Introducción curso de estadística CIMACO

1. Estadística Medidas de tendencia central Dr. Carlos Cáceres Martínez CIMACO UABCS http://cimacoestadistica.blogspot.com

3. La Mediana

5. MEDIA ARITMETICA Media Aritmética: Se define como el “centro de gravedad” de la distribución estadística de una variable. Sea X una variable cuantitativa donde X1, X2, ….. Xk; y f1, f2,….. fksonsus respectivos valores y frecuencias, entonces a la media aritmética de X la denotaremos por si se trata de una muestra ó µx si analizamos la población, luego:

6. CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA): Ejemplo: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Luego: Ubicación de la Media Aritmética 12,2 5

7. 8 7 6 No. Jugadores 5 4 3 2 1 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 Estatura (cms) CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados: Ejemplo: Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Luego: 6

8. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 1 . La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir: 2 . La suma de los desvíos de los valores de una variable respecto a la media aritmética de estos es un mínimo, es decir: 3 . Si sumamos o restamos una constante a todos los valores de una variable manteniendo fijas las frecuencias entonces la media de la nueva variable así generada será igual a la media de la variable origina más o menos la constante, según sea el caso: 7

9. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA Sean X1, X2, ….. Xk y f1, f2,….. fklos valores de la variable X y sus respectivas frecuencias y cuya media es , entonces si sumamos o restamos una constante C a cada valor de X para así generar la variable Y, es decir: Y1= X1± C ; Y2= X2 ±C ; ……Yk,=Xk±C, manteniendo Y las mismas frecuencias que X entonces: 4 . Si multiplicamos o dividimos por una constante a todos los valores de una variable manteniendo fijas las frecuencias entonces la media de la nueva variable así generada será igual a la media de la variable original multiplicada o dividida por la constante, según sea el caso: 8

10. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 5. La media aritmética es un operador lineal, es decir: Si Y = aX + b; donde a, b son constantes entonces: 6. Dados r muestras de la misma variable cada una de tamaño n1, n2, ..., nrobservaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada uno de ellas; entonces la media aritmética de la unión de todas las muestras es: A la expresión demarcada se le conoce como media ponderada 9

11. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 7. Dados r muestras de la misma variable cada una de igual tamaño nobservaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada una de ellas; entonces la media aritmética de la unión de todas las muestras es: Es la media simple de las medias de las muestras 10

12. Valores Extremos La Media pierde Representatividad OBSERVACIONES SOBRE LA MEDIA ARITMETICA La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas La media es independiente de las amplitudes de los intervalos de una DFDA La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. P.ej. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución La media no se puede calcular en una DFDA si hay un intervalo o clase con una amplitud indeterminada, es decir, de rango abierto La media es un estadístico “suficiente” porque usa toda la información de la muestra 11

13. El restante 50% de los datos de distribución son ≥ Me El 50% de los primeros datos de la distribución son ≤ Me Me MEDIANA Mediana Se define como el valor de la variable que divide la distribución en dos parte iguales del 50%, es decir, el 50% de los datos es menor o igual a él y el restante 50% el mayor o igual a él. Se denota Me 12

14. CALCULO DE LA MEDIANA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA): Ejemplo: Caso del pediatra Procedimiento: Calcular n/2 Si Fj tal que Fj= n/2 Me = Xj de lo contrario, Me será aquel valor de X cuya frecuencia acumulada sea mayor inmediato a n/2 En este caso n/2 = 50/2 =25 y como no existe una frecuencia acumulada igual a 25 y la frecuencia acumulada mayor inmediata a n/2 es 30 entonces: Me = X4 = 12 meses Vemos que efectivamente hay 25 (50%) valores ≤ a 12 y 25 (50% ≥ a 12 13

15. 16 14 12 No.Niños 10 8 6 4 2 9 10 11 12 13 14 15 Me Meses CALCULO DE LA MEDIANA Si organizamos la serie de datos anterior denotando la posición que ocupa cada observación tenemos: X 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, ….. 11, 12, 12,……12,12,……50 Posición: 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª, 8ª,……,14ª, 15ª,16ª,……25ª,26ª,..50ª 14

16. CALCULO DE LA MEDIANA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados (DFDA): Ejemplo: Caso de la estatura de los jugadores de baloncesto Procedimiento: Calcular n/2 Si Fj tal que Fj= n/2 Me= Lme,donde Lmees el limite superior de la clase correspondiente a la Fj= n/2; de lo contrario: 15

17. CALCULO DE LA MEDIANA Donde: lme= limite inferior de clase que contiene a la Me Fme-1 = Frecuencia acumulada hasta la clase inmediata anterior a la clase que contiene a la Me fme= la frecuencia de la clase que contiene a la Me ; y Cme = El rango de la clase que contiene a la Me Nota: La clase o intervalo que contiene a la Mees aquella correspondiente a la frecuencia acumulada inmediata mayor a n/2 16

18. 8 7 6 No. Jugadores 5 4 3 2 1 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 Estatura (cms) CALCULO DE LA MEDIANA En el ejemplo: n/2 = 23/2 = 11,5 luego no existe frecuencia acumulada igual a n/2 por lo tanto buscamos la frecuencia acumulada inmediata superior a N/2 que resulta la F4 = 16, luego la clase que contiene a la Me es la cuarta clase entonces: 17

19. n : : E Fme C n/2 Fme-1 A D B : : F2 F1 Me l1L1 L2 ………. Lme-1Lme …………… CALCULO DE LA MEDIANA Analizando trigonométricamente los triángulos rectángulos ABC y ADE se genera la formula de interpolación de la Mediana: 18

20. Me Valores Extremos La Media pierde Representatividad OBSERVACIONES ACERCA DE LA MEDIANA La mediana no esta influenciada por los valores extremos ya que su determinación se apoya en los valores centrales de la variable Su uso es apropiado ante distribuciones asimétricas No es un estadístico “suficiente” ya que no aprovecha toda la información de la muestra 19

21. MODO o MODA Modo o Moda Se define como el valor de la variable que más se repite, es decir, el valor de la variable que tenga frecuencia máxima. Se denota con Mo Mo = Xj si y solo si fj= Max { fi, i=1, 2, 3,…..k} Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda. 20

22. CALCULO DE LA MODA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA): Ejemplo: Caso del pediatra Procedimiento: Determinar la frecuencia máxima, fmax, el modo será igual al valor de la variable asociado a dicha frecuencia. En este caso fmax= 16 por lo tanto: Mo = 12 meses 21

23. CALCULO DEL MODO Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDA): Ejemplo: Caso de los jugadores Procedimiento: Determinar la frecuencia máxima, fmax, el modo estará ubicado en la clase correspondiente a dicha frecuencia máxima y entonces: Donde: fmo = frecuencia de la clase que contiene al Mo fmo-1= frecuencia de la clase anterior a la que contiene al Mo fmo-1= frecuencia de la clase siguiente a la que contiene al Mo 22

24. 8 7 6 No. Jugadores 5 4 3 2 1 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 Estatura (cms) CALCULO DE LA MODA En nuestro ejemplo: fmo = 8; luego X= 186,63 cms Me= 187,18 cms Mo = 187, 86 23

25. OBSERVACIONES ACERCA DE LA MODA La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa). La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos. Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos. En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez. En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos? 24

26. RELACION EMPIRICA ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODO En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente: Media – Moda = 3(Media – Mediana) Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden 25