Se define la función arcocosecante hiperbólica.

1. Arcocosecante hiperbólica.
Definición.
José de Jesús García Ruvalcaba.
UABC

2. Recordatorio. Secante hiperbólica.
• La cosecante hiperbólica es:
csch 𝑥 =
1
sinh 𝑥
=
2
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
No está definida en 0
Su imagen es −∞, 0 ∪ 0, +∞
Es una función impar, y es inyectiva. No
hace falta restringir su dominio.

3. Cosecante hiperbólica.
csch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞
Es biyectiva. Tiene dos ramas. Cada rama es
estrictamente decreciente.
Su inversa es:
arccsch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞

4. Gráfica de la arcocosecante hiperbólica.
arccsch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞
Tiene dos ramas. Cada rama es estrictamente
decreciente.

5. Fórmula explícita para la arcocosecante
hiperbólica.
𝑦 = arccsch 𝑥
𝑥 ≠ 0
𝑦 ≠ 0
𝑥 = csch 𝑦
𝑥 =
2
𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
Hay que despejar 𝑦

6. Continuación.
𝑥 =
2
𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥 𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦 = 2
𝑥𝑒 𝑦
− 𝑥𝑒−𝑦
= 2
𝑥𝑒 𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0

7. Continuación.
𝑥𝑒 𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0
𝑥𝑒2𝑦 − 2𝑒 𝑦 − 𝑥 = 0
𝑒 𝑦 =
− −2 ± −2 2 − 4 𝑥 −𝑥
2 𝑥
𝑒 𝑦 =
2 ± 4 + 4𝑥2
2𝑥

8. Continuación.
𝑒 𝑦
=
2 ± 4 + 4𝑥2
2𝑥
𝑒 𝑦
=
2 ± 4 1 + 𝑥2
2𝑥
𝑒 𝑦
=
2 ± 2 1 + 𝑥2
2𝑥
𝑒 𝑦 =
1 ± 1 + 𝑥2
𝑥

9. Desigualdades.
Se puede demostrar que:
1 − 1 + 𝑥2 < 0
1 + 1 + 𝑥2 > 0
Recordemos que:
𝑒 𝑦
> 0

10. Desigualdades, continuación.
Ahora, el signo de
1− 1+𝑥2
𝑥
y de
1+ 1+𝑥2
𝑥
dependen tanto del numerador como del
denominador. Usando las leyes de los signos:
𝑥 < 0 ⟹
1 − 1 + 𝑥2
𝑥
> 0
𝑥 > 0 ⟹
1 + 1 + 𝑥2
𝑥
> 0

11. Continuación.
𝑒 𝑦 =
1 − 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 < 0
1 + 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 > 0

12. Continuación.
𝑦 =
log
1 − 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 < 0
log
1 + 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 > 0

13. Conclusión.
arccsch 𝑥 =
log
1 − 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 < 0
log
1 + 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 > 0

14. Después de la conclusión.
arccsch 𝑥 =
log −1 + 1 + 𝑥2 − log −𝑥 , 𝑥 < 0
log 1 + 1 + 𝑥2 − log 𝑥 , 𝑥 > 0

15. Otra forma de obtenerlo.
• Recordemos que:
csch =
1
sinh
Por lo tanto,
arccsch 𝑥 = arcsinh
1
𝑥
De una lección anterior, ya tenemos fórmula para el arcoseno hiperbólico.

16. Recordatorio y continuación.
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
arccsch 𝑥 = arcsinh
1
𝑥
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1
𝑥
2
+ 1
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1
𝑥2
+ 1
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1 + 𝑥2
𝑥2

17. Conclusión.
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1 + 𝑥2
𝑥2
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1 + 𝑥2
𝑥2
arccsch 𝑥 = log
1
𝑥
+
1 − 𝑥2
𝑥

18. Para resumir.
arccsch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞
arccsch 𝑥 =
log
1 − 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 < 0
log
1 + 1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 > 0