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Universidad Nacional
Federico Villarreal

2013

Facultad de Educación

Matemática - Física

GEOMETRÍA MODERNA
Profesor: Bonilla Salcedo

Tema:
DIEDROS,
TRIEDROS,
POLIEDROS Y
POLIEDROS
REGULARES

INTEGRANTES:
CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO
HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN

CICLO: X
AÑO: 5TO

AULA: A3-7
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

ÁNGULOS DIEDROS
Q

Es la figura geométrica formada por la unión
de sus semiplanos que tienen una recta en

α

común a la cual se le denomina arista del

θ
α + θ = 180º

ángulo diedro.

P

Arista
A

Notación:

PROYECCIÓN
UN PLANO

Ángulo Diedro AB ó
P

cara

cara

Q

Ángulo Diedro

punto

y

x
B

SOBRE

Por definición la proyección ortogonal de un

P - AB - Q

θ

ORTOGONAL

sobre

un

plano

es

el

pie

de

la

perpendicular trazada de este punto al plano. De
θ: Medida del ángulo
Diedro

esto se concluye que la proyección ortogonal de
cualquier figura geométrica sobre un plano es la
reunión de las proyecciones
ortogonales de todos sus puntos sobre dicho

PLANOS PERPENDICULARES

plano.

Dos planos son perpendiculares, cuando
P

determinan diedros que miden 90º.

L

Q

θ
θ:
θ
P

Medida

del

ángulo diedro.
Si
⇒

Q

m

P’

θ = 90º
P

Q

Sea PP'

Q

⇒

P’ es la proyección del
punto P sobre el plano Q

Observación.- Dos diedros adyacentes son
suplementarios.

Además M es la proyección ortogonal de
L

sobre el plano Q.

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

Ángulos Poliedros
POLIEDROS
Poliedro

es

un

sólido

Son los formados en los vértices del
completamente

limitado por polígonos. El mínimo número de
caras que tiene un poliedro es cuatro.

poliedro
Diagonal
Es el segmento que une dos vértices no
situados en la misma cara

CLASIFICACION
1) Por el número de caras:
- Tetraedro: cuando tiene 4 caras
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

- Pentaedro: cuando tiene 5 caras

Los elementos principales de un poliedro son:

- Hexaedro: cuando tiene 6 caras
- Heptaedro: cuando tiene 7 caras

Vértice

- Octaedro: cuando tiene 8 caras
Diagonal

2) Según sus características:
Cara
Arista

a. Poliedro Convexo.-

Cuando cualquiera

de sus secciones planas es un polígono
convexo,
segmento

o

equivalentemente,
que

une

dos

si

el

puntos

cualesquiera del poliedro está totalmente
Caras

contenido en el poliedro.

Son los polígonos que limitan los poliedros.
Aristas
Son las intersecciones de las caras.
Vértice

Son los puntos donde se encuentran las
aristas-

b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de
las secciones planas es un polígono
cóncavo. Al trazar una recta secante

Ángulos Diedros

corta en más de 2 puntos de intersección

Son los formados por dos caras consecutivas.

a su superficie poliédrica.
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

C → número de caras
1

V → número de vértices

2
3

A → número de aristas

4
5

6

Entonces se verifica que:
C+V=A+2

c.

Poliedro Regular.- Cuando todas sus
caras son polígonos regulares e iguales, y
sus ángulos diedros y triedros también
son iguales.

POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son
polígonos regulares iguales entre si:

d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras
son polígonos irregulares y desiguales, y
sus

angulos

poliedros no son todos

iguales.

TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual
al número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo:
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

A) TETRAEDRO: Sus caras son
regiones triangulares equiláteras.

cuatro

X Ciclo

Notación:

GEOMETRÍA MODERNA

Exaedro Regular ABCD – EFGH

Diagonal ( BH ):

l

BH =

O

3

Volumen (V):

v =

l3

Superficie total o Área (A):
C

A = 6l 2

A
G

C) OCTAEDRO: Sus caras son
regiones triangulares equiláteras.

B

ocho

M

Notación: Tetraedro Regular O – ABC
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
OG =

l

6
3
B

Volumen (V):

V =

l3

C

A

2

D

12

Superficie total o Área (A):

A =

l2

3
N

B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones
cuadradas, también se le denomina cubo.

Notación: Octaedro Regular

M – ABCD – N

Diagonal ( MN ):

MN =

B

l

2

C

Volumen (V):
D

A

V =

F

G

l3

2

3

Superficie total o Área (A):

A = 2l 2 3
E

H

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

D) DODECAEDRO: Sus caras son doce
regiones pentagonales iguales.

1. En

un

tetraedro

O-ABC,

OA=BC,

OB=AC y OC=AB, además se cumple
AC>OC>AO. Halla la suma del máximo
y mínimo entero de la cara AOC
Solución

Volumen (V):

V =

5l 3
2

47 + 21 5
10

Superficie total o Área (A):

A = 15l 2

5+2 5
5

E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte
regiones triangulares equiláteras.
a

a>b>c→θ> >
ΔAOC ≈ Δ OAB ≈ Δ CBA (LLL)
→m∠AOC=m∠ OCB= θ
m∠AOC= m∠ACB=
AOC:

Volumen (V):

5a 2
V =
6

7+3 5
2

θ+ + = 180º → + = 180º θ ……. (1)
Por teorema:

Superficie total o Área (A):

<θ<

……. (2)

A = 5a 2 3

De (1) y (2): θ < 180º θ
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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X Ciclo

θ < 90º

APB:

Por condición:

HAD:

< θ;

<θ

AH=
=

GHD:

Sumando:

< 2θ

GEOMETRÍA MODERNA

=

+
+

…. (1)
…. (2)

en (2):

180º θ < 2θ y 60º < θ
60º < θ < 90º
Simplificando:
luego:
θmin= 61º

θmáx.= 89º

θmin + θmáx = 150º
3. En un poliedro convexo, el numero de
2. Un cuadrado ABCD y un triangulo

caras, mas el numero de vértices, y

rectángulo APB están contenidos en

más el numero de aristas, es 28. Si las

dos planos perpendiculares. Halle la

medidas de los ángulos en todas las

distancia entre el vértice D y el

caras suman 1800º. Hallar el número de

baricentro APB; si se sabe que AP=3,

caras.

PB=4.

Solución

Solución
Dato:

S = 1800º. Pero sabemos que
S = 360º(V-2)

Entonces: 360º(V – 2) = 1800º
V–2=5

V=7

Por el Teorema de Euler:
C+V=A+2

A = C + 5......(1)

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

Pero por dato también:

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

NOC; se cumple que:

En el

C + V + A = 28
C + 7 + A = 28
C + A = 21......(2)
Reemplazando (1) en (2):
C + C + 5 =21
∴

NC=3a
x = 90º

∴

2C = 16

C = 8

5. Se tiene un cuadrado ABCD y un
triangulo

equilátero

pertenecientes
4. Se tiene un exaedro regular ABCD –

a

AMB

dos

planos

perpendiculares. Calcular la medida del

EFGH, donde “O” es centro de la cara

ángulo

ABFE y “M” punto medio de EH.

segmento que une los puntos medios de

Calcular la medida del ángulo COM.

MB y AD.

Solución

Solución

• Los

determinado

segmentos

por

EF

BC

y

y

BC

el

son

alabeados.
En el grafico, observamos que:

• El

ángulo

formado

por

dichos

segmentos es AFE
NC = 3a 2
• En la figura el ΔAEM ≈ ΔEAF
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X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

7. Se tiene un triangulo isósceles AOB,
tal que AO=OB= 6 , se levanta OM
x = 60º

∴

perpendicular al plano determinado por
el triangulo. Calcular la longitud de OM,
si el diedro formado por los planos

6. Por el vértice “B” de un triangulo ABC
recto

en

“B”,

se

levanta

BD

perpendicular al plano determinado por

determinados por los triángulos AMB y
AOB mide 60º.
Solución

el triangulo. Calcular la medida del
ángulo diedro que forman los planos
determinados por los triángulos ADC y
ABC.
Si AB=8, BC=8 3 /3 y BD=3
Solución

