1. INGENIERIA ECONOMICA I -1-
Santiago Solano G. UPS
INTRODUCCION AVAC
Las anualidades, quizá en la práctica, resulten uno de los aspectos de mayor
aplicación en las finanzas, la mayoría de las operaciones crediticias de mediano y
largo plazo generalmente se amortizan (cancelan) en forma de anualidades.
Las anualidades resultan muy familiares en la vida diaria, como: las rentas,
sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros
de vida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y
otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchas
diferencias.
Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el de anualidad de
inversión, que incluye interés compuesto, ya que en otras clases de anualidad no
se involucra el interés.
En este capítulo estudiaremos los diferentes tipos de anualidades y sus problemas
de aplicación, para una mejor comprensión es muy importante que revisen el
capítulo 6 del libro Matemáticas Financieras de Héctor Vidaurri. 4ta
Edición.
ANUALIDADES
Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales
realizados en intervalos de tiempo iguales, [VIDAURRI, 2008].
El término anualidad no implica que los pagos sean anuales exclusivamente, el
nombre responde más bien a una costumbre arraigada desde tiempos remotos, por
el contrario los pagos pueden ser en períodos de tiempo diferentes a un año, ya
sean estos menores o mayores.
En general, las anualidades son flujos de fondos regulares y de un mismo monto
durante un determinado número de períodos.
Es importante definir las particularidades que caracterizan a una anualidad:

2. INGENIERIA ECONOMICA I -2-
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Anualidad. Pago periódico o abonos regulares que se realizan durante un
determinado tiempo, también denominado renta.
Período de Pago. Está definido por el tiempo que transcurre entre un pago y el
siguiente
Plazo. Al tiempo total que transcurre desde el principio del primer período de
pago y el final del último pago, se denomina Plazo de la anualidad.
Existen muy variadas formas de clasificar a las anualidades, dependiendo de
algunos factores, entre algunas de las tipologías podemos resumir estas:
CRITERIO TIPO DESCRIPCIÓN
Tiempo (fecha
de inicio y fin)
Ciertas Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se
estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una
compra a crédito se fija tanto la fecha en que se
debe hacer el primer pago, como la fecha para
efectuar el último pago.
Contingentes Anualidad contingente. La fecha del primer
pago, la fecha del último pago, o ambas no se
fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia
que se obliga a un cónyuge tras la muerte del
otro. El inicio de la renta se da al morir el
cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo.
Intereses Generales Anualidad general. Son aquellas que el periodo
de pago no coincide con el periodo de
capitalización. Ejemplo: el pago de una renta
semestral con intereses al 30% anual
capitalizable trimestralmente.
Simples Anualidad simple. Cuando el periodo de pago
coincide con el de capitalización de los intereses.
Ejemplo: el pago de una renta mensual con
intereses al 18% capitalizable mensualmente.
Pagos Vencidas Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u
ordinarias son aquellas en que los pagos se
efectúan a su vencimiento, es decir, al final de
cada periodo.
Anticipadas Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio
de cada periodo.

3. INGENIERIA ECONOMICA I -3-
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Iniciación Inmediatas Anualidades inmediatas. Es el caso más común.
La realización de los cobros o pagos tiene lugar
en al periodo inmediatamente siguiente a la
formalización del trato. Ejemplo: se compra un
articulo a crédito hoy, que se va a pagar con
mensualidades, la primera de las cuales habrá de
realizarse en ese momento o un mes después de
adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada
o vencida).
Diferidas Diferidas. La realización de los cobros o pagos se
hace tiempo después de la formalización del
trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un
articulo a crédito para pagar con abonos
mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6
meses después de adquirida la mercancía.
Villalobos, J. L. (2001). Matemáticas financieras. Guadalajara: Prentice Hall.
ANUALIDADES VENCIDAS
En este caso de anualidad, los pagos se efectúan al final de cada período. También
se las conoce como anualidades ordinarias.
El valor actual de una anualidad corresponde a la suma de todos los pagos traídos
a valor presente, por ejemplo, 5 pagos mensuales de 500 dólares cada uno con la
tasa del 2,5% mensual.
Es importante notar que cada período tiene un inicio y un final, el primer período
(1) por ejemplo inicia en el mes 0 o fecha actual, a su vez el segundo período (2)
inicia con el final del primer período y así sucesivamente. Todos los períodos
deben ser iguales (en este caso meses) y los pagos del mismo modo, deben
coincidir.

