Este documento presenta las definiciones fundamentales relacionadas con diferenciales de funciones. Define Δf como el incremento de la función, dx como el incremento de la variable independiente, y dy como f'(x)dx, la diferencial de la variable dependiente. También explica que f(x0 + Δx) se aproxima, pero no es igual a f(x0) + dy, y define el error de esta aproximación.

1. ANALIZA Y RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
Según el gráfico:
1. Define verbal y simbólicamente Δf .
2. Simbólicamente escribe a qué es igual tgθ,
qué significado geométrico tiene ?
3. Según el gráfico, es verdad o falso que Δx = dx ?
Justifica tu respuesta.
4. Si y=f(x), ¿qué significado tiene ? Explica
Simbólicamente (sin usar límites), ¿a qué es igual dy
en términos de dx y f (x)?
5. Si y = f(x) ¿qué significado tiene ? ,explica.
Simbólicamente (sin usar límites) a qué es igual?
6.¿Es verdad que f ( + Δx ) = f ( ) + dy ó es
verdad que f ( + Δx ) ≈ f ( ) + dy ?.Explica
Nota: ≈ significa es aproximadamante igual
I.S. F. D. “SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS”
MATEMÁTICA VIII
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
dx
dy
0xxdx
dy
0x 0x
0x 0x

2. La diferencial de una función
Sea la función y=f(x)

3. Def.1: Incremento de la función (Δf):
El incremento de la función o incremento de la variable
dependiente, que lo denotamos por Δf = ∆y, es igual a la
diferencia de la imagen de ( x0 + Δx ) y la imagen de x0.
Así tenemos: Δf = f (x0 + Δx )- f ( x0 ) , donde x0 es la
abscisa del punto de tangencia de la recta T y la función y = f (x).000 ; yxP
000 ; yxP

4. Def 2:Diferencial de la variable independiente (dx):
La diferencial de la variable independiente, que lo denotamos
por dx, es igual al valor del incremento de la variable
independiente. Así tenemos: dx = Δx
000 ; yxP

5. Def 3: La diferencial (general) de la variable dependiente :
Sabemos que la derivada de y respecto de x se denota por dy / dx = f ´(x) ,
de esta igualdad deducimos que la diferencial general de la variable
dependiente, denotada por dy, se define:
dy = f ´(x) dx
0P

6. Def 4: La diferencial de y, en el punto de abscisa x = x0 :
Sabemos que la derivada de y respecto de x, en el punto de
abscisa x = x0 se denota por , de esta
igualdad deducimos que la diferencial de y en x = x0,
denotada por dy se define:
dy = f´(x0) dx, o lo que es lo mismo:
dy = f´(x0) Δx
Def 5: Error al calcular f (x0 + ∆x)
Del gráfico anterior se observa que f(x0 + ∆x) ≈ f(x0)+ dy , teniendo
en cuenta la Def. 4, se obtiene:
f(x0 + Δx) ≈ f(x0)+ f´(x0) Δx
Donde a E= Δy - dy se le llama ERROR DE APROXIMACIÓN
a se le llama ERROR RELATIVO, y
a se le llama ERROR RELATIVO PORCENTUAL
)( 0xf
dy
)´( 0
0
xf
dx
dy
xx
%100.
)( 0xf
dy

7. EJEMPLOS
1. Calcular aplicando diferenciales.
SOLUCIÓN
Se puede afirmar que ,tiene la forma de
03125,0
)16(4
1
)16´(
4
1
)´()(
4 34 3
4
f
x
xfxxfSi
4 00005,16
44 00005,01600005,16
00005,0;16:
00005,016)(;)(
0
44
00
4
xxquededuceseestode
xxxxfxxf
:entoncesx,)f´(x)f(xx)f(x:05. 000DeflaPor
Rpta563100000,2
563001000,02
)05000,0)(25031,0(2
05)000f´(16).(0,f(16))f(16,00005quetieneSe

8. EJERCICIOS
¿Usando diferenciales, cuánto es el error
relativo al calcular
a.
b.
c. ?
4 5,16
4 05,16
4 005,16

9. PROBLEMA
Se mide la arista de un cubo y se anota 5 cm,
sabiendo que la medida real es de 4,95cm;
determina:
i. El error al calcular su volumen
ii. El error relativo y
iii. El error porcentual al realizar dicho
cálculo.

10. TAPIA RUIZ RONALD D.
Docente – Matemática