Por dato: AO= 6 , OB=ON= 3
Em Δ MON es notable, ya que la
m∠MNO=60º
En consecuencia: x= 3 . 3
∴

x = 3

• Por dato; AB=8, BC=8 3 /3,
entonces por propiedad en el Δ ABC:

8. La suma de las medidas de las cars de
un poliedro convexo es 3600º. Si el
número de aristas excede en 2 al doble
del número de cars. Hallar el número

→ BH=4
• En el Δ DBH: tgx= 3/4
∴

x = 37º

de caras.
Solución
Sabemos que: S=360º(V-2)
Pero: S=3600º
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

Entonces: 3600º=360º(V-2)

→ A = 160

→ V-2=10

Reemplazando en (1):

→ V=12

96 + V = 160 + 2

Por dato también: A=2C+2 …(1)
Por el Teorema de Euler:

∴

V = 66

C + V = A + 2…(2)
Reemplazando (1) en (2):
C + V = 2C + 2 + 2
→ C + 12 = 2C + 4

10. Se tiene un tetraedro S-BCD, siendo
los puntos M y N los baricentros de las
caras, además el punto G es el punto de
intersección de los segmentos BM y
SN. Si: SN=12m. Hallar SG.

→

C = 8

Solución

9. Hallar el número de vértices del
poliedro convexo que está limitado por
32 cuadriláteros y 64 triángulos.
Solución
Por el Teorema de Euler:
C + V = A + 2……(1)
Donde:

En la figura sombreada:

C → Nº de caras

Por el Teorema de Menelao:

V → Nº de vértices

m. x . 2n = 2m . GN . 3n

A → Nº de aristas

x = 3(SN – x)

En el problema:

4x = 3(12)

C = 32 + 64
→ C = 96

∴

x = 9m

Además sabemos que:

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

11. En

la

figura

birrectángulo
BP=PC=2

P-ABC
donde

es

un

triedro

BPC=120°,

y AP= 2. Hallar el área del

triángulo ABC.
A)
D)

si

X Ciclo

12. En

un

GEOMETRÍA MODERNA

triedro

AOB=BOC= 60°

isósceles

O-ABC,

y el diedro OB mide

90°. calcule la medida de la cara AOC.
A) arc cos (

B)
E)

C)

B) arc cos (

C) arc cos (

D)

arc cos (

E) arc cos (
Solución
Solución

=

+

Por ley de cosenos:
Por prop. del triángulo de 120° :
BP= PC=2

→ BC = 6

=

+

2( 2a)

(2a) cos x

p=
8 cos x = 2
S=
S=

S=

x = arc cos (

13. Los catetos de un triángulo rectángulo
miden 30 cm y 40 cm, se hace girar el
triángulo alrededor de su hipotenusa
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

hasta

formar

un

diedro

de

60°.

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

Solución

Calcular la longitud del segmento que
une los centros de gravedad de las
bases del diedro.
Solución

Por teorema:
70° + 90° + VC

→ VC

70° + 90° + VC
rectángulo BAC

20°

180° → VC
VC

30 (40) = 50 AH; AH =
es equilátero

=

15. En un triedro SABC, el diedro SA es
recto y las caras ASB y ASC son
ángulos de 45°, se pide calcular las

M

caras BSC.
//

Lema de Thales

=
→

(

=8

= 8 m.

14. Dos caras de un triedro miden 115° y
125°.

Determinar entre que valores

Solución

Se traza un plano ABC ⊥ SA
∠BAC = 90° m∠diedro SA
Hacemos SA = a
ΔSAB:

SB =

=a

= SC

puede variar la tercera cara.
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

(∇rect.SAB = ∇rest.SAC )

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

BC =

Como SB = BC = a

ΔMOF.