4. INGENIERIA ECONOMICA I -4-
Santiago Solano G. UPS
=
1 +
= ∙ 1 +
500. 1 + 0,025 = 487,80
500. 1 + 0,025 = 475,91
500. 1 + 0,025 = 464,30
500. 1 + 0,025 = 452,98
500. 1 + 0,025 = 441,93
Σ VA = 2.322,91
Si traemos todos los pagos (5 pagos mensuales de 500 cada uno) al valor actual
(0) tenemos lo siguiente1
:
Se puede observar que los factores (1+i) constituyen una progresión geométrica,
de este modo se puede establecer la fórmula del valor presente de una anualidad
vencida:
=
1 − 1 +
Para el caso del ejemplo:
2.322,91 = 500 ∙
1 − 1 + 0,025
0,025
Es importante recordar, que la tasa de interés (i) de coincidir con los períodos de
pago, en este caso el 2,5% es mensual y los pagos son mensuales
El valor actual de una anualidad es igual a afirmar que es la cantidad de dinero
(inversión) que se realiza el día de hoy para ir efectuando los retiros establecidos
durante el tiempo propuesto.
N° SALDOi INTERES RETIRO SALDOf
1 2.322,91 58,07 500,00 1.880,98
2 1.880,98 47,02 500,00 1.428,01
3 1.428,01 35,70 500,00 963,71
1
el exponente negativo implica que está en el denominador

5. INGENIERIA ECONOMICA I -5-
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4 963,71 24,09 500,00 487,80
5 487,80 12,20 500,00 0,00
Se invierten hoy 2.322,91 a la tasa del 2,5% mensual capitalizable mensualmente
del tal modo que se pueden realizar 5 retiros de 500. Note que la suma de los
pagos 2,500 (500x5) es superior al valor actual, esto es porque durante los 5 meses
hay un saldo que gana intereses, aunque cada vez menor
Para el caso del valor futuro, utilizando el mismo ejemplo, podemos graficar la
situación como sigue:
500 = 500,00
500. 1 0,025 = 512,50
500. 1 0,025 = 525,31
500. 1 0,025 = 538,45
500. 1 0,025 = 551,91
Σ VA = 2.628,16
Nótese que en este caso el pago final coincide con la fecha del Valor Futuro, esto
sucede porque se trata de anualidades vencidas, en donde los pagos se efectúan al
final del período.
Del mismo modo, es posible determinar la fórmula del Valor Futuro (VF) de una
anualidad vencida:
1 1
Para el ejemplo tenemos:
2.618,26 500 ∙
1 0,025 1
0,025

6. INGENIERIA ECONOMICA I -6-
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Finalmente es posible verificar que el Valor Actual de una anualidad aplicando la
misma tasa de interés compuesto y el plazo establecido para dicha anualidad, se
convierte en el valor futura de la misma.
2.322,91 = 2.628,16 ∙ 1 + 0,025
También es posible determinar los períodos de pago (n), despejando de cualquiera
de las dos fórmulas (VF o VA) para ello es necesario el uso de logaritmos (Log).
Sin embargo, veremos que algebraicamente es imposible despejar la tasa de interés
(i) ubicada tanto en el denominador como en el numerador, por lo cual es
necesario utilizar otros métodos alternativos como la extrapolación, el ensayo
prueba y error o el uso de una calculadora financiera o de Excel.
El valor futuro de una anualidad es igual a la cantidad que se acumularía
mientras se efectúan los pagos cada período, los cuales van ganando interés
durante todo el tiempo:
N° SALDOi INTERES DEPOSITO SALDOf
1 0,00 0,00 500,00 500,00
2 500,00 12,50 500,00 1.012,50
3 1.012,50 25,31 500,00 1.537,81
4 1.537,81 38,45 500,00 2.076,26
5 2.076,26 51,91 500,00 2.628,16
Al final de los 5 depósitos, el saldo suma 2.628,16 si el rendimiento fue del 2,5% y
los pagos de 500. La suma absoluta de los depósitos 2.500 (500x5) es inferior al
valor ya que los depósitos ganan intereses desde su registro hasta el final del plazo
FORMULAS DE USO FRECUENTE
=
1 + − 1
=
1 − 1 +
!
1 + − 1
"
=
!
1 − 1 +
"
=
# =
log '
∙
+ 1(
log 1 +
# = −
log '1 −
∙
(
log 1 +

7. INGENIERIA ECONOMICA I -7-
Santiago Solano G. UPS
ACTIVIDADES
• Realizar los ejercicios del texto Matemáticas Financieras de Héctor
Vidaurri. 4ta
Edición. Página 328.
• Investigar las funciones financieras de Excel:
=VF() =VA() =NPER() =TASA() =PAG() y =PAGOINT()

8. INGENIERIA ECONOMICA I -8-
Santiago Solano G. UPS
ANEXO
DEDUCCION DE LA FORMULA DE LA ANUALIDAD (VF)
500 = 500,00
500. 1 0,025 = 512,50
500. 1 0,025 = 525,31
500. 1 0,025 = 538,45
500. 1 0,025 = 551,91
Σ VA= 2.628,16
En general diremos:
∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
Donde (A) es el valor de la anualidad (500) y la tasa de interés (i) es 0,025
Factor común (A)
∙ )1 1 1 1 1 *
El interior de los corchetes es una serie geométrica donde a=1 y r= (1+i)
+ , ∙ - ∙ - ∙ - ∙ -
Recuerde que en la serie geométrica el último valor es n-1 ( ∙ - )
Multiplicamos ambos lados de la expresión por (r):
-. + , ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ -
Si restamos las dos expresiones para eliminar los términos intermedios
+ ∙ - ∙ - ∙ - ∙ -
-. + ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ -
+ - ∙ + ∙ - ; + ∙ 1 - ∙ 1 -
+ ∙
1 -
1 -

9. INGENIERIA ECONOMICA I -9-
Santiago Solano G. UPS
Determinamos n (5) en general, y considerando que a=1 y r= (1-i) reemplazamos
en la fórmula de VF
1 − 1 +
1 − 1 +
=
1 − 1 +
−
=
1 + − 1
=
1 + − 1

10. INGENIERIA ECONOMICA I -10-
Santiago Solano G. UPS
DEDUCCION DE LA FORMULA DE LA ANUALIDAD (VA)
500. 1 0,025 = 487,80
500. 1 0,025 = 475,91
500. 1 0,025 = 464,30
500. 1 0,025 = 452,98
500. 1 0,025 = 441,93
Σ VA= 2.322,91
Tenemos la siguiente ecuación
∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
Se puede observar que es una serie geométrica:
∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
+ , ∙ - ∙ - ∙ - ∙ -
En este caso tenemos: ∙ 1 y - 1
De la demostración anterior sabemos que suma de una progresión geométrica es:
+
/0
/
Entonces, reemplazando tenemos:
∙ 1
1 1 .
1 1
∙ 1
1 1 .
1 1
1
1
1
∙ 1
1 1 .
1 1
1
1
1
; ∙
1 1
1 1
∙
1 1
Otro procedimiento más simple consiste en multiplicar la ecuación de valor por
(1+i):
∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
1 . ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1
1 ∙ ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1

11. INGENIERIA ECONOMICA I -11-
Santiago Solano G. UPS
Se puede ver que se trata de una ecuación equivalente traída a VA al período 1 o
también podemos afirmar que al valor actual VA lo llevamos a interés compuesto
al período 1.
Si restamos las ecuaciones de valor:
1 + ∙ = + ∙ 1 + + ∙ 1 + + ∙ 1 + + ∙ 1 +
= ∙ 1 + + ∙ 1 + + ∙ 1 + + ∙ 1 + + ∙ 1 +
1 + ∙ − = − ∙ 1 + ; ∙ 1 + − 1 = ∙ 1 − 1 +
Y llegamos a la misma fórmula:
= ∙ 3
45 60
5
7
Finalmente podemos comprobar la equivalencia de las fórmulas, conociendo que el
valor futuro de una anualidad (VF) es igual al valor actual de la misma anualidad
(VA), calculada a interés compuesto con la tasa de interés (i) y el plazo (n) de la
misma anualidad; veamos:
= ∙
1 − 1 +
; = ∙ 1 +
= ∙
1 − 1 +
∙ 1 + ; = ∙
1 + − 1 + 1 +
Simplificando;
VF = A ∙ 3
4; <
;
7