Tercer ciclo matematica

Resoluciónde problemas III
Materiales de apoyo para docentes de Matemática
Tercer Ciclo

Especialidad: Matemática
Clara Victoria Regalado Bonilla
Edwin Alexander Aguilar Martínez
Ana Beatriz Váldez Alvárez
José René Palacios Barrera
Rolando Lemus Gómez
Tercer ciclo
Coordinadores UDB
Fabián Antonio Bruno Funes
Rolando Lemus Gómez
Ingris Yessenia Hernández
Diseño y diagramación
María José Ulin
Rosa Lidia Rivera de López
Técnicos Mined
Oscar de Jesús Águila
Reina Maritza Pleitez
María Dalila Ramírez
Bernardo Gustavo Monterrosa
Autores

Créditos
Carlos Mauricio Canjura Linares
Ministro de Educación
Francisco Humberto Castaneda Monterrosa
Viceministro de Educación
Erlinda Handal Vega
Viceministra de Ciencia y Tecnología
Rolando Ernesto Marín Coto
Director Adjunto de SI EITP
Luis Armando González
Director Nacional de Formación Continua
Renzo Uriel Valencia
Director Nacional de Educación
William Ernesto Mejía
Director Nacional de Ciencia
Tecnología e Innovación

Carta de los titulares
Estimados docentes:
El Ministerio de Educación, les ofrece este documento, como un valioso recurso para su formación
especializada, con el propósito de continuar fortaleciendo sus competencias docentes, que
contribuyan a la transformación educativa que impulsa este Ministerio, sustentada en el Plan Social
Educativo “Vamos a la Escuela”, para una práctica efectiva y de calidad en el aula y la escuela, que
incida en aprendizajes significativos para el estudiantado, que les sirva a lo largo de toda la vida.
Los contenidos desarrollados en este documento, se fundamentan en el currículo nacional, con un
enfoque científico y una marcada orientación metodológica y didáctica, promoviendo la reflexión
crítica, que permita innovar la práctica en el aula y su desempeño profesional, para enfrentar los retos
y desafíos de un mundo cada vez más globalizado, en el contexto del nuevo modelo pedagógico de
escuela inclusiva de tiempo pleno.
El presente documento está estructurado en unidades de aprendizaje, con contenidos y actividades a
desarrollarse en las sesiones presenciales y en horas no presenciales, que les permitirá la apropiación,
aplicación y construcción de nuevos saberes que trasciendan de lo teórico a lo práctico, con distintas
formas de abordaje metodológico y didáctico, desarrollando procesos metacognitivos, de aplicación
y transferencia a nuevas situaciones, con el uso de las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación (TIC). Con esta formación se espera que inicie un proceso de especialización basada
en el funcionamiento de las redes de docentes en el Sistema Integrado de EITP, a fin de interactuar
y conformar verdaderas comunidades de aprendizaje; asimismo, es importante dimensionar que el
enfoque de una escuela inclusiva, requiere dejar atrás las clases frontales y descontextualizadas,
para dar paso a un proceso a través del cual los estudiantes puedan compartir situaciones de
aprendizaje, relacionadas con sus propias experiencias, en contextos donde se valoran, toman en
cuenta y respetan sus diferencias individuales y a la vez son estimulados para continuar aprendiendo.
Esperamos que esta estrategia de formación, contribuya a una mejor educación y coadyuve a
consolidar una escuela más efectiva, participativa, incluyente y democrática, con un alto compromiso
de los equipos docentes y sus directivos.
Ministro de Educación
Viceministro de Educación
Viceministra de Ciencia y
Tecnología

Índice Pág. 04
Pág. 05
Pág. 06
Pág. 08
Pág. 13
Pág. 14
Pág. 22
Pág. 68
Pág. 84
Pág. 20
Pág. 30
Pág. 55
Pág. 57
Pág. 32
Pág. 43
Pág. 80
Presentación y objetivos ..............................................................................
Fundamentos ...............................................................................................
Unidad 1: Conjunto de números
Conjunto de los números enteros: gráfica y características.........................
Operaciones con números enteros...............................................................
Operaciones con signos de agrupación.......................................................
Conjunto de los números racionales.............................................................
Resolución de problemas utilizando los números racionales I y II ..............
Conjunto de los números reales...................................................................
Resolución de problemas utilizando los números reales..............................
Aplicoyautoevaluación.................................................................................
UNIDAD 2 Utilizando potencia
Potenciación.................................................................................................
Unidades métricas de superficie..................................................................
Aplicoyautoevaluación.................................................................................
UNIDAD 3 Algebra
Proporcionalidad y uso de variables.............................................................
Expresiones algebraicas...............................................................................
Aplico y autoevaluación ...............................................................................
UNIDAD 4 Multipliquemos con monomios y polinomios
Monomios.....................................................................................................
Monomios por polinomio..............................................................................
Polinomio por polinomios..............................................................................
Productos notables.......................................................................................
Aplico y autoevaluación................................................................................
UNIDAD 5 Factoreo
Factor común...............................................................................................
Diferencia de cuadrados...............................................................................
Trimonio cuadrado perfecto..........................................................................
Trimonio de la forma ax2
+ bx + c = 0..........................................................
UNIDAD 6: Fracciones algebraicas
Simplificación y valor numérico....................................................................
Minimo comun multiplo................................................................................
Suma y resta.................................................................................................
Multiplicación y división................................................................................
UNIDAD 7 Áreas de figuras planas.
Área de figuras cuadradas............................................................................
Área de un paralelogramo.............................................................................
Área de polígonos.........................................................................................
Construcción con regla y compás................................................................
La cuadratura del círculo...............................................................................
UNIDAD 8 Ecuaciones lineales.
Representaciones simbólicas.......................................................................
Resolución de ecuaciones............................................................................
Sistemas de ecuaciones...............................................................................
Ecuaciones Cuadráticas...............................................................................
UNIDAD 9 Tratamiento de datos
Métodos de conteo las reglas básicas de la combinatoria..........................
Análisis exploratorio de datos.......................................................................
Bibliografía.....................................................................................................
Pág. 96
Pág. 118
Pág. 142
Pág. 100
Pág. 104
Pág. 120
Pág. 144
Pág. 148
Pág. 131
Pág. 167
Pág. 173
Pág. 180
Pág. 187
Pág. 191
Pág. 91
Pág. 113
Pág. 139
Pág. 146
Pág. 127
Pág. 154
Pág. 88
Pág. 109
Pág. 134
Pág. 123
Pág. 151
Pág. 227
Pág. 225
Pág. 212
Pág. 199
Pág. 11

Presentación y Objetivos
Este documento es producto del esfuerzo conjunto realizado por un equipo de especialistas
en el área de Matemática. Su finalidad es fortalecer las competencias disciplinares y
pedagógicas de los docentes en servicio en los cuatro niveles del sistema educativo y,
con ello, apoyar el desarrollo del nuevo modelo educativo, cuyo propósito es aumentar
las oportunidades de educación mediante el Sistema Integrado de Escuela Inclusiva de
Tiempo Pleno (SI-EITP), con un enfoque innovador que garantice aprendizajes de calidad
para los estudiantes salvadoreños. Las estrategias metodológicas presentadas en los
módulos, se adecuan contextualmente con flexibilidad, atendiendo las necesidades de
los estudiantes y constituyen un recurso que, posteriormente, puede ser modificado y
enriquecido por los docentes, a partir de sus experiencias y particular creatividad.
Se han tomado contenidos significativos de los programas de estudio, sin llegar a ser
exhaustivos, ya que no se pretende elaborar un libro de texto que contenga de manera
totalizadora la temática por desarrollar en cada grado o en cada nivel. Al retomar las
temáticas seleccionadas, se amplían, se profundiza y se procura su actualización. La
pretensión mayor es presentar enfoques y planteamientos metodológicos que enriquezcan
y coadyuven el quehacer en el aula.
El material está organizado en módulos, uno por cada nivel del sistema educativo. Los
de primero y segundo ciclos, contienen 3 unidades y los de tercer ciclo y bachillerato, 9
unidades. El desarrollo de cada uno de los temas se organiza, en diferentes apartados,
que contienen aspectos conceptuales, metodológicos, procedimentales y de aplicación
para llevar a la práctica en el salón de clase.
OBJETIVO GENERAL
Actualizar las competencias disciplinares y pedagógicas
de los docentes especialistas, a través de la reflexión de
sus prácticas y la aplicación de estrategias innovadoras
que generen construcción de conocimientos, el fomento
del trabajo colaborativo entre docentes-estudiantes,
docentes-docentes y estudiantes- estudiantes.
OBJETIVO ESPECÍFICO
Fortalecer las competencias disciplinares y metodológicas
de los docentes en servicio, relacionados con el desarrollo
del razonamiento lógico matemático, aplicación del len-
guaje matemático al entorno por medio del enfoque de re-
solución de problemas en un contexto sociocultural para
el mejoramiento de la enseñanza y el aprendizaje en diver-
sos niveles educativos.

Metodología de la formación
El proceso “Desarrollo de competencias disciplinares y didácticas”, al que corresponde el presente material,
considera una fase presencial y otra no presencial, orientadas al dominio científico de los contenidos y al desarrollo
de competencias didácticas; utilizando secuencias que activen el pensamiento y la comunicación de ideas en función
del aprendizaje.
La fase presencial de los módulos para primero y segundo ciclo, se desarrollará en 24 horas y para tercer ciclo
y bachillerato en 72 horas; distribuidas en jornadas de 8 horas cada una. El énfasis será en el dominio científico
de los contenidos de la asignatura y las estrategias metodológicas que orienten el aprendizaje de los estudiantes,
se desarrollarán además actividades de aplicación de acuerdo al grado que atiende considerando el material de
autoformación CTI, diseñado para cada grado, Cada docente planificará la ruta de aprendizaje que sus estudiantes
pueden seguir utilizando diferentes recursos, espacios educativos y con la intervención de diferentes actores, dando
lugar a la diversificación metodológica puesta en una secuencia didáctica que cierre el círculo del aprendizaje,
logrando que los estudiantes apliquen lo aprendido y puedan transferirlo en situaciones nuevas para demostrar las
capacidades logradas.
La fase no presencial considera la aplicación de lo planificado por los docentes en los procesos de aprendizaje con
su grupo de estudiantes, ello implica la recolección de evidencias del trabajo realizado y la reflexión en círculos de
inter aprendizaje.
En ambas fases se promoverá el establecimiento de las redes de docentes y la identificación de docentes formadores
que den sostenibilidad a los círculos de inter aprendizaje y puedan apoyar a sus compañeros de red en el desarrollo
de sus competencias.
Esta metodología será desarrollada de manera cíclica, a lo largo de toda la formación, esto permitirá el afianzamiento
de contenidos, procedimientos y actitudes positivas hacia la mejora continua. En función de lo anterior, se seleccionó
para la elaboración del material, una metodología orientada a las secuencias didácticas propuestas en los programas
de estudio y al desarrollo de competencias; considerando 3 etapas, que en el material se representan con un ícono
y se describen a continuación:
1. A partir de procesos metodológicos vivenciales o experimentales se construye conceptos,
propiedades, algoritmos o conclusiones; utilizando la secuencia didáctica de la asignatura, que
parte de la exploración de saberes previos.
2. Ampliación y profundización de los saberes utilizando otros recursos. El docente reflexiona,
en situaciones diferentes, sobre los aprendizajes construidos y propone otras estrategias para
el abordaje del contenido. Implica dialogar, discutir, rectificar y conciliar.
3. Incorporación de actividades de la escuela, familia y comunidad. El docente demuestra lo
que puede hacer con lo aprendido, para que le sirva en su vida y como puede utilizarlo en con-
textos diferentes. En este apartado se orienta la elaboración de guías de aprendizaje, proyectos
de aula, laboratorios, entre otros.

Indicadores de logro
• Elabora estrategias didácticas para la deducción de la ley de los signos para la suma de números naturales.
• Identifica estrategias metodológicas para la deducción de la ley de los signos de la multiplicación de numeros
enteros.
• Analiza diversas formas de planteamiento para resolver problemas con números enteros.
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes.
Por ejemplo: si tiene 10 dólares y debe 15 dólares ¿De cuánto dispone?
Desarrollo
Características de los Números Enteros.
Los números enteros son una ampliación de los naturales:
Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +).
Los enteros negativos van precedidos del signo -.
El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.
¿Cómo saber si un número entero es mayor que otro?
Dados dos números enteros el mayor es:
• El de signo positivo, si los números son de signo contrario.
• El de mayor valor absoluto si ambos son positivos.
• El de menor valor absoluto si ambos son negativos.
Representación Gráfica
Los números enteros pueden representarse gráficamente en una recta, para ello se marca
un punto cualquiera de la recta, que representa al número cero, a continuación, se marcan
los puntos a la izquierda y derecha del cero, de manera que la recta quede dividida en
segmentos de igual longitud. Los puntos situados a la derecha del cero corresponden a los
números enteros positivos y los situados a la izquierda, a los negativos.
• Practicar con números
enteros como pasos
hacia adelante para los
positivos o hacia atrás
para los negativos.
• Llevar a la clase una
libreta de ahorros o un
estado de movimientos
de una cuenta bancaria
con abonos y cargos y
analizarla.
Ideas didácticas
Conjunto de los números enteros: gráfica y
características
Unidad 1:
Conjunto de números
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Los chinos utilizaban
los números negativos
hace más de dos mil
cuatrocientos años, ya
que eran capaces de
representar con varillas
negras los números
negativos y con rojas los
positivos.
Los matemáticos
hindúes usaban los
“bienes”, las “deudas” y
“la nada”.
Sin embargo en
Europa la historia de
la aceptación como
números negativos fue
un proceso que duró
más de mil años, lleno
de avances y retrocesos.

2. En cada punto, diga cuál de los dos números es mayor y explique por qué.
• 7 , -6
• 0 , -2
• 1 , 3
• -8 , -4
• -5 , 1
3. Ordene los siguientes números de acuerdo a la recta real: -1, 4, 0, -3, 2, 9, -7
4. Rellena con números enteros las casillas en blanco, de
tal manera que las sumas de todas las filas y columnas
sea siempre 3
5. Una persona protestaba por su mala suerte. Había perdido su trabajo y sólo le
quedaban unos cuantos dólares en el bolsillo.
El diablo se le acercó y le hizo una extraña proposición:
-Yo puedo hacer que tu dinero se duplique cada vez que cruces el puente que atraviesa
el rio. La única condición es que yo te esperaré del otro lado y debes entregarme $24.
El trato parecía ventajoso. Sin embargo, cuando cruzó por tercera vez, al dar al diablo
los $24 se quedó sin nada. Había sido engañado.
¿Cuánto dinero tenía en un principio?
Lea y analice cada problema y luego reflexione sobre los errores más frecuentes de los
estudiantes y proponga recomendaciones didácticas para superarlos.
Gráficamente los números enteros se pueden representar de la siguiente manera:
Ejercicios
1. Diseñe un problema con números enteros a partir de lo representado en la línea recta.
Elabore material didáctico para presentar de manera creativa estos problemas a sus estudiantes.
1.En una estación de esquí la temperatura más alta ha sido de -20°C, y la más baja, de -23°C. ¿Cuál ha sido la diferencia
de temperatura?
2.Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y
hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó 4 grados, y desde
las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. ¿Qué temperatura hacía a esa hora?
Inteligencia a
desarrollar
Esta inteligencia se aplica
al leer las situaciones que
se le plantea y pensar
las posibles maneras de
resolverlas.
Se aplica cuando se
intercambian opiniones y
se hace trabajo en equipo.
Cuando se encuentran
las posibles soluciones a
una situación es necesario
compartirlas, discutirlas y
defenderlas técnicamente.
Es entonces cuando se va
aplicar esta inteligencia.
Lógica Matemática
Lingüística verbal:
Interpersonal:
- 6 6
5
0

• Deduce la ley de los signos para la suma en el conjunto de los números enteros.
• Deduce la ley de los signos para la multiplicación en el conjunto de los números enteros.
• Analiza diversas formas de planteamiento para resolver problemas con números enteros.
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15º C. A mediodía había subido 6º C,
a las cinco de la tarde marcaba 3º C más, a las nueve de la noche había bajado 7º C y a las
doce de la noche aún había bajado otros 4º C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro
a medianoche?
Plantee dos maneras posibles de resolver el problema anterior.
Desarrollo
Suma de números enteros positivos
Al sumar números enteros positivos, pensaremos en una anotación a nuestro favor.
Sumar un número positivo, supondrá que tendremos más.
Ejemplo
David tiene 5 manzanas y Rebeca le regala 3 manzanas más. ¿Cuántas manzanas tiene
David?
Solución
Tiene + 5 manzanas y le regalan +3 entonces (+5) + (+3) = +8
Suma de enteros negativos
Para sumar dos números enteros negativos, tomamos sus valores absolutos y los
sumamos, es decir, nos olvidamos por un momento de los signos y sumamos ambos
números y el resultado tendrá signo negativo.
Ejemplo
Realice la siguiente suma de enteros (-7) + (-12)
Solución
Alquitarelsignomenosdelosnúmeros(¡recuerdequeestosehacesolomomentáneamente!)
nos queda la suma de dos enteros positivos 7 + 12 = 19
Ahora volvemos a poner el signo menos al resultado y quedará -19, entonces
(-7) + (-12) = -19
Ideas didácticas
Operaciones con números enteros2
En una suma de
dos cantidades de
igual signo,se suman
las cantidades y la
respuesta lleva el mismo
signo de los sumandos.
1. ( +9 ) + ( + 7 ) = + 16
2. (– 9 ) + ( –10 ) = –19
En una suma de dos
cantidades de diferente
signo, se restan
las cantidades y la
respuesta lleva el signo
del sumando que tiene
mayor valor absoluto.
1. ( + 9 ) + (– 7 ) = + 2
2. (– 9 ) + (+10 ) = +1
Para que esta ley no la
olviden los estudiantes
,es recomendable que
se deduzca a partir de
problemas de la vida
cotidiana.
Cuando los números
enteros son positivos
no se antepone el signo
mas, simplemente el
número:
Ejemplo:
+8 en su lugar escribimos
8+2 en su lugar escribimos
2

Ejemplo
Se considerará a continuación un grifo de agua que al
abrirse, llena un tanque a razón de 4 litros por minuto.
a) Si en el momento en que son las 6:00 pm, hay 135
litros de agua en el tanque y el grifo estará abierto
hasta las 6:05 pm, ¿cuántos litros de agua habrá a
esa hora?
• Como cada minuto entran 4 litros de agua al
tanque, al cabo de 5 minutos habrán entrado (4) x
(5) = 20 litros de agua al tanque.
• Como había 135 l a las 6:00 pm, a las 6:05 pm
habrá 135 l + 20 l =155 litros de agua en el tanque.
b) Si el grifo estuvo abierto desde antes de las 6:00 pm,
¿cuántos litros de agua había en el tanque a las 5:55
pm?
• Los 5 minutos antes de las 6:00 pm los escribimos
-5.
• Como el tanque se ha estado llenando a razón de
4 litros por minuto, lo cual significa que en cada
minuto que pasa, entran exactamente 4 litros de
agua al tanque.
• Entonces tenemos que antes de las 6 había ( -5) x
(4 l) = -20 l de agua de 135 l o sea que había 115 l
de agua a las 5:55 pm.
Suma de enteros positivo y negativo
Cuando sumamos dos números enteros de signos
contrarios, es decir, uno positivo y otro negativo, el
resultado tendrá el signo del mayor en valor absoluto y
luego se resta del mayor el menor.
Ejemplo
Resuelva la siguiente situación:
En mi tarjeta de crédito tenía una deuda de 7 dólares, pero
luego realicé un abono de 4 dólares,¿Cuánto es mi nuevo
saldo?
Solución
-7 + 4 = ?
Note que 7 es mayor que 4 (en valor absoluto), entonces
el resultado de la suma tendrá el signo de 7 el cual es - y
ahora hacemos la resta de los dos números.
7 - 4 = 3 , de aquí que -7 + 4 = -3
Suma de enteros negativos
Para sumar dos números enteros negativos, tomamos sus
valores absolutos y los sumamos, es decir, nos olvidamos
por un momento de los signos y sumamos ambos números
y el resultado tendrá signo negativo.
Ejemplo
Realice la siguiente suma de enteros (-7) + (-12)
Solución
Al quitar el signo menos de los números (¡recuerde que
esto se hace solo momentáneamente!) nos queda la suma
de dos enteros positivos
7 + 12 = 19
Ahora volvemos a poner el signo menos al resultado y
quedará -19, entonces (-7) + (-12) = -19
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros se debe tener en
cuenta lo siguiente:

División de números enteros
Al igual que con la multiplicación, debemos seguir la ley de los signos para la divición,
resumida en la siguiente tabla:
Operaciones combinadas
Para realizarlas se debe considerar la prioridad de las operaciones:
1. Productos y divisiones.
2. Sumas y restas.
Si tienen la misma prioridad, se realizan de izquierda a derecha.
Ejemplo
Efectuar 4+8÷2–3×5
Solución
Efectuamos primero la división y el producto.
4 + 8 ÷ 2 – 3 × 5 = 4 + 4 - 15
Luego, la suma y la resta.
4 + 4 - 15 = 8 - 15 = -7
Inteligencia a
desarrollar
Esta inteligencia se aplica
al leer las situaciones que
se le plantea y pensar
las posibles maneras de
resolverlas.
Se aplica cuando se
intercambian opiniones y
se hace trabajo en equipo.
Cuando se encuentran
las posibles soluciones a
una situación es necesario
compartirlas, discutirlas y
defenderlas técnicamente.
Es entonces cuando se va
aplicar esta inteligencia.
Se aplica al ubicarse
mentalmente, según el
signo de los números en
la recta numérica de los
números enteros.
Lógica Matemática
Lingüística verbal:
Interpersonal:
Espacial
1. Escriba dos planteamientos diferentes para resolver el problema.
Jorge juega canicas con sus amigos y han establecido sus propias reglas:
• Si golpean solo una canica, pierden la canica utilizada.
• Si golpean dos canicas, las ganan duplicadas.
• Si golpean más de dos canicas, las ganan triplicadas.
Durante el juego, Jorge le pegó a una canica 9 veces, a dos canicas 3 veces y a tres canicas 1 vez. ?Ganó o perdió?
2. Escriba una situación para el siguiente planteamiento de operación 6+5×9÷3-20
Compartirla con los miembros del equipo de trabajo.

• Analiza sobre las formas de aplicar la resolución de problemas a las operaciones básicas de los números enteros.
• Identifica estrategias metodológicas para la enseñanza de la ley de los signos y de agrupación.
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
¡Cuadrados mágicos!
Un cuadrado mágico es una tabla donde se dispone de una serie de números de forma
tal que la suma de los números por filas, columnas y diagonales principales sea la misma.
Realiza el siguiente cuadro sabiendo que la suma de sus filas, columnas y diagonales
principales es 0.
Desarrollo
La solución a la actividad planteada a parece a continuación, reflexionar sobre otras
posibles respuestas:
-1 4 -3
-2 0 2
3 -4 1
Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará las operaciones aritméticas
involucradas en una expresión, se efectúan de la misma forma en la que operamos los
números, respetando siempre las leyes de los signos. Las operaciones que están entre
paréntesis son las que se realizaran primero, posteriormente las que se encuentran entre
corchetes y por último las que se encuentran entre llaves.
Ejemplo
Realiza las siguientes operaciones [4+(-12+15)]
Solución
Para resolver esta suma se puede escoger hacer los cálculos de adentro hacia afuera:
primero paréntesis, seguido de los corchetes.
Ideas didácticas
Operaciones con signos de agrupación3
No existe una sola
forma para resolver un
ejercicio, se puede hacer
de adentro hacia afuera:
primero paréntesis,
seguido de los corchetes
y finalmente las llaves
(como es habitual
hacerlo). Pero también
se puede hacer de
afuera hacia adentro:
primero llaves luego
corchetes y al final
paréntesis, realizaremos
los ejemplos de ambas
formas, para que los
estudiantes escojan la
mejor.
Si al paréntesis se
antepone un signo más
(+) los números del
interior del paréntesis
conservan su signo.
+15+(-4+2-7)=+15-4+2-
7=6
Si al paréntesis se
antepone un signo
menos (-), los números
del interior del
paréntesis cambian de
signo.
+15-(-4+2-7)=+15+4-
2+7= 24
Esto se debe a la
multiplicación de los
signos.

Dada la expresión {5 - 3[ 5(4 - 2) + 12 ]}
1. Considere las posibles respuestas a las que un estudiante puede llegar.
2. Analice los razonamientos que llevaron a los estudiantes a las diferentes respuestas.
3. Cuál sería su reacción pedagógica ante cada respuesta?
[4 +(-12 + 15)]=[4 + (3)] = 7
Al resolver el paréntesis, se observa una suma de signos
diferentes.
O también:
[ 4 + (-12 + 15)] = [4 - 12 + 15]
Al resolver el paréntesis, se observa una suma de
diferentes signos resultado de multiplicar el signo más
(+) por los signos de los valores que están dentro del
paréntesis.
[4 - 12 + 15] = 4 - 12 + 15
Se resuelve sumando positivo con positivo y negativo con
negativo.
4 - 12 + 15 = 19 - 12 = 7
Realicemos el mismo ejercicio de una forma diferente.
[4+(-12 + 15)]=4+(-12 + 15)
Al eliminar el corchete, se observa una suma de signos
dentro del paréntesis.
4+(-12 + 15) = 4 - 12 + 15
Multiplicamos para eliminar paréntesis.
4 - 12 + 15 = 7
¡EL RESULTADO ES EL MISMO!
Resolvamos otro ejemplo.
{2 - 3 [6 + 3 (7 - 11) +1]}
Solución
{2 - 3[6 + 3(7 - 11) +1]}= {2 - 3[6 + 3(-4) +1]}
Realizando la operación dentro de los paréntesis.
{2 - 3[6 + 3 (-4) + 1]}= {2 - 3[6 - 12 + 1]}
Utilizando la multiplicación de signos.
{2 - 3[6 - 12 + 1]}= {2 - 3[ -5]}
Operando los corchetes.
{2 - 3[-5]}= {2 + 15}=17
Finalmente resuelvo las llaves.
Otra forma:
{2-3[6+3(7-11)+1]}=2-3[6+3(7-11)+1]
=2-18-9(7-11)-3
= 2-18-9(7-11)-3
= 2-18-63+99-3
=101-84
=17
Ejemplo
Realice la siguiente operación
Solución
Primero resolvemos el paréntesis del denominador.
Ahora realizamos la suma del numerador, el producto del
denominador y simplificamos
3 (8 - 12)
34 + 2
3 (8 - 12)
34 + 2
3 (-4)
34 + 2=
3 (-4)
34 + 2
-12
36 -3= =

• Analiza estrategias metodológicas para la enseñanza de las características de los números racionales.
• Identifica las diversas maneras de representar gráficamente los números racionales.
Saberes previos
Clasifique los siguientes números en naturales, enteros, racionales o reales. Tomar en
cuenta que podría estar en más de una categoría. -3/2, 2/3, 1.5, 2
Desarrollo
Al iniciar el estudio de las fracciones es conveniente que tenga presente la necesidad de
dividir la unidad en partes iguales e insista que una fracción no tiene ningún significado
si no se aplica a una unidad dada. Para ello proponga la realización de las siguientes
actividades complementarias:
• Dibuja tres rectángulos iguales, divídelos en dos partes iguales de distintas maneras
cada uno y compara la medida de estas partes.
• Divide distintas figuras planas en un mismo número de partes iguales
Representación gráfica
Se pueden distinguir dos casos:
• Representación gráfica continua
Modelos de áreas Modelos lineales
• Representación gráfica discreta
Conjunto de los números racionales4
¿Qué más
debo saber?
Ideas didácticas
Juegos con fracciones:
La siguiente página
contiene un aplet perfecto
para que los estudiantes
practiquen y aprendan
jugando http://www.
juegoseducativosvindel.
com/fracciones.php
Mas sobre fracciones
http://fqm193.ugr.es/
media/grupos/FQM193/
cms/Gloria_Leon.pdf
El origen de las
fracciones. En la historia
es posible distinguir
dos motivos principales
por los que fueron
inventadas las fracciones.
El primero de ellos fue la
existencia de divisiones
inexactas mientras que
el segundo resultó de la
aplicación de unidades
de medida de longitud.
Las fracciones, también
conocidas con el nombre
de “quebrados”, ya eran
conocidas por babilonios,
egipcios y griegos. Pero
el nombre de fracción
se lo debemos a Juan
de Luna, que tradujo al
latín, en el siglo XII, el
libro de aritmética de Al-
Juarizmi. De Luna empleó
la palabra «fractio» para
traducir la palabra árabe
«al-Kasr», que significa
quebrar, romper.

• Identifica estrategias metodológicas para la enseñanza de los números fraccionarios, a través de la aplicación
de reglas y propiedades de las operaciones básicas para aplicarlos en diversas situaciones de la vida cotidiana
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
Tome una hoja de papel bond y divídala en 2 partes iguales; divida una de las partes
obtenidas, en 3 partes iguales. Finalmente, divida una de las partes obtenidas
anteriormente en 5 partes iguales.
1. Elabore un diagrama que explique el proceso ejecutado.
2. Explique qué parte de la unidad representa cada una de las partes obtenidas.
3. Si tomo tres partes de diferente tamaño y las uno. Que parte de la hoja
representa el resultado.
Desarrollo
Al igual que para los números enteros, los números fraccionarios tienen cuatro
operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.
Suma
Existen dos tipos de sumas de fracciones:
- Con denominadores iguales: cuando las fracciones a sumar poseen igual
denominador, el resultado es la suma de los numeradores entre el denominador
común
Ejemplo
Realice la siguiente suma +
Solución
¡No te olvides de simplificar!
-Condenominadoresdistintos:Cuandolasfraccionesasumarposeendiferentes
denominadores, entonces hacemos uso del mínimo común múltiplo, esto con el
fin de llevar las fracciones a unas equivalentes con igual denominador y aplicar
el proceso anterior.
Ejemplo
Realice la siguiente suma +
Solución
Primero obtenemos el mcm(4,6)=12 ahora dividimos 12 entre los denominadores y los
Ideas didácticas
Operaciones con números racionales5
Para trabajar con
fracciones existen
diferentes programas y
applets, aquí dejamos
dos muy interactivos
que ayudaran a los
estudiantes a poder
manipular de forma
divertida las fracciones y
sus operaciones
- http://www.thatquiz.org/
es/index.html
- http://illuminations.nctm.
org/tools/FractionPie/
ver2.html
Es muy interesante
descubrir que nuestro
cuerpo está armónicamente
proporcionado y que
algunas partes son
exactamente fracciones de
otras.
1. La fracción 1/7 se
relaciona con la cabeza
y el total del cuerpo. Por
tanto, la cabeza es 1/7 de
él, es decir, cabe 7 veces
en el largo del cuerpo.
2. La fracción 1/3 tiene
varios ejemplos. La
cara tiene el largo de
la palma de la mano,
correspondiendo 1/3 de
esa medida a la frente, 1/3
al largo de la nariz y 1/3
desde la coba al mentón.
3. Otra relación es que el
ancho de la cabeza es 1/3
del ancho de la espalda.
4
3
2
3
2
3
4
3
6
3
2+4
3
+ = = = 2
1
2
3
4
5
6

1. Realice un rompecabezas con algún dibujo divertido o realiza un concurso midiendo con que fracción los estudiantes
logran adivinar que figura tiene el rompecabezas, el que lo logre con la menor fracción posible ¡gana!. Proponer una
situación problemática , donde se apliquen las cuatro operaciones desarrolladas y la estrategia didáctica para resolverla.
2. Cortar una tira de papel de un metro de largo, y por medio de dobleces representar las siguientes fracciones del metro
1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 3/4, 5/8
3. Cortar de una hoja de papel bond tamaño carta amarilla estas cantidades 2/15 , 3/8 y 1/8 . Sumen las cantidades y
calculen qué parte de la hoja de papel bond es la suma.
¿Cuáles fueron las posibles respuestas que dieron los estudiantes? Analice ¿qué dificultades podrían tener, ¿porqué?,
¿qué estrategias cree que utilizarán? y ¿cómo ayudarles?
Multiplicación
La multiplicación se realiza multiplicando numerador por
numerador y denominador por denominador.
Ejemplo
División
La división se puede realizar de dos formas:
- Cruzada: Se multiplica numerador de la primera
fracción por denominador de la segunda y el
resultado se escribe en el numerador, luego
denominador de la primera por numerador de la
segunda y se escribe en el denominador.
- Extremos: La fracción se escribe como un cociente
y se multiplican extremo por extremo y se escribe
en el numerador; y medio con medio, y se escribe
en el denominador.
multiplicamos por los numeradores respectivos.
Note que el proceso anterior es equivalente a encontrar las
fracciones equivalentes con igual denominador.
En la primera fracción si dividimos 12 entre el denominador
4 el resultado es 3, ahora si multiplicamos la fracción
arriba y abajo por 3 (es decir encontrar una equivalente) el
resultado es el siguiente:
Si repetimos el mismo proceso con la segunda fracción
obtenemos: 12 entre 6 igual a 2
¿Qué dificultades tendrían los estudiantes al aprender
la suma por medio de estos métodos?, proponga una
situación problemática y una estrategia para que el
aprender la suma de fracciones sea más fácil .
Resta
Al igual que para la suma se tienen dos casos y se procede
como lo hicimos anteriormente, la diferencia esta en
que en lugar de tener un signo mas en los numeradores
tendremos un signo menos.
3
4
5
6
19
12
9+10
12
+ = =
9
12
3x3
3x4
=
10
12
2x5
2x5
=
3
5
2
7
6
35
3x2
5x7
x = =
3
4
2
5
15
8
3x5
4x2
÷ = =
3
4
2
5
15
8
3x5
4x2
= =

• Analiza estrategias didácticas para resolver problemas con fracciones combinadas complejas positivas y
negativas
Saberes previos
En el almacén Paraíso, tienen las siguientes ofertas: por la compra de una camisa tiene
derecho a un descuento de 1/5 del costo original y por la compra de 2 camisas y un
pantalón, a un descuento de 2/7 del costo total. Si el precio de la camisa es $20 y el precio
del pantalón $45.
Cuánto paga por la camisa?
Cuál es el descuento si compra las dos camisas y el pantalón?
Desarrollo
Hay varias maneras de abordar las fracciones, a continuación aparecen algunas de ellas.
Establezca la diferencia entre ellas.
Discretas
Con semillas, botones, piedras, etc. Se pueden realizar actividades encaminadas a
reconocer la unidad, reconocer las partes de la unidad y averiguar qué representa una
parte determinada con respecto al total considerado como unidad.
1. ¿Qué parte del total está rodeada?
Solución
Son 8 caritas y dos de ellas están en un óvalo, entonces la parte rodeada es:
=
¡Es un cuarto de la parte total!
Continuas
Con cuerdas, hilos, metros, etc. Se divide la recta en unidades y subunidades para trabajar
fracciones como longitudes.
2. ¿Qué fracción representa la siguiente figura?
Solución
Si contamos todas las rayitas que hay desde cero hasta 2, tenemos 10, ahora contemos
los saltos, los cuales son 7, por lo tanto la fracción que representa la figura es .
Ideas didácticas
Resolución de problemas utilizando números
racionales
6
Crear un dominó de
fracciones, en una ficha
que este la fracción
mientras que en la otra este
el área sombreada
Juego con fracciones
http://www.vedoque.com/
juegos/matematicas-04-
fracciones.swf
¡Sudoku con fracciones!
http://neoparaiso.com/
imprimir/sudoku-de-
fracciones.html
Bingo de fracciones
¿Qué más
debo saber?
Fracciones propias
El denominador es mayor
que el numerador.
Fracciones impropias
El denominador es menor
que el numerador.
Fracción mixtas
Una parte es fraccionaria y
la otra entera.
Fracción compleja
El numerador o el
denominador, o ambos
contienen fracciones.
2
8
1
4
7
10

Solución
5. Coloree un medio de la figura.
Solución
Recuerde que puede colorear la figura de la forma que
prefiera.
Superficies
Con pasteles, pizzas, tartas, etc. Cálculo de áreas
incompletas y sombreado de áreas
3. Si el triángulo representa de la figura ¿Cuál es
la figura geométrica representada?
Solución
Si el triángulo representa un sexto de la figura, entonces la
figura total debe tener
+ + + + + = 1
Y si cada 1/6 representa un triángulo entonces debo tener
seis triángulos por lo que la figura total es un hexágono.
Note que la figura puede variar lo importante es que tenga
seis triángulos.
4. La siguiente figura representa 1/3 de otra figura
¿Cuál es la otra figura?
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
6. Exprese como una fracción el área de la superficie
coloreada tomando la superficie total como unidad
Solución
Note que en el segundo cuadrado el triángulo representa
la mitad de la figura, es decir un medio.

Solución
Como el objetivo es no repetir fracciones, podemos
escribir cualquier fracción que queramos, es decir, que la
solución no es única.
8. Ordenar Fracciones
Une los puntos ordenando las fracciones de menor a
mayor y conseguiras un dibujo.
Mientras que en el primer cuadrado, el triángulo verde
representa un cuarto de la figura.
Dado que los cuadrados son iguales y juntos tiene
superficie total 1 entonces cada uno de ellos será un
medio.
De aquí que para el primer cuadrado el triángulo verde será
Y en el segundo será
Es decir la figura en verde representa
De la figura total de área 1
7. Resuelve el siguiente sudoku
No puedes repetir la misma fracción ni en fila ni en columna
ni en los cuadros de cuatro
1
4
1
2
1
8
x =
1
2
1
2
1
4
x =
1
8
1
4
3
8
+ =

Solución
9. Suma y resta de fracciones
Solución:
El resultado de la suma de los caminos debe dar 1, y el
único camino que cumple es
Note que los demás caminos dan resultados diferentes.
6
5
4
5
6
5
2
5
8
5
3
5
5
5
- - -+ + = = 1
10. Crucigrama de fracciones
Horizontal
2. Las fracciones que tienen el numerador menor que el
denominadorsonfracciones,¿mayoresomenoresquelaunidad?
4. En una fracción, ¿qué término indica las partes en que
se divide la unidad?
6. La fracción 8/5 será, ¿mayor o menor que uno?
7. La fracción 2/5 será, ¿mayor o menor que uno?
Vertical
1. En una fracción, ¿qué término indica las partes que se
toman?
3. La fracción 5/5 será, ¿mayor, menor o igual que uno?
5. Las fracciones que tienen el numerador mayor que el
denominador son fracciones, ¿mayores o menores que la
unidad?
Solución

• Identifica estrategias metodológicas para la enseñanza de las características y representación gráfica de los números
reales.
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
- Observe , analice y explique la gráfica siguiente :
- Deducción del número π como la relación entre una circunferencia y su diámetro.
- El número e
Desarrollo
Para las características de los número reales tenemos los siguientes axiomas. Si a,b y c
son números reales se cumplen lo siguiente:
• a + b es un número real (Cerradura para la suma)
• a + b = b + a (Conmutatividad en la suma)
• (a + b) + c = a + (b + c) (Asociatividad en la suma)
• Existe 0 de manera que para todo a que pertenece a los números reales se cumple que
a + 0 = 0 + a = a (Neutro aditivo)
• Para cada a existe un elemento -a tal que a + (-a) = - a + a = 0 (Inverso aditivo)
• a × b es un número real (Cerradura en la multiplicación)
• a × b = b × a (Conmutatividad en la multiplicación)
• a × (b × c) = (a × b) × c (Asociatividad en la multiplicación)
Conjunto de los números reales7
¡Curiosidades!
El número Áureo
(1+√5)/2
O también llamado
número de oro (número
dorado, razón áurea,
razón dorada, media
áurea, proporción áurea
y divina proporción), es
la proporción o relación
que guardan entre si
dos segmentos de
recta. Existen muchas
aplicaciones de este
número, por ejemplo la
proporción de la longitud
de los lados de una
tarjeta de crédito.
Leonardo Da Vinci
utilizó este número
en diferentes obras,
tales como la mona
lisa, la última cena, las
relaciones en el hombre
vitruvio; siendo este
el conocido como el
ideal de belleza por la
proporciones que en él
se cumplen.

• Existe 1 de manera que para cualquier a que pertenece
a los reales a×1=1×a=a (Neutro multiplicativo)
• Para cada a ≠0 existe un elemento 1/a tal que a×1/a=1/
a×a=1 (Inverso multiplicativo)
• a×(b+c)=a×b+a×c (Distributividad de la multiplicación
en la suma)
• Se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
a<b
b<a
a=b
• Si a<b y b<c entonces a<c (Transitividad)
• Si a<b y c<d entonces a+c<b+d (Monotonía en la suma)
Los números reales se representan en una recta llamada
recta real. Para ello, se coloca el número 0 en un
determinado punto de la recta que se denomina origen. El
número 1 se coloca en un punto de la recta a la derecha
del origen y aun determinada distancia del mismo que se
denomina unidad. Así, cualquier real positivo se representa
por un punto de la recta a la derecha del origen y de
manera que la distancia de dicho punto al origen viene
dada por el valor de dicho número. Para representar los
números reales negativos se procede de la misma forma
pero considerando un punto de la recta a la izquierda del
origen.
De esta manera, los puntos que representan a un número
real y su opuesto son puntos de la recta simétricos
respecto del origen.
Según esta representación, los números enteros están
representados por puntos de la recta entre los cuales
quedan huecos sin cubrir. Los números racionales cubren
parte de estos huecos.
Ejemplo
Para representar el número racional 2/5, como 0<2/5<1,
se considera la distancia que separa los puntos de la recta
que representan el 0 y el 1, es decir, la unidad está dividida
en 5 partes iguales, entonces el punto que representa el
número 2/5 corresponde al número determinado por las
dos primeras partes de la anterior división.
Ejemplo
Represente los siguientes números reales en la recta
numérica.
• √5
• -π
• 0.5
• -1
Ejercicio
Represente los siguiente números en la recta real

• Resuelve ejercicios y problemas con las cuatro operaciones básicas aplicando la simplificación y propiedades de
los radicales
Saberes previos
Desarrollo
Propiedades de los radicales
1. Descomponer y expresar
con factores.
a) 125
b) 81
c) 2 041
2. Expresar como potencia.
a) 2 x 2 x 2 x 2
b) 5 x 5 x 5 x 5
3. Escribe la letra de la
expresión a su respectiva
equivalencia.
a)
b)
c)
Ideas didácticas
Resolución de problemas utilizando los números
reales
8
Este es un juego para
que los estudiantes
puedan practicar las
raices
http://www.primaria.
librosvivos.net/
archivosCMS/3/3/16/
usuarios/103294/9/6EP_
Mat_cas_ud5_problema/
frame_prim.swf
Articulo con juegos de
radicales para poder
realizarse en grupo o
pareja
http://www.sinewton.org/
numeros/numeros/33/
Articulo03.pdf
Juego de orden entre los
números reales
Para jugar entre dos,
para aprender a no usar
calculadora
http://anagarciaazcarate.
wordpress.
com/2013/07/15/juego-
del-orden-entre-los-
numeros-reales/
1. Simplifica el radical
Solución
Primero escribimos el número 16 en sus factores primos
, es decir que de aquí que
2. Suma los siguientes radicales
Solución
Primero simplificamos los radicales tal y como lo hicimos en el ejercicio anterior.
Luego ahora hacemos las sumas y restas de los radicales
3. Multiplique los siguientes radicales (con el mismo índice)
Solución
Primero multiplicamos los coeficientes de los radicales y luego utilizamos las propiedades
125
22
5

de los radicales
R/Por lo tanto el resultado de la multiplicación es
•
Solución
Primero lo escribimos en una sola raíz
Ahora sacamos del radical que es el único que puede
salir y el resultado final es
4. Multiplique los siguientes radicales (con índices
distintos)
•
Solución
Primero hacemos la conversión del radical al de mayor
índice, en este caso es 4 (esto es el mcm de 2 y 4)
Y ahora que tienen igual índice las raíces entonces se
procede a realizar la multiplicación
•
Solución
Como no sabemos quién es mayor si m o n, entonces
tendremos que modificar ambos radicales
Y ahora los multiplicamos
5. Divide los siguientes radicales (con igual índice)
•
Solución
Lo primero que hacemos es escribir toda la fracción en un
solo radical
•
Solución
Utilizando la propiedad de los radicales, tenemos que
6. Divide los siguientes radicales (con diferente índice)
Solución
En este caso, al igual que en el de la multiplicación, primero
debemos hacer una conversión a una raíz mayor, común a
ambos, de la siguiente manera.

Dado que el mcm de 4 y 5 es 20 entonces tendremos que
llevar ambas raíces a tener índice 20. ¿Cómo lo hacemos?,
modificando el índice de la raíz y la potencia del radicando
El radical del denominador se convierte en:
Y ahora lo escribimos en una sola fracción
Dado que no se puede simplificar aún más la fracción,
entonces esta es la respuesta final.
•
Solución
Al igual que en el caso anterior no sabemos cómo es k
respecto de h, es decir quién de los dos es mayor, por lo
tanto vamos a modificar ambas raíces.
y ahora lo escribimos en una sola fracción
Dado que no se puede simplificar la raíz, la respuesta es
el último radical
7. Resuelve el siguiente radical
Solución
Este es uno de los ejercicios más emblemáticos cuando
se trata de resolver raíces negativas, la mayoría de
estudiantes tienen la idea que no se pueden resolver raíces
con radicandos negativos lo cual es totalmente ¡FALSO!
Los que no tienen soluciones en los números reales son
aquellas raíces de índices pares, pero las raíces de índices
impares siempre tiene solución.
Obviamente en este tipo de ejercicios se debe tener más
cuidado (esto no significa que sean más ¡difíciles!).
Lo primero que debemos hacer es pensar en que el número
resultante tendrá signo negativo, ahora escribamos 32 en
sus factores primos es decir que
(¡Compruébalo!).
Con esto ya podemos resolver la raíz
8. Inclusión de un factor en un radical
•
Solución
Para poder introducir el factor 4 debemos elevarlo a la
misma potencia que el índice de la raíz y luego ponerlo
dentro de la raíz
Ahora sustituyamos en la expresión que teníamos

•
Solución
Como la raíz es cuadrada entonces elevamos el factor
al cuadrado
y ahora lo sustituimos en la expresión inicial
•
Solución
En este caso la raíz es cúbica por lo tanto el factor debemos
elevarlo al cubo
y sustituimos al inicio
9. Calcule y simplifique
•
Solución
Primero cambiamos las raíces del numerador en un solo
índice tal y como lo hemos hecho en ocasiones anteriores
De aquí que
Ahora escribámoslo en el numerador
Sabemos que el mcm de 4 y 6 (que son los índices de las
raíces) es 12, por lo tanto tenemos que escribir las raíces
del numerador y denominador en índice 12.
Ahora hacemos el cociente
•
Solución
Iniciamos resolviendo primero el numerador y lo
que hacemos es introducir el factor en la segunda raíz
Ahora que ya escribimos el primer término como un solo
radical, procedemos a trabajar como antes
Ahora lo unimos con el denominador

Dado que el mcm de 30 y 2 es 30, entonces solo
modificamos el denominador
Ahora usamos racionalización (este proceso consiste en
eliminar las raíces del denominador, para ello se multiplica
por una fracción que sea un uno de forma conveniente)
10. En la figura vemos el suelo de una habitación
cuadrada que tiene 100 baldosas. ¿Cuántas
baldosas tendrá por cada lado?
Solución
Para resolver este problema habrá que hallar un número
que elevado al cuadrado sea 100. Es el 10 porque
, es decir, , por tanto, la raíz
cuadrada de 100 es 10
11. Encuentre la raíz cuadrada de 46
Solución
Si queremos hallar la raíz cuadrada de 46 nos encontramos
que no es un cuadrado perfecto, ya que es mayor que 36
( ) y menor que 49 ( ). La raíz de 46 tendrá una parte
entera y una parte decimal.
Raíz cuadrada de un número es la raíz del mayor cuadrado
perfecto contenido en él. En este caso al cuadrado de 6
(36) le faltan 10 para llegar a 46. 46-36=10.
El número 10 se llama resto.
12. Laberinto de radicales
Partiendo de la casilla superior izquierda, busca un camino,
pasando de una casilla a otra lateral, superior o inferior,
sabiendo que los radicales de ambas casillas tienen que
ser equivalentes, hasta salir por la casilla inferior derecha

Solución
Sabemos que las raíces también podemos escribirlas
como potencias (donde el exponente es una fracción)
¡La solución no es única!, encuentra las demás
13. Un árbol de 50m de altura, proyecta una sombra
de 60m de larga. Encuentra la distancia que hay
desde la parte superior del árbol hasta donde llega
la sombra en ese momento
Antes de continuar con la solución del problema,
recordemos uno de los teoremas más conocidos, el
Teorema de Pitágoras (el cual se utiliza para triángulos
rectángulos)
a c
b
se cumple que c2
= a2
+ b2
Solución
Utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que
Luego tenemos que la distancia que hay desde la parte
superior del árbol hasta donde llega la sombra en ese
momento es de
14. Un paciente recibe un tratamiento con radioterapia
para un tumor situado detrás de un órgano vital.
Para evitar daño en el órgano, el radiólogo, debe
dirigir los rayos con un cierto ángulo hacia el tumor.
Si el tumor está a 6.3 cm debajo de la piel y los rayos
penetran en cuerpo 9.8 cm a la derecha del tumor.
¿Qué distancia deben recorrer los rayos para llegar
al tumor?
Solución
Utilizando Pitágoras tenemos que
Luego la distancia que deben recorrer los rayos para llegar
al tumor es 11.65 cm
Piel50
60

15. El área de un terreno cuadrado es 1125 metros
cuadrados. ¿Cuál es el perímetro del terreno?
Solución
Recordemos que para encontrar el perímetro de una figura
debemos conocer la longitud de los lados, y dado que
el área se calcula como base por altura, pero por ser un
cuadrado la altura es igual a la base que es la longitud del
lado, entonces el área es lado por lado.
R/ El perimetro del terreno es 134.16 m
16. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo cuyo
volumen es 729 ?
Solución
En un cubo sus aristas todas son iguales y el volumen se
calcula como el lado al cubo (el lado es lo mismo que la
arista) y dado que el volumen es 729 , entonces
R/ Luego la medida de la arista es 9 cm
17. En una caja, en forma de cubo se han empacado
125 cubos de azúcar
a) ¿Cuántos cubos caben a lo largo de la caja?
b) ¿Cuántos ocupan cada nivel de la caja?
Solución
a) Para encontrar cuantos cubos caben a lo largo de la
caja, debemos encontrar el valor de la arista del cubo,
tomando cada cubo como una unidad de medida,
llamemos a al número de cubos a lo largo de la caja.
R/ Es decir, que caben 5 cubos a lo largo de la caja
b) Para encontrar cuantos ocupan cada nivel, tenemos
que encontrar el área tomando cada cara de cubo de
azúcar como una unidad de área y como en la caja todas
las aristas miden lo mismo entonces, al ser 5 de largo y
de ancho tendremos que en cada nivel hay 5 X 5 cubos,
lo que da un total de 25
R/ El nivel de la caja ocupa 25 cubos.
18. En una exhibición militar, una compañía de 144
soldados se dispone en igual número de filas y
columnas. ¿Cuántas filas y columnas formaron?
Solución
Llamemos x al número de filas de soldados, dado que se
quiere igual número de columnas, entonces también será
x, de aquí el número de soldados será , ordenados en
x filas y x columnas, pero se dispone de 144 soldados, es
decir
R/ Se forman 12 filas y 12 columnas.

19. Una bacteria se reproduce cada hora, se sabe que
en la primera hora dio origen a dos bacterias, en la
segunda a cuatro y en la tercera a ocho. ¿Cuántas
bacterias reproduce en cada hora?
Solución
Como han pasado tres horas y hay ocho bacterias,
necesitamos buscar un número que multiplicado por
s í mismo tres veces dé como resultado ocho, es decir
Por tanto, si hallamos obtenemos como resultado 2,
es decir que la bacteria se duplica cada hora.
20. ¿Cómo calcular el radio de un balón?
Solución
Para calcular el radio de un balón, lo introducimos
totalmente en un cubo lleno de agua
Lo sacamos y medimos cuánta agua hay que añadir para
volver a llenar el cubo.
Hemos medido aproximadamente 7.25 decimetros
cúbicos, Sabemos que el volumen de una esfera es
Por tanto
Despejando r tenemos que
Dado que π es un número irracional aproximaremos a
cuatro cifras decimales el cociente
Ahora obtenemos la raíz cubica
Es decir que el radio del balón es de 1.2 decimetros, para
que pueda desplazar 7.25 decimetros cúbicos de agua.

1. Escriba la fracción que corresponde a la parte
coloreada del dibujo
2. Resuelva las siguiente operaciones
8. Extrae todos los posibles factores del signo radical
9. Introduce los factores
10. La cuarta parte de las niñas y niños del colegio han
jugado alguna vez a la patineta. ¿Qué fracción del
colegio no han jugado con la patineta?
11. Desde la parte superior de una torre que mide 45.5
m de alto se observa un incendio, en la superficie
terrestre a 2 km. ¿A qué distancia de la base de la
torre es el incendio?
12. Leif desea deslizarse por un tobogán que tiene una
altura máxima de 2.5 m. La distancia que hay entre el
punto donde toca el suelo y la base del tobogán es de
600 cm. ¿Qué distancia recorre en el tobogán
3. Escriba tres radicales equivalentes a:
4. Multiplique los radicales
5. Realiza los siguientes cociente
6. Sume los siguientes radicales
7. Simplifique las siguientes expresiones

Autoevaluación
1. Representa las fracciones que se indican coloreando los recuadros que sean necesarios
2. ¿Qué fracción se ha coloreado en cada figura?
3. Calcula la raíz mentalmente
4. Calcula la raíz factorizando
5. Multiplica los radicales
6. Divide los siguientes radicales
7. Simplifica
8. Realice las siguientes operaciones
9. Un pescador se encuentra a 12 km de una ciudad que esta a o km sobre el nivel del mar, desde allí se observa un avión,
que volaba a 10500m de altura. A qué distancia se encuentra el avión del pescador

• Deduce e Interpreta el significado del exponente positivo, negativo y el exponente cero
• Deduce las propiedades del producto y cociente de potencias de igual base, potencias de otra potencia y potencias
de un cociente de bases distintas.
• Simplifica expresiones numéricas en las que se requiera la aplicar dos o más propiedades de los exponentes.
• Aplica las propiedades de los exponentes en ejercicios y problemas relacionados con notación científica.
¿Qué más
debo saber?
Saberes previos
Encuentre el área de cuadrado cuyo lado mide 3 metros.
Ahora encuentra el volumen de un cubo cuya arista mide
6 cm.
Desarrollo
¿Qué es la potenciación de números naturales?
El área de un cuadrado cuyo lado mide 3 metros se obtiene
multiplicando esa medida por sí misma:
Área = 3 m x 3 m = (3 x 3) m2
Para calcular su volumen, se multipica la medida de esta arista
por sí misma tres veces:
volumen = 6 cm x 6 cm x 6 cm = (6 x 6 x 6) cm3
Potenciación
Unidad 2:
Utilizando potencia
1
En definitiva, entender que
la matemática es la base de
su didáctica: la forma en que
se construye el conocimiento
matemático es una fuente
imprescindible a la hora de planificar
y desarrollar su enseñanza. Con
nuestra propuesta –como trataremos
de hacer ver a continuación–
pretendemos colaborar en la
formación de “un educador capaz
de generar procesos de cambio y
transformación social; reflexivo y con
capacidad para potenciar el diálogo
de saberes y el discernimiento
creativo, indispensable para inventar
y seguir inventando nuevas ideas
y formas de alcanzar la realización
de esa sociedad y de ese sujeto
deseado” para profundizar en este
tema investigar: Las potencias
en la descomposición factorial
de un número. Datos Históricos:
Los antiguos indios fueron muy
aficionados a los números enormes.
En su gran poema Mahabarata
(siglo vi a.C.), se cuenta que Buda.
Tuvo 6×1011 hijos y se habla de
24×1015 divinidades. Y una leyenda
popular describe una batalla en
la que intervinieron 1040 monos.
Arquímedes, (siglo III a.C.), con el
fin de demostrar que el número de
granos de arena “no era infinito”,
se propuso escribir un número
mayor que el número de granos de
arena que cabrían en el universo. Y
para ello escribió todo un libro, El
Arenario, en el que tuvo que inventar
una nueva forma de escribir números
extraordinariamente grandes.
3m
6cm
1m
1m
m2
1cm
1 cm 1
cm
m3
La Potenciación
Un día, un estudioso estaba pensando y jugando con papel se planteó una
cosa:
- Voy a tirar un papel al cesto, pero antes decido romperlo. Lo partió en dos y
superpongo las partes; vuelvo a partir en dos y a superponer las partes, y así
sucesivamente. Entonces:
¿Cuántos trozos de papel habré tirado al cesto después de efectuar 5 veces
esa operación?
¿Y si hubiera partido el papel cada vez en tres partes?
¿Y si lo hubiese partido cada vez en cuatro partes?
¿Y en cinco partes?
¿Y en diez partes?
¿Y en a partes?
¿Y si hubiese repetido n veces esta última operación?

Ideas didácticas
Para contestar las interrogantes anteriores.
La potencia an
, de base a (número real) y exponente n entero positivo (n=1, 2, 3,…) está
definida como el producto de n factores iguales a. La interpretación de an
de manera
inductiva es:
Propiedades
Habitualmente, el tema
de potenciación que
apenas se trabaja en
el aula pero que, como
se ha visto, presenta
muchos puntos de interés.
¿Qué hacer en el aula?
Desde luego, no limitarse
a calcular potencias.
Hay que habituarse a
ellas, a reconocerlas
“Escondidas” en los
números. Lo que se trata
es de ver los números
de otra forma; es decir,
de acostumbrarse a las
diversas formas en que
podemos representarlos.
Y esta tiene que ser una
tarea permanente en
el aula, no circunscrita
a un solo grado de la
escuela. En cuanto a
las propiedades de las
potencias, debe llegarse
a ellas por la vía de
la observación y del
descubrimiento. Por otro
lado, el enunciado de tales
propiedades se presta a
un verdadero afinamiento
en el uso del lenguaje
matemático. El motor
de todo este esfuerzo
es la observación,
la visualización de
regularidades, que da
pasó a una generalización
basada sobre la
evidencia que aporta tal
visualización. En este nivel
no se trata de desarrollar
demostraciones
rigurosas; éstas vendrán
posteriormente, en el
terreno de la llamada
Teoría de Números
Apliquemos estas propiedades para calcular 231
, sin calculadora.
Basta mirar detenidamente los siguientes cálculos y convencernos de que encaminan a
nuestro propósito: Obtener 231
.
De esta forma solo hemos tenido que hacer 3 multiplicaciones y una división. No obstante
algunas operaciones han sido algo grandes.
Actividad. Completa la siguiente tabla.

Actividad. Complete la siguiente tabla.
Observe los resultados y responda:
a) ¿Será (a + b)2
= a2
+ b2
, para cualquier
valor de a y b?
b) ¿Qué número hay que sumar a
a2
+ b2
, para que sea igual a
(a + b)2
?
Ejemplo. ¿Es posible repartir los números {12
, 22
, 32
, 42
, 52
, 62
, 72
} , en dos grupos, de
manera que la suma de los números de cada grupo sea la misma?
¿Y para los números {12
, 22
, 32
, 42
, 52
, 62
, 72
, 82
, 92
} ?
Solución.
Sea A = {12
, 22
, 32
, 42
, 52
, 62
, 72
} . Sí se puede. La suma de los 7 números es 140, luego
la suma de cada grupo debe ser 70. En el grupo donde está 72
= 49, se debe agregar
números que sumen 21 para llegar a 70, lo cual se logra con 1, 4 y 16. Por lo tanto los
grupos son {12
, 22
, 42
, 72}
y {32
, 52
, 62
}
Sea ahora B = {12
, 22
, 32
, 42
, 52
, 62
, 72
, 82
, 92
} , en este caso no se puede porque la
suma 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
+ 62
+ 72
+ 82
+ 92
, tiene 5 sumandos impares y por lo tanto
es impar.
Ejemplo. Esmeralda posicionó todos los números naturales de 1 a 2006 en el siguiente
arreglo en forma de pirámide:
¿En qué piso se encontraría el número 2006? (por ejemplo el 1 está en el piso 1).
Solución. En la pirámide notemos:
El cuadrado más cercano al 2006 es: 442
= 1936, Vemos que 21 está en el piso 5, 13
está en el piso 4, 7 está en el piso 3. Luego: 442
+ 5 = 1981, está en el piso 45. De acá
1982 está en el piso 44. Así, el 2006 está en el piso 45 - 25 = 20.
Curiosidades aritméticas
102
= 123 + 45 − 67 + 8 − 9
102
= 123 − 45 − 67 + 89
102
= (1 + 2 − 3 − 4) − (5 − 6
− 7 − 8 − 9)
Nombres de los gigantes
numéricos
Ya nos encontraremos con
gigantes numéricos aún
mayores, y a una forma más
elegante de representarlos.
Detengámonos en sus
nombres admitidos en una
serie importante de países.
Hicimos mención a los
órdenes y las clases
en nuestro sistema de
numeración decimal. Así, a
lo indicado anteriormente
añadimos ahora, que el millón
es un mil de miles, es decir,
es la unidad de tercera clase.
Después van las decenas, y
las centenas de millones.
Un millar de millones forman
la unidad de cuarta clase,
denominada billón. De este
modo 1 billón es igual a 1000
millones.
Se escribe en la forma: 1
000 000 000. Es decir, una
unidad con nueve ceros. En
América Latina y en España
un billón es igual a un millón
de millones. Se escribe de
esta Forma: 1 000 000 000
000, es decir, una unidad con
doce ceros.

¿Cuál debe ser el valor de a0
? Como la igualdad
a0
a1
=a0+1
, debe ser válida, tendremos a0
a1
=a1
, luego la
única definición posible es a0
=a1
.
En seguida, dado cualquier n∈N (entero positivo),
debemos tener:
a-n
an
= a-n+n
=a0
=1, luego a-n
=1/an
. Para todo n∈N.
Así, si quisiéramos extender el concepto de potencia
del número real a > 0, para admitir exponentes enteros
cualesquiera y preservando la igualdad am
an
= am+n
, la
única definición posible consiste en imponer a0
=1 y
a-n
=1/an
.
Actividad. Los ejercicios en esta parte son de dificultad
media en su mayor parte. La idea es mostrar cómo se
puede organizar una búsqueda y seguir un razonamiento.
1. Reduce a una sola potencia.
2. Utilizando las convenciones del exponente cero y
exponente negativo reduzca a una sola potencia.
columnas y diagonales da lugar a un mismo número. ¿Cuál
es ese número? ¿Qué número debe aparecer en el lugar
de la interrogación para que sea un cuadrado mágico?
3. En el siguiente cuadrado mágico todos los números que
aparecen son potencias de 2. Escríbelos como potencia
y comprueba que el producto (No la suma) de las filas,
Ejemplo (Relaciones entre cuadrados):
Veamos ahora un tipo de regularidades referentes a los
cuadrados y, en particular, a las diferencias entre los
cuadrados consecutivos, es decir, entre los cuadrados de
números naturales consecutivos:
Nuestro primer descubrimiento es que el conjunto de las
diferencias es, precisamente, el conjunto de los números
impares. Es decir, todo número impar puede expresarse
como la diferencia de dos cuadrados consecutivos.
Hay una correspondencia entre cada número impar (6 + 7)
y las bases de los cuadrados que se restan para obtener
dicho número impar (72
- 62
).
Esta regularidad puede extenderse ahora a cualquier otro
caso. Así, si escribimos como n + 1 el número natural que
sigue a n, tenemos: (n+1)2
- n2
= n+(n+1).
Regularidad cuya lectura nos dice que “la diferencia de
los cuadrados de dos números naturales consecutivos es
igual a la suma de dichos números consecutivos”.
Es fácil darse cuenta de que a partir de aquí podemos
resolver dos tipos de preguntas al respecto:
1. ¿Cuál es la diferencia de la resta 20042
- 20032
?
2. Exprese el número 793 como diferencia de dos
cuadrados.
2
Analice como cambia el valor posicional y
descubra algunas regularidades.

El cuadrado total tiene lado l = 1 unidad. Proporcione las
medidas de los lados de los subrectangulos para justificar:
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8...
Atendiendo el ejemplo anterior justifique las siguientes
identidades:
Otras regularidades referentes a potencias
No buscamos ser exhaustivos en la relación de todas
las regularidades que pueden hallarse en el estudio de
las potencias. Son muchas. Pero sí estamos propiciando
el descubrimiento de algunas, con la esperanza de que
nos sintamos estimulados para buscar otras por nuestra
cuenta.
Ejemplo
La secuencia 1, 5, 4, 0, 5,... está formada por los dígitos de
las unidades de las siguientes sumas:
¿Cuál es la suma de los primeros 2012 números de la
secuencia?
12
= 1
12
+ 22
= 5
12
+ 22
+ 32
=14
12
+ 22
+ 32
+ 42
= 30
12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
= 55
12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
+ K = K ??
Solución
Cada 20 sumas la secuencia que se forma es {1,5,4,0,5,1,0
,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0}. La secuencia formada suma 70.
Si dividimos 2012 entre 20 sumas, resultan 100 secuencias
completas y sobran 12; Por lo que la suma será 70 x 100 =
7000 más los siguientes 12 dígitos de la secuencia, esto es:
7000 + 36 = 7036
Aquí parte de la secuencia, donde se aprecia que cada 20
se repite la secuencia:
Ejemplo
Tienes una gran cantidad de bloques de plástico, de longitud
1 cm, anchura 2 cm y altura 3 cm. ¿Cuál es el menor número
de bloques necesario para construir un cubo?
Solución
Los bloques tienen dimensiones de 1 x 2 x 3 cm Si
consideramos la altura de 1 bloque (3 cm.)
No es posible hacer un cubo de 3 x 3 x 3 cm., porque el
ancho de 2 cm. del bloque no da para tener la dimensión
de 3 cm.

La distancia que un rayo de luz recorre en un año es
aproximadamente 5 900 000 000 000 millas; este número
se puede escribir en forma científica como 5.9 × 1012
.
El exponente positivo 12 indica que el punto decimal debe
moverse 12 lugares a la derecha.
La notación funciona igual para números pequeños.
El peso de una molécula de oxígeno se estima que es
0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos, o sea, en
forma científica, 5.3 ×10-23
gramos. El exponente negativo
indica que el punto decimal debe moverse 23 lugares a la
izquierda.
Ejemplo
Números a forma científica.
Ejemplo
La masa de un virus es de 10-21
kg, la de un hombre, 70
kg, y la de la tierra 5.9 ×1024
kg. Calcula la relación entre la
masa de un hombre y un virus, y la de la tierra y un hombre.
¿Cómo son estas relaciones?
Solución
Dado que la masa del virus como la del hombre y de la tierra
están en la misma unidad de medida que son kilogramos,
para ver las relaciones basta analizar el cociente respectivo,
esto puede resumirse en el siguiente esquema
Procedimiento
La relación entre la masa de un hombre y un virus, es igual
al cociente entre la masa del hombre sobre la masa del
virus, y la relación entre la masa de la tierra y un hombre,
es igual al cociente entre la masa de la tierra sobre la masa
del hombre.
Si consideramos una altura de 2 bloques (6 cm.), sí es
posible hacer un cubo de 6 x 6 x 6 cm., porque tendríamos
de longitud 6 bloques de 1 cm. (6 cm.), de ancho 3 bloques
de 2 cm. (6 cm.) y de alto 2 bloques de 3 cm. (6 cm.), como
se muestra en la figura.
Por tanto, el menor número de bloques necesario para
formar un cubo es: 6 x 3 x 2 = 36 bloques.
513 = 5.13 x 102
93 000 000 = 9.3 x 103
0.000 000 000 43 = 4.3 x 10-10
7.3 = 7.3 x 100
20 700 = 2.07 x 104
0.000 648 = 6.48 x 10-4
La Notación Científica.
La potenciación proporciona los instrumentos para la
expresión en notación científica.
Cuando manejamos números muy grandes nos
encontramos con dos importantes inconvenientes:
1. Las operaciones con ellos son extremadamente
pesadas.
2. Tiene tantas cifras que nos resulta difícil hacernos
una idea clara de lo grande que es el número. Por
ejemplo
N= 367 415 000.
En casos como éste, la notación científica resulta mucho
más manejable, se entiende mejor y, lo que se puede
perder en exactitud, se gana en simplicidad.
Ejemplo: 367 415 000 = 3.67415 x 108
≈ 3.67 x 108
a. bcdef ... 10n

Operación y resultado.
Actividad. El siguiente cuadro indica las distancias en kilómetros de tres planetas hacia el Sol. Completa las columnas
que nos faltaron:
¿Recuerda la leyenda del ajedrez?
Su inventor, en la India, se lo mostró al rey Shriham, el cual quedó tan entusiasmado con el juego que le ofreció regalarle lo
que pidiera. El inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: “dos granos de trigo por la primera casilla
del tablero, cuatro por la segunda, ocho por la tercera, dieciséis por la cuarta y así sucesivamente duplicando en cada casilla
la cantidad de la anterior hasta llegar a la última”. El rey se extrañó de lo poco con que se conformaba, pero ordenó que le
dieran lo que pedía.
a) ¿Cuántos granos de trigo habrá que poner en la casilla 64? Luego exprese con notación científica la respuesta.
b) ¿Cuántas toneladas son todos esos granos de trigo?(Sugerencia: Suponga que 1000 granos de trigo, pueden pesar
alrededor de 30 g)
c) Sabiendo que la cosecha mundial de trigo de la temporada 97/98 fue de 610,1 millones de toneladas, y fue bastante
buena en comparación con otros años:
Determine si haría falta la cosecha mundial para pagar sólo por la última casilla.

Es muy posible que en una futura redistribución de las materias de enseñanza matemática de nuestro
nivel básico de tercer ciclo, el tema sobre potenciación deba experimentar una revisión a fondo para
ampliar e introducir aspectos interesantes y llenos de posibilidades didácticas como los problemas
clásicos de divisibilidad.
En este apartado ampliaremos y profundizaremos los saberes utilizando otros recursos en la
resolutoria de problemas.
El número 365.
Es notable, ante todo, porque denomina el número de días en el año.
Además, en la división entre 7 da, en el residuo, 1: por ser un residuo tan insignificante, esta propiedad
del número 365 adquiere un gran significado para nuestro calendario de siete días.
Otra propiedad del número 365 no relacionada con el calendario, es 365 = 10 x 10 + 11 x 11 + 12 x
12, es decir, que el número 365 es igual a la suma de los cuadrados de tres números consecutivos,
empezando por el
10 :102
+112
+122
= 100 + 121 + 144 = 365.
Pero además, es igual a la suma de los cuadrados de los dos siguientes números, 13 y 14:
132
+ 142
= 169 + 196 = 365.
En esta propiedad del número 365 se basa el conocido problema de S. A, Rachinsky que inspiró el
famoso cuadro de Bogdánov-Bielsky. “problema difícil”

La resolución de problemas de potenciación y divisibilidad.
En lo que llevamos escrito ya ha podido observarse el carácter de los problemas o ejercicios
que pueden tener relación con la potenciación.
En general suelen referirse a regularidades o características que presentan algunos números y
series de números, y a la posibilidad de utilizar las propiedades y facilidades que aportan las
ideas consideradas. Vamos a plantear algunos de estos tipos de problemas.
Lo que volvemos a sugerir a es que, una vez leído el enunciado de cada situación, intenten
resolver el problema por cuenta propia, antes de revisar la vía de solución que se presentará
posteriormente por el profesor.
Ejemplo.
Laura escribió un número natural N menor que 275, formado por tres dígitos cuya suma es 16.
Ordenando los tres dígitos de todas las maneras posibles obtuvo seis números, de los cuales
observó que sólo uno era un cuadrado perfecto. ¿Qué número escribió Laura?
Solución.
Los cuadrados perfectos de tres cifras son
102
, 112
,...,312
.
Aquellos cuyas cifras suman 16 son
132
= 169,
142
= 196,
222
= 484,
232
= 259,
312
= 961,
permutando los dígitos de 484 no se puede obtener ningún número menor que 275.
Como
132
=1 69,
142
= 196,
312
= 961,
tienen los mismos dígitos, los dígitos del número de Laura no pueden ser 1, 6 y 9.
Sólo queda por considerar 232
= 29.
El reordenamiento 259 es el único menor que 275, y por lo tanto es la respuesta.

Laboratorio de problemas.
Los siguientes ejercicios tienen como finalidad dar a conocer que las potencias no solo
expresan cantidades y medidas. Sirven para operar con ellos, es decir para calcular ciertas
cantidades a partir de otras ya conocidas.
a) ¿Cuál es la cifra de las unidades del desarrollo de la siguiente expresión: 7×5^100+3.
b) La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 49. ¿Cuánto suman
estos dos números?
c) Existe un número de dos cifras tal que, si se le agrega una unidad se consigue un
cuadrado perfecto, y si se le agrega una unidad a su mitad, también se consigue un
cuadrado perfecto. ¿De qué número se trata?
d) ¿Cuántos ceros hay al final del nú¬mero (102
+ 103
+...+108
)2014
e) ¿Cuáles son los dos números naturales menores (excluidos el 0 y el 1) cuya diferencia
de cuadrados sea un cubo? ¿Y aquéllos cuya diferencia de cubos sea un cuadrado?
f) La edad de Lucía es un nú¬mero de dos cifras que acaba en 3. Además, el cuadrado
de su primer dígito es igual a su edad escrita con los dígitos cambiados de lugar.
¿Cuántos años tiene Lucía?
g) Estime si 230
es mayor que un millardo (mil millones). No necesita calcular el valor
de la potencia.
h) Tome una calculadora de las corrien¬tes. Halle 332
, 3332
, 33332
y observe bien los
resultados obtenidos. Determine ahora el valor de 33333332
.
¿Qué significa ar
,cuando ?
Veamos qué sentido puede ser dado a la potencia ar
,cuando .
Así sea . De modo que continue siendo valida la regla
ar
as
= ar+s
, de esta igualdad resulta, que se debe tener, para r=m⁄n.
Por lo tanto ar
es el número real positivo cuya n-ésima potencia es igual a am
.
Por definición de raíz, dicho número es . Así la única manera de definir la potencia ar
,
donde consiste en poner

a. Necesitamos saber la última cifra de la potencia 5199
. y como la base es 5, por el criterio de
divisibilidad por 5, el número termina en 5.
b. Observe que 49 = 24 + 25, tal diferencia se obtiene en la resta 252
-242
.
c. Tratemos de ensayar con números de dos cifras para conseguir aquel que cumpla
am¬bas condiciones.
d. Analicemos primero la base:102
+103
+...+108
. Note que se trata de la suma de potencias
de 10, desde 100 hasta 100 millones.
e. Para la primera pregunta. Procedemos por la vía del ensayo y ajuste teniendo a
la vista los cubos de los números a partir de 2 (8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
1.000,…), luego observe si su diferencia es un cubo. En cuanto a la segunda pregunta,
se procede de un modo análogo.
f. Puede ensayar con todos los números de dos cifras terminados en 3, siempre que el
cuadrado del primer dígito tenga también dos cifras. Luego busque otra alternativa de
solución.
g. Note que 1 millardo, es 109
. Luego utilice las propiedades de las potencias.
h. Los números llevan una secuencia de las siguientes cifras: 1, 0, 8 y 9, busque la
regularidad con la que aparecen.
Sugerencias.
Completar La Tabla.

• Calcula los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.
• Resuelve ejercicios y problemas aplicando conversiones de múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.
• Establece la unidades métricas agrarias.
• Resuelve ejercicios y problemas aplicando conversiones entre unidades métricas y agrarias, relacionados al
contexto de la comunidad
Unidades métricas de superficie2
Saberes previos
Calcule el área de las figuras consideradas en centimetros cuadrados.
Solución.
Laideaesrecortarlafiguraycontarloscuadritos yuxtaponiendolaspiezasapropiadamente.
¿Qué más
debo saber?
Comprender los atributos
mensurables de los objetos
y las unidades, sistemas
y procesos de medidas
de superficie, enfocada
a deducir, interpretar
fórmulas para calcular el
área de figuras planas,
además crear situaciones
en la que deba utilizar el
análisis de unidades para
verificar los cálculos de
medidas.
Una responsabilidad
importante de los
profesores es crear un
ambiente en el que se
estimule que los niños
usen representaciones
diversas. El uso de
las representaciones
proporciona un registro del
pensamiento, y a explicar
su razonamiento.
Las representaciones hacen las matemáticas más concretas y asequibles la reflexión. Los
alumnos pueden representar ideas con objetos que pueden disponerse de otro modo. En
estas representaciones descansa el fundamento del empleo posterior de símbolos.
Datos Históricos
La medición es la forma de determinar tamaños la cantidad o la extensión de algo. Las
unidades de medida en el Antiguo Egipto se utilizaron desde las primeras dinastías. Las
había de longitud, superficie, volumen, peso y tiempo. Se han hallado muchos documentos
de contabilidad en papiro, ya que los escribas tenían como tarea contabilizar la cosecha,
censar ganado, cotejar el nivel máximo anual del río Nilo (para el cálculo de los impuestos)
y registrar las áreas de las superficies de las parcelas, para poder restaurar los límites y
demarcar las tierras agrícolas que la inundación del Nilo desdibujaba cada año.La unidad
de superficie básica era el sechat (arura en griego), equivalente a un cuadrado 100 codos
de lado, es decir, 10.000 codos cuadrados.

Desarrollo
Para expresar el área de un piso, de una cancha de basquetbol, y en general, de cualquier
superficie plana, necesitamos conocer y usar las unidades de superficie.
La unidad convencional de superficie es el metro cuadrado.
Un metro cuadrado (m2
) es la superficie de un cuadrado que tiene 1 m x 1m.
Recordemos ahora los múltiplos y submúltiplos del metro.
De manera análoga también existen múltiplos y submúltiplos en las unidades de superficie.
Equivalencias Entre Unidades Métricas Y Agrarias
Otras medida era la Vara. En España valía 0,84 m. y en Argentina 0.866 m. y en medidas
de superficie utilizadas tenemos
Ideas didácticas
Matematizar
En específico, se necesita
intervenir los sistemas
didácticos para lograr un
mayor aprendizaje, además
de elaborar y contrastar
teoríasque expliquen los
procesos de aprendizaje de
los estudiantes.
La Teoría de Situaciones
está sustentada en una
concepción constructivista –
en el sentido piagetiano- del
aprendizaje, concepción de
Brousseau (1986) de esta
manera: “El alumno aprende
adaptándose a un medio que
es factor de contradicciones,
dedificultades, de
desequilibrios, un poco
como lo hace la sociedad
humana. Este saber, fruto de
la adaptación del alumno, se
manifiesta por respuestas
nuevas que son la prueba del
aprendizaje.” Por eso debe
estar diseñada de modo
que asegure un nivel mínimo
para todos los alumnos y
alumnas al final del tema.
Esto se traduce tanto
en una programación en
espiral como en actividades
de integración de los
conocimientos adquiridos.
Se pretende atención a la
diversidad en la metodología.
Se basa en:
– Procurar que la velocidad
de aprendizaje la marque el
propio alumno.
– Intentar que la comprensión
del alumno cada contenido
sea suficiente para una
mínima aplicación y para
enlazar con los contenidos
que se relaciona con él.
– Atención a la diversidad en
los materiales. La utilización
de un recurso didáctico
como la aplicación del
computador, en su defecto
del uso de calculadora
como medio integrador de
la enseñanza, para facilitar
la atención particularizada a
cadaalumno,enlaresolutoria
de problemas que sin ella
serían poco significantes o
aburridos.
1 metro
1 metro
1 metro
1 metro

Ejemplo. Convierte a metros cuadrados las superficies
siguientes: 9 ha; 33 a.
Solución. Como sabemos que 1 ca = 1m2
, pasaremos
antes las hectáreas y las áreas a centiáreas:
Otro método.
Sabemos del cuadro de equivalencias que.
1 ha = 1 hm2
= 100 dam2
= 100 (100 m2
) =104
m2
Así 9 ha = 9ha× =9 × 104
m2
Y también como
1a = 1dam2
= 102
m2
Luego 33a = 33a × =33 × 102
m2
=3300 m2
.
Actividad. Completa cada una de las igualdades
que relacionan el metro cuadrado con sus múltiplos y
submúltiplos (Aproxima hasta la centesima más cercana).
Estrategia didáctica de conversión.
Consideremos el grafico siguiente.
- Para pasar de dam2
a m2
multiplicaremos
por 100 o correremos el punto decimal dos lugares a la
derecha.
Ejemplos: 7 dam2
=700 m2
,73.257 hm2
= 7325.7 dam2
=
732570 m2
7 dam2 = 700 m2; 73,25 7 hm2 = 73 25,7 dam2
= 73 25 70 m2.
- Para pasar de m2
a dam2
dividiremos por 100 o
correremos el punto decimal dos lugares a la izquierda.
Ejemplos: 3 m2
=0.03 dam2
; 1468 dam2
= 0.1468 hm2
=
0.001468 km2
.
Note que cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata
superior. Así tenemos
102
m2
1 ha
104
m2
1 ha

Actividad. Suponiendo que cada cuadrito equivale a un
metro cuadrado haz una estimación y di cuál de las dos
figuras la 1ª o la 2ª tiene más área
Actividad.
1. Un labrador tiene una finca de forma rectangular
en la que ha sembrados patatas. Sus dimensiones
son 2 hm. de largo y 68 m. de ancho. Estima que el
metro cuadrado de la finca producirá unos 3,5 kg.
de patatas. ¿Cuántas toneladas de patatas recogerá
aproximadamente?
2. En el patio rectangular de un colegio de 28 m. de
largo y 4 dam de ancho quieren poner una valla
alrededor. Juan y Antonio discuten sobre la longitud
total de la valla. El primero ha calculado que medirá
1.36 hm. y el segundo 64 m. ¿Quién de los dos tiene
razón? (Haz un dibujo)
3. Una familia ha decidido cambiar el piso rectangular
del comedor de 6,75 m. de largo y 4,5 m. de ancho.
Desean colocar ladrillos cuadrados de 25 cm. de
lado. ¿Cuántas necesitarán?
Haz lo mismo con estas otras figuras.
La ______________
La ______________
Formulas Útiles. A=área, P=perímetro.
4. Se quiere embaldosar una habitación rectangular de
4,4 m de largo por 3,2 m de ancha con baldosas
cuadradas de 40 cm de lado. ¿Cuántas baldosas
son necesarias?
5. Un comerciante necesita para su negocio un local de
60 m2
. Ha encontrado uno de forma rectangular de
8,25 m de largo y 7,48 m de ancho. ¿Le sirve?
6. Un comerciante necesita remodelar su piso de 90 ha,
para su negocio y necesita ahorrar dinero. Si posee
las siguientes ofertas. Oferta 1. una baldosa de 70 x
70 cm, y cuesta 3.5 dólares, Oferta 2. Una baldosa
de 65x65 cm, cuesta 3.2 dólares ¿Cuál baldosa le
conviene comprar, y cuantas debe de comprar?
Las representaciones hacen las matemáticas más
concretas y asequibles la reflexión. Los alumnos pueden
representar ideas con objetos que pueden disponerse
de otro modo. En estas representaciones descansa el
fundamento del empleo posterior de símbolos. Con esa
intensión proponemos la siguiente actividad, la cual debe
ser resuelta en grupos y con pequeñas orientaciones del
profesor en la resolutoria, debe socializarse las ideas
conjuntas, posteriormente en los más difíciles debe
intervenir el profesor.

Actividad.
1. Calcula la superficie de los rectángulos. Completa la
tabla.
2. Completa los datos de la tabla.
3. Calcula el área de estas fincas cuyos dibujos se tienen
en la parte inferior con las medidas reales. Descomponlas
en otras más simples.
4. El perímetro del rectángulo ABCD es de 60 metros y su
largo es el doble de su ancho. x mide 1,5 metros. Calcular
el área sombreada en hectáreas.
5. Calcular el área exacta de la zona sombreada si la curva
interior es arco de la circunferencia de centro O; la curva
exterior es arco de la circunferencia de centro O’; las rectas
BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4
kilómetros. Luego proporcione la respuesta en centiárea
Ejemplo. Un pastor construye en un prado una cerca
con forma de hexágono regular de 6 m de lado para que
paste una oveja. El pastor ata la oveja cada día a un vértice
distinto de la cerca con una cuerda de 3 m de longitud y el
séptimo día la ata al centro con la misma cuerda. La oveja
come cada día todo el pasto que está a su alcance. ¿Cuál
es la superficie del cercado que queda sin pastar? De la
respuesta en área (a).
Solución.
El área del hexágono puede calcularse como la suma de
las áreas de 6 triángulos equiláteros de lado 6 metros.
La zona que pasta en cada uno de los seis primeros días
es un sector circular de radio r = 3m, y 120° de ángulo.
Todos ellos equivalen a dos círculos de igual radio, su
área es 2πr2
=18π m2
, el séptimo día come el pasto de otro
círculo de radio 3m
0.01 a
1 m2
De área πr2
=π32
=9π m2
. E l área de la zona que queda sin
pastar por la oveja es 54√3 - 18π - 9π = 54√3 - 27π = 8.71
m2
Luego la oveja no pasta en
8.71m2
× =0.0871a.

6. Calcula el área total del siguiente mosaico, donde el
mismo está constituido por uno o más triángulos como el
dado en la figura. Observe que debe calcular el área total
y no solo la parte oscura. Luego proporcione la respuesta
en centiárea.
7. Ordenar de menor a mayor:
25 hm2
, 170 m2
, 20.5 km2
.
Selección de las actividades
Bajo la hipótesis de: “un acercamiento semiótico al pensamiento lógico matemático que integre los contextos numéricos
y geométricos en un marco del las unidades de superficie como lenguaje, donde las fuentes de significado y los sistemas
de representación juegan un papel determinante, constituye el enfoque didáctico más coherente”. Elaborar una propuesta
curricular del tema: unidades de superficie, que facilite la aplicación de los tópicos y un mayor aprendizaje del tema
recomendamos, la búsqueda de materiales con los cuales desarrollar la enseñanza de las matemáticas de una manera
amena, no sólo entre los estudiantes, sino entre los propios profesores con los que hemos trabajado desde nuestros
niveles básicos tiempo.
Actividad.
Actividades con Geoplano. Descripción General
El Geoplano es un arreglo rectangular de puntos (clavos) de tal manera
que entre puntos adyacentes horizontales o verticalmente hay una
distancia constante.
En nuestro caso usaremos Geoplano físicos de seis por seis clavos y
la distancia entre cada clavo será una unidad de longitud (u), a menos
que se diga lo contrario. Estos Geoplano están diseñados de tal manera
que podremos unir varios Geoplano para hacer un Geoplano mayor.
Los Geoplano nos servirán para construir en ellos figuras geométricas
usando ligas(hules) y estudiar algunas de sus propiedades como el
perímetro, área, paralelismo, números de lados, clasificación etc.,
¿La distancia diagonal entre clavos es
mayor o menor que la horizontal y vertical?

Nota: El profesor debe de realizar previamente las actividades para evitarse sorpresas en el aula.
Actividades posibles:
1) Construya un cuadrado en el Geoplano
2) Construya un rectángulo en el Geoplano
3) Construya un triangulo en el Geoplano
4) Construya un octágono en el Geoplano
5) En un mismo Geoplano construya un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.
Preguntar a los estudiantes sobre las diferencias y las similitudes de las figuras construidas. Hacer un cuadro para recoger
las observaciones
6) Construya un cuadrado dentro de un rectángulo.
Aprovechar para comentar los conceptos de adentro, afuera y más adelante mencionar que toda figuras plana cerrada
divide el plano en tres partes (conjuntos), exterior, interior, y los puntos de la figura.
7) Construya un cuadrado y dentro de este un triángulo.
Utilizar esta construcción para referirse a mayor que, a menor que
Lo que nos interesa
Áreas
Otra de las grandes aplicaciones del Geoplano es el de averiguar el área de figuras. Lo
primero que debemos de establecer es la unidad con la que se realizará la medición. Se
llega a establecer que el cuadrado cuyo lado es igual a la distancia entre dos cuadrados
adyacentes es la unidad de área (u2
).De esta manera el área de la siguiente figura es de
3 u2
pues el cuadrado u2
cabe 3 veces.
Problema 1.
¿De qué manera podríamos convencer a otra persona de
que el área de este triángulo rectángulo es de 1/2 u2
?

Problema 2.
¿Cómo podremos explicarle a alguien que el área de este
triángulo rectángulo es de 1 u2
?
Problema 3.
Determine las áreas de estos dos triángulos rectángulos.
¿Cómo podríamos calcular el área? ¿Cuáles son las diferentes estrategias para calcular áreas de figuras en el Geoplano?
- Uno de ellas consiste en “cuadricular” la figura, contar los cuadros al interior de la figura y hacer asociaciones para
obtener las áreas:
Veamos ahora el caso concreto de una figura cuya área queremos calcular.

Con este método, separamos la figura en tres partes: un rectángulo de área 3, un pequeño
triángulo cuya área es igual a la mitad del área de un cuadrado unitario, es decir, 1⁄2 ; y un
segundo triángulo, cuya área se calcula separándolo en tres partes mediante segmentos
verticales, como en la siguiente figura:
La parte de la izquierda y la de la derecha se complementan para formar un cuadrado unitario,
mientras que la parte central tiene área 1⁄2, de modo que el área de la figura original está dada
por la suma .
En un segundo método, surge el “uso de fórmulas” en los casos donde puede hacerse esto,
junto con áreas reconocidas como partes de la unidad:
En este método, se divide la figura en un rectángulo de base 3 y altura 1; un triángulo de base 1
y altura 1, y un segundo triángulo de base 3 y altura 1, de modo que el área de la figura original
es
En un tercer método se “completa” la figura mediante piezas conocidas:

Aquí encerramos a la figura en un rectángulo grande, de área 8. A dicha área le restamos el
área de un cuadrado unitario y el área de dos triángulos. El primer triángulo es la mitad de un
cuadrado unitario, y por tanto tiene área 1⁄2 ; el segundo es la mitad de un rectángulo de área
3, de modo que el triángulo tiene área 3⁄2; así, el área es.
Hemos mostrado sólo tres ejemplos de métodos de cálculo de áreas. Es importante que, en la
medida de lo posible, se aprovechen las ideas de los estudiantes para tales cálculos y que se
enfrenten a la necesidad de construir un método general para obtener las áreas. Se debe partir
de los supuestos.
1. Bajo el supuesto que el estudiante conoce las formas de calcular el área de cuadrado,
triángulo y rectángulos, y que se tiene un dominio de ellos. No se realizará el diagnóstico.
Se expondrá a los estudiantes los materiales a utilizar
- Geoplano rectangular
- Guía de actividades a realizar.
- 3 Hules de colores diferentes.
- Se presentará al estudiante una guía de trabajo.
Actividad. Dada la siguiente figura en el Geoplano.
1. Construyamos un rompecabezas donde cada una de las piezas sea un polígono con vértices
en clavos del Geoplano y que no tenga clavos al interior. Ten en cuenta que la unión de todas
las piezas debe ser exactamente la figura original.
Por ejemplo.

6. Obtenida la relación entre el número de clavos en la orilla de la figura y el área de la misma,
¿crees que se puede aplicar a estas otras figuras? explica y si es posible encuentra su área.
7. Si la figura a la que necesitamos calcular su área posee n puntos en la orilla, ¿cómo podrías
calcularla?
2. Después de haber construido sus rompecabezas
a) Identifica cada polígono como convexo o cóncavo y ponle nombre o alguna forma de
identificar cada pieza.
b) Encuentra el área de cada una de las piezas del rompecabezas formado con todas sus
piezas que no se interceptan.
3. Completen las siguientes tablas, para los diferentes rompecabezas encontrados tomando
en cuenta el número de clavos que tienen en la orilla (es decir inicia con la figura que tiene el
menor número de clavos)
4. Responde:
¿Cómo aumenta el área de un renglón a otro?
¿A quién corresponde el área más pequeña?
¿Cuántos puntos posee?
¿Pareciera que hay una relación estrecha entre el número de clavos en la orilla de una
figura y el área de la misma, Cual es esa relación?
5. Encuentra el área de la figura original, completa la tabla siguiente:

Teselación del Plano.I
Se llama teselación a una regularidad o patrón geométrico que permite cubrir una superficie usando transformaciones
isométricas sobre la o las figuras originales.
Actividad.
Materiales. Compas, regla, tijeras, lápiz, pegamento, papel lustre, pliego de papel bond o cartulina.
1. Dibuja en el papel lustre de 20 colores, triángulos equiláteros de 15 cm de lado, 20 cuadrados de 15 cm y luego
recórtalos.
2. Dispón las figuras geométricas de papel lustre, triángulos y cuadrados, en el pliego de cartulina de modo que no se
superpongan, pero que tampoco queden espacios en blanco entre estas. Luego, cuando encuentres un patrón de
llenado del pliego, pégalas.
3.Cubreelpliegodecartulinacompletamenteconelpatróngeométricoquedecidisteutilizaraplicandolastransformaciones
isométricas.
4. Exhíbelos en el muro de la sala de clase junto con el de tus compañeros.
Conjeturar.
1. ¿Realizaste los cálculos respectivos de área para determinar el mínimo número de triángulos y cuadrados para teselar
la cartulina? Si no lo hiciste hazlo.
2. ¿Es posible cubrir la cartulina solo con cuadrados o solo con triángulos?
3. ¿Cuántos patrones geométricos distintos se hicieron en tu clase?
4. ¿Qué condición deben satisfacer los cuadrados y triángulos para que se forme un teselado?
5. ¿Qué condición deben cumplir los ángulos de esos polígonos para formar un teselado?
6. ¿Es posible teselar con otras figuras? Pruebe con cuadrados y hexágonos.
7. ¿Qué transformaciones isométricas utilizaste?
El profesor, elige y organiza las actividades para cada sesión y el curso en general en la forma que considere más
conveniente para propiciar el aprendizaje de los estudiantes. Para ello podrá apoyarse en su propia experiencia, en las
sugerencias aquí contenidas.
Actividad.
¿Cuántos metros cuadrados tiene aproximadamente tu clase? Si tiene el piso de baldosas, ¿cuál es el área de cada una
de las baldosas?, ¿Aproxima el número de las baldosas necesarias para cambiar el piso de toda tu escuela? Luego estima
el costo si una baldosa cuesta 2.5 dólares.
Identifica la figura geométrica, adjunta.
Investiga el significado.
- Teselación
- Teselado semi regular
- Teselado regular

1. Reduce a una sola potencia.
2. Existe un número de dos cifras tal que, si se le agrega una unidad se consigue un cuadrado
perfecto, y si se le agrega una unidad a su mitad, también se consigue un cuadrado perfecto.
¿De qué número se trata?
3. Ordene de mayor a menor, las siguientes potencias
255
,333
,522

4. La edad de Lucía es un número de dos cifras que acaba en 3. Además, el cuadrado de su
primer dígito es igual a su edad escrita con los dígitos cambiados de lugar. ¿Cuántos años tiene
Lucía?
5. ¿Cuántas veces es menor la Luna que la Tierra, si el volumen estimado de la Luna es de 21,9
×109
km3
y el volumen de la Tierra es de alrededor 1,08 ×1012
km3
?
6. El número estimado de estrellas en nuestra galaxia es de 1011
y el número estimado de
galaxias en el universo es de 1012
. ¿Qué número estimas que puede haber de estrellas en el
universo? Supón que todas las galaxias tienen el mismo número de estrellas.
7. La finca A está dividida en 50 ha iguales; la finca B está dividida en 160 ha iguales, y la finca
C está dividida en 40 ha iguales. ¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A,
de la finca B y de la finca C? ¿en metros cuadrados?
8. Resuelve indicando:
- El procedimiento.
- La operación con su resultado.
- La respuesta del problema
i) Convierte metros a cuadrados las superficies siguientes:
a) 35500 cm2
b) 62dm2
c) 2.150000 mm2
d) 20101dm2
ii) Convierte a milímetros cuadrados las superficies siguientes
a) 78659km2
b) 7dm2
c) 00005 m2
d) 46cm2
iii) Calcula y expresa en m^2.
a) 4698 km2
+36,42 ha+2000 a
b) 136,721 m2
- 0.4652 dam2
c) 0.04698 km2
+36,421 ha+5000 a
Autoevaluación.

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