Ingeniería de control II

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE
MATAMOROS
INTRODUCCIÓN A CONTROL II
ACCIONES BASICAS DE CONTROL
ESTABILIDAD
Ing. Jorge Alejandro Gallegos de la Cruz

2. “ACCIONES BÁSICAS DE
CONTROL”
Un controlador automático, es un
dispositivo que compara el valor real de la
salida de una planta con la entrada de
referencia (el valor deseado), determina la
desviación y produce una señal de control
que reducirá la desviación a cero ó a un
valor pequeño. La manera en la cual el
controlador automático produce la señal
de control se denomina acción de
control.

3. Los controladores industriales se
clasifican, de acuerdo con sus acciones
de control:
1. Todo o nada (2 posiciones, on-off)
2. Proporcional
3. Proporcional + Integral
4. Proporcional + Derivativo
5. Proporcional + Integral + Derivativo
(PID)

4. La configuración de un sistema de
control automático en lazo cerrado
es:

5. Control de 2 posiciones (Todo o
nada, On-Off, Bang Bang)
El dispositivo corrector final tiene
solamente 2 posiciones o estados de
operación. Si la señal de error es
positiva, el controlador envía el
dispositivo corrector final a una de las 2
posiciones. Si la señal de error es
negativa, el controlador envía el
dispositivo corrector final a la otra
posición.

6. Supongamos que la señal de salida del
controlador es u(t) y que la señal de
error es e(t). En este caso:






0)(,2
0)(,1
)(
tepara
tepara
U
U
tu

7. El control on-off muchas veces es apropiado
para mantener la variable controlada del
proceso cerca del valor de la referencia que
fue especificada, pero típicamente resulta
en un sistema donde las variables oscilan.
Note en la ecuación anterior, la variable de
control no está definida cuando el error es
cero. Es común tener algunas
modificaciones ya sea introduciendo
histéresis o una zona muerta

8. Para ello, es necesario saber que todos
los actuadores todo o nada tienen una
pequeña zona de actuación o brecha
diferencial, la cual está definida como el
más pequeño rango de valores medidos
que debe atravesar para hacer que el
actuador vaya de una posición a la otra.

9. CONCLUSIONES:
El control todo nada sólo sirve para
manejar actuadores de dos posiciones.
La desventaja es que los actuadores
se desgastan muy rápido.
En la realidad con este controlador
siempre se obtienen pequeñas
oscilaciones alrededor del valor
deseado.

10. Control proporcional
El dispositivo corrector final no es
forzado a tomar una de dos posiciones
disponibles. En lugar de esto, tiene un
rango continuo de posiciones posibles.
La posición exacta que toma es
proporcional a la señal de error. En otras
palabras, la salida de bloque controlador
es proporcional a su entrada.
Para un controlador con acción de
control proporcional, la relación entre la
salida del controlador u(t) y la señal de

11. o en Laplace:
el diagrama a bloques:
Un controlador proporcional puede
controlar cualquier planta estable, pero
posee desempeño limitado y error en
régimen permanente (off-set) esto hace
que la parte proporcional nunca llegue a
solucionar por completo el error del
)()( teKtu p
)()( sEKsU p

12. Control proporcional en sistemas
de primer orden
 Un sistema de control proporcional en un
sistema de primer orden se realiza de la forma
siguiente:
 Si Entonces la función de
transferencia queda como:
1
1
)(


Ts
sG
TsKp
Kp
Ts
Kp
Ts
Kp
sR
sC
sG





1
1
1
1
)(
)(
)(1

13. 
 )(1)()()()()()()( 11 sGsRsRsGsRsCsRsE 
)(
1
1
)( sR
KpTs
Ts
sE



sKpTs
Ts
sE
1
1
1
)( 



KpKpTs
Ts
ssEtee
sst
ss





 1
1
1
1
lim)(lim)(lim
00

14. EJEMPLO MATLAB/SIMULINK


15.  Análisis para K=1
 Análisis para K=10 y K=20
 El aumento de ganancia reduce el error en
estado estable, pero la respuesta se vuelve
oscilatoria.

16. CONCLUSIONES:
La acción de control proporcional es una
de las importantes. Tiene las siguientes
ventajas:
 Simplicidad, requiere sólo el cálculo de un
parámetro.
 Proporciona buena estabilidad.
 Responde muy rápido.
Como desventajas:
 Falta de inmunidad al ruido.
 Error en estado estable (offset)
 Posibilidad de reducir oscilaciones en la
variable controlada para sistemas de segundo

17. Control integral
Proporciona una salida del
controlador que es proporcional al error
acumulado, lo que implica que es un
modo de controlar lento.
La señal de control u(t) tiene un valor
diferente de cero cuando la señal de error
e(t) es cero. Por lo que se concluye que
dada una referencia constante, o
perturbaciones, el error en régimen
permanente es cero.
También es llamado control de
reajuste (reset).

18. Cuando el error comienza el área se
incrementa a una razón regular, la salida
del controlador también se debe
incrementar.
La salida en el tiempo es proporcional
a la acumulación de los efectos de los
errores pasados.

19. 

20. Control integral en un sistema de
primer orden
 Se realiza de la siguiente manera:
 Si La función de transferencia
queda como:
 Del mismo modo el error esta dado por:
1
1
)(


Ts
sG
KiTss
Ki
Tss
Ki
Tss
Ki
sR
sC
sG






)1(
)1(
1
)1(
)(
)(
)(1
)(
)1(
)1(
)()()()()()( 1 sR
KiTss
Tss
sGsRsRsCsRsE




21.  Dado que R(s)=1/s para un escalón
unitario y por el teorema del valor final
encontramos el error en estado
estacionario.
 En un sistema de primer orden con
control integral no existe error en estado
estacionario.
0
)1(
)1(
lim)(lim)(lim
00




 KiTss
Tss
ssEtee
sst
ss

22. EJEMPLO MATLAB/SIMULINK


23. Análisis para Ki=1
Ki=5 Ki=20
 A medida que aumenta Ki aumentan las
sobreoscilaciones.

24. Para la acción de control integral se puede
considerar las siguientes ventajas:
 Elimina el error en estado estacionario.
Y las desventajas:
 Respuesta más oscilatoria.
 La respuesta es más lenta

25. Control proporcional-integral
Este controlador es la suma de una
acción proporcional y una integral. Se ha
visto que la acción proporcional nos acerca
al valor deseado, y la acción integral nos
lleva exactamente al valor deseado.
Entonces para que combinar ambas
acciones, y no sólo usar una acción integral
La respuesta del integrador es
relativamente lenta, es decir, se alcanza el
estado estable muy lentamente. Además se
presentan pequeñas oscilaciones que en
algunas plantas no serian deseables.

26. Por otro lado, la respuesta
proporcional, aunque sólo se acerca a la
referencia, su respuesta es rápida y no
presenta oscilaciones.
Es por eso que se combinan ambas
acciones para tener los beneficios de una
respuesta rápida sin oscilaciones de una
acción proporcional y una respuesta que
nos lleve exactamente al valor deseado de
una acción integral.
A este controlador también se le
conoce como: proporcional-reposicionador.

27. Esta acción se define como:
cuya función de transferencia es:
El inverso de Ti se conoce como velocidad de
reajuste, la cual nos da la cantidad de veces
por minuto que se duplica la parte proporcional
de la acción de control.

t
i
p
p dtte
T
K
teKtu
0
)()()(
)
1
1(
)(
)(
sT
K
sE
sU
i
p 

28. El diagrama a bloques del controlador PI es:
EJEMPLO MATLAB/SIMULINK
Considere el siguiente sistema

29. 

30. 1/Ti=2 1/Ti=10
Ahora se analiza con 1/Ti=5 y con Kp=0.9

31. Kp=5 Kp=10
 Se observa que al aumentar 1/Ti se presentan
sobreosculaciones más pronunciadas y el
tiempo de establecimiento sigue siendo
grande.
 Al aumentar Kp mejora la velocidad de
respuesta y las sobreoscilaciones no son tan
pronunciadas.

32. Control proporcional-derivativo
La acción de control de un controlador
proporcional-derivativa (PD) se define
la función de transferencia es
el diagrama a bloques es:
dt
tde
TKteKtu dpp
)(
)()( 
)1(
)(
)(
sTK
sE
sU
dp 

33. Td es la constante de tiempo derivativo.
La acción de control derivativa se le llama a
veces control de velocidad. Td es el intervalo
de tiempo durante el cual la acción de
velocidad hace avanzar el efecto de la acción
proporcional. La acción derivativa tiene la
ventaja de ser de previsión, pero amplifica las
señales de ruido. Nunca se usa sola, y es útil
sólo en los transitorios.
Debido a que el error es en un inicio
relativamente muy alto, el control,
prácticamente se dispara debido a la acción
derivativa. Después el error decae
suavemente, y el efecto derivativo decae
también. Al final queda el efecto proporcional
que sólo se aproxima a la referencia.

34. EJEMPLO MATLAB/SIMULINK


35. Análisis con Td=0
Td=0.5 Td=1
 Al aumentar Kd la respuesta presenta
sobreamortiguamiento.
 La acción de control derivativa es de
previsión.

36. Control proporcional-integral-
derivativo (PID)
Aún cuando el control proporcional-
integral es adecuado para la mayoría de las
situaciones de control, no lo es para todas.
Hay algunos procesos que presentan
problemas de control muy difíciles que no
pueden manejarse con un control PI.
Específicamente, hay dos características
de procesos, para los cuales no es suficiente
un PI:
1. Cambios muy rápidos en la carga
2. Retardos de tiempo grandes entre la
aplicación de la acción correctora y la
aparición de los resultados de dicha acción

37. En los procesos en que se presente
alguno de estos casos, la mejor solución
puede ser un control PID.
Esta acción combinada tiene las ventajas
de cada una de las tres acciones de control
individuales.
La ecuación de un PID está dada por:
•La función de transferencia es:
dt
tde
TKdtte
T
K
teKtu dp
t
i
p
p
)(
)()()(
0
 
)
1
1(
)(
)(
sT
sT
K
sE
sU
d
i
p 

38. El diagrama a bloques es:
Por tanto, se puede decir que:
 El control proporcional actúa sobre el tamaño
del error.
 El control integral rige el tiempo para corregir
el error.
 El control derivativo le brinda rapidez a la
actuación.

39. EJEMPLO MATLAB/SIMULINK


40. Efecto de los incrementos

41. Tarea 3 (Preguntas)
1. ¿Por qué es importante usar histéresis en
el modo de control on-off?
2. ¿Qué ventajas tiene el modo de control
proporcional sobre el on-off?
3. ¿Qué ventajas tiene el modo de control
proporcional-integral sobre el
proporcional?
4. ¿Cuáles son las características que
distinguen al modo de control proporcional-
derivativo?
5. Bajo que condiciones es mejor usar el
modo de control PID en vez de un PI

42. Problema
1. Considere los siguientes sistema de control:
Implemente cada sistema en Simulink y analice
la respuesta, indicando el efecto de la acción de
control aplicada.

43. Reglas de Ziegler-Nichols para
sintonizar controladores PID
Ziegler y Nichols propusieron una serie de reglas
para afinar controladores PID con base a una
respuesta experimental. Definieron dos métodos.
Primer método. Se obtiene experimentalmente la
respuesta de la planta a una entrada escalón y si
la respuesta no tiene oscilaciones y además
posee un retardo tal que se forma una “ese”,
puede obtenerse los parámetros del controlador
PID utilizando el primer método. En la figura se
observa la respuesta en forma de s.

44. TL
t
)(tc
lexióninfde
puntoalgentetanrecta
Esta respuesta se caracteriza con el tiempo de
atraso L y la constante de tiempo T. Y se puede
aproximar por un sistema de primero orden con
atraso de transporte.
1)(
)(



Ts
Ke
sU
sC Ls
Curva experimental en forma de “ese”

45. Para obtener L y T, se traza una recta tangente
al punto de inflexión de la respuesta, la
intersección con el eje del tiempo y con el valor
final de la amplitud forman las distancias L y T.
Con L y T, se obtienen los parámetros del
controlador PID utilizando la siguiente tabla.
Tipo de controlador pK i d
L
T 
L
T
9.0
L
T
2.1
3.0
L
L2 L5.0
0
0P
PI
PID
Tabla 1. Valores de sintonización, método uno.

