Este documento explica cómo Pierre de Fermat desarrolló un método para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. El método involucra calcular la pendiente de rectas secantes que pasan por puntos cada vez más cercanos al punto de tangencia, aproximando así la pendiente de la tangente cuando los puntos son iguales. El documento también presenta un ejemplo numérico y gráfico para ilustrar el método.

1. Actividad 2.1
El Límite en Problemas de Geometría
G. Edgar Mata Ortiz

2. El primer tema de este curso fue el concepto de límite. ¿Por qué se considera
necesario estudiar dicho concepto?
En el presente material vamos a resolver un problema de geometría que, por sus
características, requerirá del concepto de límite
Todavía estamos trabajando en un conjunto de conceptos teóricos que serán
necesarios para comprender y resolver problemas.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Aplicaciones de los límites....................................................................................................................................2
Determinar la pendiente de la recta tangente a una curva dada, en un punto cualquiera.............................2
Ejemplo 1. Función cuadrática .................................................................................................................................2
La pendiente de una recta....................................................................................................................................3
Las rectas secantes...........................................................................................................................................3
El método de Fermat............................................................................................................................................4
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................5
Obtención de límites. .......................................................................................................................................5
Gráfica. .............................................................................................................................................................6
Bibliografía................................................................................................................................................................7
LA CONJETURA DE FERMAT
Mientras este reconocido matemático leía el libro “La Aritmética de Diofanto”, escrito en el
siglo III a. C. en sus márgenes iba anotando problemas y conjeturas que se le venían a la
mente en el momento (1642). Durante los siguientes siglos, otros matemáticos fueron
resolviendo estos problemas, hasta que solamente quedó uno que resistió los intentos de
varias generaciones de grandes matemáticos:
No existe un número entero que positivo, mayor que dos, que cumpla con la ecuación:
𝒂 𝒏
+ 𝒃 𝒏
= 𝒄 𝒏
A este problema se le llamó “El último Teorema de Fermat”, precisamente porque era el
último que quedaba por resolver. Finalmente fue resuelto por Andrew Wiles en 1994, quien
recibió el premio Abel por este resultado.

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Introducción.
En la Actividad 1.1 aprendimos el concepto de límite y practicamos
estrategias aritméticas y algebraicas para determinar el límite de una
función en un punto dado. Completa la información faltante:
Al practicar la obtención de límites, descubrimos que, en ocasiones, una
función puede no estar definida en uno o más valores y le llamamos a
estos puntos; discontinuidades. Las discontinuidades pueden ser
removibles o no y trazamos sus gráficas. Sobre la gráfica, anota la función
y la ecuación de la asíntota.
Pierre de Fermat
Matemático francés nacido en
Beaumont en 1601 que contaba
con un gran reconocimiento de
sus contemporáneos por su
erudición; hablaba fluidamente
seis idiomas, se le consultaba
acerca del análisis de textos
griegos y escribía versos en varios
de los idiomas que hablaba.
Probablemente el análisis de
textos relacionados con la
matemática griega estimuló su
interés por la matemática y,
especialmente, de la geometría.
Propuso y resolvió un problema
que puede ser considerado
antecesor del cálculo diferencial,
cuarenta años antes de Newton y
Leibnitz:
Determinar la pendiente de la
recta tangente a una curva en un
punto dado.
No se sabe si a partir de sus
conversaciones con Descartes,
desarrolló un concepto muy
similar al del plano cartesiano y,
otro gran matemático; Laplace,
consideraba a Fermat como el
verdadero inventor del cálculo
diferencial.

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Interpretación Geométrica de la Derivada
Aplicaciones de los límites.
El concepto matemático de límite tiene sus más importantes aplicaciones dentro del desarrollo de la
matemática, en esta ocasión veremos el problema que planteó y resolvió Fermat:
Determinar la pendiente de la recta tangente a una curva dada, en un punto cualquiera.
Es un problema geométrico que, a primera vista no puede ser resuelto pero, mediante el empleo de la teoría
de límites será solventado.
Ejemplo 1. Función cuadrática
En este primer ejemplo vamos a tratar la función de segundo grado, la más sencilla: 𝒚 = 𝒙 𝟐
Determinaremos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝒙 𝟏 = 𝟐
El primer paso es calcular el valor de la ordenada (y), para esta abscisa (x), sustituyendo en la ecuación:
𝒚 = 𝒙 𝟐
→ 𝒚 𝟏 = 𝒙 𝟏
𝟐
→ 𝒚 𝟏 = (𝟐) 𝟐
→ 𝒚 𝟐 = 𝟒, el punto de tangencia es: A(2, 4)
Ya que conocemos el punto de tangencia, vamos a trazar la gráfica mediante tabulación; tomamos los valores
de equis entre -3 y 3. Tabula y traza la gráfica en el siguiente plano cartesiano:
Tabulación Gráfica
x Y
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Traza, a mano alzada, la recta tangente a la curva en el punto de coordenadas (2,4).

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La pendiente de una recta.
Como recordarás por el curso de funciones matemáticas, para calcular la pendiente de una recta se requieren
las coordenadas de dos puntos, anota la fórmula de la pendiente:
𝒎 =
Se necesitan dos puntos y solamente tenemos uno, vamos a tomar otro punto de la curva que llamaremos B,
con un valor de equis “cercano” a dos, por ejemplo, vamos a tomar: 𝒙 𝟐 = 𝟎.
Desde luego el valor de 𝒚 𝟐 lo obtendremos sustituyendo en la ecuación de la función cuadrática: 𝒚 = 𝒙 𝟐
Una vez conocidas las coordenadas de los dos puntos podemos determinar la pendiente de la recta que pasa
por ellos, utiliza las siguientes líneas para anotar los dos puntos con sus coordenadas y efectuar las operaciones
para calcular la pendiente:
A(____,____)_______B(____,____)______________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Este valor de la pendiente que hemos calculado, en realidad no es el que estamos buscando, sino de otra recta
que pasa por los puntos A y B. En el siguiente plano cartesiano se encuentra la función y la recta tangente a la
curva en el punto A. Localiza el punto B y traza la recta que pasa por A y B, esta es una recta secante a la curva.
Las rectas secantes.
En la gráfica se hace evidente que la recta secante
no es igual a la tangente y, por lo tanto, tampoco
tienen la misma pendiente.
El método propuesto por Fermat para determinar la
pendiente de la recta tangente consiste en tomar
puntos cada vez más cercanos a 𝒙 𝟏 = 𝟐, y
determinar las pendientes de dichas rectas.
Vamos a tomar un nuevo punto que llamaremos C,
más cercano a 𝒙 𝟏 = 𝟐, por ejemplo 𝒙 𝟐 = 𝟏.
Determina el nuevo valor de 𝒚 𝟐 = ______, y calcula
la pendiente en las siguientes líneas:
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
En el mismo plano cartesiano, traza la segunda recta secante; recuerda que pasa por los puntos A y C. Es
evidente que esta nueva secante tampoco es igual a la tangente, pero se le parece más. Seguramente
recuerdas el proceso de límite, vamos a elaborar una tabla en la que iremos aproximando (por la izquierda) el
valor de x2 a x1.

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El método de Fermat.
El procedimiento propuesto por Fermat puede considerarse una forma de límites aritméticos, por ello, lo más
recomendable es registrar toda la información en una tabla, tal como lo hacemos al obtener el límite de la
función. Completa la tabla siguiente:
Aproximando la pendiente por la izquierda Aspectos importantes de la tabulación:
1. Esta tabulación no es útil para graficar,
ya que solamente toma valores cercanos
a x1 = 2.
2. El valor de x2 se va aproximando a dos,
(aumentando) pero no puede ser igual a
dos porque se obtendría cero entre cero
= indeterminado.
3. Conforme el valor de equis dos se
aproxima a equis uno la pendiente se
aproxima a: ___________________
x1 y1 x2 y2 m
2 4 0.0000
2 4 1.0000
2 4 1.5000
2 4 1.7000
2 4 1.9000
2 4 1.9900
2 4 1.9990
2 4 2 4 Indeterminado
Con los conocimientos que tenemos acerca de límites sabemos que no es conveniente tomar solamente límites
por la izquierda, en la siguiente tabla completa la información del límite por la derecha.
Aproximando la pendiente por la derecha Aspectos importantes de la tabulación:
4. En el límite por la derecha tomamos
valores mayores, pero cercanos a x1 = 2.
5. El valor de x2 se va aproximando a dos,
pero ahora va disminuyendo.
6. Ambos límites laterales son iguales, por
lo tanto, el límite existe.
7. Conforme el valor de equis dos se
aproxima a equis uno la pendiente se
aproxima a: ___________________
x1 y1 x2 y2 m
2 4 4.0000
2 4 3.0000
2 4 2.5000
2 4 2.3000
2 4 2.1000
2 4 2.0100
2 4 2.0010
2 4 2 4 Indeterminado
Si graficamos este proceso observaremos una gran
cantidad de secantes, cada una de ellas cada vez más
cercana a la recta tangente, es costumbre representar
solamente tres o cuatro secantes como se observa en
la gráfica.
Traza una recta secante adicional a las mostradas que
pase por x2 = 0.5, para ello deberás calcular el valor de
y2.
Utiliza el espacio siguiente para calcular y2 y la
pendiente de esta recta secante.

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Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Determina la pendiente de la tangente a la curva: 𝒚 =
𝑵𝑳
𝟓
− 𝒙 𝟐
, en el punto cuya abscisa es 𝒙 𝟏 =
𝑵𝑬
𝟒
; no
olvides seguir el procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función: Calcular 𝒚 𝟏: Coordenadas del punto de
tangencia:
A( , )
Estos valores (𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que 𝒙 𝟏 = ______
Valores de 𝒙 𝟐 Calcular 𝒚 𝟐 Determinar la pendiente 𝒎 El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que 𝒙 𝟏 = ______
Valores de 𝒙 𝟐 Calcular 𝒚 𝟐 Determinar la pendiente 𝒎 El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva _____________, en el punto 𝒙 𝟏 = ______ es: m =________
Recuerda que la gráfica debe contener toda la información del problema; la ecuación de la función, las
coordenadas del punto de tangencia, la recta tangente y, al menos, tres rectas secantes.

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Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos tres
rectas secantes.
En las siguientes líneas, explica el procedimiento que siguió Fermat para determinar la pendiente de la recta
tangente.
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Bibliografía.