Este documento presenta el problema clásico de cálculo de la caja sin tapa. Explica cómo analizar el problema y expresarlo algebraicamente para determinar las dimensiones del cuadrado recortado que maximizan el volumen de la caja usando derivadas. Proporciona ejemplos y ejercicios para practicar resolviendo problemas similares.

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G. Edgar Mata Ortiz
Fundamentos del Cálculo

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Presentación
El presente material se ha desarrollado con la finalidad de repasar los conceptos básicos del cálculo
diferencial e integral a partir de sus aplicaciones. En el proceso de solución de dichos problemas se
revisarán las herramientas algebraicas necesarias para su planteamiento, la obtención del resultado y
su validación en términos de los datos y condiciones del problema.
La forma de trabajo del curso está centrada en el alumno. Para un mejor aprendizaje es indispensable
que el estudiante revise, fuera del aula, los materiales que se indican durante el desarrollo de la clase,
que se involucre activamente en las actividades dentro del salón de clases y que trabaje
colaborativamente con sus compañeros.
El profesor solamente se encarga de guiar, orientar y dar seguimiento a las actividades realizadas por
los estudiantes.
Los materiales que se emplearán durante el curso se proporcionan en formato electrónico, pueden
ser descargados del blog: http://licmata-math.blogspot.mx/

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Contenido
Presentación ............................................................................................................................................. 2
Cálculo Diferencial .................................................................................................................................... 4
El problema de la caja sin tapa.............................................................................................................. 4
Análisis del problema......................................................................................................................... 4
Resolución del problema mediante la derivada................................................................................ 6
Ejercicios relacionados con el problema............................................................................................... 8

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Cálculo Diferencial
El cálculo diferencial puede ser considerado como una herramienta para la resolución de problemas,
en este sentido, es una herramienta diferente a la aritmética, geometría, álgebra, geometría analítica
y trigonometría. Es una herramienta que nos permite entender los cambios en las funciones
matemáticas.
El problema de la caja sin tapa.
Este es un problema clásico del cálculo diferencial. Veamos su redacción.
Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide 40 cm de longitud por 30 cm de ancho. Se
desea fabricar una caja sin tapa recortando en las esquinas cuadrados de las mismas dimensiones y
doblando la pieza resultante, como se muestra en el siguiente diagrama.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados que se recortan para que el volumen de la caja
sea el máximo posible?
Análisis del problema.
Para facilitar la resolución de estos problemas puede ser útil realizar algunos cálculos sencillos
aplicando nuestros conocimientos de aritmética y geometría y, a partir de la información y
comprensión lograda en esta etapa de análisis, plantear el problema algebraicamente y luego utilizar
las herramientas del cálculo diferencial e integral.
¿Qué pasa si los cuadrados que se recortan miden 2 cm por lado?
Como se observa en la figura, al doblar la pieza se
obtendrían las siguientes dimensiones de la caja:
Longitud = 36
Ancho = 26
Altura = ______
Después de recortar, se
dobla la pieza resultante.
Con estas dimensiones, ¿cuánto
es el volumen de la caja?
__________________________

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¿Cómo afecta al volumen si, ahora, cambiamos las dimensiones del tamaño del cuadrado que se
recorta a 3 cm por lado? Completa la figura y realiza los cálculos necesarios.
Longitud = ___________
Ancho = ___________
Altura = ___________
Volumen = ___________
¿Crees que el volumen de la caja aumentará siempre que el tamaño del cuadrado que se recorta sea
mayor? ____________________________________________________________________________
En lugar de probar con más valores, es preferible expresar algebraicamente esta cantidad que
estamos haciendo cambiar. Vamos a llamarle “x” a la medida del lado del cuadrado que se recorta. Al
llamarle “x”, ¿cómo se expresan las dimensiones de la caja en función de equis?
Longitud = __________________
Ancho = __________________
Altura = __________________
Volumen = ______________________
Ahora es necesario recordar el procedimiento algebraico de multiplicación de polinomios para
obtener la expresión algebraica que representa el volumen de la caja en función de x.
(40 – 2x)( )(x) = ________________________________________________
¿Qué ocurrió con el volumen de la
caja? ¿Aumentó? ¿Disminuyó?
_____________________________
_____________________________

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Resolución del problema mediante la derivada.
La función que representa el volumen se deriva:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
Formulario para el curso: http://licmata-math.blogspot.mx/p/liderazgo-y-autoridad.html
La derivada se iguala a cero.
____________________________________________
La ecuación que se obtiene en este caso es de segundo grado, podemos resolverla mediante la
fórmula general identificando los valores a, b y c.
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
a = _________ b = _________ c = _________
Sustitución en la fórmula general.
𝑥 =
−( ) ± √( )2 − 4( )( )
2( )
Se efectúan operaciones.
Se obtienen dos resultados:
𝑥1 = _____________________
𝑥2 = _____________________
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son los valores de equis en los que la derivada de la
función es igual a cero, es decir, los puntos críticos. En estos puntos críticos se encuentran los
máximos y mínimos relativos de la función.
¿Cuál es la solución correcta? ___________________________

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Para conseguir una mejor comprensión del problema es útil trazar la gráfica de la función que
representa el volumen de la caja tomando en el eje equis una escala de 2 en 2 hasta 20 y en el eje ye,
de cero a 3000, de 300 en 300.
Preguntas para análisis.
¿En qué puntos cruza la gráfica al eje x?
¿Qué significan estos valores de x = 0?
¿En qué puntos se encuentran las soluciones de la ecuación de segundo grado?
¿Qué significan estas soluciones?
Una explicación detallada del procedimiento de solución se encuentra en:
http://licmata-math.blogspot.mx/2012/11/problema-resuelto-de-maximos-y-minimos.html

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Ejercicios.
Para poder plantear y resolver el problema fue necesario recurrir a algunos conocimientos de álgebra:
Multiplicación de polinomios y resolución de la ecuación de segundo grado que, naturalmente, se
basan en las leyes de los signos para la suma y la multiplicación, reducción de términos semejantes,
suma algebraica, principalmente.
Un excelente recurso que podemos emplear para repasar estos temas se encuentra en el siguiente
enlace:
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/el-algebra/operaciones-algebraicas
Con la finalidad de practicar, sin necesidad de llevar cabo todo el procedimiento de análisis, resuelve
los siguientes ejercicios aplicando, directamente, los conceptos de máximos y mínimos relativos.
1. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza
rectangular son: Longitud = 30 cm, Ancho = 20 cm.
En los siguientes problemas, antes de resolverlos, es necesario convertir, del sistema inglés, al
sistema internacional de unidades.
2. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza
rectangular son: Longitud = 1 yd, Ancho = 2 ft.
3. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza
rectangular son: Longitud = 2 ft, Ancho = 15 in.
Los siguientes ejercicios no requieren ningún planteamiento, solamente obtener los máximos y
mínimos relativos.
4. 𝑦 = 6𝑥3
− 8𝑥2
− 7𝑥 + 2
5. 𝑦 = 3𝑥3
− 8𝑥 + 9
6. 𝑦 = −2𝑥3
+ 3𝑥2
+ 6
7. 𝑦 = −𝑥3
+ 2𝑥2
− 7𝑥 − 3
8. 𝑦 = −16𝑥3
− 32𝑥2
+ 72𝑥 + 8