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UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDD PPPÚÚÚBBBLLLIIICCCAAA DDDEEE NNNAAAVVVAAARRRRRRAAA ––– NNNAAAFFFAAARRRRRROOOAAAKKKOOO UUUNNNIIIBBBEEERRRTTTSSSIIITTTAAATTTEEE PPPUUUBBBLLLIIIKKKOOOAAA
DDDDEPARTAMENTO DEEPARTAMENTO DEEPARTAMENTO DEEPARTAMENTO DE IIIINGENIERÍANGENIERÍANGENIERÍANGENIERÍA MMMMECÁNICAECÁNICAECÁNICAECÁNICA
EEEENERGÉTICA Y DENERGÉTICA Y DENERGÉTICA Y DENERGÉTICA Y DE MMMMATERIALESATERIALESATERIALESATERIALES
IIIINGENIARITZANGENIARITZANGENIARITZANGENIARITZA MMMMEKANIKOAEKANIKOAEKANIKOAEKANIKOA EEEENERGETIKOANERGETIKOANERGETIKOANERGETIKOA
ETAETAETAETA MMMMATERIALEENATERIALEENATERIALEENATERIALEEN SSSSAILAAILAAILAAILA
ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINAS
YYYY
VIBRACIONESVIBRACIONESVIBRACIONESVIBRACIONES
JESÚS Mª PINTOR BOROBIA
DR. INGENIERO INDUSTRIAL
DPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICA
ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE
IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,
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YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS INDICE
33ºº DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL
EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMÁÁQQUUIINNAASS YY VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - 0.1 -

Indice

1. INTRODUCCIÓN
1.1 Introducción.
1.2 Concepto de vibración.
1.3 Concepto de grado de libertad: sistemas continuos y discretos.
1.4 Modelización de un sistema mecánico.
1.5 Sistemas lineales y sistemas no lineales.
1.6 Sistemas definidos y sistemas semidefinidos.
1.7 Vibraciones libres y vibraciones forzadas.
1.8 Planteamiento de las ecuaciones del sistema.
2. NOTACIÓN Y DEFINICIONES
3. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
3.1 Introducción.
3.2 Componentes del sistema discreto básico de un grado de libertad.
3.3 Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl.
3.3.1 Vibraciones libres no amortiguadas.
3.3.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.
3.4 Vibraciones forzadas en sistemas de 1 gdl.
3.4.1 Excitación sísmica.
3.4.2 Excitaciones armónicas.
3.4.3 Función de Transferencia.
3.4.4 Factor de Amplificación Dinámica.
3.4.5 Excitaciones impulso, escalón o rampa.
3.4.6 Excitación de tipo general: Integral de convolución.
4. SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
4.1 Introducción.
4.2 Ecuaciones del movimiento: Formulación matricial.
4.3 Vibraciones libres no amortiguadas. Modos de vibración.
4.4 Coordenadas naturales. Introducción al Análisis Modal.
4.5 Vibraciones forzadas. Condiciones de resonancia.

5. SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD
5.1 Planteamiento matricial.
5.1.1 Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento
5.2 Vibraciones libres de sistemas no amortiguados.
5.2.1 Apéndice de Algebra Lineal: Problema de VVPP.
5.2.2 Vibración del sistema según un modo de vibración.
5.3 Vibraciones forzadas en sistemas no amortiguados.
5.3.1 Excitación de un solo modo de vibración del sistema.
5.4 Vibraciones en sistemas amortiguados.
5.4.1 Sistemas con amortiguamiento proporcional.
5.4.2 Sistemas con amortiguamiento no proporcional: integración paso a paso.
5.4.3 Vibraciones forzadas en sistemas con amortiguamiento no proporcional:
matriz de transferencia.
5.5 Análisis de Fourier
5.6 Análisis Modal.
5.6.1 Concepto.
5.6.2 Fundamentos teóricos.
5.6.3 Ejemplo de resonancia: Puente de Tacoma.
5.7 Métodos aproximados.
5.7.1 Métodos de Condensación.
5.7.2 Métodos de síntesis de componentes.
6. CONTROL DE VIBRACIONES
6.1 Introducción y metodologías.
6.2 Control de las frecuencias naturales.
6.3 Introducción de amortiguamiento.
6.4 Aislamiento de vibraciones: Transmisibilidad.
6.4.1 Reducción de la fuerza transmitida a la base.
6.4.2 Reducción de la fuerza transmitida por la base al sistema.
6.4.3 Consideraciones prácticas sobre la transmisibilidad.
6.5 Aislamiento de impactos.
6.6 Absorbedores dinámicos de vibraciones.
6.6.1 Absorbedor dinámico de vibraciones sin amortiguamiento.
6.6.2 Absorbedor dinámico de vibraciones con amortiguamiento.

7. NORMATIVA SOBRE VIBRACIONES
7.1 Introducción.
7.2 Tipos de normas.
7.3 Tipos de maquinaria.
7.4 Normas sobre la instrumentación y sistemas de medida.
7.5 Normas y guías sobre la severidad de las vibraciones.
7.5.1 Carta de Rathbone.
7.5.2 Normas ISO.
7.6 Normativa de carácter nacional.
8. VIBRACIONES EN MÁQUINAS. MANTENIMIENTO
PREDICTIVO
8.1 Análisis de vibraciones para el mantenimiento predictivo.
8.2 Causas de las vibraciones en las máquinas.
8.3 Parámetros para la monitorización de maquinaria de producción.
8.3.1 Máquinas rotativas.
8.3.2 Máquinas con movimiento alternativo.
8.3.3 Máquinas con movimiento lineal.
8.4 Dinámica de máquinas.
8.4.1 Cojinetes.
8.4.1.1Rodamientos.
8.4.1.2Cojinetes de casquillo
8.4.2 Engranajes.
8.4.3 Alabes y palas.
8.4.4 Correas de transmisión
8.4.5 Velocidades de funcionamiento: nominales y críticas.
8.5 Causas más comunes de fallo.
8.5.1 Desequilibrado.
8.5.2 Desalineamiento.
8.5.3 Falta de apriete en elementos de unión.
8.5.4 Desgaste mecánico.
8.6 Causas más comunes de avería en máquinas de producción
8.6.1 Motores eléctricos.

8.6.2 Cajas de cambio.
8.6.3 Ventiladores y soplantes.
8.6.4 Compresores.
8.6.5 Bombas.
8.6.6 Líneas de proceso continuo.
9. BIBLIOGRAFÍA
9.1 Teoría de vibraciones mecánicas.
9.2 Teoría y práctica del Análisis Modal.
9.3 Mantenimiento predictivo
A. ANEXO: ANÁLISIS DE FOURIER
A.1 Introducción.
A.2 Series de Fourier.
A.2.1 Forma exponencial compleja de la Serie de Fourier.
A.2.2 Valor cuadrático medio de una señal periódica.
A.2.3 Respuesta de un sistema de 1 gdl ante una fuerza periódica.
A.3 Integral de Fourier.
A.3.1 Simetría de la Transformada de Fourier.
A.1.2 Transformada de Fourier de una función periódica.
A.3.3 Teorema de Convolución.
A.3.4 Convolución con la función impulso δ(t-a).
A.3.5 Ejemplos y tabla de Transformadas de Fourier.
A.3.5.1 Ejemplo 1: TDF de una función constante.
A.3.5.2 Ejemplo 1: TDF de un pulso rectangular.
A.1.1.3 Ejemplo 1: TDF de un tren de impulsos.
A.3.6 Transformada de Fourier Finita (TDFF).
A.3.7 Densidad espectral.
A.3.8 Respuesta de un sistema de 1 gdl ante una fuerza cualquiera por el método
de la TDF.
A.4 Transformada de Fourier discreta (TDFD).
A.4.1 Concepto de TDFD
A.4.2 Propiedades de la TDFD.
A.4.3 Teorema de la Convolución discreta.

A.4.4 Errores de la TDFD.
A.4.4.1 Aliasing.
A.4.4.2 Leakage.
A.5 Transformada Rápida de Fourier (FFT).

YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Introducción

1.1 Introducción
La experiencia demuestra que el comportamiento de un sistema mecánico es muy
diferente cuando los esfuerzos aplicados varían con el tiempo que cuando no lo hacen,
aunque el orden de magnitud de dichos esfuerzos sea similar.
En los métodos de análisis que se podría llamar "tradicionales" se ignora este carácter
variable de los esfuerzos y se realiza un cálculo estático, afectando a la magnitud de los
esfuerzos o a la tensión admisible del material con el correspondiente coeficiente de
seguridad. Cuando el carácter variable o "dinámico" de las cargas es importante, o cuando
hay fenómenos tales como choques, estos coeficientes de seguridad tienen valores muy
elevados - hasta 10 ó 15 - en previsión de lo que pudiera suceder.
Si el sistema mecánico que se trata de diseñar es de cierto compromiso, el
desconocimiento de la seguridad real que el método de cálculo utilizado comporta, obliga a
construir un prototipo o un modelo a escala y realizar ensayos que simulen las condiciones
reales de funcionamiento. Estos ensayos determinan modificaciones en el diseño inicial
tanto más profundas y costosas cuanto menos racionalmente haya sido realizado el
diseño. El proceso se prolonga con sucesivas modificaciones y ensayos tanto más
numerosos cuanto más a ciegas, y por tanto con menos acierto, se realizan dichas
modificaciones.
La aparición de las computadoras y el avance de los métodos teóricos de análisis, han
venido a modificar substancialmente esta situación. En la actualidad, es posible prever las
características y el comportamiento dinámico de un sistema con gran precisión, a pesar de
la enorme complejidad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema
dinámico. Aunque dichas ecuaciones se conocen hace más de siglo y medio, sólo unos
pocos casos muy sencillos y de limitada relevancia práctica han sido susceptibles de
recibir solución analítica. Los métodos numéricos, utilizados conjuntamente con las
computadoras, han permitido obtener - con más o menos esfuerzo - soluciones a todo tipo
de problemas.
Se van a analizar, a continuación, las vibraciones en sistemas mecánicos. Los objetivos
primarios serán: comprender su naturaleza, estudiar algunos casos sencillos, proporcionar
la base necesaria para acometer el estudio de problemas prácticos más complicados, e
introducir los conceptos y magnitudes utilizados en los modernos equipos de medidas
dinámicas.

1.2 Concepto de vibración
Los términos movimiento, oscilación y vibración no son sinónimos. Toda vibración es
una oscilación y toda oscilación es un movimiento, pero esta afirmación no puede hacerse
en sentido inverso. Así, una rueda se mueve pero no oscila, y un péndulo simple oscila
pero no vibra.
La diferencia específica que delimita el significado del concepto de vibración puede ser
encontrada haciendo intervenir el concepto de energía. Tanto las oscilaciones como las
vibraciones se prolongan en el tiempo mediante un proceso de conversión entre distintos
tipos de energía. Así, en el péndulo simple los tipos de energía que intervienen son la
energía cinética y la energía potencial gravitatoria. Pues bien, para que se pueda hablar de
vibración de un sistema mecánico es necesario que aparezca un tipo de energía especial:
la ENERGÍA de DEFORMACIÓN o la ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (o
elastoplástica).
Existen o pueden existir PROBLEMAS DE VIBRACIONES allí donde se presenten
esfuerzos variables con el tiempo, o bien aportaciones de energía que puedan dar lugar a
fenómenos de vibraciones autoexcitadas. En cualquier caso, la resolución del problema
comporta la disminución - en la medida de lo posible - de los esfuerzos dinámicos, y un
adecuado diseño para dar suficiente rigidez dinámica al sistema mecánico estudiado.

1.3 Concepto de gdl:
sistemas continuos y
discretos
Se llaman GRADOS DE LIBERTAD (gdl) o coordenadas generalizadas de un sistema
mecánico a los parámetros independientes que definen la posición y la configuración
deformada de dicho sistema.
En algunos sistemas (Figura 1), los grados de libertad vienen determinados por la propia
configuración del sistema. Si el sistema tiene masas concentradas, las posiciones de cada
una de las masas son los grados de libertad del problema. En sistemas o estructuras
formados por barras esbeltas de nudos articulados o nudos rígidos, es habitual tomar los
desplazamientos (y los giros, en el caso de nudos rígidos) de los nudos como grados de
libertad del problema.
Figura 1
En un medio continuo (Figura 2), es
imposible especificar su posición o su
configuración deformada con un número
finito de grados de libertad. En este caso,
son posibles infinitos modos independientes
de deformarse y para que una configuración
deformada quede definida hay que
especificar la posición de cada punto, lo que
exige infinitos parámetros independientes. Figura 2

Se llama SISTEMA DISCRETO a aquél cuya posición deformada puede determinarse
mediante un número finito de grados de libertad, y SISTEMA CONTINUO cuando este
número es infinito. En la práctica, en la mayor parte de las ocasiones hay que conformarse
con una solución aproximada, que se obtiene resolviendo un modelo matemático
discretizado del sistema real (Figura 3), con un número finito de grados de libertad. Esto
es discretizar un problema continuo: establecer un modelo matemático en el que el número
de grados de libertad sea finito y por tanto resoluble con la ayuda de un computador.
Figura 3.a – Suspensión. Sistema real Figura 3.b – Modelo matemático discretizado

1.4 Modelización de un
sistema mecánico
Cuando se desea analizar un sistema real, lo primero que debe hacerse es determinar un
modelo matemático de dicho sistema en el que queden recogidas las características o
propiedades físicas del modelo real. Estas propiedades reciben el nombre de parámetros.
Parámetros de un sistema mecánico son: la RIGIDEZ (k), la MASA (m) y el
AMORTIGUAMIENTO (c); relacionados con los tres tipos de fuerzas más características
de los problemas de vibraciones: las fuerzas elásticas, las fuerzas de inercia y las fuerzas
de disipación de energía, respectivamente.
La rigidez, la masa y el amortiguamiento deben ser datos en un problema de análisis
teórico de vibraciones. Ordinariamente, se supondrá que no varían ni con el tiempo ni con
la deformación del sistema. En un problema experimental, la medición de estos parámetros
puede ser precisamente el objetivo del estudio.
Los sistemas físicos reales son siempre de parámetros continuos. No se concibe un
elemento o parte de elemento de una máquina sin masa, o que se deforme sin la
aplicación de ninguna fuerza. Sin embargo, en muchas ocasiones, pueden obtenerse
modelos matemáticos de una aproximación razonable y mucho más fáciles de analizar,
concentrando en determinados elementos o puntos las distintas características del
sistema.
Por ejemplo, atribuyendo a resortes
ideales toda la capacidad de
absorción de energía elástica, a
masas indeformables toda la energía
cinética, y a amortiguadores viscosos
toda la capacidad de disipación de
energía (Fig. 4). Estos modelos
matemáticos tienen un número finito
de gdl (sistemas discretos) y se
llaman sistemas discretos de
parámetros concentrados.
Figura 4 – Modelo de 4 gdl de la suspensión de un
automóvil

Existen también - y presentan un considerable interés práctico - modelos discretos que
tienen sus parámetros distribuidos, es decir, son modelos en los que cada uno de los
elementos tiene masa, se deforma y disipa energía. Los sistemas discretos de
parámetros distribuidos permiten analizar modelos matemáticos (Figura 5) mucho más
aproximados al sistema físico real que los de parámetros concentrados. El Método de los
Elementos Finitos (M.E.F.), una potente herramienta existente para el análisis de éstos y
otros muchos problemas, no es en el fondo más que un método de discretización que
permite reducir un sistema continuo a un modelo discreto de parámetros distribuidos.
Figura 5 – Modelización por Elementos Finitos

1.5 Sistemas lineales y
sistemas no lineales
Se puede definir un sistema lineal como aquél en el que se cumple el Principio de
Superposición. Un primer y quizá poco académico enunciado de dicho Principio podría
ser el siguiente: "un sistema cumple el Principio de Superposición si su respuesta ante un
conjunto de solicitaciones es la suma de las respuestas a cada una de las solicitaciones
por separado".
Cuando el tiempo interviene como variable independiente del problema, como sucede en
las vibraciones y en la dinámica de sistemas, se podría establecer el siguiente enunciado
para el Principio de Superposición: "se dice que un sistema dinámico cumple el Principio
de Superposición y que por lo tanto es lineal si dadas dos entradas x1(t) y x2(t) y sus
respuestas correspondientes y1(t) e y2(t), la respuesta a una entrada Ax1(t+t1) + Bx2(t+t2)
es precisamente Ay1(t+t1) + By2(t+t2), siendo A, B, t1 y t2 cuatro constantes cualesquiera".
En la práctica, ¿cuándo un sistema es lineal y cuándo no lo es? En sentido estricto, casi
puede decirse que los sistemas lineales no existen, pero también es verdad que la gran
mayoría de los sistemas reales presentan un comportamiento muy aproximadamente lineal
para un amplio rango de sus variables dependientes. Como el estudio de los sistemas no
lineales presenta considerables dificultades (precisamente por la imposibilidad de aplicar el
Principio de Superposición), lo que puede hacerse casi siempre que no hay poderosas
razones que obliguen a actuar de modo contrario, es suponer un comportamiento lineal, y
en esta hipótesis realizar los cálculos. En la mayor parte de los casos el error cometido
será despreciable.
Tres son las fuentes principales de no-linealidad:
grandes deformaciones: cuando los desplazamientos son grandes, las ecuaciones
de equilibrio no se pueden plantear sobre la geometría inicial del problema,
conocida, sino sobre la final. Además, en las relaciones entre deformación unitaria y
desplazamiento deben retenerse los términos cuadráticos, resultando relaciones
asimismo no lineales.
determinados tipos de rozamiento o amortiguamiento: el ejemplo más claro de
no linealidad de esta clase es el rozamiento de Coulomb o rozamiento seco, un
ejemplo particularmente sencillo de no cumplimiento del Principio de Superposición.

no-linealidad en las ecuaciones constitutivas del material: algunos materiales
como el acero, presentan esta no-linealidad sólo para valores grandes de los
esfuerzos. La plasticidad es un caso típico de no-linealidad.
A lo largo de este curso se hará referencia casi exclusiva a los sistemas lineales. Esta
hipótesis de linealidad implica que la rigidez, la masa y el amortiguamiento del sistema no
dependen de los desplazamientos o deformaciones, y tampoco de sus derivadas respecto
al tiempo.

1.6 Sistemas definidos y
sistemas semidefinidos
En la mayor parte de los casos, los desplazamientos son las incógnitas primarias del
problema. Otras funciones incógnita tales como las deformaciones unitarias y las
tensiones, pueden obtenerse a partir de ellas por derivación y multiplicación por las
constantes propias del material.
Siempre que en un sistema mecánico haya velocidad distinta de cero habrá energía
cinética mayor que cero. Sin embargo, no es cierto que siempre que haya desplazamientos
distintos de cero haya energía potencial elástica positiva. Hay muchos sistemas mecánicos
- aviones, automóviles, etc. - que tienen posibilidad de movimiento de sólido rígido. Tales
desplazamientos no producen deformaciones ni tensiones ni, por consiguiente, energía
elástica. Otros sistemas mecánicos, por ejemplo una torre convenientemente anclada en
sus cimientos, no pueden moverse sin deformarse. Estos últimos sistemas se llaman
sistemas definidos y aquéllos, sistemas semidefinidos.

1.7 Vibraciones libres y
vibraciones forzadas
Las vibraciones se pueden definir como un caso particular de la dinámica de sistemas
mecánicos en el que hay intercambio de energía elástica y una oscilación alrededor de una
posición de equilibrio. Se sabe, por experiencia, que si se saca un sistema de su posición
de equilibrio y se suelta, comienza a vibrar con una amplitud que se va amortiguando más
o menos rápidamente (según el sistema disponga de mayor o menor facilidad para disipar
energía). A estas vibraciones que tienen lugar en un sistema en ausencia de fuerzas
exteriores y son debidas únicamente a unas determinadas condiciones iniciales de
velocidad y/o desplazamiento, se les conoce como VIBRACIONES LIBRES.
Por el contrario, las vibraciones que tienen lugar en presencia de fuerzas variables con el
tiempo, reciben el nombre de VIBRACIONES FORZADAS; y se pueden clasificar según la
variación en el tiempo de las fuerzas excitadoras:
excitaciones armónicas (varían sinusoidalmente),
excitaciones periódicas (repiten valores cada cierto tiempo),
impulsos o choques (fuerzas de una gran intensidad que actúan durante tiempos
infinitesimales),
fuerzas que varían de un modo arbitrario con el tiempo. Contemplan el caso más
general. Comprenden, por ejemplo, las cargas móviles que se desplazan sobre el
sistema, o las excitaciones armónicas de frecuencia variable, problema que aparece
con cierta frecuencia en máquinas.
Las deformaciones estáticas no varían con el tiempo. Las dinámicas, evidentemente, sí.
Pero, dentro de esta carácter variable con el tiempo que por naturaleza tienen las variables
dinámicas, hay una división importante:
Se dice que un sistema dinámico está en RÉGIMEN ESTACIONARIO cuando su
variación con el tiempo reviste un carácter periódico. Forma parte esencial del
carácter de periodicidad de un fenómeno el que todas las variables del problema
repiten valores cada T segundos. A T se le llama período.

Cuando la dependencia temporal de las variables del problema es arbitraria o
carece del carácter periódico se dice que el sistema está en RÉGIMEN
TRANSITORIO.
Hasta ahora se ha supuesto que las fuerzas aplicadas eran perfectamente conocidas.
Cuando sucede así o, mejor dicho, cuando se supone que sucede así, se dice que se está
en un caso de VIBRACIONES DETERMINISTAS.
Sin embargo, no es esa la situación real ordinaria: los esfuerzos a que se ve sometida la
suspensión de un automóvil por una mala carretera, los que sufre el ala de un avión al
atravesar una tormenta, aquellos que padece un edificio bajo la acción del viento, o, en
general, los que aparecen en el funcionamiento normal de una máquina, de ningún modo
puede suponerse que son conocidos. Realmente, en estos y otros casos semejantes, a
todo lo que se puede aspirar es a conocer algunos valores estadísticos de los esfuerzos
aplicados, tales como su valor medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc. La
teoría de las VIBRACIONES ALEATORIAS estudia estos casos y consigue relacionar los
valores estadísticos de la respuesta con los valores estadísticos de la excitación, prestando
fundamento teórico a muchos de los modernos métodos de medida experimental de
magnitudes dinámicas.

1.8 Planteamiento de las
ecuaciones del sistema
Los métodos que pueden aplicarse para plantear las ecuaciones de la dinámica del
sistema, son los mismos que se utilizan para llegar a las del sólido rígido:
Ecuaciones de Newton. Debe aplicarse la segunda ley de Newton, igualando,
según cada grado de libertad, la suma de las fuerzas exteriores al producto de la
masa por la aceleración.
Principio de D´Alembert. Puede verse como una variante de las ecuaciones de
Newton o como un método diferente. Básicamente consiste en introducir las fuerzas
de inercia e imponer la condición de equilibrio.
Método de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en un
pequeño desplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual al
incremento de energía potencial elástica producido por dicho desplazamiento.
Este desplazamiento virtual debe cumplir las condiciones de ser pequeño, para que
no varíe la magnitud de las fuerzas y la geometría del sistema, y compatible con las
ligaduras cinemáticas de dicho sistema. A veces, es más cómodo utilizar
velocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar del Método de los
Trabajos Virtuales se habla del Método de las Potencias Virtuales.
Ecuaciones de Lagrange. Son el punto de partida de la Mecánica Analítica. Se
establece una ecuación por cada grado de libertad o coordenada generalizada:
n,,3,2,1iQ
q
L
q
L
dt
d
i
ii
K
&
==
∂
∂
−
ö
çç
è
æ
∂
∂
L=T-U es la función Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energía cinética y la
energía potencial, y Qi es la fuerza generalizada según el gdl i.
Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas las
posibles formas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2, la
que verdaderamente se produce es la que hace mínima la integral respecto al
tiempo de la función Lagrangiana.
2
1
t
t
Ldt

YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
Notación y
Definiciones

ABSORBEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES o AMORTIGUADOR DINÁMICO:
se trata de un sistema mecánico masa-resorte(-amortiguador) que se añade al
sistema a estudio, diseñándolo de tal forma que las frecuencias naturales del
sistema resultante se encuentren alejadas de la frecuencia de excitación. La
selección de la masa m2 y la rigidez k2 del absorbedor se realiza de forma que:
1122
2
mkmk ==ω
siendo ω la frecuencia de excitación que coincide, o casi, con la frecuencia natural
del sistema original: 11
2
mk=ω
AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: parámetro intrínseco de un sistema de un grado
de libertad amortiguado. Su valor es: ω= m2c , siendo m la masa del sistema y ω
su frecuencia natural.
AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL: se denomina así a aquella hipótesis de
modelización del amortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones del
movimiento de sistemas de N gdl. En tal caso, la matriz [C] debe poder ser
diagonalizada junto con [K] y [M]. Por ello, en la expresión que se adopte para [C]
deberán intervenir [K] y [M]. Así, [C] será diagonalizable cuando pueda ser
expresada como combinación lineal de las matrices de rigidez e inercia:
[ ] [ ] [ ]KMC 10 ⋅α+⋅α=
AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO:
relación de amortiguamiento (ξ) de un sistema es el cociente entre el
amortiguamiento del sistema c y el valor de su amortiguamiento crítico ( c ):
ω
==ξ
m2
c
c
c
ANÁLISIS MODAL: es el proceso de determinación de las características dinámicas
inherentes a un sistema mecánico y necesarias para la posterior formulación de un
modelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Esta
modelización dinámica se lleva a cabo en base a los parámetros modales
(frecuencias naturales, modos naturales de vibración y relaciones de
amortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de sus
características de masa, rigidez y amortiguamiento.
ANTIRESONANCIA: fenómeno que tiene lugar cuando la amplitud de vibración de
la máquina o sistema mecánico es cero.

COORDENADAS NATURALES: Es el sistema de coordenadas resultante de
aplicar al sistema mecánico a estudio un cambio de coordenadas basado en la
matriz de modos [ ]X :
{ } [ ]{ }x~Xx ⋅=
En estas nuevas coordenadas { }x~ , el sistema de N ecuaciones diferenciales con N
incógnitas se desacopla y transforma en N ecuaciones de una sola incógnita; es
decir, en N problemas de 1 gdl.
DESALINEAMIENTO: El desalineamiento es una de las principales causas de
avería en las máquinas. Se suele hablar de desalineamiento en los casos de ejes
de una máquina unidos entre sí mediante un acoplamiento, pudiendo presentarse
cuando los ejes la máquina son paralelos entre sí estando en el mismo plano
(desalineamiento paralelo) o cuando los ejes no son paralelos entre sí
(desalineamiento angular).
DESEQUILIBRIO: El desequilibrio constituye la principal causa de avería de tipo
mecánico en máquinas rotativas. Este fenómeno es debido a la distribución no
uniforme de masas sometidas a rotación.
DESGASTE: El desgaste mecánico constituye otra de las causas frecuentes de
avería en elementos de máquinas debiéndose a la fricción existente entre diversas
partes de los componentes de las máquinas, como por ejemplo entre el eje y el
metal de un casquillo antifricción de un cojinete, o entre una parte del rotor y la
carcasa de un motor eléctrico.
DESPLAZAMIENTO ESTÁTICO: es el desplazamiento que tendría lugar en un
sistema de un grado de libertad de rigidez k y sometido a la acción de una carga f0
aplicada estáticamente (frecuencia de excitación ω = 0). Su valor es: f0/k.
EXCITACIÓN SÍSMICA: se dice que se está ante un caso de excitación sísmica
cuando las vibraciones de un sistema mecánico analizado no vienen generadas por
la aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del
tiempo, sino por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del
soporte o base sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la
transmisión de vibraciones de sistema a otro, son ejemplos significativos de este
tipo de solicitaciones.
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA (D): es la relación existente entre la
amplitud de las vibraciones de un sistema de un grado de libertad sometido a una
excitación de tipo armónico y el desplazamiento estático (cuando la carga es
aplicada estáticamente). El valor de D es:

( ) ( )222
21
1
D
ξβ+β−
=
FRECUENCIA DE ADQUISICIÓN DE DATOS: La frecuencia de adquisición de
datos viene dada por la necesidad de establecer una base de datos que de lugar al
conocimiento tanto de las condiciones iniciales de funcionamiento de una máquina,
como de la tendencia de las averías y tiempo estimado para que estas se
presenten. La frecuencia de adquisición de datos varía desde 2 hasta 10 semanas
por ciclo según el tipo de máquina.
FRECUENCIA DE EXCITACIÓN: Es la frecuencia (Hz) asociada a una acción
exterior actuante sobre el sistema mecánico a estudio y que varía armónicamente
en un problema de vibraciones forzadas debidas a una excitación armónica. Si ω es
la frecuencia natural del sistema y ω la de excitación, a la relación entre ambas
frecuencias se le llama β: ωω=β .
FRECUENCIA NATURAL (frecuencia propia): En sistemas mecánicos de 1 gdl es
la frecuencia del movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamiento
y/o una velocidad inicial a un sistema de un grado de libertad, que está en posición
de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente sin amortiguamiento (problema de
vibraciones libres no amortiguadas). Su valor es:
mk=ω (Hz)
En sistemas con N grados de libertad, cada modo natural de vibración (vector
propio) tendrá una frecuencia natural (valor propio) asociada que será la del
movimiento armónico resultante al desplazar los nudos del sistema respecto de su
posición de equilibrio estático en la forma del modo natural correspondiente. Cada
frecuencia natural será el cociente entre la rigidez modal y la inercia modal
correspondiente:
rr
2
r mk=ω
En cualquier caso, la o las frecuencias naturales constituyen un parámetro modal
intrínseco al sistema y sólo dependerán de la rigidez (k) e inercia (m) del sistema (y
de su distribución por el sistema en el caso del N gdl), pero no del tiempo ni de las
condiciones iniciales. Sean cuales sean estas condiciones iniciales, el sistema
siempre tendrá la misma o mismas frecuencia.
FRECUENCIA NATURAL AMORTIGUADA: frecuencia del movimiento armónico
que resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema de
un grado de libertad amortiguado, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrar
libremente (problema de vibraciones libres amortiguadas). Su valor es:

2
D 1 ξ−ω=ω (Hz)
No es la frecuencia natural, pero cabe esperar que sea muy parecida si la relación
de amortiguamiento (ξ) es pequeña.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (función compleja de respuesta en frecuencia):
dado un sistema de 1 grado de libertad sometido a una excitación armónica:
( ) ti
0eftf ω
=
la Función de Transferencia - ( )ωH - es aquella función, tal que la respuesta del
sistema ante dicha solicitación puede expresarse:
( ) ( ) ti
0efHtx ω
ω=
El valor de ( )ωH es:
( )
i21
k1
H 2
ξβ+β−
=ω
GRADOS DE LIBERTAD (GDL): o coordenadas generalizadas de un sistema
mecánico son los parámetros independientes que definen la posición y la
configuración deformada de dicho sistema.
INERCIA MODAL (mr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenido
del triple producto { } [ ]{ } rsr
rTs
mXMX δ= .
MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO [C]: Está constituida por los coeficientes de
amortiguamiento cij: fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para
que aparezca una velocidad unidad según el grado de libertad j y cero según todos
los demás grados de libertad.
MATRIZ DE INERCIA [M]: Está constituida por los coeficientes de inercia mij:
fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir una
aceleración unidad según el grado de libertad j y cero según todos los demás
grados de libertad.
MATRIZ DE MODOS [ ]X : matriz cuyos vectores columnas son los modos naturales
de vibración. En virtud de las propiedades de ortogonalidad de los modos, se
cumple que:
{ } [ ]{ } rsr
rTs
mXMX δ= y { } [ ]{ } rsr
rTs
kXKX δ=
donde mr, y kr, son las llamadas inercia y rigidez modal.

Si los modos se dicen normalizados con respecto a la matriz de inercia, ello
equivale a escalar los modos haciendo que mr = 1 para todos ellos. En tal caso, la
condición de ortogonalidad asociada a la matriz de rigidez tomará la forma:
{ } [ ]{ } rs
2
r
rTs
XKX δω=
MATRIZ DE RIGIDEZ [K]: Está constituida por los coeficientes de rigidez kij:
fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir un
desplazamiento unidad según el grado de libertad j, y cero según todos los demás
grados de libertad.
MATRIZ DE TRANSFERENCIA [H(ωωωω)]: Es una matriz que juega en los sistemas
con N grados de libertad el mismo papel que la función de transferencia juega en
los sistemas con 1 grado de libertad: la respuesta de un sistema con N grados de
libertad ante una excitación armónica se obtiene multiplicando el vector de
amplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia:
( ){ } { } ( )[ ] { } ti
0
ti
efHeXtx ωω
⋅⋅ω=⋅=
Si las fuerzas de excitación {f(t)} no son armónicas, pero admiten transformada de
Fourier (TDF), el vector {f(t)} podrá expresarse como suma de infinitas componentes
armónicas de frecuencias distintas, y la matriz de transferencia [H(ω)] relacionará
directamente la TDF de la excitación y de la respuesta:
( ){ } ( )[ ] ( ){ }ω⋅ω=ω FHX
La matriz de transferencia puede expresarse en función de los modos y frecuencias
de vibración (en el caso en que no exista amortiguamiento) en la forma:
( )[ ] { }{ }
= ö
ç
è
æ
ω
ω−
⋅
=ω
n
1r
2
r
2
r
Trr
1k
XX
H
MODO NATURAL DE VIBRACIÓN: Los modos naturales de vibración de un
sistema mecánico no son otra cosa sino los posibles movimientos armónicos que
pueden tener lugar en el sistema en condiciones de excitación nula. Habrá tantos
modos naturales como grados de libertad tenga el sistema. Al tratarse de un
problema de vibraciones libres, vendrán dados (cuando no haya amortiguamiento)
por la resolución del sistema de ecuaciones:
[ ] [ ]( ) { } { }0XKM2
=⋅+ω−

problema de valores y vectores propios generalizado en el que los vectores propios
son los modos naturales.
Cada modo (vector propio) establece la relación existente entre las amplitudes de
los movimientos armónicos síncronos (cuando no se considera la presencia de
amortiguamiento) de los diferentes grados de libertad del sistema.
Si se desplaza el sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma
de un modo natural o vector propio { }i
X , el sistema comienza a oscilar
armónicamente alrededor de dicha posición de equilibrio, siendo la posición
adoptada por el sistema en cualquier instante de tiempo el resultado de multiplicar
el modo natural correspondiente por un determinado valor escalar. Estas
oscilaciones se producen a la frecuencia natural (ωi) asociada ese modo.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SÍNCRONO: movimiento que tiene lugar en un sistema
constituido por dos o más masas y caracterizado por que todas ellas vibran, en
fase, con la misma frecuencia.
NORMALIZAR LOS MODOS: Como las amplitudes de un modo natural de
vibración no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, es
una práctica habitual normalizarlos con respecto a la matriz de inercia haciendo que
la inercia modal sea igual a la unidad para todos ellos de forma que se cumpla:
{ } [ ] { } 1XMX jTj
=⋅⋅ j = 1, …, N
NUDOS: conjunto de puntos empleados para llevar a cabo la discretización de un
sistema continuo. Los grados de libertad que se consideren en esos puntos
(habitualmente los desplazamientos) serán los grados de libertad del problema. Un
sistema con N gdl es aquél que precisa de N parámetros o coordenadas para que
su posición y configuración deformada quede definida. La hipótesis de
discretización realizada para pasar del sistema continuo a uno de N gdl implica que
el desplazamiento de un punto cualquiera puede ser calculado a partir de los
desplazamientos de dichos nudos.
RÉGIMEN ESTACIONARIO: un sistema dinámico se dice que está en régimen
estacionario cuando su variación con el tiempo reviste un carácter periódico. Todas
las variables que caracterizan el problema repiten valores cada T segundos
(T=periodo).
RÉGIMEN TRANSITORIO: un sistema dinámico se dice que está en régimen
transitorio cuando la dependencia temporal de las variables del problema es
arbitraria o carece del carácter periódico.

RESONANCIA: se dice que un sistema está en condición de resonancia o que tiene
lugar un fenómeno de resonancia, cuando la frecuencia de la excitación que actúa
sobre el mismo ( ω ) coincide con alguna de sus frecuencias naturales (ω). Es decir,
en el caso de sistemas con 1 gdl, en la resonancia β=1. Para frecuencias de
excitación próximas a alguna frecuencia natural, la amplitud del desplazamiento
resultante puede ser varias veces el desplazamiento estático que se obtendría
aplicando estáticamente una fuerza de la misma amplitud. Así mismo, en la
resonancia, el desfase de la respuesta del sistema respecto a la excitación es
siempre de 90º (independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ).
RIGIDEZ MODAL (kr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenido
del triple producto { } [ ]{ } rsr
rTs
kXKX δ= .
SISTEMA CONTINUO: sistema mecánico que precisa de un número infinito de
grados de libertad para determinar su posición deformada.
SISTEMA DISCRETO: sistema mecánico cuya posición deformada puede
determinarse mediante un número finito de grados de libertad.
TRANSMISIBILIDAD (Tr): puede definirse como el cociente entre la amplitud de la
fuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce en
el mismo.
Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico a
su base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre
el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora
f0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Dinámica (D):
( )2
0
t
r 21D
f
F
T ξβ+==
Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de una base o soporte a su
sistema mecánico, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre
la amplitud del desplazamiento del sistema de masa m y la del desplazamiento de la
base. La expresión correspondiente en este caso para Tr sigue siendo la misma.
VIBRACIONES ALEATORIAS: vibraciones que tienen lugar debido a la aplicación
sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo que
se puede aspirar a conocer es algunos valores estadísticos tales como su valor
medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc.
VIBRACIONES DETERMINISTAS: vibraciones que tienen lugar debido a la
aplicación sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores conocidos.

VIBRACIONES FORZADAS: vibraciones que tienen lugar debido a la presencia de
fuerzas exteriores variables con el tiempo actuando sobre el sistema - f(t) ≠ 0 -.
VIBRACIONES LIBRES: vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzas
exteriores - f(t) = 0 - y sólo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales
de desplazamiento y/o velocidad - ( ) ( )0000 txx,txx == -.

YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
Sistemas de
1 Grado de
Libertad

3.1 Introducción
Se estudian aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se
introducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Los
sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teoría
de las Vibraciones porque:
Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar
por su estudio.
Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas
con 1 gdl (Fig. 6).
Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas
con más grados de libertad.
Mediante la técnica del análisis modal los sistemas lineales con n gdl pueden
resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.
Figura 6.a – Farola modelizada como un sistema de 1 gdl
Figura 6.b – Suspensión de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl

3.2 Componentes del
sistema discreto básico
de 1 gdl
Se conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema de parámetros
concentrados que puede observarse en la Figura 7.
La energía cinética del sistema se
almacena en la masa indeformable
m, la energía potencial elástica en el
resorte sin masa de constante k, y la
capacidad de disipación de energía
en el amortiguador viscoso que se
mueve con velocidad proporcional a
la fuerza, con constante de
proporcionalidad c. Figura 7 – Sistema discreto básico de 1 gdl
El sistema queda totalmente definido
mediante la coordenada x (Figura 7).
Para que el sistema sea lineal los
parámetros k, m, y c deben ser
constantes y no depender de la
variable x. Las fuerzas presentes sin
la acción de una acción exterior son
las de la Figura 8. Figura 8 – Fuerzas actuantes
Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación del
movimiento del sistema discreto básico, común a todos los sistemas lineales con 1 gdl,
puede establecerse aplicando D’Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, y
estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección x:
( ) ( ) ( )tfkxtxctxm =++

3.3 Vibraciones libres en
sistemas de 1 gdl
Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden
2 vista en el apartado anterior: ( ) ( ) ( ) ( )tftkxtxctxm =++
Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones
exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unas condiciones iniciales distintas de la trivial
nula, ( ) ( )0000 txx,txx == , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest
Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta:
C(ms2 + cs + k) est = 0
La expresión x(t) = Cest representará una solución para todos aquellos valores de s que
satisfagan la ecuación anterior. Estos valores son las raíces de la ecuación característica
ms2 + cs + k = 0:
( ) m
k
m2
c
m2
c
s
2
−±−=
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
Como k/m es una constante positiva, podemos hacer mk2
=ω y en la ecuación
característica resultan para s los valores:
is 2
ω±=ω−±=
En tal caso, la solución general de la ecuación diferencial vendrá dada por la expresión:
x(t) = C1eiωt + C2e-iωt
donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas.
Teniendo en cuenta la relación de Euler (e±iωt = cosωt ± isenωt), la solución general puede
ponerse en la forma:
x(t) = A·cosωt + B·senωt

Y haciendo A=X·cosθ, B=X·senθ:
( ) ( )θ−ω= tcosXtx
Las constantes A, B, X y θ son siempre reales y serán determinadas con ayuda de las
condiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B:
( ) 00 xA0.B1.Ax0x =+==
( ) ω=ω+ω−== 00 xB1..B0..Ax0x
Luego la solución del problema será:
( ) tsen
x
tcosxtx 0
0 ω
ω
+ω=

y determinando X y θ a partir de A y B,
( )
ö
çç
è
æ
ω
−ω
ω
+=
0
0
2
2
02
0
x
x
arctgtcos
x
xtx

La solución de las vibraciones
libres no amortiguadas es (Figura
9) una función armónica de
frecuencia mk=ω , que
depende sólo de los parámetros
físicos del problema k y m, pero
no del tiempo ni de las
condiciones iniciales.
Figura 9 – Vibraciones libres no amortiguadas:
Respuesta armónica
El sistema siempre vibrará en la misma frecuencia, que por esta razón se denomina
FRECUENCIA PROPIA o NATURAL.
VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Volviendo a la expresión ( ) m
k
m2
c
m2
c
s
2
−±−= , las dos raíces pueden ser reales y
distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, según el signo del radicando. El caso
límite es aquél en el que dicho radicando es cero. Entonces,
ω=ω== m2cmk
m2
c

A este valor del amortiguamiento ( c ) se le llama AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. Se
denomina AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO ξξξξ de
un sistema al cociente entre su amortiguamiento c y el amortiguamiento crítico c :
ω
==ξ
m2
c
c
c
Utilizando la definición de ξ, resultará para los valores de s la expresión:
1s 2222
−ξω±ξω−=ω−ωξ±ξω−=
Si ξξξξ1 ( cc ) se dice que se está en un caso de AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO (el
radicando es negativo y las raíces son complejas conjugadas) y si ξξξξ1 ( cc ) en un caso
de amortiguamiento supercrítico (raíces reales y distintas):
Para amortiguamiento
crítico (ξξξξ=1), resulta el caso
en que s=-ω (raiz doble), con
lo que la solución del
problema tiene la forma:
x(t) = (c1 + c2t)e-ωt
solución que no tiene carácter
oscilatorio (Fig. 10) y no
presenta mayor interés para la
dinámica de máquinas. Figura 10 – Respuestas no oscilatorias
Para amortiguamiento supercrítico (ξξξξ21), se podrá hacer 12
−ξω=ω , y la
solución general es:
( ) ( )tsenhBtcoshAetx t
ω+ω= ξω−
que no es de tipo oscilatorio tampoco (Fig. 10) y, por lo tanto, tampoco interesa,
pues se sabe que la mayor parte de los sistemas mecánicos oscilan al sacarlos de
su posición de equilibrio.
Para amortiguamiento subcrítico (ξξξξ21), puede escribirse 2
1is ξ−ω±ξω−= y
haciendo
2
D 1 ξ−ω=ω se obtiene para la solución general la expresión:
( ) ( )θ−ω= ξω−
tcosXetx D
t

Es decir, la solución es (Figura
11) una función armónica de
frecuencia ωD (frecuencia de
vibración amortiguada), y
con amplitud que tiende
exponencialmente a cero. Las
constantes X y θ se calculan
considerando las condiciones
iniciales:
Figura 11 – Amortiguamiento subcrítico.
Respuesta armónica amortiguada
( )
ö
çç
è
æ
ω
ξω+
−ω÷÷
ö
çç
è
æ
ω
ξω+
+= ξω−
D0
00
D
t
2
D
002
0
x
xx
arctgtcose
xx
xtx

3.4 Vibraciones forzadas
en sistemas de 1 gdl
La cuestión de fondo que se plantea es cómo caracterizar o definir el comportamiento
dinámico de un sistema mecánico. Si no se tiene este problema resuelto, no será posible
comprobar los resultados teóricos obtenidos sobre un modelo matemático, con resultados
experimentales obtenidos sobre el modelo real.
Lo ideal sería comprobar un modelo con las solicitaciones reales a que va a estar
sometido. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible por lo variables y
complejas que pueden llegar a ser. Las condiciones que las solicitaciones de prueba o
de test deben reunir son las de ser universales (servir para el mayor número y tipo posible
de sistemas), fáciles de realizar y de reproducir (en el laboratorio y sobre el papel) y
representativas del comportamiento dinámico del sistema en la práctica. Estas
características deseables conducen a los casos siguientes:
Respuesta a una excitación armónica: Las fuerzas que varían armónicamente
son fáciles de reproducir físicamente y de estudiar teóricamente. Además,
estudiando la respuesta del sistema para toda una gama de frecuencias de
excitación, se tiene caracterizado su comportamiento dinámico.
Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función
rampa: Son las funciones más simples y relativamente fáciles de reproducir en un
laboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistema
totalmente.
Respuesta a una excitación aleatoria: Incluyen a todas las anteriores.
Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial:
( ) ( ) ( ) ( )tftkxtxctxm =++
La solución de esta ecuación diferencial se obtendrá sumando a la solución general de la
ecuación homogénea (problema ya resuelto en el apartado de vibraciones libres:
x(t) = X e-ξωt cos(ωDt-θ))
una solución particular de la ecuación completa (Fig. 12).

Figura 12 – Solución completa
EXCITACIÓN SÍSMICA
En ocasiones, las vibraciones de un sistema mecánico no vienen generadas por la
aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del tiempo, sino
por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del soporte o base
sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la transmisión de vibraciones de
una estructura a otra o a una máquina, son ejemplos significativos de este tipo de
solicitaciones. En la Figura 13, se representa el sistema discreto básico de 1 gdl
correspondiente a esta situación.

Sea x(t) el desplazamiento absoluto de
la masa m, ( )tx el relativo de la masa
respecto del soporte móvil y xi(t) el
desplazamiento absoluto del soporte.
Las variables dependientes x(t), ( )tx y
xi(t) están relacionadas mediante la
expresión: Figura 13 – Excitación sísmica
( ) ( ) ( )txtxtx i +=
Si se establece el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa m:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tftxtxktxtxctxm ii =−+−+
Restando a ambos miembros ( )txm i
y teniendo en cuenta la ecuación diferencial que
gobierna las vibraciones forzadas de sistemas de un grado de libertad:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txmtftxktxctxm i
−=++
Ecuación análoga a la del sistema discreto básico, pero aplicada al movimiento relativo
sistema-soporte. El resultado puede verse también como una aplicación del Teorema de la
Dinámica que establece que la 2ª ecuación de Newton puede aplicarse al movimiento
relativo, siempre que se introduzcan como fuerzas exteriores las fuerzas de inercia de
arrastre (- ( )txm i
) y de Coriolis (que no existen en este caso).
EXCITACIONES ARMÓNICAS
En muchos casos, los esfuerzos que actúan sobre un sistema mecánico varían
armónicamente (senoidal o cosenoidalmente), por ejemplo en el caso de un rotor
desequilibrado. Pero además, cualquier función periódica (y aún no periódica) puede
expresarse como serie (o integral) de funciones armónicas - ANÁLISIS DE FOURIER -.
Supóngase que la fuerza excitadora que actua sobre el sistema tiene la forma:
( ) ( )tsenitcosfeftf 0
ti
0 ω+ω== ω
Una fuerza compleja no tiene sentido físico, pero es un artificio matemático muy útil.
Suponiendo un término independiente complejo en la ecuación diferencial, la solución será
también compleja. Como dicha ecuación debe cumplirse tanto para la parte real como para
la imaginaria, si la fuerza realmente presente varía sinusoidalmente, bastará quedarse con
la parte imaginaria de la solución compleja, y con la parte real si la fuerza excitadora varía
cosenoidalmente.

Siendo ω la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia de la fuerza excitadora,
a la relación entre ambas frecuencias se va a llamar β:
ωω=β
La respuesta de un sistema de 1 gdl a una excitación armónica (problema de vibraciones
forzadas con excitación armónica) resulta:
( ) ( ) ti
2
0
D
t
e
i21
1
k
f
tcosXetx ωξω−
ξβ+β−
+θ−ω=
En concreto, la solución se obtendrá tomando el primer sumando de la ecuación y la parte
imaginaria o la parte real del segundo, según la fuerza excitadora varíe sinusoidal o
cosenoidalmente.
Los dos sumandos tienen una importancia y un significado muy diferente:
El primero representa una componente transitoria de la respuesta, que
desaparece con el tiempo al tender su amplitud exponencialmente a cero.
El segundo sumando
representa, sin embargo, la
respuesta estacionaria y
es mucho más interesante,
porque está presente
mientras esté presente la
excitación (Figuras 12 y 14). Figura 14 –Transitorio y estacionario
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
En la solución general obtenida para el caso de vibraciones forzadas con excitación
armónica, aparecen dos sumandos: el primero representa una componente transitoria de la
respuesta que desaparece con el tiempo y el segundo la respuesta estacionaria presente
mientras esté presente la excitación. Reteniendo este término exclusivamente:
( ) ti
2
0
e
i21
1
k
f
tx ω
ξβ+β−
=
A partir de aquí, se define una función ( )ωH denominada función compleja de respuesta
en frecuencia o FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA:
( )
i21
k1
H 2
ξβ+β−
=ω

Esta Función de Transferencia tiene la propiedad de que si sobre el sistema actúa una
fuerza que responde a la expresión:
( ) ti
0eftf ω
=
el sistema proporciona una respuesta:
( ) ( ) ti
0efHtx ω
ω=
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA
Analizando la componente estacionaria de las vibraciones forzadas resultantes en un
sistema de un grado de libertad sometido a la acción de una excitación de tipo armónico y
expresándola de forma polar:
( )
( ) ( )
( )Φ−ωω
Φ−
ω
=
ξβ+β−
=
ξβ+β−
= titi
222
i
0ti
2
0
Xee
21
e
k
f
e
i21
1
k
f
tx
Expresión donde:
( )2
1
2
arctg
β−
ξβ
=Φ : desfase presente entre la excitación y la respuesta del sistema.
( ) ( )222
0
21
1
k
f
X
ξβ+β−
= : amplitud de la vibración resultante en el sistema.
El primer factor (f0/k) de la expresión se llama desplazamiento estático, y es el
desplazamiento que tendría el sistema si la carga fuera aplicada estáticamente (con
frecuencia nula). Por otro lado, se llama FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA D a la
relación existente entre el módulo de la respuesta dinámica (amplitud de la vibración
resultante, X) y el desplazamiento estático:
( ) ( )222
21
1
D
ξβ+β−
=
Observando las expresiones del factor de amplificación dinámica y del módulo de la
función de transferencia se deduce que ambos están relacionados a través de una
constante (la rigidez k).
La Figura 15 representa el factor de amplificación dinámica D en función de ωω=β ,
para varios valores del amortiguamiento relativo ξ.

Para un valor del amortiguamiento
relativo que puede considerarse normal
de ξ=0.1, la figura muestra como para
frecuencias de excitación próximas a la
frecuencia natural (β≅1), la amplitud
resultante del desplazamiento puede ser
hasta 5 veces el que se obtendría
aplicando estáticamente una fuerza de la
misma amplitud. Sin embargo, para
frecuencias de excitación que excedan
en más de un 50% la frecuencia natural,
el desplazamiento dinámico es mucho
menor que el estático.
De ahí la importancia de hacer un diseño
dinámico adecuado y escoger los
parámetros k y m de modo que las
posibles frecuencias de excitación estén
lejos de la frecuencia natural del sistema.
Cuando la frecuencia de excitación
coincide con la frecuencia natural (ββββ=1),
se dice que se está en la CONDICIÓN
DE RESONANCIA.
Figura 15 – Factor de Amplificación Dinámica
Figura 16 – Desfase de la respuesta
Por otro lado, la Figura 16 representa el desfase de la respuesta del sistema (la vibración)
respecto a la excitación y permite apreciar como en la resonancia el desfase es siempre
90º, independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ.
Los valores máximos del factor de amplificación dinámica D se obtienen derivando
respecto a β e igualando a cero, obteniéndose que el máximo se produce para
2
21 ξ−=β -ligeramente inferior a 1- y su valor es:
2máx
12
1
D
ξ−ξ
=
Que para valores pequeños de ξ====puede aproximarse por Dmáx ≈≈≈≈1/2ξξξξ.

EXCITACIONES IMPULSO, ESCALÓN O RAMPA
Estas funciones (Figura 17) están
relacionadas entre sí: la función
escalón es la derivada de la función
rampa y la función impulso es la
derivada de la función escalón.
Gracias a ello, para analizar la
respuesta de un sistema a estos
tres tipos de funciones bastará con
calcular la respuesta a la función
escalón. A partir de ahí, las
respuestas a la funciones impulso y
rampa se podrán obtener por
derivación e integración,
respectivamente. Figura 17 – Funciones impulso, escalón y rampa
La función impulso δ(t-a) es una función que toma valor infinito en el punto t=a, y es cero
en todos los demás puntos. Matemáticamente, se define como una función tal que:
( )( ) ( )afdttfat =−δ
∞
∞−
Para determinar la respuesta de un sistema ante una entrada escalón, hay que integrar la
ecuación diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tEtkxtxctxm 0=++
siendo E0(t) la función escalón.
La solución particular de la ecuación completa es
( ) ( )tE
k
1
tx 0p =
Y la solución general de la ecuación diferencial se obtiene sumando a esta solución
particular la solución general de la ecuación homogénea (la correspondiente al problema,
ya resuelto, de vibraciones libres):
( ) ( ) ( ) 0ttE
k
1
tcosXetx 0D
t
≥+θ−ω= ξω−
Las condiciones iniciales - ( ) ( ) 00x,00x == - permitirán determinar las constantes X y θ,
de forma que la respuesta a la entrada escalón resulta (Figura 18):

( ) ( ) 0ttE
k
1
1
arctgtcose
1k
1
tx 02D
t
2
≥+
ö
ç
ç
è
æ
ξ−
ξ
−ω
ξ−
−= ξω−
Figura 18 – Respuesta en vibración de un sistema ante una entrada escalón
Derivando la respuesta
obtenida para el sistema
ante una entrada de tipo
escalón, se tendrá
(Figura 19) la respuesta
h(t) a la función
impulso unidad: Figura 19 – Respuesta ante una excitación impulso
( ) tsen
m
e
th D
D
t
ω
ω
=
ξω−
E integrando la respuesta a una función rampa. Se puede comprobar (Figura 20) que la
respuesta a una función rampa tiende, al tender t a infinito, a otra función rampa paralela:
ù
ê
ë
é
ω
ξ
−=
ú
ú
ù
ê
ê
ë
é
ξ−ω
ξ−ξ
−
2
t
k
1
1
12
t
k
1
2
2
donde ωξ2 es el retraso de la respuesta respecto a la excitación.

De las tres funciones -impulso, escalón y
rampa- estudiadas la más sencilla de
reproducir físicamente es la primera de
ellas.
También la función escalón se utiliza a
veces en análisis experimental de
vibraciones, y por lo general se simula
por medio de una fuerza aplicada que se
retira (se hace cero) súbitamente.
Figura 20 – Respuesta a una rampa
EXCITACIÓN DE TIPO GENERAL: INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
El método más sencillo para calcular la respuesta de un sistema de un grado de libertad
ante una excitación de tipo general, conocido como Método de la Integral de
Convolución, está basado en la respuesta a un impulso unitario h(t):
h(t) = 0 t 0
( ) tsen
m
e
th D
D
t
ω
ω
=
ξω−
t ≥ 0
Si el impulso no es de magnitud unitaria, para calcular la respuesta bastará multiplicar la
función h(t) por la magnitud del impulso.
Una fuerza excitadora de tipo general puede tener una forma como la de la Figura 21.
El comportamiento dinámico del
sistema en un instante t, puede
verse como el resultado de un
conjunto de impulsos elementales
anteriores de magnitud F(τ)∆τ=(Fig.
22.a). Cada uno de estos impulsos
influye en la respuesta en el
instante t en función del tiempo (t-τ)
transcurrido entre ambos. Cada
impulso en τ influye en t en la
forma: F(τ)∆τ ·h(t-τ) (Fig. 22.b) Figura 21 – Fuerza excitadora
La respuesta total será la suma de las respuestas a todos estos impulsos elementales
anteriores
( ) ( ) ( ) τττ−=
∞−
dFthtx
t

Figura 22
Integral que recibe el nombre de
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN.
Como está extendida desde -T
no hay que considerar
condiciones iniciales.
Si la fuerza excitadora
comenzase a actuar en el
instante t=0 y las condiciones
iniciales no fuesen nulas, habría
que superponer el transitorio
correspondiente según las
expresiones deducidas al tratar
el problema de vibraciones
libres.

YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 4 – SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
33ºº IINNGGEENNIIEERRÍÍAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL
Sistemas de
2 Grados de
Libertad

4.1 Introducción
Hasta el momento, se han estudiado los sistemas con 1 gdl viéndose que:
Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado en
libertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia característica del
sistema llamada frecuencia natural.
El fenómeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza
armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural.
Los sistemas con 2 gdl presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1
gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con N
gdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los
sistemas con 2 gdl son idénticos a los de sistemas con N gdl, tienen la ventaja de que sus
ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos accesibles.
Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial.
Figura 23 – Sistemas mecánicos con 2 gdl
Se verá como si un sistema con 2 gdl sin amortiguamiento es desplazado de su posición
de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan
siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas (tantas como gdl) de perturbar el
equilibrio. Sólo para dos tipos (2 gdl) de perturbaciones el movimiento subsiguiente es
armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación.
Un sistema con 2 gdl tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una
excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de
excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas
facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos
naturales de vibración y análisis modal.

4.2 Ecuaciones del
movimiento:
Formulación matricial
Sea el sistema discreto con 2 gdl de la Figura 24.a. En este caso tan sencillo, las
ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las
masas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del
movimiento.
Figura 24 – Sistema con dos grados de libertad
Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de
la posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de
fuerzas en dirección x (Fig.24.b) resulta:
( ) ( ) ( ) 0tFxxcxxkxcxkxm 1122122111111 =+−⋅+−⋅+−−−
( ) ( ) ( ) 0tFxxcxxkxcxkxm 2122122232322 =+−⋅−−⋅−−−−

Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que
ambas incógnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente:
ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−+
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−+
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
)t(F
)t(F
x
x
kkk
kkk
x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
2
1
322
221
2
1
322
221
2
1
2
1

o, de forma más abreviada, con notación matricial: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })t(FxKxCxM =++
Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de
amortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar.
Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una
característica de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchas
otras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las
dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal caso
resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con 1 gdl.

4.3 Vibraciones libres no
amortiguadas.
Modos de vibración
La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la
determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de
libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración.
Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos
disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a
(k11=k1 + k2 k22=k2 + k3):
ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
x
x
kk
kk
x
x
m0
0m
2
1
222
211
2
1
2
1

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos
procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un
movimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía con
sistemas de 1 gdl, soluciones de la forma: x1(t)=X1⋅eiωt, x2(t)=X2⋅eiωt
Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones:
( ) 0XkXkm 22111
2
1 =−⋅+ω−
( ) 0XkmXk 222
2
212 =⋅+ω−+−
lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicho sistema tenga
solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del
sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación
bicuadrática cuyas raices son:
( ) ( )
21
2
221
2
112221
21
1122212
mm2
kmm4kmkm
mm2
kmkm +−
±
+
=ω

Si ω1
2 y ω2
2 son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimiento
armónico en estas dos frecuencias ωωωω1 y ωωωω2 que son las frecuencias naturales del
sistema.
El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse, a su vez, en la forma:
1
2
11
2
2
1
mk
k
X
X
ω−
=
2
2
2
22
2
1
k
mk
X
X ω−
=
Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de ω1
2 y ω2
2 se determina la
relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los
movimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben
el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (X1
1, X2
1) y (X1
2, X2
2),
uno para cada frecuencia, ω1
2, ω2
2. Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio
según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la
frecuencia del modo.
Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre sí respecto a las
matrices de inercia y rigidez; es decir:
{ } 0
X
X
m0
0m
X,X 2
2
2
1
2
11
2
1
1 =ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
⋅ { } 0
X
X
kk
kk
X,X 2
2
2
1
222
2111
2
1
1 =ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
⋅
Como las dos amplitudes de un modo no están determinadas más que en la relación
existente entre ellas, es una práctica habitual el normalizar los modos de forma que:
{ } 1
X
X
m0
0m
X,X j
2
j
1
2
1j
2
j
1 =ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
⋅ j = 1,2

4.4 Coordenadas
naturales. Introducción
al Análisis Modal
Además de las coordenadas x1(t) y x2(t) empleadas
para definir el movimiento del sistema (Fig. 25), un
cambio de coordenadas interesante es:
( ) ( ) ( )tyXtyXtx 2
2
11
1
11 ⋅+⋅=
( ) ( ) ( )tyXtyXtx 2
2
21
1
22 ⋅+⋅=
o bien, matricialmente:
{ } [ ] { }yX
y
y
XX
XX
x
x
x
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
⋅=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
=ý
ü
î
í
ì
=
donde se ha llamado matriz [X] a la matriz cuyas
columnas son los modos naturales de vibración -
matriz de modos -.
Introduciendo esta transformación de coordenadas en
la ecuación matricial de movimiento del sistema y
premultiplicando por [X]T: Figura 25 – Sistema de 2 gdl
[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { }0yXKXyXMX
TT
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta:
ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
ω
ω
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
y
y
0
0
y
y
10
01
2
1
2
2
2
1
2
1

o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales:
( ) ( ) 0tyty 1
2
11 =⋅ω+ ( ) ( ) 0tyty 2
2
22 =⋅ω+

Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con los
métodos estudiados para los sistemas con 1 gdl.
A las coordenadas y1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denomina
coordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento están
desacopladas. El método seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistema
constituye la técnica de análisis modal.
Cabría ahora, por tanto, pensar en la posibilidad de estudiar las vibraciones libres con
amortiguamiento. Pero surge entonces una nueva dificultad por el hecho de que, en
general, esta transformación de coordenadas, que diagonaliza las matrices de rigidez e
inercia, no hace lo mismo con la matriz de amortiguamiento. Este caso no se estudiará
ahora, pero se puede considerar incluido en el que se realizará posteriormente para
sistemas de N gdl.

4.5 Vibraciones forzadas.
Condiciones de
resonancia
Se estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindirá también de la
componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales (sin amortiguamiento, esta
componente no desaparecerá nunca, pero como ya se han estudiado las vibraciones
libres, se prescindirá de ellas en virtud del Principio de Superposición).
Supóngase actuando sobre el sistema una excitación armónica síncrona de modo que
las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema respondan a la expresión:
ti
2
1
2
1
222
211
2
1
2
1
e
f
f
x
x
kk
kk
x
x
m0
0m ω
⋅ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é

Suponiendo soluciones en la forma ( ) ( ) ti
22
ti
11 eXtx,eXtx ωω
⋅=⋅= , sustituyendo estos
valores y sus derivadas segundas en la ecuación anterior y reordenando, se obtiene el
siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
( ) 122111
2
1 fXkXkm =−⋅+ω−
( ) 2222
2
212 fXkmXk =⋅+ω−+−
Aplicando la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los
valores de las amplitudes de los movimientos armónicos que se están buscando:
( )
( ) ( ) 2
2
2
222
2
111
22
2
2221
1
kmkmk
fkmkf
X
−ω−⋅ω−
+ω−
=
( )
( ) ( ) 2
2
2
222
2
111
12
2
1112
2
kmkmk
fkmkf
X
−ω−⋅ω−
+ω−
=
que pueden expresarse:

( )
( ) ( )2
2
22
1
2
21
22
2
2221
1
mm
fkmkf
X
ω−ω⋅ω−ω
+ω−⋅
=
( )
( ) ( )2
2
22
1
2
21
12
2
1112
2
mm
fkmkf
X
ω−ω⋅ω−ω
+ω−⋅
=
amplitudes que se hacen infinitas cuando la frecuencia de excitación ω coincide con
cualquiera de las dos frecuencias naturales. Por lo tanto, un sistema de 2 gdl tiene dos
condiciones de resonancia.
En el ejemplo representado en la Figura 26, pueden apreciarse las amplitudes de los
movimientos de las dos masas para diferentes valores de la frecuencia de excitación,
observándose claramente la presencia de dos resonancias alrededor de las frecuencias de
8 y 12 Hz, aproximadamente.
Figura 26 – Doble resonancia
Considérese ahora el caso en el que hay amortiguamiento viscoso lineal. En el caso
más general, las ecuaciones de equilibrio serán
ti
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
e
f
f
x
x
kk
kk
x
x
cc
cc
x
x
mm
mm ω
⋅ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
+ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é

Haciendo como antes y suponiendo soluciones de la forma
( ) ( ) ti
22
ti
11 eXtx,eXtx ωω
⋅=⋅=
Se obtendrá

( ) ( )
( ) ( ) ý
ü
î
í
ì
=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
ωω
ωω
2
1
2
1
2221
1211
f
f
X
X
ZZ
ZZ
donde,
( ) ijijij
2
ij kcimZ +ω+ω−=ω
son las llamadas impedancias mecánicas.
Despejando por la regla de Cramer X1 y X2 de la expresión matricial del sistema de
ecuaciones y teniendo en cuenta que la matriz de impedancias es simétrica
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ω−ω⋅ω
ω⋅−ω⋅
=ω 2
122211
122221
1
ZZZ
ZfZf
X
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ω−ω⋅ω
ω⋅−ω⋅
=ω 2
122211
121112
2
ZZZ
ZfZf
X
expresiones que se suelen escribir en la forma
( ) ( )
( ) ( )
{ } [ ] { }FHX
f
f
HH
HH
X
X
2
1
2221
1211
2
1
⋅=ý
ü
î
í
ì
⋅ú
û
ù
ê
ë
é
ωω
ωω
=ý
ü
î
í
ì
donde los términos ( )ωijH representan algo análogo al papel que la función de
transferencia desempeñaba en los sistemas con 1 gdl. Así, a la matriz [H] se la denomina
matriz de transferencia.
Mediante la ecuación anterior se puede estudiar la respuesta estacionaria
de cualquier sistema ante unas fuerzas armónicas síncronas de
amplitudes conocidas.

YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 5 – SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD
Sistemas de
N Grados de
Libertad

5.1 Planteamiento
matricial
Se van a extender los resultados de 2 gdl al caso general de N gdl. El estudio general de
los sistemas con N gdl, no obstante, no es posible sin echar mano de la formulación
matricial y del uso intensivo de resultados y propiedades del Álgebra Lineal. Por ello, sólo
se llevará a cabo un tratamiento breve y simplificado del problema; centrándose la atención
en aquellos aspectos conceptuales que añadir a lo visto en sistemas de 1 y 2 gdl.
Así, no se aborda el planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales del
movimiento, sino que se parte ya de dicho sistema. Para analizar este planteamiento hay
que utilizar algún método de discretización del continuo tal como el Método de las
Diferencias Finitas o el Método de los Elementos Finitos (MEF), cuya teoría no
corresponde desarrollar aquí.
Por otro lado, en este estudio de los sistemas con N grados de libertad, sí se va a prestar
una especial atención al problema del desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales del
movimiento por medio del Análisis Modal.
MATRICES DE RIGIDEZ, INERCIA Y AMORTIGUAMIENTO
Un sistema con N gdl es aquél que precisa de N parámetros o coordenadas para que su
posición y configuración deformada quede definida. Por regla general, aunque no siempre,
se suelen tomar como coordenadas del sistema los desplazamientos de un conjunto de
puntos llamados NUDOS. La hipótesis de discretización realizada para pasar del sistema
continuo a uno de N gdl implica que el desplazamiento de un punto cualquiera puede ser
calculado a partir de los desplazamientos de dichos nudos.
Una vez elegidos los grados de libertad del sistema, pueden definirse los coeficientes de
rigidez, inercia y amortiguamiento del modo siguiente:
Coeficiente de rigidez kij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producir
un desplazamiento unidad según el gdl j, y cero según todos los demás gdl.
Coeficiente de inercia mij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producir
una aceleración unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl.

Coeficiente de amortiguamiento cij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para
que aparezca una velocidad unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl.
El modo de calcular los coeficientes kij, mij y cij es propio del método de discretización que
se adopte; en este caso, se supondrán conocidos. A su vez, los coeficientes kij, mij y cij se
pueden agrupar formando matrices llamadas matriz de rigidez [K], matriz de inercia [M]
y matriz de amortiguamiento [C].
Puestos a calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento de un sistema de N gdl, si
el sistema es lineal, se podrá aplicar el Principio de Superposición: la fuerza exterior que
actúa sobre un grado de libertad debe estar en equilibrio con las fuerzas que producen el
desplazamiento, velocidad y aceleración, en ese grado de libertad y en todos los demás.
Utilizando los coeficientes definidos, esta condición puede establecerse analíticamente:
( )tfxmxcxk i
n
1j
jij
n
1j
jij
n
1j
jij =⋅+⋅+⋅
===
i = 1, 2, ..., n
sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, que puede
establecerse con notación matricial en la forma:
[ ] { } [ ] { } [ ] { } ( ){ }tfxKxCxM =⋅+⋅+⋅
Estas son las ecuaciones diferenciales del movimiento buscadas. Obsérvese la analogía
existente con la ecuación del sistema de 1 gdl o la del sistema de 2 gdl.

5.2 Vibraciones libres de
sistemas no
amortiguados
Suponiendo que no actúan cargas exteriores y que no hay términos disipativos, las
ecuaciones diferenciales de equilibrio se reducen a: [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }0txKtxM =⋅+⋅ , con las
condiciones iniciales ( ){ } { } ( ){ } { }00 x0x,x0x ==
APÉNDICE DE ALGEBRA LINEAL. PROBLEMA DE VVPP
Si se analiza el trabajo de las fuerzas elásticas en un sistema mecánico, éste es igual a la
energía elástica almacenada por el sistema y sólo puede tomar valores positivos o nulos
(cuando los desplazamientos {x} correspondan a desplazamientos de un sólido rígido y,
por tanto, no comporten deformación elástica). De aquí se deduce que [K] es una matriz
positivo-definida (si no son posibles movimientos de sólido rígido) o positiva-
semidefinida (cuando sí lo son).
Análogamente, puede estudiarse el trabajo realizado contra las fuerzas de inercia, que
será igual a la energía cinética del sistema. Puesto que una energía cinética negativa o
nula no tiene sentido cuando las velocidades son distintas de cero, la matriz de inercia [M]
será positivo-definida.
Estas propiedades de [K] y [M] permiten deducir importantes consecuencias, aplicando el
Álgebra al siguiente problema de valores y vectores propios (VVPP) generalizado:
[ ] { } [ ] { }i
i
i
XMXK ⋅⋅λ=⋅
donde λi es el iésimo valor propio y { }i
X el correspondiente vector propio asociado, que se
supondrá normalizado respecto a la matriz [M]; esto es:
{ } [ ] { } 1XMX iTi
=⋅⋅
Si las matrices [K] y [M] son ambas positivo-definidas, los valores propios λi son todos
positivos. A su vez, si [K] es positivo-semidefinida habrá uno o más valores propios iguales

a cero. Por lo tanto, en ningún caso habrá valores propios negativos y, por lo tanto, se
podrá hacer: λi = ωi
2, siendo ωi
2 ≤ ωi+1
2.
De esta forma, el problema de VVPP generalizado podrá expresarse para todos los
vectores propios a la vez:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2
XMXK ω⋅⋅=⋅
donde [ ]X es una matriz cuyas columnas son los vectores propios normalizados respecto
a la matriz de inercia, y [ω2] es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores
propios ωi
2.
Los vectores propios tienen la propiedad de ser ortogonales respecto a las matrices [K] y
[M]. Como además están normalizados, se dice que son ortonormales. Las ecuaciones de
normalización, juntamente con las de ortogonalidad, pueden escribirse para todos los
vectores propios:
[ ] [ ][ ] []IXMX
T
=⋅⋅
[ ] [ ][ ] [ ]2T
XKX ω=⋅⋅
Con la matriz [ ]X , cuyas columnas son los vectores propios normalizados respecto a la
matriz de inercia, se lleva a cabo el cambio de variable
{ } [ ] { }x~Xx ⋅=
en el sistema
[ ] { } [ ] { } { }0xKxM =⋅+⋅
Premultiplicando por [ ]T
X y considerando la ortonormalidad de los vectores propios con
respecto a [M] y [K], resulta:
[] {} [ ]{ } { }0x~x~I 2
=⋅ω+⋅
Sistema de ecuaciones desacopladas; es decir, en la ecuación i:
0x~x~
i
2
ii =⋅ω+
no interviene más que la variable ix~ .

Al igual que lo visto en sistemas de 2 gdl, en las coordenadas { }x~ , llamadas
COORDENADAS NATURALES, el sistema de N ecuaciones diferenciales con N
incógnitas se transforma en N ecuaciones de una incógnita, cuya solución ya se abordó al
estudiar los sistemas de 1 gdl. Del mismo modo, a los vectores propios { }i
X se les llama
MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN, y sus valores propios no son otra cosa sino los
cuadrados de las FRECUENCIAS NATURALES asociadas al vector propio (modo natural)
correspondiente.
VIBRACIÓN DEL SISTEMA SEGÚN UN MODO DE VIBRACIÓN
Veamos qué ocurre si se resuelve el siguiente problema: todas las condiciones iniciales de
velocidad y desplazamiento son nulas excepto las correspondientes a la coordenada
natural i, de forma que
( ) 00x~
i = ( ) 0ii x~0x~ =
La ecuación diferencial correspondiente:
0x~x~
i
2
ii =⋅ω+
tiene por solución
( )tcosx~x~
iioi ω⋅=
siendo todas las demás jx~ idénticamente nulas para j≠i. En tal caso, la solución en las
coordenadas originales {x} es:
{ } [ ] { } { } { } { } { } { } { } ( )tcosx~Xx~Xx~X...x~X...x~Xx~Xx~Xx iio
i
i
i
n
n
i
i
2
2
1
1
ω⋅⋅=⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=⋅=
La solución resulta ser una función armónica en la que todos los puntos del sistema oscilan
alrededor de la posición de equilibrio con la misma frecuencia. Por lo tanto, si se desplaza
el sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma de un modo
natural o vector propio { }i
X , el sistema comienza a oscilar armónicamente alrededor
de dicha posición de equilibrio, siendo la posición adoptada por el sistema en cualquier
instante de tiempo el resultado de multiplicar el modo natural correspondiente por un
determinado valor escalar. Estas oscilaciones se producen a la frecuencia propia de
ese modo natural (ωi).
Si el desplazamiento del sistema respecto de la posición de equilibrio se hace no según un
determinado modo natural, sino según una combinación de modos, la solución es
asimismo una combinación de varios movimientos armónicos de distinta frecuencia. El
resultado final de tal combinación no es - en general - ni armónico, ni periódico.

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