Este documento explica las razones y proporciones en matemáticas. Define una razón como la comparación de dos cantidades mediante resta o división. Existen dos tipos de razones: aritmética y geométrica. Una proporción es la igualdad de dos razones del mismo tipo que tienen el mismo valor. Las proporciones también pueden ser aritméticas o geométricas y siguen propiedades como que el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos. El documento provee ejemplos para ilustrar

2. Comparar cantidades la diferencia o cociente (resta
o división).
Formar una proporción aritmética o geométrica.
Aplicar las propiedades de la proporción
aritmética o geométrica.
Resolver eficazmente problemas de razones y
proporciones.

3. Podemos comparar la altura de un edificio de 30m con la altura de una
casa de 6m y podemos determinar que la altura del primero sobrepasa
al segundo en:
30 – 6 = 24………………… ( 1 )
Pero también podemos afirmar que la altura del primero es: Cinco veces,
la del segundo.
En ambos casos estamos comparando dos
cantidades, en (1) mediante una diferencia o
resta y en (2) mediante un cociente o división.
“En matemática, el resultado de comparar dos
cantidades se llama razón”

4. Una razón es una comparación entre dos o mas cantidades. Puede
expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b,
la razón entre ellos se escribe como:
a : b , a / b ò
𝑎
𝑏
y se lee “a es a b”
EJEMPLO DETALLADO DE RAZÓN:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación
numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres
es de “10 es a 18”, otra forma de leerlo es “10 de 18”.

5. El término “a” es el antecedente de la razón y el término “b” es el
consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el
consecuente se denomina “Valor de la Razón”.
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
𝒂
𝒃
antecedente
consecuente
𝒂
𝒃
antecedente
consecuente
𝒂
𝒃
“Valor de la Razón”

6. Veamos como resolver problemas de razones:
EJEMPLO:
El perímetro de un rectángulo mide 128cm, y la razón entre las
medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula el área del rectángulo.
SOLUCIÓN:
Sabiendo el procedimiento del problema anterior, planteamos el problema
en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la
suma de todos sus lados.
𝒂
𝒃
=
𝟓 𝒌
𝟑 𝒌
2 a + 2 b = 128
Si expresamos las variables
dadas en el problema:

7. Ahora reemplazamos y resolvemos:
2 a + 2 b = 128
2 ( 5 k ) + 2 ( 3 k ) = 128
10 k + 6 k = 128
16 k = 128
k = 128/16
k = 8
Con este resultado reemplazamos:
𝒂
𝒃
=
𝟓 𝒌
𝟑 𝒌
=
𝟓 𝒙 𝟖
𝟑 𝒙 𝟖
=
𝟒𝟎
𝟐𝟒
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del
rectángulo. Sabemos que el área del rectángulo se calcula:
El área del
rectángulo es
960 𝒄𝒎 𝟐
.
A = a x b A = 40 x 24
A = 960

8. Es la comparación de dos cantidades mediante la diferencia o resta.
Donde: a es el antecedente
b es el consecuente
r es el valor de la razón aritmética
a – b = r
EJEMPLO 1:
Los automovilistas A y B se desplazan con velocidades de 80
km/h y 60 km/h respectivamente.
Encontremos la razón aritmética de dichas velocidades.

9. SOLUCIÓN:
80 km/h – 60 km/h = 20 km/h
INTERPRETACIÓN:
La velocidad del automovilista A excede 20 km/h a la velocidad del
automovilista B, es decir , en una hora A recorre 20 km más que B.
A = 80 km/h B = 60 km/h
A – B = RA

10. Es la comparación de dos cantidades mediante la división o cociente, y
consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades
contiene a dicha unidad de referencia.
𝑎
𝑏
= k ; b ≠ 0
Donde: a es el antecedente
b es el consecuente
k es valor de la razón geométricaEJEMPLO 2:
Encontremos la razón geométrica con respecto a las velocidades
del ejemplo anterior (Ejemplo 1).
SOLUCIÓN:
Las velocidades de los automovilistas A y B son como 4 es 3.

11. EJEMPLO 3:
Calcule la razón aritmética y la razón geométrica de los números 9 y
3, en el orden indicado.
 Razón Aritmética:
r = 9 - 3
r = 6
 Razón Geométrica:
k =
𝟗
𝟑
k = 3
La razón aritmética es una
diferencia y la razón geométrica es
una división, estas cumplen con
las mismas propiedades de la resta
y división, respectivamente.

12. Una proporción es la igualdad de dos razones, siendo la característica
principal que estas razones son iguales.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
ò 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑
Términos Medios
Términos Extremos
Se lee: “ a es a b como c es a d”

13. a – b = c – d
Es la igualdad entre dos razones aritméticas
Donde: a y c son antecedentes
b y d son consecuentes
a y d son extremos
b y c son medios
Si 43 excede a 25 como 60 excede a 42, se puede escribir:
EJEMPLO:
43 – 25 = 60 -42
SOLUCIÓN: Dónde:
43 y 60: antecedentes
25 y 42: consecuentes
43 y 42: términos extremo
25 y 60: términos medios
Propiedad: suma de términos extremos = suma de términos medios.
43 + 43 = 25 + 60

14. 𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
; b ≠ 0, d ≠ 0
Es la igualdad de dos razones geométricas.
Donde: a y c son antecedentes
b y d son consecuentes
a y d son extremos
b y c son mediosEJEMPLO:
SOLUCIÓN:
En una quincena un obrero gana S/. 320, ¿cuánto tiempo tendrá
que trabajar para ganar S/. 4160?
En una quincena se gana S/.320; como en x quincenas se gana S/.4160.
x = 13 quincenas
Propiedad: “Producto de términos extremos = Producto de términos medio”
1 x 4160 = 320 x 13

15. 𝒂
𝒃
=
𝒃
𝒄
; b y c ≠ 0
a x c = 𝒃 𝟐
b = 𝒂 𝒙 𝒄
b es la media geométrica o media proporcional
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
; b y d ≠ 0
a x d = b x c

16. En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al
producto de los términos extremos (TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS
PROPORCIONES). Es decir:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑥 𝑑 = 𝑏 𝑥 𝑐
EJEMPLO:
Si tenemos la proporción:
𝟑
𝟒
𝟏𝟓
𝟐𝟎
Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
3 x 20 = 4 x 15 ; es decir ; 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades
presentadas como proporción lo son verdaderamente.

17. El tema de razones y proporciones es muy
importante pues esta siempre presente en la vida
diaria, ya que es necesario comparar unas cosas con
otras, además de comparar cantidades.
Podemos decir que una proporción es la igualdad de
dos razones de una misma clase y que tienen el
mismo valor.
Al igual que en las razones, existen dos tipos de
proporciones: aritmética y geométrica.

18.  http://www.ejemplode.com/5matematicas/129-
ejemplo_de_razones_y_proporciones.html
 Llanos Marcos, (2007), “Nuevo Formulario de ciencias”,
Lima – Perú: Editorial San Marcos
 https://www.portaleducativo.net/septimo-
basico/293/Razones-proporciones
Visto en: