasilatemperatura
entodosuperímetroesigualalatemperaturadelabase,demodoque
elflujodecalorparaunaaleta100%efectivasecalculaporq=hS(T0-T∞).
Perolatemperaturaalolargodelaaletaesmenoraladelabase,
haciendoqueelflujodecalortransferidoalfluidoseamenor.Portanto,
sepuedeestablecerunaeficienciadelaaleta:
máximo
real
aleta
q
q
Paraunasuperficieconaletas,latransferenciadecalortotalestádada
por:
qtotal=qs+qaletas
Elflujodecalorenlasuperficiedelaparedesdetipoconvectivo,
mientrasqueeldebidoalasaletaspuedeexpresarsetambiéncomoun
flujodecalorconvectivoenfuncióndelasuperficiedelaaleta.
Considerandoademáslaefectividaddelaaletamencionada
anteriormente,setiene:
))((
)()(
00
000
TTAAhq
TThATThAq
aletasaletastotal
aletasaletastotal
TransferenciadeCalor

67. Laeficienciadelaaletapuedeobtenersecomounaecuaciónenalgunoscasos
simples,tomandolasecuacionesdeTCparaelcaso,porejemplo,deunaaletamuy
larga:
mLhP
kA
LTThA
TTkAm
aleta
aleta
11
)(
)(
0
0

69. Finalmente,laefectividaddeunaaletaeseldesempeñoquetieneunaaleta
alatransferenciadecalor,relacionadaconeláreadesubase.
qaletarepresentaelflujodecalorquedisipalaaletacompleta,mientrasque
qsinaletaeselflujodecalorquepasaporeláreadelabasedelaaleta,sinque
éstaestépresente.
Setieneuntransistorprotegidodelambienteporunacajaquetieneuna
resistenciatérmicade20ºC/W.Eltransistortieneunapotencianominalde
10Wyseaconsejaporelfabricantequelatemperaturadelacajanodebe
sermayora85ºC.Determinelapotenciadeoperacióndeestetransistorsila
temperaturadelmedioenelqueseoperaestáa25ºC.
aleta
b
aleta
b
aletaaleta
aleta
aleta
A
A
TThA
TThA
q
q
e
)(
)(
0
0
sin
TransferenciadeCalor

70. Enunsistemadecalefacción,elvapordeaguafluyeportuboscuyodiámetro
exterioresD1=3cmycuyasparedessemantienenaunatemperaturade
120ºC.Sesujetanaltuboaletascircularesdealuminio(k=180W/m·ºC)con
undiámetroexteriorD2=6cmyespesorconstantet=2mm.Elespacioentre
lasaletasesde3mm,loquearroja200aletasporcadametrodelongitud
detubo.ElcalorsetransfierealairecircundantequeestáaT∞=25ºC,conun
coeficientesuperficialdeTCh=60W/m2·ºC.Determineelincrementoenla
transferenciadecalordeltubopormetrodelongitud.
TransferenciadeCalor

71. Seseparanaguayaireporunaparedplanadeacerodulce.Sequiere
aumentarlarazóndetransferenciadecalorentrelosdosagregandoala
paredaletasrectangularesrectasdeacerodulcede0.05indeespesor,1
indelongitudyespaciadosa0.5inentreloscentros.¿Cuálesel
porcentajedeaumentoenlatransferenciadecalorquesepuedelograr
agregandoaletasa)alladoexterior,b)alladodelaguayc)aambos
ladosdelaparedplana?Loscoeficienteshdelaireydelaguason2y45
Btu/hr-ft2-°F.
Unatuberíallevavaporsaturadoa300psiypasaporuncuartoconaire
atemperaturade80°F.Silosvaloresdehparalaparedinternayexterna
son1700y7Btu/hr-ft2-°Frespectivamente,¿cuálseríalapérdidade
calorpormetrodetubería?Latuberíaesde2.5indeacerosuavecalibre
80.
Siseaíslalatuberíaconmagnesiode2indeespesoral85%,¿cuál
seríaladisminucióndeflujodecalorcomparadoconelcasoanterior?
TransferenciadeCalor

72. 1.-Hayaireencerradoentrelasparedesinterioryexteriordeunacasa.Este
espacioesde3-5/8inyesbastantegrandecomoparaconsiderarquela
transferenciaesunidimensional.Sesuponetambiénquelaconduccióneselmodo
dominanteenlatransferenciadecalor.Laparedexterioreinteriorestána122°Fy
73°Frespectivamente;¿cuáleselflujodecalorenestadoestable?Comparareste
flujodecalorconelcorrespondientecuandoesteespacioseharellenadocon
aislantedelanaderoca.
2.-Unatuberíallevavaporsaturadoa300psiypasaporuncuartoconairea
temperaturade80°F.Silosvaloresdehparalaparedinternayexternason1700y
7Btu/hr-ft2-°Frespectivamente,¿cuálseríalapérdidadecalorpormetrode
tubería?Latuberíaesde2.5indeacerosuavecalibre80.
Siseaíslalatuberíaconmagnesiode2indeespesoral85%,¿cuálseríala
disminucióndeflujodecalorcomparadoconelcasoanterior?
3.-Partiendodelaformacilíndricadelaecn.decalor,bajocondicionesdeestado
estableseaplicalaecn.deLaplaceyapareceenlaformamostradaabajo.a)¿A
quéformasereduceestaecuaciónsilaconducciónvasolamenteenladirección
radial?b)ObtenerlavariacióndetemperaturaT(r)enelcasodeconducciónradial
concondicioneslímiteT(ri)=TiyT(re)=Te.c)Expresarlarazóndeflujodecalorqr.
d)¿Cuáleselfactordeformaparaestaconfiguración?
Prueba#1
TransferenciadeCalor

73. Elconceptodeanalogíaesútilpararelacionarlatransferenciadecalorconel
flujodecorriente.Estoobligaatransformarla1ªleydeFourierenunaforma
apropiada,aunquesiguesiendolamismaecuación.
Sepuedehacerunaseriedetransformacionesadicionalesparaobservarlos
factoresdelaecuaciónendiferentesmaneras:
PuedeescribirselaecuacióndeFouriercomoq=UAT,englobandotodoslos
mecanismossobreunmismocoeficienteU.Ueselcoeficienteglobalde
transferenciadecalor(Btu/hr·ft2·ºF)
Otraformaesq=kFT,dondeFeselfactordeforma,yaqueinvolucralos
valoresdelageometríadelsistemaanalizado.
Laformaderelacionartodosestosfactoreses:
tR
UAkF
1
TransferenciadeCalor

75. Conduccióndecalorbidimensional(estadoestable)
Aúncuandosetratedeestadoestable,latransferenciadecaloren2y3
dimensionesesdedifícilanálisis.Lassolucionesgráficassonmás
accesibles.PararesolverlaecuaciónbidimensionaldeLaplace
sepuedeusarlagraficacióndeflujoconT(x,y)=constanteparatodaslas
fronteras(fronterasisotérmicas).
Líneasdeflujo
decalor
Isotermas
T1T2T3T4T2=T1+T
Alolargodelasisotermasno
hayflujodecalor.
02
2
2
2
y
T
x
T
n
m

76. ConsiderandoentonceslarejilladeisotermasdeNseccionesdeflujode
calortotal,porcadaunadelascualesfluyeunacantidaddecalorq,el
flujodecalortotalestádadopor:
qt=Nq
Supongamosquepodemosaislarunsolosegmentodeflujodecalor,el
gradientedetemperaturaes
UsandolaecuaciónderazóndeFourierenelsegmento:(qn(T/m))
Sihacemosqueelsistemademallastengam=n,laecuaciónsevuelve
LadiferenciadetemperaturasentreisotermasestádadaporT=(Tc–
Tf)/MsiendoMelnúmerodenodosoisotermasdibujadas:
m
TTT
m
T)(
m
T
nkq
Tkq
)(fct
t
TTk
M
N
q
TNkqNq

77. Sedeterminaquelassuperficiesinterioryexteriordeunachimenea
rectangularsonigualesa300°Fy100°Frespectivamente.¿Cuántocalorse
transfiereatravésdelapareddetabique(k=0.40Btu/hr-ft-°F)delachimenea
porpiedealtura?
EnesteejemploelnúmerodeincrementosdetemperaturaesM=6;el
númerodecanalesdeflujodecalores22yparaeltotales4(22)=88;el
factordeformaportantoesF=N/M=88/6=14.7ylapérdidadecalorparala
chimeneaes
q=kFT=(0.40Btu/hr-ft-°F)(14.7)(200°F)
q=1147Btu/hr–ftdechimenea

78. Lasolucióninvolucraeltratamientodelaecuacióndecalorensuforma
máscompleja,aunquepuedeaplicarsesobrelasecuacionessimplificadas
(Poisson,Laplace).
Enestecaso,alvolumensobreelqueserealizóelbalancedematerialse
lellama“nodoi”,porloqueelbalancedeenergíadaunaexpresióncomo
laquesigue:
Soluciónnuméricaaconduccióndecalorbidimensional
t
T
k
q
T
q
y
T
k
yx
T
k
xt
T
c
Vtyxq
y
T
xk
y
T
xk
x
T
yk
x
T
ykV
t
cTcT
yx
y
y
yy
y
x
x
xx
x
ttt
1
),,(
2

79. xx
x
x
T
yk
x
x
x
T
yk
y
y
y
T
xk
yy
y
y
T
xk

80. Diferenciasfinitas
ElmétododediferenciasfinitashaceusodelaserietruncadadeTaylorpara
obtenerecuacionesdelasderivadasdelatemperatura.Bajoesteenfoque,la
temperaturaTalrededordeunpuntoxies:
Sepuedeobtenerlasegundaderivadadelatemperaturapormediodeuna
operacióndediferenciacentralde3puntos,truncandolaseriedeTaylor
despuésdeltérminodeorden2enhysumandoambasecuaciones:
...
62
)()(
...
62
)()(
3
33
2
22
3
33
2
22
iii
ii
iii
ii
dx
Tdh
dx
Tdh
dx
dT
hxThxT
dx
Tdh
dx
Tdh
dx
dT
hxThxT
)(
2
)(
)(2)()(
2
2
11
2
2
2
22
2
xO
x
TTT
dx
Td
hO
h
xThxThxT
dx
Td
iii
i
iii
i

81. TruncandolasseriesdeTaylorysumandoyrestandopuedenobtenerse
ecuacionesparalaprimeraderivadadeT,tantohaciaadelante,haciaatrás,
comoenpuntocentral:
Asípues,paralaecuacióndeLaplace,estasdiferenciasseescribenenla
forma:
)(
2
)(
2
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
2112
1
1
xO
x
TT
hO
h
hxThxT
dx
dT
xO
x
TT
hO
h
hxTxT
dx
dT
xO
x
TT
hO
h
xThxT
dx
dT
iiii
i
iiii
i
iiii
i
4
0
22
1,1,,1,1
,
2
1,,1,
2
,1,,1
jijijiji
ji
jijijijijiji
TTTT
T
y
TTT
x
TTT

82. Criteriosdeconvergencia
Paraestoscasosdeprogramaciónencomputadora,seusaunodedos
métodosposiblesparadetenerelproceso:
1.-EstablecerunlímitealadiferenciaentretemperaturasTisucesivasentre
cálculos(Tllegaaserconstante):máx|Ti
(k)–Ti
(k-1)|<e
2.-EstablecerunlímitealadiferenciarelativaentrecálculosdeTi:
máx|(Ti
(k)–Ti
(k-1))/Ti
(k)|<e
Unavezquesehasolucionadounproblema,sedescomponelasuperficieen
unarreglocuadrado.Seobservaqueenestetipodeproblema,la
transferenciadecalorocurresolamentedenodoanodoyocurrealolargo
decaminosquecomunicanalosnodosadyacentes.Elcalordebeser
suministradoalasuperficieconmayortemperatura,porlotanto,esta
cantidaddecalorproporcionadaaestafronteradebeserigualalconducido
porlosnodosadyacentesaestafrontera.
porcadaunidaddeprofundidad(direccióndez).
M
j
jjtotalTT
x
y
kq
2
,2,1)(

83. Enelcasodequeseestablezcalarejillacomocuadrada,y/x=1,porlo
queqes:
Estecalortotalconsiderasolamentealqueseadicionaalladocalientede
unaplacaomaterial.Sinembargo,paraquelasfronteraspermanezcanala
temperaturadada,debeextraersecaloralmaterial,porloqueestecalores
igualalasumadelcalorconducidoportodoslosnodosadyacentesala(s)
frontera(s)frías.Estecalores:
M
j
jjtotalTTkq
2
,2,1)(
M
j
jNjN
N
i
N
i
iiMiMit
M
j
jNjN
N
i
N
i
iiMiMit
TTTTTTkq
TT
x
y
TT
y
x
TT
y
x
kq
2
,1,
22
1,2,1,,
2
,1,
22
1,2,1,,
)()()(
)()()(

84. Métododelbalancedecalor
Problemasconelmétododediferenciasfinitas:
●Efectosadicionalespordiferentesmecanismos
●Variacióndepropiedadesconelespacio
●Generacióndecalorvariableconeltiempo
●Tamañosdesigualesdenodos
●Formadenodovariable
●Cambiosdefase
Serealizaunbalancedecalorsobrecadaunodeloselementosyseaplica
sobrelaecuacióndecalordela1aleydelatermodinámica.Supóngaseun
elementocentralrodeadode4elementos.Estoresultaen:

85. )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
44
44
4
4
33
33
3
3
22
22
2
2
11
11
1
1
ii
ii
i
i
ii
ii
i
i
ii
ii
i
i
ii
ii
i
i
TTK
RR
TT
q
TTK
RR
TT
q
TTK
RR
TT
q
TTK
RR
TT
q
i12
4
3

86. Siseaplicanestasecuacionesparaunbalancedecalorenlasfronterasde
unelemento,seobtienelaecuación:
Laaplicacióndeestaecuaciónsobreunasucesióndeelementosenuna
direcciónresultaenecuacionessimultáneasdeltipo:
Coni=1,2,3…,N-1.Solamenteenlosnodosextremoslaecuacióncambia
dadasciertascondicionesfrontera.
ConuntécnicaadecuadacomolaeliminacióndeGaussseresuelveel
conjuntodeecuacionesalgebraicasparalastemperaturasdecadanodo.
0
11
ii
N
j
iji
N
j
jijVqKTTK
k
q
x
TTTiii
2
112

87. Formafinal
2
431
22
xAq
x
TT
kA
x
TT
kA
x
TT
kAAqiii
i

88. Simplificando,setrataunamallacuadradaconconducciónbidimensionalen
xyy.Seconsideraunaprofundidadunitariaz=1,mientraselespaciamiento
entrenodosenxyyesxyyrespectivamente.
Sisesuponequelastemperaturasentrenodosvaríanlinealmenteylas
áreasdetransferenciasonAx=y(1)=yenladirecciónxyAy=x(1)=xenla
direcciónyseobtiene:
Lasdiferenciasfinitasseobtienenalsumarlastemperaturasdeloscuatro
vecinosmáscercanosalnodo,menoselcuádruplodelatemperaturadeese
nodo,máseltérminodegeneracióndecalor.Deestemodo,latemperatura
decadanodointerioreselpromedioaritméticodelastemperaturasdelos
nodosvecinos(cuandonohaygeneracióndecalor).
k
lq
TTTTT
yxq
y
TT
xk
x
TT
yk
y
TT
xk
x
TT
yk
ji
jijijijiji
ji
jijijijijijijiji
2
,
,1,1,,1,1
,
,1,,,1,1,,,1
4

89. RecomendacióndeejerciciosenGrupo:
Problema5-35Çengel(aletas)X
Problema5-38Çengel(aletas)X
Problema5-36Çengel(aletas)X
Problema5-49Çengel(bidimensional)X
Problema5-58Çengel(bidimensional).Omitirlapartederadiacióndela
chimenea.X
Unelementocalefactordevarillade0.5indediámetroestáembutidoenel
centrodeunbloquedealuminiode9in2.Lainterfasevarilla-aluminioestáa
unatemperaturade600ºFylasuperficieexteriordelaluminioa250ºF.
¿Cuáleslapérdidadecalorporpiedeestesistemacompuesto?
Considerarelmismoproblemaanterior,sóloqueporerroresdeconstrucción
elcalentadorenformadevarillaquedafueradelcentrodelbloque.

91. Conducciónenestadoinestable
Laecuacióndecalorenunadimensiónenestadotransientees:
1
𝑥𝑛
𝜕
𝜕𝑥
𝑥𝑛
𝜕𝑇
𝜕𝑥
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
n=0paraparedes,1paracilindrosy2paraesferas.
Suponiendoqueelcalorsetransfiereentreelsistemayelmedioambiente
porconvección,sinflujodentrodelsistema,sinefectosdetrabajoyquees
unsistemacerrado,setienequelaecuacióndecalores:
𝜌𝑉𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=−ℎ𝑆(𝑇−𝑇∞)
Parasepararlasvariablesefectivamentedebehacerseuncambiode
variable:q(t)=T(t)-T
𝑑𝜃
𝜃
=−
ℎ𝑆
𝜌𝑉𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝜃
=
𝜃
𝜃𝑖
−
ℎ𝑆
𝜌𝑉𝑐
𝑑𝑡
𝑡
0
conq(0)=qi
𝑙𝑛
𝜃
𝜃𝑖
=−
ℎ𝑆
𝜌𝑉𝑐
𝑡

92. Estableciendounarelacióndetemperaturas(ounatemperatura
adimensional)
𝜃
𝜃𝑖
=𝑒𝑥𝑝−
ℎ𝑆
𝜌𝑉𝑐
𝑡
Sepuedeintroducirlaconductividadeneltérminoconstante,
ℎ𝑆
𝜌𝑉𝑐
,y
descomponerloendoscantidadesadimensionales.
ElprimernúmeroadimensionaleselmódulodeBiot
𝐵𝑖≡
ℎ𝑉
𝑆
𝑘
Puedeinterpretarselacantidadenelnumeradorcomolaresistenciapor
conducción,(V/S)/k,mientrasqueelrestosepuedeinterpretarcomola
resistenciaporconvección,1/h.
UnvaloraltodeBiindicaquelaresistenciaporconducciónesdominante,
mientrasqueunvalorbajodeBiindicaquedominalaresistenciapor
convección.
CuandoBiesmenora0.1elproblemapuedesuponerserazonablemente
unidimensionalenlatransferenciadecalor.
Portantoesteeselprimerpasoarealizarenelanálisis.

93. ElsegundotérminoseconocecomoelmódulodeFourier
𝐹𝑜≡
𝛼𝑡
𝑉
𝑆
2
Queesunaformaderepresentareltiempoadimensionalmente.
Unavezqueseobtiene
T(t)sepuedecalcular
elcalordesprendidoo
absorbido
𝑄=𝑚𝑐𝑝𝑇𝑡−𝑇𝑖
𝑞𝑡=ℎ𝑆𝑇𝑡−𝑇∞

94. Semidelatemperaturadeunflujodegaspormediodetermoparescuya
uniónsepuedeconsiderarcomoesféricade1mmdediámetro.Las
propiedadesdelauniónsonk=35W/mK,densidad=8500kg/m3y
cp=320J/kgK,mientrash=210W/m2K.Determinecuantotiempose
necesitaparaquelalecturadeltermoparseadel99%deladiferencia
inicialdetemperaturas.
Unlingotecilíndricodeaceroinoxidablede4indediámetroy1ftde
longitudpasaporunhornode20ftdelongitud.Latemperaturainicialdel
lingoteesde200ºFydebellegara1500ºFantesdetrabajarlo.Elgasdel
hornoestáa2300ºFyelcoeficientehcombinadoesh=18Btu/hrft2ºF.
¿Cuáldebeserlavelocidadmáximadeavancedellingote?k=13
Btu/hr·ft·ºF,=0.17ft2/hr.
Laplacadeunaplanchadomésticatieneunáreade0.5ft2ysefabricade
aceroinoxidableconunpesode3lb.Sih=3Btu/hrft2ºFylatemperatura
delaireesde80ºF,¿cuántotardalaplanchaenllegara240ºF?La
planchaconsume500Wyalinicioestáalatemperaturaambiente.

95. Solucionesnuméricasparalaconducciónenestadoinestable
Paraestecasoenquesólohayconducción,congeneracióndecaloryestado
inestable,laecuaciónaconsiderares:
𝛻2
𝑇+
𝑞𝑔
𝑘
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Tomandoencuentaladefinicióndederivadausandométodosnuméricos:
𝑇𝑖−1,𝑗−2𝑇𝑖,𝑗+𝑇𝑖+1,𝑗
∆𝑥2+
𝑇𝑖−1,𝑗−2𝑇𝑖,𝑗+𝑇𝑖+1,𝑗
∆𝑦2+
𝑞𝑔
𝑘
=
1
𝛼
𝜕𝑇𝑖,𝑗
𝜕𝑡
Sehatomadoladefinicióndederivadaensuformacentral.Siconsideramos
queelarreglodelamalladescriptivadelsólidoescuadrado,demaneraque
x=yentonceslaecuaciónes:
𝑇𝑖−1,𝑗−2𝑇𝑖,𝑗+𝑇𝑖+1,𝑗+𝑇𝑖,𝑗−1−2𝑇𝑖,𝑗+𝑇𝑖,𝑗+1+
𝑞𝑔
𝑘
∆𝑥2=
∆𝑥2
𝛼
𝜕𝑇𝑖,𝑗
𝜕𝑡
Apartirdeaquí,sepuedeexpresarladerivadatemporaldelatemperatura
enformadediferenciahaciaadelante,haciaatrásocentral.Serecomienda
usarestaderivadaenformadediferenciahaciaadelanteohaciaatrás.

96. Siusamoslaformadediferenciahaciaadelanteparaladerivadatemporal:
𝑇𝑖−1,𝑗
𝑛
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛
+𝑇𝑖+1,𝑗
𝑛
+𝑇𝑖,𝑗−1
𝑛
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛
+𝑇𝑖,𝑗+1
𝑛
+
𝑞𝑔
𝑘
∆𝑥2
=
∆𝑥2
𝛼∆𝑡
𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
−𝑇𝑖,𝑗
𝑛
Estaeslaecuacióndeconducciónbidimensionaltransitoriacongeneración
internadecalor.
Enestaecuaciónnsignificaelenésimopasoeneltiempo.
Comolavariable𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
aparecesólounavez,esfácildespejarlayelmétodo
seríadetipoexplícito:
𝑇𝑖
𝑛+1
=
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
𝑇𝑖−1
𝑛
+𝑇𝑖+1
𝑛
+
𝑞𝑔
𝑘
∆𝑥2+1−
2𝛼∆𝑡
∆𝑥2
𝑇𝑖
𝑛
Paraunasoladimensión.
𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
=
𝛼∆𝑡
∆𝑥2𝑇𝑖−1,𝑗
𝑛
+𝑇𝑖+1,𝑗
𝑛
+𝑇𝑖,𝑗−1
𝑛
+𝑇𝑖,𝑗+1
𝑛
+
𝑞𝑔
𝑘
∆𝑥2+1−
4𝛼∆𝑡
∆𝑥2𝑇𝑖,𝑗
𝑛
Paradosdimensiones.

97. Paraelcasoexplícitounidimensional,setieneuncriteriodeestabilidad
paraestaclasedesistemas:
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
≤
1
2
Unapareddetabique(=0.018ft2/hr)de2ftdeespesorinicialmente
estáaunatemperaturauniformede70ºF.¿Cuántotiempotieneque
pasarparaqueelcentrodelaparedlleguea300ºFsiseelevala
temperaturadeambassuperficiessimultáneamentea700y300ºFyse
mantieneenesosniveles?
Laecuaciónes:
Ti
n+1=½(Tn
i-1+Tn
i+1)
Considerandouncriteriodeestabilidaddet/x2=½
Siseescogeinicialmenteunx=0.25ft,setienen9nodos.

98. Cuandoseusalaformadediferenciashaciaatrás,seobtieneuna
formulaciónimplícita.Portanto,lasecuacionesdebenresolversedemanera
simultánea.
𝑇𝑖−1,𝑗
𝑛+1
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖+1,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗−1
𝑛+1
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗+1
𝑛+1
+
𝑞𝑔
𝑘
∆𝑥2=
∆𝑥2
𝛼∆𝑡
𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
−𝑇𝑖,𝑗
𝑛
Enestecaso,paraunconjuntodeNecuacionessimultáneas,laforma
matriciales:
𝐴11
𝐴21
𝐴12⋯
𝐴22⋯
𝐴1𝑁
𝐴2𝑁
⋮⋮⋮
𝐴𝑁1𝐴𝑁2𝐴𝑁𝑁
𝑇1
𝑛+1
𝑇2
𝑛+1
⋮
𝑇𝑁
𝑛+1
=
𝐵1
𝐵2
⋮
𝐵𝑁
AT=B
LamatrizdecoeficientesAincluyelosvaloresdelastemperaturas
determinadasenincrementosanterioresdetiempo.

99. LaeliminacióndeGaussproporcionaunasolucióndirectaalossistemas
deecuacionesimplícitosdetransportetransitoriodetransferenciade
calor.Sinembargo,cuandoexistennolinealidadesenloscoeficientesde
lamatrizA,yconunincrementoenelnúmerodeincógnitas(sistemas
grandes),puedesermejorusarunatécnicadeiteracióncomoladeGauss-
Seidelobien,algúnmétodonuméricodeprediccióninicialodisparo
(métodosdecolocación).
EnlatécnicadeGauss-Seidelsesiguenvariospasos:
1.SupongavaloresaproximadosparaT1
0,T2
0,T3
0,etc.
2.ConT2
0,T3
0,etc.,resuelvalaprimeraecuaciónparaT1
1.
3.ConT1
1,T3
0,etc.,resuelvalasegundaecuaciónparaT2
1.
4.ConT1
1,T2
1,etc.,resuelvalaterceraecuaciónparaT3
1.
5.SigaesteprocedimientoparatodaslasT1,cuidandoqueseobtengaun
errorpequeño.
6.Repitaparaelsiguientesegmentotemporal.

100. PROBLEMA
Setieneunaplacaplanademagnesiode1ftdeespesorylasotras
dimensionessonsuficientementegrandescomoparaconsiderar
despreciableslosotrosefectos.Laplacaseencuentrainicialmenteala
temperaturade100ºF.Derepentesebajalatemperaturadelasuperficie
delmagnesioysemantienea0ºF.Sepuedeconsiderarquelasuperficie
inferiordelaplacaestáaislada.Describirladistribucióndetemperaturaen
laplacaconeltiempoparaunperíodode12minutosdespuésquese
reducelatemperaturasuperficial.
Laecuaciónenformadediferenciasfinitasqueaplicaparaesteproblema
es
𝑇𝑖
𝑛+1
=
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
𝑇𝑖−1
𝑛
+𝑇𝑖+1
𝑛
+1−
2𝛼∆𝑡
∆𝑥2
𝑇𝑖
𝑛
Laspropiedadesdelmagnesiosonk=99.5Btu/(hr·ft·ºF),=109lb/ft3,
cp=0.232Btu/(lb·ºF).Úsense5nodosinternosparaelsistema,con
incrementosdetiempode0.005hr.

101. Cuandoelmismoproblemasesolucionaconlaformulaciónimplícita,la
ecuaciónautilizares:
𝑇𝑖
𝑛+1
=
𝛼∆𝑡
∆𝑥2𝑇𝑖−1
𝑛+1
−2𝑇𝑖
𝑛+1
+𝑇𝑖+1
𝑛+1
+𝑇𝑖
𝑛
Estetipodeecuaciónpuedeexpresarsedeunaformagenéricacomo
𝑇𝑖
𝑛+1
=𝐷𝑖+
𝐴
𝐵
𝑇𝑖−1
𝑛+1
+𝑇𝑖+1
𝑛+1
Endondelasconstantesson
𝐴=
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
𝐵=1+
2𝛼∆𝑡
∆𝑥2=1+2𝐴
𝐶=
𝑇𝑖
𝑛
𝐵

102. PROBLEMA
Setieneunabarralargadeseccióntransversalalatemperaturauniforme
inicialde50ºF.Determinarladistribucióndetemperaturaenfuncióndel
tiempoparalabarradespuésdequeseelevaymantienelatemperaturade
unextremohasta200ºFysebajanymantienenlastemperaturasdelostres
ladosrestantesa0ºF.
Laecuaciónaplicableenestecasoesladetipobidimensional.
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑘
𝜌𝑐𝑝
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
𝑘∆𝑡
𝜌𝑐𝑝∆𝑥2
𝑇𝑖−1,𝑗
𝑛+1
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖+1,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗−1
𝑛+1
−2𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗+1
𝑛+1
=𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
−𝑇𝑖,𝑗
𝑛
Quealdespejar𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
produce
𝑇𝑖,𝑗
𝑛+1
=𝐷𝑖,𝑗+𝐸𝑇𝑖−1,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖+1,𝑗
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗−1
𝑛+1
+𝑇𝑖,𝑗+1
𝑛+1
𝐴=
𝑘∆𝑡
𝜌𝑐𝑝∆𝑥2
𝐷𝑖,𝑗=
𝑇𝑖,𝑗
1+4𝐴
𝐸=
𝐴
1+4𝐴