Δrect. AOB:

Δ BAC:

Observando

OF =

=a
=

, el ∇ BSC es

equilátero, entonces

Δ rect.MOF: MF=
como cateto OF =

∠BSC = 60°

= 2a
de la hipotenusa MF,

∠MFO = 30°
entonces:
α = 90°

30°

α=60°
°

16. Dado un triángulo rectángulo AOB,
recto en O, cuyos catetos OA= OB =
2a, se levanta en O el plano AOB, una
perpendicular sobre la que se toma
OM= a

y se une luego M con los

puntos A y B. Calcular la medida del
ángulo diedro AB.
Solución
Se traza OF ⊥ AB
MF ⊥ AB ( Teor, 3 ⊥s)
∠MFO es m∠ diedro AB

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal

X Ciclo

GEOMETRÍA MODERNA

PROBLEMAS PROPUESTOS
A) 149º
1. ABC, es un triangulo recto en B. ACD,
es un triangulo equilátero contenido en
un plano perpendicular al plano ABC. Si

B) 169º

B) D) 99º

C) 179º

E) 189º

5. Las regiones rectangulares ABCD y
ABMN, determinan un diedro que mide

AC = 8, Hallar BD.

120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle
la distancia “D” al punto medio de MN.

2. De las siguientes proposiciones indicar
verdadero

(V)

o

falso

(F):
A) a
D)

( ) Todo plano perpendicular a la arista

B)

C) 2a

E)

de un diedro es perpendicular a las
caras

del

diedro.

6.

En un exaedro regular ABCD – EFGH

( ) Si una recta es perpendicular a una

cuya arista mide 4m. ¿Calcular la

de las caras de un diedro y paralela a la

distancia entre AF y BH?.

otra cara entonces la medida del
diedro es 90.

7. En un hexaedro regular ABCD – EFGH, con
centro en E y radio EB se traza un arco de

A) VV

B) FV

D) VF

circunferencia que interseca a HC en “P”.

C) FF

E) VV

¿Calcular el ángulo que forma EP con la
cara EFGH?.

3. Se tiene un diedro MN que mide 60º y
un

punto

F

situado

en

su

plano

bisector, si F dista de la arista que une
los planos M y N en 10 u. Calcular la
distancia de F a las caras del diedro.
A) 3 3
D) 10
4.

B) 4
E) 5 3

C) 5

Calcular el mayor valor entero que
puede tomar una de las caras de un
triedro birrectángulo.

8. En un octaedro regular M-ABCD-N,
cuya arista mide 6m, G es baricentro
de la cara DMC. ¿Calcular AG?
9. Calcular el volumen de un cubo donde el
área y el volumen son numéricamente
iguales.
10. En un octaedro regular, de arista “a”,
hallar la distancia del centro a una
cara.

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari

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ANGULO DIEDRO - POLIEDROS

  • 1. Universidad Nacional Federico Villarreal 2013 Facultad de Educación Matemática - Física GEOMETRÍA MODERNA Profesor: Bonilla Salcedo Tema: DIEDROS, TRIEDROS, POLIEDROS Y POLIEDROS REGULARES INTEGRANTES: CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN CICLO: X AÑO: 5TO AULA: A3-7
  • 2. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA ÁNGULOS DIEDROS Q Es la figura geométrica formada por la unión de sus semiplanos que tienen una recta en α común a la cual se le denomina arista del θ α + θ = 180º ángulo diedro. P Arista A Notación: PROYECCIÓN UN PLANO Ángulo Diedro AB ó P cara cara Q Ángulo Diedro punto y x B SOBRE Por definición la proyección ortogonal de un P - AB - Q θ ORTOGONAL sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada de este punto al plano. De θ: Medida del ángulo Diedro esto se concluye que la proyección ortogonal de cualquier figura geométrica sobre un plano es la reunión de las proyecciones ortogonales de todos sus puntos sobre dicho PLANOS PERPENDICULARES plano. Dos planos son perpendiculares, cuando P determinan diedros que miden 90º. L Q θ θ: θ P Medida del ángulo diedro. Si ⇒ Q m P’ θ = 90º P Q Sea PP' Q ⇒ P’ es la proyección del punto P sobre el plano Q Observación.- Dos diedros adyacentes son suplementarios. Además M es la proyección ortogonal de L sobre el plano Q. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 3. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA Ángulos Poliedros POLIEDROS Poliedro es un sólido Son los formados en los vértices del completamente limitado por polígonos. El mínimo número de caras que tiene un poliedro es cuatro. poliedro Diagonal Es el segmento que une dos vértices no situados en la misma cara CLASIFICACION 1) Por el número de caras: - Tetraedro: cuando tiene 4 caras ELEMENTOS DE UN POLIEDRO - Pentaedro: cuando tiene 5 caras Los elementos principales de un poliedro son: - Hexaedro: cuando tiene 6 caras - Heptaedro: cuando tiene 7 caras Vértice - Octaedro: cuando tiene 8 caras Diagonal 2) Según sus características: Cara Arista a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera de sus secciones planas es un polígono convexo, segmento o equivalentemente, que une dos si el puntos cualesquiera del poliedro está totalmente Caras contenido en el poliedro. Son los polígonos que limitan los poliedros. Aristas Son las intersecciones de las caras. Vértice Son los puntos donde se encuentran las aristas- b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de las secciones planas es un polígono cóncavo. Al trazar una recta secante Ángulos Diedros corta en más de 2 puntos de intersección Son los formados por dos caras consecutivas. a su superficie poliédrica. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 4. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA C → número de caras 1 V → número de vértices 2 3 A → número de aristas 4 5 6 Entonces se verifica que: C+V=A+2 c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus caras son polígonos regulares e iguales, y sus ángulos diedros y triedros también son iguales. POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre si: d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras son polígonos irregulares y desiguales, y sus angulos poliedros no son todos iguales. TEOREMA DE EULER En todo poliedro convexo el número de caras aumentado en el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Si para un poliedro convexo: Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 5. Universidad Nacional Federico Villarreal A) TETRAEDRO: Sus caras son regiones triangulares equiláteras. cuatro X Ciclo Notación: GEOMETRÍA MODERNA Exaedro Regular ABCD – EFGH Diagonal ( BH ): l BH = O 3 Volumen (V): v = l3 Superficie total o Área (A): C A = 6l 2 A G C) OCTAEDRO: Sus caras son regiones triangulares equiláteras. B ocho M Notación: Tetraedro Regular O – ABC Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G) OG = l 6 3 B Volumen (V): V = l3 C A 2 D 12 Superficie total o Área (A): A = l2 3 N B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo. Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N Diagonal ( MN ): MN = B l 2 C Volumen (V): D A V = F G l3 2 3 Superficie total o Área (A): A = 2l 2 3 E H Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 6. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA D) DODECAEDRO: Sus caras son doce regiones pentagonales iguales. 1. En un tetraedro O-ABC, OA=BC, OB=AC y OC=AB, además se cumple AC>OC>AO. Halla la suma del máximo y mínimo entero de la cara AOC Solución Volumen (V): V = 5l 3 2 47 + 21 5 10 Superficie total o Área (A): A = 15l 2 5+2 5 5 E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras. a a>b>c→θ> > ΔAOC ≈ Δ OAB ≈ Δ CBA (LLL) →m∠AOC=m∠ OCB= θ m∠AOC= m∠ACB= AOC: Volumen (V): 5a 2 V = 6 7+3 5 2 θ+ + = 180º → + = 180º θ ……. (1) Por teorema: Superficie total o Área (A): <θ< ……. (2) A = 5a 2 3 De (1) y (2): θ < 180º θ Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 7. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo θ < 90º APB: Por condición: HAD: < θ; <θ AH= = GHD: Sumando: < 2θ GEOMETRÍA MODERNA = + + …. (1) …. (2) en (2): 180º θ < 2θ y 60º < θ 60º < θ < 90º Simplificando: luego: θmin= 61º θmáx.= 89º θmin + θmáx = 150º 3. En un poliedro convexo, el numero de 2. Un cuadrado ABCD y un triangulo caras, mas el numero de vértices, y rectángulo APB están contenidos en más el numero de aristas, es 28. Si las dos planos perpendiculares. Halle la medidas de los ángulos en todas las distancia entre el vértice D y el caras suman 1800º. Hallar el número de baricentro APB; si se sabe que AP=3, caras. PB=4. Solución Solución Dato: S = 1800º. Pero sabemos que S = 360º(V-2) Entonces: 360º(V – 2) = 1800º V–2=5 V=7 Por el Teorema de Euler: C+V=A+2 A = C + 5......(1) Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 8. Universidad Nacional Federico Villarreal Pero por dato también: X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA NOC; se cumple que: En el C + V + A = 28 C + 7 + A = 28 C + A = 21......(2) Reemplazando (1) en (2): C + C + 5 =21 ∴ NC=3a x = 90º ∴ 2C = 16 C = 8 5. Se tiene un cuadrado ABCD y un triangulo equilátero pertenecientes 4. Se tiene un exaedro regular ABCD – a AMB dos planos perpendiculares. Calcular la medida del EFGH, donde “O” es centro de la cara ángulo ABFE y “M” punto medio de EH. segmento que une los puntos medios de Calcular la medida del ángulo COM. MB y AD. Solución Solución • Los determinado segmentos por EF BC y y BC el son alabeados. En el grafico, observamos que: • El ángulo formado por dichos segmentos es AFE NC = 3a 2 • En la figura el ΔAEM ≈ ΔEAF Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 9. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA 7. Se tiene un triangulo isósceles AOB, tal que AO=OB= 6 , se levanta OM x = 60º ∴ perpendicular al plano determinado por el triangulo. Calcular la longitud de OM, si el diedro formado por los planos 6. Por el vértice “B” de un triangulo ABC recto en “B”, se levanta BD perpendicular al plano determinado por determinados por los triángulos AMB y AOB mide 60º. Solución el triangulo. Calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos determinados por los triángulos ADC y ABC. Si AB=8, BC=8 3 /3 y BD=3 Solución Por dato: AO= 6 , OB=ON= 3 Em Δ MON es notable, ya que la m∠MNO=60º En consecuencia: x= 3 . 3 ∴ x = 3 • Por dato; AB=8, BC=8 3 /3, entonces por propiedad en el Δ ABC: 8. La suma de las medidas de las cars de un poliedro convexo es 3600º. Si el número de aristas excede en 2 al doble del número de cars. Hallar el número → BH=4 • En el Δ DBH: tgx= 3/4 ∴ x = 37º de caras. Solución Sabemos que: S=360º(V-2) Pero: S=3600º Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 10. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA Entonces: 3600º=360º(V-2) → A = 160 → V-2=10 Reemplazando en (1): → V=12 96 + V = 160 + 2 Por dato también: A=2C+2 …(1) Por el Teorema de Euler: ∴ V = 66 C + V = A + 2…(2) Reemplazando (1) en (2): C + V = 2C + 2 + 2 → C + 12 = 2C + 4 10. Se tiene un tetraedro S-BCD, siendo los puntos M y N los baricentros de las caras, además el punto G es el punto de intersección de los segmentos BM y SN. Si: SN=12m. Hallar SG. → C = 8 Solución 9. Hallar el número de vértices del poliedro convexo que está limitado por 32 cuadriláteros y 64 triángulos. Solución Por el Teorema de Euler: C + V = A + 2……(1) Donde: En la figura sombreada: C → Nº de caras Por el Teorema de Menelao: V → Nº de vértices m. x . 2n = 2m . GN . 3n A → Nº de aristas x = 3(SN – x) En el problema: 4x = 3(12) C = 32 + 64 → C = 96 ∴ x = 9m Además sabemos que: Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 11. Universidad Nacional Federico Villarreal 11. En la figura birrectángulo BP=PC=2 P-ABC donde es un triedro BPC=120°, y AP= 2. Hallar el área del triángulo ABC. A) D) si X Ciclo 12. En un GEOMETRÍA MODERNA triedro AOB=BOC= 60° isósceles O-ABC, y el diedro OB mide 90°. calcule la medida de la cara AOC. A) arc cos ( B) E) C) B) arc cos ( C) arc cos ( D) arc cos ( E) arc cos ( Solución Solución = + Por ley de cosenos: Por prop. del triángulo de 120° : BP= PC=2 → BC = 6 = + 2( 2a) (2a) cos x p= 8 cos x = 2 S= S= S= x = arc cos ( 13. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 30 cm y 40 cm, se hace girar el triángulo alrededor de su hipotenusa Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 12. Universidad Nacional Federico Villarreal hasta formar un diedro de 60°. X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA Solución Calcular la longitud del segmento que une los centros de gravedad de las bases del diedro. Solución Por teorema: 70° + 90° + VC → VC 70° + 90° + VC rectángulo BAC 20° 180° → VC VC 30 (40) = 50 AH; AH = es equilátero = 15. En un triedro SABC, el diedro SA es recto y las caras ASB y ASC son ángulos de 45°, se pide calcular las M caras BSC. // Lema de Thales = → ( =8 = 8 m. 14. Dos caras de un triedro miden 115° y 125°. Determinar entre que valores Solución Se traza un plano ABC ⊥ SA ∠BAC = 90° m∠diedro SA Hacemos SA = a ΔSAB: SB = =a = SC puede variar la tercera cara. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 13. Universidad Nacional Federico Villarreal (∇rect.SAB = ∇rest.SAC ) X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA BC = Como SB = BC = a ΔMOF. Δrect. AOB: Δ BAC: Observando OF = =a = , el ∇ BSC es equilátero, entonces Δ rect.MOF: MF= como cateto OF = ∠BSC = 60° = 2a de la hipotenusa MF, ∠MFO = 30° entonces: α = 90° 30° α=60° ° 16. Dado un triángulo rectángulo AOB, recto en O, cuyos catetos OA= OB = 2a, se levanta en O el plano AOB, una perpendicular sobre la que se toma OM= a y se une luego M con los puntos A y B. Calcular la medida del ángulo diedro AB. Solución Se traza OF ⊥ AB MF ⊥ AB ( Teor, 3 ⊥s) ∠MFO es m∠ diedro AB Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
  • 14. Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA PROBLEMAS PROPUESTOS A) 149º 1. ABC, es un triangulo recto en B. ACD, es un triangulo equilátero contenido en un plano perpendicular al plano ABC. Si B) 169º B) D) 99º C) 179º E) 189º 5. Las regiones rectangulares ABCD y ABMN, determinan un diedro que mide AC = 8, Hallar BD. 120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle la distancia “D” al punto medio de MN. 2. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F): A) a D) ( ) Todo plano perpendicular a la arista B) C) 2a E) de un diedro es perpendicular a las caras del diedro. 6. En un exaedro regular ABCD – EFGH ( ) Si una recta es perpendicular a una cuya arista mide 4m. ¿Calcular la de las caras de un diedro y paralela a la distancia entre AF y BH?. otra cara entonces la medida del diedro es 90. 7. En un hexaedro regular ABCD – EFGH, con centro en E y radio EB se traza un arco de A) VV B) FV D) VF circunferencia que interseca a HC en “P”. C) FF E) VV ¿Calcular el ángulo que forma EP con la cara EFGH?. 3. Se tiene un diedro MN que mide 60º y un punto F situado en su plano bisector, si F dista de la arista que une los planos M y N en 10 u. Calcular la distancia de F a las caras del diedro. A) 3 3 D) 10 4. B) 4 E) 5 3 C) 5 Calcular el mayor valor entero que puede tomar una de las caras de un triedro birrectángulo. 8. En un octaedro regular M-ABCD-N, cuya arista mide 6m, G es baricentro de la cara DMC. ¿Calcular AG? 9. Calcular el volumen de un cubo donde el área y el volumen son numéricamente iguales. 10. En un octaedro regular, de arista “a”, hallar la distancia del centro a una cara. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari