El documento presenta información sobre la resolución de triángulos oblicuángulos, incluyendo los teoremas de los senos, cosenos, proyecciones y tangentes. También incluye ejemplos de problemas de trigonometría y sus soluciones relacionadas con la longitud y medida de ángulos en triángulos.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS”
Objetivo:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con resolución de triángulos oblicuángulos.
I. TEOREMA DE LOS SENOS:
"En todo triángulo, las medidas de sus lados
son proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos"
II. TEOREMA DE LOS COSENOS:
De donde podemos deducir fácilmente:
III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES:
IV.TEOREMA DE LAS TANGENTES:
PROBLEMA DE CLASE
1) Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las
longitudes de los lados opuestos a los vértices A, B
y C, respectivamente. Si se cumple la relación
𝑎
𝐶𝑜𝑠𝐴
=
𝑏
𝐶𝑜𝑠𝐵
=
𝑐
𝐶𝑜𝑠𝐶
, entonces el triángulo
ABC es:
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
A
B
C
Rc
a
b
2R
SenC
c
SenB
b
SenA
a 
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
2R
C
a = b + c 2bc CosA2 2 2
b = a + c 2ac CosB2 2 2
c = a + b 2ab CosC2 2 2
ab2
cba
CosC
ac2
bca
CosB
bc2
acb
CosA
222222222






A
B
C
b
ac
a = bCosC + cCosB
b = aCosC + cCosA
c = aCosB + bCosA
A
B
C
b
ac
A
B
b
c


 


 








 





 



2
BTan
2
BTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba
A
B
C
b
a
c





 





 








 





 








 





 



2
ACTan
2
ACTan
ac
ac
2
CBTan
2
CBTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba
A
B
C
b
a
c





 





 








 





 








 





 



2
ACTan
2
ACTan
ac
ac
2
CBTan
2
CBTan
cb
cb
2
BATan
2
BATan
ba
ba
Se
A
B
Cb
ac De d
a
b
cS
Semana Nº 16

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
a) acutángulo b) obtusángulo c)isósceles
d) equilátero e) rectángulo
1º EXAMEN ORDINARIO – UNS 2014 - II
2) En el grafico mostrado, si AB = 3u y BC = 2u,
entonces el valor de Cos (2x +10º) , es:
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
5
9
3) Dos fuerzas de 120 kgf y 80 kgf
respectivamente, actúan sobre un cuerpo formando
un ángulo de 60º ¿Cuál es la magnitud de su
resultante?
a) 40√19 b) 30√19 c) 40√3 d) 30√3 e) 80√5
4) En un triángulo ABC, se sabe que: ∡𝐶 = 60º ,
𝑏 = 2√3 , c = 3√2 , hallar la medida del ángulo “A”
A) 60º B) 75º C) 28º D) 70º E) 80º
5) Dos lados de un triángulo miden 37,5 y 80 m. si
al ángulo comprendido entre dichos lados se le
disminuye en 60º permaneciendo los dos lados
constantes el nuevo triángulo tiene un área menor
en 750 𝑚 2
. Calcular la medida de dicho ángulo.
A) 90º B) 60º C) 45º D) 30º E) 20º
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
6) En un triángulo cualquiera de ángulos A, B, C;
lados a, b, c y altura h relativa al lado “a”. ¿Cuál de
las expresiones siguientes es verdadera?
A)ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
B) ℎ =
𝑎.𝐶𝑜𝑠𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
C) ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
D) ℎ =
𝑎.𝑆𝑒𝑛𝐵.𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
E) ℎ =
𝑎.𝐶𝑜𝑠𝐵.𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴
7) Del siguiente rectángulo, obtener :
𝐸 = 𝐶𝑠𝑐𝛼. 𝐶𝑠𝑐𝛽. 𝑆𝑒𝑐𝑥
A) 𝑆𝑒𝑛𝜃 . 𝑇𝑔𝑥 B) 𝐶𝑜𝑠𝜃 . 𝐶𝑡𝑔𝑥 C) 𝑆𝑒𝑐𝜃 . 𝑆𝑒𝑛𝑥
D) 𝐶𝑠𝑐𝜃 . 𝐶𝑠𝑐𝑥 E) 𝑇𝑔𝜃 . 𝑇𝑔𝑥
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
8) Si las medidas de los lados de un triángulo son
tres números consecutivos y el ángulo mayor es el
doble del menor, entonces el coseno del ángulo de
medida intermedia es igual a:
A)
4
3 B)
9
4 C)
8
7 D)
16
9 E)
16
13
(EXAMEN ORDINARIO 2013 I)
9) Del gráfico mostrado, hallar el valor de: x.y
A) 2729 B) 2692 C) 2582 D) 2592 E) 2682
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
10) En un triángulo ABC :
25247
cba

Calcular la medida del ángulo C.
a) 10º b) 45º c) 60º d) 30° e) 90°
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2013 II )
11) Sean x, y, x los lados de cualquier triángulo y
 ,, los correspondientes ángulos a los cuales
se oponen los lados respectivamente. Si se sabe
qué
144
61222
  SenSenSen y que
Senx 61 , el valor de 222
zyx  , es igual a:
A)
21
16 B)
12
16 C)
12
61 D)
12
61 E)
61
12
(EXAMEN PREFERENTE 2013 I)
12) Si el coseno del mayor ángulo agudo de un
triángulo de lados enteros consecutivos es 1/5;
entonces, el semiperímetro de dicho triangulo
mide:
A) 3 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 II)
13) Las longitudes de los lados de un triángulo son
tres números consecutivos y la medida del ángulo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
mayor es el doble del menor. Calcular el perímetro
de dicho triángulo.
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
14) En un triángulo ABC, si P es el semiperímetro
del triángulo ,calcular:
CosB
CosAbC
CosA
CosCab
CosC
CosBca
M
... 





a) P/3 b) P c) 2P d) P/2 e) 3P
2º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2008
15) En un triángulo ABC, la expresión
22
22
b
BCos
a
ACos

es equivalente a:
a)
ba
11
 b)
ba
11
 c)
22
11
ba
 d)
22
11
ba
 e) N.A.
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2009
16) El producto de Sen2B.Sen2C del triángulo ABC
de la figura, es igual a:
A)
256
105

B)
18
15 C)
125
86 D)
256
105 E)
125
86

(EXAMEN PREFERENTE – 2012 I )
17) En la figura adjunta, si N es punto medio de la
arista y el sólido es un cubo, entonces el valor de
sen , es:
A)
5
2 B)
3
5 C)
6
5 D)
5
62 E)
5
3
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2010
18) Dado el triangulo ABC, cuyo grafico es:
Calcular el ángulo B
A) 33arcsen B) 3arctg
C) 33arctg D) 33secarc
E) 33arctg
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 I )
19) En un triángulo ABC, de circunradio R , se
cumple: a.cosB + b.cosA = 4R.senC.cosC
La medida del ángulo C, en radianes, es:
a)
6
 b)
4
 c) 3

d) 2

e) 3
2
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )
20) En un triángulo ABC se cumple:
donde R: circunradio.
Calcular la medida del ángulo A.
A) 45° B) 30° C) 75° D)60° E) 15°
(3º EXAMEN SUMATIVO )
21) De la figura, calcular la longitud del
segmento BC:
A) B)
C)
D) E)
22) Siendo A, B, C los ángulos de un triángulo
2 2 2
(b c) (bCtgB cCtgC) 4R   
5 5 2
5 3
2 5 2 3 4 5 2 3

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo
ABC, donde se cumple que:
Calcular la medida del ángulo C (R:
circunradio del )
A) 60° B) 30°
C) 45° D) 75° E) 15°
(3º EXAMEN SUMATIVO )
PROBLEMA DE REPASO
1) En un triángulo ABC se tiene que :
Calcular: TgA.
A) B) C) D) E)
2) Los lados de un triángulo son tres números
enteros consecutivos y sus ángulos agudos son
x; y; z (x > y > z).
Halle el valor de:
A) ½ B) 1 C)3/2 D)2 E) 5/2
3) En un triángulo ABC se cumple:
Calcular:
A) 7/2 B) 9/2
C) 11/2 D) 3/2 E) 5/2
4) Dado un triángulo ABC donde se cumple:
Hallar en términos de "m".
A) m B) -m
C) 2m D) -2m E) m/2
5) Calcular en un triángulo donde
se cumple:
A) B)
C) D) E)
6) En un triángulo ABC simplificar:
A) B)
C) D) ab E) 0
7) Dos lados de un triángulo son enteros y
consecutivos, el ángulo formado entre ellos es
120°, si el tercer lado es el mayor e igual al
doble del menor disminuido en la unidad.
Calcular el área de dicho triángulo.
A) B) C)
D) E)
8) En un triángulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c)
,
si tgB = 1/5; calcular:
ca
CbAb
F



coscos
1
a)
5
6 b)
26
26 c)
26
265 d) 26 e)
5
4
9) En un triángulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c)
Se cumple: 2
333
a
acb
acb



Calcular:
2
cos.2
A
F 
a) ½ b)
2
2 c)
2
3 d)
2
6 e)
3
22
10) En un triángulo ABC ; Reducir la expresión
  1)( 222222
 tgBbcatgAcbaF a) -
2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
aCosB bCosA 4RSenC CosC 
ABC
b a 4
y m C 60
b a 3

  

3
13
7
7
3
3
3
11
13
13
Senx Seny Senz
P
2Seny
 

2 2 2
a b c 11  
M bc CosA ac CosB ab CosC  
a b c
m
TgA TgB TgC
  
E R(CosA 2CosB 3CosC)  
B A
Tg
2
 
 
 
2 2
2a 3b 7ab .............. (I)
m C 30 .................... (II)
a b ............................ (III)
 
 

3 2
2
 2 3
2

3
2
3 2
2
 
  
 
3 2
2
 
  
 
2 2 2
M c Cos2B b Cos2C b  
2
a
2
b
2
c
221 3
m
2
27 3
m
2
2
7 m
221 3
m
5
27 7
m
9

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo