1. Ley de las zonas
Relación entre índices de
planos y direcciones
Lic. Carlos Quiñones Monteverde
Introducción a la Cristalografía

2. Una zona es el conjunto de caras de un
cristal cuyas aristas de intersección son
paralelas entre sí.
Un eje de zona es la línea que corre
paralela a las aristas de la zona.
Caras de la zona
Eje de zonaLas caras del cristal se disponen en zonas
La zona es:
Primitiva o completa: caras se
interceptan formando aristas
reales
Secundaria o incompleta: prolongación de las caras se
interceptan formando aristas virtuales
Todo plano paralelo a dos aristas es una cara del
cristal
Toda dirección paralela a la línea de intersección
de dos caras es una arista del cristal
Ley de las zonas:

3. Relación entre índices de los planos y las direcciones
La dirección de una recta o una arista se define con tres o cuatro números
enteros: índices de la dirección. [uvw].
Toda recta puede trasladarse
paralelamente a sí misma y hacerse
pasar por el origen de coordenadas.
Cualquier punto de la recta definirá
su dirección.
I
II
III
(xyz)
x y
z
El plano unidad define las unidades
axiales.
Los índices de la dirección serán:
a
x
u
b
y
v
c
z
w
En la Figura los índices son: [234]
Los ejes cristalográficos tienen los índices:
Los índices (hkl) de los planos y los índices [uvw]
de las direcciones se relacionan así:
I [100] II [010] III [001]
[010]
[100]
[001]
hu + kv + lw = 0

4. Ejercicio 1
Determinar el rasgo característico de los índices de los planos de las
zonas [111] y [001].
Zona [111]
0)1()1(k)1(h 
Obtenemos: 0kh 
.
Sustituyendo valores de u, v y w:
Solución
Luego, todos los planos cuya
suma de índices es igual a cero,
pertenecen a la zona [111]
Un plano de índices )hk(  que pertenece a una zona de indices [uvw]
0wkvhu satisface la ecuación:
Zona [001]
0)1()0(k)0(h 
Obtenemos: 0
Sustituyendo valores de u, v y w:
Luego, todos los planos con el
tercer índice igual a cero,
pertenecen a la zona [001]

5. Ejercicio 2
Solución
Dados los índices y de dos planos de
un cristal que se interceptan, hallar los índices [uvw] de
la dirección de la recta de intersección.
)kh( 111  )kh( 222 
Podemos escribir las siguientes ecuaciones:
0wvkuh 111 
0wvkuh 222 
Resolviendo: )khkh(:)hh(:)kk(w:v:u 122112211221 
22
11
k
k


22
11
h
h


22
11
kh
kh
Regla para obtener los índices [uvw] de la dirección de la recta de
intersección de dos planos del cristal:
222222
111111
khkh
khkh


222
111
kh
kh


Esta regla se puede aplicar para resolver el problema inverso

6. Dados los planos (320) y (110), determinar los índices de
la dirección de la recta de su intersección.
Ejercicio 3
Solución
Aplicando el resultado obtenido:
011011
023023
Luego:
000)0)(1()0)(2(u
000)3)(0()1)(0(v
123)2)(1()1)(3(w
Los índices de dirección de la
recta son: [001].
[001]
[001]
III I
II
1
1
Gráficamente:
(110)(320)

7. Dados los índices y de las direcciones de dos
rectas, determinar los índices del plano en el que se
encuentran esas rectas.
]201[ ]122[Ejercicio 4
Solución
Aplicando el resultado obtenido:
221221
021021
Luego:
404)0)(2()2)(2(h
220)1)(2()1)(0(k
422)2)(1()2)(1(
Los índices del plano son: )442(
Dividiendo por 2, los índices del plano serán: )221(

8. Demostrar que la suma de los índices de dos planos de
una zona produce los índices de un nuevo plano de la
zona, cuyo eje es la dirección de la recta a la cual los dos
planos interceptan.
Ejercicio 5
Sean dos planos de índices y que pertenecen a una
misma zona de índices [uvw].
)kh( 111  )kh( 222 
0wvkuh 111 
0wvkuh 222 
0w)(v)kk(u)hh( 212121 
Luego:
Sumando las ecuaciones:
Solución
Donde: , y son los índices de un nuevo
plano de la misma zona [uvw].
)kk( 21 )( 21 )hh( 21

9. 110
010
100
011
001
010
101
001
100
Dados los planos (100), (010) y (001) y la cara unidad
(111) de la celda unidad, realizar el desarrollo periódico
del complemento de los planos para el sistema cúbico.
(100)
(010)(001)
(111)
(321)
Solución
Consideremos la proyección: Primer
período:
(101)
(011)
(110)
(211)
(112)
(121)
Segundo
período:
Ejercicio 6
112
111
001
201
101
100
211
111
100
Tercer
período:
121
111
010
102
101
001
021
011
010
(102)
(021)
(201)
012
011
001
120
110
010
210
110
100
(012)
(120)
(210)