Este documento presenta varios ejercicios sobre geometría analítica de rectas y vectores en el plano. Se piden determinar ecuaciones de rectas dados puntos o condiciones como paralelismo; hallar intersecciones de rectas; y calcular áreas de triángulos formados. Las soluciones muestran los procedimientos analíticos para resolver cada tipo de ejercicio.

1. Geometría Analítica Dpto. de Matemáticas 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA: VECTORES Y RECTAS
1. Dados los puntos A(3,1) y B(1,2). Determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por
esos dos puntos. Calcular también las ecuaciones paramétricas, continua y general.
2. Decidir si son paralelas o no los siguientes pares de rectas:
a)






t1y
t23x
r
1
2y
2
4x
s





b)






t1y
t23x
r 03y2xs 
c) 01y3xr  05y6x2s 
3. Hallar la intersección de los siguientes pares de rectas:
a) 05y4x3r  018y3x5s 
b) 01y6x3r  01y4x2s 
4. Hallar la ecuación de la recta paralela a 05y3x2  que pasa por el punto  1, 2P  .
5. Sean A(1,0),B(4,-3) y C(5,2) los tres vértices de un triángulo. Hallar:
a) La ecuación de la recta que pasando por A es paralela a la que pasa por B y C.
b) La ecuación de la mediana que pasa por C.
6. Calcular la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(-5,2) y cuya pendiente es
3
4
m  .
7. Dada la recta de ecuación 05y2x3  , hallar un vector director, su pendiente, puntos de
corte con los ejes y área del triángulo que forma con los ejes.
8. Dadas las rectas
a
3y
2
1x
r



 y 0my3x2s 
a) Hallad a para que sean paralelas.
b) Hallad m para que s pase por el punto A(2,1)
c) Hallad a para que r sea paralela al eje OX.
9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de A(2,3) y B(1,-2) y es paralela a
la de ecuación 03yx2  .
10. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto de intersección de
las rectas 03y2x  y 09y2x 
11. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a 0y3x2  y cuya ordenada en el origen es
– 2.
12. Calcular la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el punto P(2,6).

2. Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B 2
SOLUCIONES
1.  1,2AB 
)1,3(A )1,2(t)1,3()y,x(  Ecuación vectorial





t1y
t23x
Ecuaciones paramétricas
1
1y
2
3x 



Ecuación continua
05y2x  Ecuación general.
2. a)






t1y
t23x
r  )1,2(v 

1
2y
2
4x
s




  )1,2(w 

Los dos vectores directores son el mismo. Luego las rectas son Paralelas o Coincidentes. Si
tomamos el punto )1,3(P de la primera, no cumple la ecuación de la segunda, luego no son la
misma recta, y por tanto, son Paralelas.
b)






t1y
t23x
r 

v  (2,1) s x 2y 3  0 

w  (2,1)
Los dos vectores tienen la misma dirección, las rectas son Paralelas (se comprueba que no son
la misma recta, de la misma forma que en el apartado anterior).
c) 01y3xr  05y6x2s 
5
1
6
3
2
1 

Las rectas son Paralelas.
3. a) Las rectas se cortan en el
punto )1,3(P . Dicho punto se
obtiene resolviendo el sistema de
ecuaciones formado con las
ecuaciones de las dos rectas.
b) Las rectas 01y6x3r  y 01y4x2s  son paralelas, luego no se cortan en ningún
punto.
4. Si es paralela a 05y3x2  podemos tomar como vector director el mismo, es decir,
)2,3(v 

. Como además sabemos que pasa por el punto )2,1(P  , su ecuación será:
2
2y
3
1x 


, o bien 08y3x2  si la escribimos en forma general.

3. Geometría Analítica Dpto. de Matemáticas 3
5.
Recta r: Pasa por )0,1(A y podemos usar como
vector director el )5,1(CB  , luego su
ecuación será:
5
y
1
1x




o 05yx5  en
forma general.
Recta s: Pasa por )2,5(C y por el punto medio del
lado opuesto que es )2/3,2/5(M  , como
vector director podemos usar el 






2
7
,
2
5
MC o
cualquiera que sea paralelo como por ejemplo el
)7,5(v

de modo que la ecuación de la recta será:
7
2y
5
5x 


o bien 025y5x7  en forma
general.
6. La ecuación será: )5x(
3
4
2y  o bien 014y3x4  en forma general.
7. Dada la recta 05y2x3  un vector director será )3,2(v

, su pendiente
2
3
m  , los puntos de
corte con los ejes 






2
5
,0P y 





 0,
3
5
Q
El área del triángulo que forma con los ejes será: 2
u
12
25
2
6
25
2
3
5
2
5
A 


8. a) Para que sean paralelas las rectas
a
3y
2
1x
r



 y 0my3x2s  , sus vectores
directores tienen que ser de la misma dirección. Sus vectores directores son, respectivamente,
)a,2(v

y )2,3(w

. Para que sean de la misma dirección, debe cumplirse
a
2
2
3
 , es decir,
3
4
a 
b) Para que la recta s pase por el punto A(2,1), al sustituir las coordenadas del punto en la
ecuación de la recta, la igualdad debe ser cierta. Es decir 0m1322  de donde se
desprende que 1m 
c) Para que r sea paralela al eje OX, la segunda componente de su vector director debe ser 0,
0a  .
9. La recta que buscamos pasa por el punto medio de A(2,3) y B(1,-2) que es 





2
1
,
2
3
M y es
paralela a 03yx2  , luego podemos tomar el )2,1(v 

como vector director. Su ecuación
será
2
2
1
y
1
2
3
x 


que en forma general queda 05y2x4 

4. Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B 4
10. El punto de intersección de 03y2x  y 09y2x  es )3,3(P (se obtiene resolviendo
el sistema que se forma con las dos ecuaciones). Como la recta también pasa por el origen
)0,0(O podemos tomar como vector director el )3,3(OP  , la ecuación será
3
y
3
x
 , o bien
0y3x3  que simplificada queda 0yx 
11. Si es paralela a 0y3x2  , tendrá la misma pendiente que es
3
2
m  , como sabemos además
que su ordenada en el origen es 2 , la ecuación explícita de la recta será 2x
3
2
y  que,
escrita en forma general, queda 06y3x2 
12. Si es paralela al eje OY su ecuación será ax  , como pasa por el punto P(2,6), entonces, la
ecuación será 2x  .