Este documento presenta los teoremas y fórmulas fundamentales para resolver triángulos oblicuángulos, incluyendo el teorema de los senos, teorema de los cosenos, teorema de las proyecciones y teorema de las tangentes. También propone varios problemas para que los estudiantes apliquen estos conceptos y determinen medidas de ángulos y lados desconocidos en diferentes triángulos.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS”
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
Objetivo:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con resolución de triángulos oblicuángulos.
I. TEOREMA DE LOS SENOS:
Corolario:
II. TEOREMA DE LOS COSENOS:
De donde podemos deducir fácilmente:
III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES:
IV.TEOREMA DE LAS TANGENTES:
"En todo triángulo se cumple que la suma de
longitudes de dos de sus lados, es a su
diferencia; como la Tangente de la semisuma
de los ángulos opuestos a dichos lados, es a
la Tangente de la semidiferencia de los
mismos ángulos".
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
A
B
Cb
ac De donde :
aSenB = bSenA
bSenC = cSenB
cSenA = aSenCSenC
c
SenB
b
SenA
a 
C
a De donde :
aSenB = bSenA
bSenC = cSenB
cSenA = aSenC
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
De donde :
aSenB = bSenA
bSenC = cSenB
cSenA = aSenC
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
A
B
C
Rc
a
b
2R
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
2RSenC
c
SenB
b
SenA
a 
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
2R
A
B
C
a
b
c
a = b + c 2bc CosA2 2 2
b = a + c 2ac CosB2 2 2
c = a + b 2ab CosC2 2 2
B
C
a
b
a = b + c 2bc CosA2 2 2
b = a + c 2ac CosB2 2 2
c = a + b 2ab CosC2 2 2
ab2
cba
CosC
ac2
bca
CosB
bc2
acb
CosA
222222222






a = bCosC + cCo
b = aCosC + cCo
c = aCosB + bCo
A
B
C
b
ac
a = bCosC + cCosB
b = aCosC + cCosA
c = aCosB + bCosA
A
B
C
b
ac
A
B
C
b
a
c





 





 








 





 








 





 



2
ACTan
2
ACTan
ac
ac
2
CBTan
2
CBTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba
A
B
b
c


 


 








 





 



2
BTan
2
BTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba
Semana Nº 16
Se
A
B
Cb
ac De d
a
b
cS

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. De la figura mostrada:
Si 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 , entonces , 𝑚∡𝐴𝐵𝐷 es igual a:
A) 18° B) 12° C) 14° D) 16° E) 18°
2. Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las
longitudes de los lados opuestos a los
vértices A, B y C, respectivamente. Si se
cumple la relación
𝑎
𝐶𝑜𝑠𝐴
=
𝑏
𝐶𝑜𝑠𝐵
=
𝑐
𝐶𝑜𝑠𝐶
,
entonces el triángulo ABC es:
a) acutángulo b) obtusángulo
c) isósceles d) equilátero
e) rectángulo
3. Los lados de un triángulo ABC están en
progresión aritmética donde “a” es el
lado menor. Si b y c con c > b Son los
otros lados del triángulo. entonces el
valor de CosA, en términos de dichos
lados es:
A)
c
bc
2
34  B)
c
cb
2
43  C)
c
bc 34 
D)
c
bc
2
32  E)
c
bc 
4. Dos fuerzas de 120 kgf y 80 kgf
respectivamente, actúan sobre un
cuerpo formando un ángulo de 60º ¿Cuál
es la magnitud de su resultante?
a) 40√19 b) 30√19 c) 40√3
d) 30√3 e) 80 d) 𝑎2
𝑏2
e) 𝑐2
𝑏2
5. En el gráfico mostrado, si AB = 3u y
BC = 2u, entonces el valor de
Cos (2x +10º) , es:
a)
1
9
b)
2
9
c)
1
3
d)
4
9
e)
5
9
6. Dos lados de un triángulo miden 37,5 y
80 m. si al ángulo comprendido entre
dichos lados se le disminuye en 60º
permaneciendo los dos lados constantes
el nuevo triángulo tiene un área menor
en 750 𝑚 2
. Calcular la medida de dicho
ángulo.
a) 90º b) 60º c) 45º d) 30º e) 20º
7. En un triángulo ABC, se sabe que: ∡𝐶 =
60º , 𝑏 = 2√3 , c = 3√2 , hallar la
medida del ángulo “A”
a) 60º b) 75º c) 28º d) 70º e) 80º
8. En un triángulo:𝐶 = 45° , 𝐵 = 75° 𝑦
𝐶𝐵 = 15𝑚. ¿Cuál es su área
aproximadamente?
a)36.74 𝑚2
b) 98.18 𝑚2
c) 91.28 𝑚2
d) 75 𝑚2
e) 88.68 𝑚2
9. En un triángulo cualquiera de ángulos A,
B, C; lados a, b, c y altura h relativa al lado
“a”. ¿Cuál de las expresiones siguientes
es verdadera?
A
C
b





 





 








 





 









2
ACTan
2
ACTan
ac
ac
2
CBTan
2
CBTan
cb
cb
2
B
2
B
A
C
b





 





 








 





 








 





 



2
ACTan
2
ACTan
ac
ac
2
CBTan
2
CBTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
a)ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
b) ℎ =
𝑎.𝐶𝑜𝑠𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
c) ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
d) ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
e) ℎ =
𝑎.𝐶𝑜𝑠𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
10.Del siguiente rectángulo, obtener :
𝐸 = 𝐶𝑠𝑐𝛼. 𝐶𝑠𝑐𝛽. 𝑆𝑒𝑐𝑥
A) 𝑆𝑒𝑛𝜃 . 𝑇𝑔𝑥 B) 𝐶𝑜𝑠𝜃 . 𝐶𝑡𝑔𝑥
C) 𝑆𝑒𝑐𝜃 . 𝑆𝑒𝑛𝑥 D) 𝐶𝑠𝑐𝜃 . 𝐶𝑠𝑐𝑥
E) 𝑇𝑔𝜃 . 𝑇𝑔𝑥
11.Si en la figura AB = 4m y AD =5m,
halla BC.
A)
√12
13
𝑚 B)
√21
5
𝑚 C)
√21
2
𝑚
D)
√31
3
𝑚 E)
√41
2
𝑚
12.Sea el triángulo de lados a, b y c, y de área
igual a ½. el producto de las cosecantes
de sus ángulos, son:
A) 𝑎2
𝑏2
𝑐2
B) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑎𝑏𝑐
C) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
𝑎𝑏𝑐 D) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
E) 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
13.Si el área de un triángulo rectángulo BAC
(recto en A) es de 5 m2 y 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛𝐶,
entonces el perímetro del triángulo es:
A) 10 m B) (15 −
3√5
2
) 𝑚
C)(15 − 2√5) 𝑚 D) 5√5 𝑚
E) (5 + 3√5)𝑚
14. En la figura adjunta , calcule el valor de
m y Cos 𝛼
A) 𝑚 = 10 , 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
1
10
B) 𝑚 = 5 , 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
1
5
C) 𝑚 = 12 , 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
1
12
D) 𝑚 = 7 , 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
1
7
E) 𝑚 = 8 , 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
1
8
15.En la figura el segmento 𝑁𝑌̅̅̅̅ expresado
en términos de H y 𝜃 es:
A) 𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃 B) 𝐻𝐶𝑜𝑠𝜃 C) 𝐻𝑇𝑔𝜃
D) 𝐻𝑆𝑒𝑐𝜃 E) 𝐻𝐶𝑠𝑐𝜃
16.Uno de los lados de un triángulo es el
doble del otro y el ángulo comprendido
mide 60°, entonces los otros dos ángulos
miden:
A) 75º y 45° B) 80º y 40° C) 70º y 50°
D) 30º y 90° E) 65º y 55°
17.Del gráfico mostrado, hallar el valor de:

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
x.y
A) 2729 B) 2692 C) 2582
D) 2592 E) 2682
18.En un triángulo ABC :
25247
cba

Calcular la medida del ángulo C.
A) 10º B) 45º C) 60º D) 30º E) 90º
19.En la figura, si 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 , entonces el
valor del ángulo 𝛼 es:
a) 30º b) 20º c) 10º d) 15º e) 45º
20.Si las medidas de los lados de un
triángulo son tres números consecutivos
y el ángulo mayor es el doble del menor ,
entonces el coseno del ángulo de medida
intermedia es igual a:
A) ¾ B)
4
9
C)
7
8
D)
9
16
E)
13
16
21.El área de un cuadrilátero cualquiera,
sabiendo que sus diagonales miden D1 y
D2 ; además el ángulo agudo formado por
sus diagonales es “  ” , está dado por:
A) SenDD .. 21
B)
Sen
D
D
2
1
C) SenDD ..2 21
D)
2
.. 21 SenDD
E)






2
.. 21

SenDD
22.Sean x, y, z los lados de cualquier
triángulo y  ,, los
correspondientes ángulos a los cuales se
oponen los lados respectivamente. Si se
sabe qué
144
61222
  SenSenSen
y que Senx .61 , el valor de
222
zyx  , es igual a:
a)
21
16 b)
12
16 c)
12
61 d)
12
61 e)
61
12
23. En un triángulo ABC en que el ángulo B
es obtuso y el C mide 30º, el producto
𝑐𝐶𝑡𝑔𝐴 (siendo c el lado opuesto del
ángulo C)será:
A) menor que a B) mayor que b
C) igual a b D)mayor que a
E) faltan datos
24.En un triángulo ABC, de circunradio R, se
cumple
    222
4RcCtgCbCtgBcb  la
medida del ángulo A, en radianes, es:
a)
12
 b)
6
 c)
4
 d)
3
 e)
12
5
25.Un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia tiene dos lados
consecutivos iguales. La diagonal que
une los extremos de los lados iguales
mide 3√2 − √2 el ángulo opuesto en el
cuadrilátero al ángulo comprendido
entre dichos lados iguales miden 135°
¿Cuánto miden los lados iguales?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 5