Estatica

2. RELACION ENTRE CARGA DISTRIBUIDA
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
෍ 𝑭 𝑽 = 𝟎
𝑽 − 𝒘𝒅𝒙 − 𝑽 + 𝒅𝑽 = 𝟎
𝒅𝑽 = −𝒘. 𝒅𝒙
න
𝑽 𝑪
𝑽 𝑫
𝒅𝑽 = − න
𝒙 𝑪
𝒙 𝑫
𝒘 𝒅𝒙
𝑽 𝑫 − 𝑽 𝑪 = − න
𝒙 𝒄
𝒙 𝑫
𝒘 𝒅𝒙
Ing. Celso Sanga Quiroz

3. ෍ 𝑴 𝑪´ = 𝟎
−𝑴 − 𝑽𝒅𝒙 + 𝒘𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟐
+ 𝑴 + 𝒅𝑴 = 𝟎
𝒅𝑴 = 𝑽. 𝒅𝒙
න
𝑴 𝑪
𝑴 𝑫
𝒅𝑴 = න
𝑿 𝑪
𝑿 𝑫
𝑽 . 𝒅𝒙
𝑴 𝑫 − 𝑴 𝑪 = න
𝒙 𝑪
𝒙 𝑫
𝑽 . 𝒅𝒙
Ing. Celso Sanga Quiroz

4. 𝑹 = න 𝒑 𝒅𝒙
𝑹 = 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
ഥ𝒙 =
‫׬‬ 𝒙. 𝒑 . 𝒅𝒙
𝑹
ഥ𝒙 = 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆
Ing. Celso Sanga Quiroz

5. EJEMPLO DE APLICACIÓN 6.1
Calcular las reacciones en A.
Calculo de “k”: 𝒚 = 𝒌. 𝒙 𝟐
𝟐 = 𝒌𝟒 𝟐
→ 𝒌 =
𝟏
𝟖
Por teoría: 𝑭 = ‫׬‬𝒙=𝟎
𝒍
𝒘 . 𝒅𝒙
𝑭 = න
𝟎
𝟒
𝒙 𝟐
𝟖
. 𝒅𝒙
𝑭 = 𝟐. 𝟔𝟕 𝑻.
Ing. Celso Sanga Quiroz

6. Por teoría: 𝑭. ഥ𝒙 = ‫׬‬ 𝒙 𝒅𝑭
𝟐. 𝟔𝟕ഥ𝒙 = න 𝒙. 𝒅𝑭
𝟐. 𝟔𝟕ഥ𝒙 = න
𝟎
𝟒
𝒙 𝟐
𝟖
𝒅𝒙
ഥഥ𝒙 = 𝟑 𝒎
De la figura: σ 𝑭 𝑽 = 𝟎 → 𝑽 𝑨 = 𝟐. 𝟔𝟕 𝑻
σ 𝑴 𝑨 = 𝟎 → 𝑴 𝑨 − 𝟐. 𝟔𝟕 𝟑 = 𝟎
𝑴 𝑨 = 𝟖 𝑻. 𝒎
Ing. Celso Sanga Quiroz

7. EJEMPLO DE APLICACIÓN 6.2
Dibujar los diagramas de V y M De la figura: 𝒒 𝒙 = 𝑲. 𝒙 𝟐
𝟔 = 𝑲. 𝟐 𝟐
→ 𝒒 𝒙 =
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
Por teoría: 𝑭 = ‫׬‬𝒙=𝟎
𝒍
𝒘 𝒅𝒙
𝑭 = න
𝟎
𝟐
𝒒 𝒙 𝒅𝒙
𝑭 = ‫׬‬𝟎
𝟐 𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝒅𝒙 → 𝑭 = 𝟒 𝒌𝒈Ing. Celso Sanga Quiroz

8. Por teoría: 𝑭. ഥ𝒙 = ‫׬‬ 𝒙. 𝒅𝑭
𝟒ഥ𝒙 = ‫׬‬ 𝒙. 𝒒 𝒙 𝒅𝒙
𝟒ഥ𝒙 = ‫׬‬𝟎
𝟐
𝒙.
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝒅𝒙
ഥ𝒙 =
𝟑
𝟐
𝒎
Ing. Celso Sanga Quiroz

9. Calculo de las reacciones:
෍ 𝑴 𝑨 = 𝟎
−𝑭
𝟑
𝟐
𝒎 + 𝑩 𝟐𝒎 = 𝟎
−𝟒𝒌𝒈
𝟑
𝟐
𝒎 + 𝑩 𝟐 = 𝟎
𝑩 = 𝟑𝒌𝒈
𝑨 = 𝟏𝒌𝒈
↑ ↑𝑨 𝑩
Ing. Celso Sanga Quiroz

10. න
𝑽 𝑨
𝑽
𝒅𝑽 = න
𝟎
𝒙
𝒒 𝒙 𝒅𝒙
𝑽 − 𝑽 𝑨 = − න
𝟎
𝒙
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝑽 = 𝑽 𝑨 −
𝒙 𝟑
𝟐
𝑽 = 𝟏 −
𝒙 𝟑
𝟐
Por teoría: ‫׬‬𝑽 𝟏
𝑽 𝟐
𝒅𝑽 = ‫׬‬𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
𝒘 𝒅𝒙
𝐵
Ing. Celso Sanga Quiroz

11. Por teoría:
න
𝟎
𝑴
𝒅𝑴 = න
𝟎
𝑿
(𝟏 −
𝒙 𝟑
𝟐
) . 𝒅𝒙
𝑴 = 𝒙 −
𝒙 𝟒
𝟖
Por teoría:
න
𝑴 𝑪
𝑴 𝑫
𝒅𝑴 = න
𝑿 𝑪
𝑿 𝑫
𝑽 . 𝒅𝒙
Ing. Celso Sanga Quiroz

12. 𝑽 = 𝟏 −
𝒙 𝟑
𝟐
𝒙 = 𝟎 → 𝑽 = 𝟏
𝒙 = 𝟐 → 𝑽 = −𝟑
𝒙 = 𝟏. 𝟐𝟔 → 𝑽 = 𝟎
𝒙 = 𝟎. 𝟔𝟑 → 𝑽 = 𝟎. 𝟖𝟕
𝑴 = 𝒙 −
𝒙 𝟒
𝟖
𝒙 = 𝟎 → 𝑴 = 𝟎
𝒙 = 𝟐 → 𝑴 = 𝟎
𝒙 = 𝟏. 𝟐𝟔 → 𝑴 = 𝟎. 𝟗𝟒
Ing. Celso Sanga Quiroz

13. EJEMPLO DE APLICACIÓN 6.3
La viga en voladizo soporta la carga
repartida (fuerza por unidad de
longitud) 𝒑 = 𝒑 𝒐 𝒔𝒆𝒏( Τ𝝅.𝒙
𝒍) .
Determinar la fuerza cortante V y el
momento flector M como funciones
del cociente Τ𝒙
𝒍.
Calculo de la reacción en el lado
empotrado.
෍ 𝑭 𝒚 = 𝟎
𝑽 𝒐 − න
𝟎
𝒍
𝒑 𝒅𝒙 = 𝟎
𝑽 𝟎 = න
𝟎
𝒍
𝒑 𝟎 𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍
𝒅𝒙 =
𝟐𝒑 𝟎 𝒍
𝝅
𝑽 𝟎 =
𝟐𝒑 𝟎 𝒍
𝝅
𝑽 𝟎 = 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐
empotrado
Ing. Celso Sanga Quiroz

14. Calculo del momento en el lado
empotrado.
෍ 𝑴 = 𝟎
−𝑴 𝟎 − න
𝟎
𝒍
𝒙. 𝒑𝒅𝒙 = 𝟎
𝑴 𝟎 = − න
𝟎
𝒍
𝒑 𝟎. 𝒙. 𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍
𝒅𝒙
𝑴 𝟎 = −
𝒑 𝟎
𝝅
. 𝒍 𝟐
𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒙
Ing. Celso Sanga Quiroz

15. 𝒅𝑽 = −𝒑. 𝒅𝒙
න
𝑽 𝒐
𝑽
𝒅𝑽 = − න
𝟎
𝒙
𝒑 𝟎 𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍
𝒅𝒙
𝑽 − 𝑽 𝟎 =
𝒑 𝒐
𝝅
𝒍. 𝒄𝒐𝒔(
𝝅𝒙
𝒍
)
𝒐
𝒙
𝑽
𝒑 𝒐 𝒍
=
𝟏
𝝅
. (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔
𝝅𝒙
𝒍
)
𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂
Ing. Celso Sanga Quiroz

16. 𝒅𝑴 = 𝑽. 𝒅𝒙
න
𝑴 𝒐
𝑴
𝒅𝑴 = න
𝒐
𝒙
𝒍. 𝒑 𝒐
𝝅
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔
𝝅𝒙
𝒍
𝒅𝒙
𝑴 − 𝑴 𝒐 =
𝒍. 𝒑 𝒐
𝝅
𝒙 +
𝒍
𝝅
𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍 𝟎
𝒙
𝑴
𝒍 𝟐. 𝒑 𝒐
=
𝟏
𝝅
(
𝒙
𝒍
− 𝟏 +
𝟏
𝝅
𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍
)
𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂
Ing. Celso Sanga Quiroz

17. 𝑽
𝒑 𝒐 𝒍
=
𝟏
𝝅
. (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔
𝝅𝒙
𝒍
)
𝑴
𝒍 𝟐. 𝒑 𝒐
=
𝟏
𝝅
(
𝒙
𝒍
− 𝟏 +
𝟏
𝝅
𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒙
𝒍
)
Ing. Celso Sanga Quiroz
𝑫𝑭𝑪
𝑫𝑴𝑭