46. Segundo método. Se utiliza para sistemas que pueden
tener oscilaciones sostenidas. Primero se eliminan los
efectos de la parte integral y derivativa. Después,
utilizando solo la ganancia Kp, haga que el sistema tenga
oscilaciones sostenidas. El valor de ganancia con que se
logre esto se llama ganancia crítica Kcr, que corresponde
a un periodo crítico Pcr.
crP
t
Oscilación sostenida.

47. Tipo de controlador pK i d
crK5.0 
crP
2
1
0
0P
PI
PID
crK45.0
crK6.0 crP5.0 crP125.0
Con los valores de Kcr y Pcr se calculan lo
valores de los parámetros del controlador PID,
utilizando la siguiente tabla.
Tabla 2. Valores de sintonización, método dos.

48. Ejemplo: Utilice las reglas de Ziegler-Nychols para
encontrar los parámetros del controlador PID del
siguiente sistema de control.






 s
s
K d
i
p 

1
1


)2)(1(
1
 sss
)(sC)(sR
p
p
Ksss
K
sR
sC


23)(
)(
23
Solución:
Como el sistema tiene un integrador, se usa el método
dos. Se cancela la parte integral y derivativa del
controlador. Se obtiene la función de transferencia de
lazo cerrado

49. 023 23
 pKsss
De la ecuación característica se obtiene el valor de la
ganancia que produce oscilaciones sostenidas.
0)(2)(3)( 23
 pKjjj 
023 23
 pKjj 
6pK 2
El valor de ganancia es la ganancia crítica
6crK
Mientras que el período crítico se obtiene de 2
4428.4
2



crP

50. Por último se calculan los parámetros del
controlador PID:
2214.25.0  cri P
55536036.0125.0  crd P
6.36.0  crp KK





  s
s
sGc 55536.0
2214.2
1
16.3)(

51. Tarea 4. Problema


52. “ESTABILIDAD”
Se determina a partir de la posición de los
polos en el plano s en lazo cerrado. Si un polo
esta en el semiplano derecho, con el tiempo se
convertirá en el polo dominante haciendo que
el sistema oscile de forma creciente o crezca
monótonamente. Si los polos en lazo cerrado
se encuentran en el semiplano izquierdo de s,
el sistema será estable.
La estabilidad o inestabilidad de un
sistema es una propiedad del sistema en si
mismo y, por tanto, no depende de las entradas
o excitaciones del sistema.

53. Los sistemas con los polos en los ejes
oscilan sin crecimiento.
1. En la practica esta oscilación aumenta con
el ruido. El ritmo al que aumenta es
proporcional a la potencia del ruido.
2. Es aconsejable evitarlos.
El criterio de estabilidad relativa implica
que los polos tienen que tener su parte real
mayor que  o que ts < 4/

54. Criterio de estabilidad de Routh
El criterio determina si existen o no polos
en el semiplano derecho sin necesidad de
determinar los valores de los polos.
Si el sistema tiene un denominador de la
forma:
Con an0, (se extraen los polos que sean
cero de forma previa). Todos los coeficientes se
suponen reales si cumplen lo siguiente:
nn
nnn
o asasasasa  

1
2
2
1
1 ...

55. 1. Si alguno de los coeficientes es cero o
negativo en presencia de un coeficiente
positivo el sistema es inestable puesto que
eso implica que hay una o varias raíces
complejas con la parte real mayor o igual
que cero lo que fuerza al sistema a oscilar
de forma creciente
2. La condición es necesaria pero no suficiente
para la estabilidad.
3. Si todos los coeficientes son negativos se
puede multiplicar por -1 a todo el polinomio
sin que cambien sus propiedades.

56. Si todos los coeficientes son positivos,
éstos se ordenan de acuerdo con el siguiente
patrón:
Donde:
 El proceso continua hasta la n-esima fila.
 El arreglo completo de los coeficientes es
triangular.
00
110
110
2
31
1
20
gs
ccc
bbbs
aas
aaas
P
P
n
n
n
n









1
3021
0
a
aaaa
b


1
5041
1
a
aaaa
b


0
1130
0
b
abab
c



57. El criterio de estabilidad de Routh plantea
que el numero de raíces del polinomio con
partes reales positivas es igual al numero de
cambios de signo de los coeficientes de la
primera columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para
que un sistema sea estable es que TODOS
LOS COEFICIENTES DE LA PRIMERA
COLUMNA SEAN POSITIVOS.

58. Ejemplo 1
Determinar si el polinomio
tiene raíces inestables
3 2
( ) 3 3 1A s s s s   
1
0
3
8
13
31
0
2
3
s
s
s
s
Al no tener cambios de signo en la primera
columna se concluye que no tiene raíces
inestables y por lo tanto el sistema es estable.

59. Ejemplo 2
Determinar si el polinomio
tiene raíces inestables 1)( 23
 ssssA
3
2
0
1 1
1 1
2 0
1
s
s
s
s

Tiene raíces inestables, aunque esto puede ser
apreciado fácilmente ya que uno de los
coeficientes del polinomio es negativo.
El arreglo de Routh nos permite ver dos
cambios de signo en la primera columna lo que
significa dos raíces inestables.

60. Aplicación de Control
Función de transferencia de
lazo:
3
)1( s
KC
Función de transferencia de lazo
cerrado:
3
3 2
3
( ) ( 1)
( ) 3 3 (1 )
1
( 1)
C
c
C c
K
KC s s
KR s s s s K
s

 
   


El intervalo de valores en el que los
polos de lazo cerrado son estables están
dados por:
0CK

61. 3
2
0
1 3
3 1
88
0 , 80
33
1 0 , 11
C
CC
c
c cC
s
s K
KK
Ks
K Ks K


  
    
80  CK
Finalment
e
81  CK
CKssssA  133)( 23

62. Casos especiales
Si un valor de la primera columna es cero y
alguno de los valores de su fila es distinto de cero
se continua el proceso sustituyendo el cero por un
valor infinitesimal positivo .
Si todos los valores de una fila son cero
significa que existen raíces de igual magnitud
radialmente opuestas en el plano s. Entonces esa
fila se sustituye por la derivada de un polinomio
auxiliar derivado de la línea anterior. Se continua
con el proceso normalmente. Eso significa que
existen dos pares de raíces que son parte de las
raíces de la ecuación original y alguna de ellas
puede estar en la parte real positiva.

63. Ejemplo 3
Del ejemplo anterior considere Kc=8. Entonces:
El arreglo de Ruth queda como:
Si el signo del coeficiente que está
encima de  es igual al signo que está
debajo de él quiere decir que hay un par de
raíces imaginarias.
En caso de que hubiera signos diferentes arriba
y abajo de  significa que hay un cambio de
signo.
933)( 23
 ssssA
9
00
93
31
0
2
3
s
s
s
s


64. Ejemplo 4
Considere la ecuación:
El arreglo de coeficientes es:
El polinomio auxiliar se forma
con los coeficientes del segundo renglón. Es
decir:
Esto indica que hay dos pares de raíces de igual
magnitud y signo opuesto. Para encontrarlos se
deriva el polinomio auxiliar, sus coeficientes se
colocan en el tercer renglón del arreglo y se
continua el proceso de Ruth:
502548242)( 2345
 ssssssA
00
50482
25241
3
4
5
s
s
s


50482)( 24
 sssP
sssP 968)( 3'


65. El arreglo completo es:
Vemos que hay un cambio de
signo en la primera columna del
nuevo arreglo. Por tanto la ecua-
ción original tiene una raíz en la
parte real positiva. Despejando raíces del
polinomio
auxiliar obtenemos:
Aquí se observa que la ecuación original tiene
una raíz en la parte real positiva.
50
07.112
5024
968
50482
25241
0
1
2
3
4
5




s
s
s
s
s
s
1
12


s
s
5
252
js
s



66. Tarea 5 Problemas
1. Para cada una de las siguientes
ecuaciones características determine la
estabilidad del sistema:
a)
b)
c)
0862 234
 ssss
01011422 2345
 sssss
0633244 2345
 sssss

67. 2. Considere el sistema de la figura.
Determine el rango de valores de K para
la estabilidad.
3. Determine el rango de valores de K para
la estabilidad de un sistema cuya
ecuación característica es: