bachiller

1. 1
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Gráficas
Ejercicios
1.- La siguiente gráfica representa el consumo de electricidad (en miles de kWh) de una cafetería-
restaurante en función de la hora del día. Determina su expresión analítica:
Solución:
 De 0 a 8 horas la ecuación es:
 De 8 a 14 horas es:
Pues tiene pendiente 1 y pasa por el punto
(8, 4)
 De 14 a 20 horas la ecuación es
 De 20 a 24 horas es:
Pues pasa por el punto (20, 8).
Podemos expresarla como una función por partes:
NOTA: 4º ESO. Recuerda que conocidos un
punto y la pendiente m es sencillo
representar una recta . Sólo
tenemos que situarnos en el punto P y movernos
según indica el numerador y denominador de la
pendiente hasta hallar otro punto Q de la recta.
Unimos los puntos.
Así, para hallar la recta que pasa por P(2, 5) y
de pendiente
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
5 10 15
5
10
15
y
(2,5)
(4,2)
Bajo3unidades
Derecha 2 unidades

2. 2
2.- En la siguiente tabla se dan los pesos, en kg , de una niña al nacer y a los 12 meses.
Meses 0 6 12
Peso (kg) 3’200 11’100
Utilizando la interpolación lineal
a) INTERPOLACIÓN: ¿Qué peso estimas que tenía a los 6 meses?
b) EXTRAPOLACIÓN: ¿Qué peso estimas que tendrá a los 18 meses?
Solución: La recta que une los puntos A(0, 3’200) y B(12, 11’100) es
es decir
luego a) además b)
3.- En España, en el año 1993, la inflación en los meses que se indican fue:
Enero 1 Febrero 2 Marzo 3
4,9 4,6
Haz una estimación para los meses de Febrero 2 (interpolación) y Junio 6 (extrapolación).
Solución. El polinomio interpolador de grado 1, es la recta
Operando obtenemos .
En febrero de inflación.
En junio de inflación.
4.- En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de tres embriones de
cierta especie animal:
Mediante la interpolación lineal, deducimos que el peso de un embrión de 9 días es:
a) 60 g b) 70 g c) 50 g

3. 3
Teoría
1.1. Funciones acotadas. Extremos absolutos.
Una función está acotada superiormente por
un número K (cota superior) si todos los valores
que toma la función son menores o iguales que K.
La menor de las cotas superiores la llamaremos
supremo.
Si la gráfica pasa por el supremo, decimos que es
un máximo absoluto.
Ej.: La siguiente función está
acotada superiormente (por K = 4, 5, 6, 7,…)
El supremo es el número 4. Como la gráfica
pasa por él, es también máximo absoluto.
Una función está acotada inferiormente por un
número P (cota inferior) si todos los valores que
toma la función son mayores o iguales que P.
La mayor de las cotas inferiores la llamaremos
ínfimo.
Si la gráfica pasa por el ínfimo, decimos que es
un mínimo absoluto.
Ej.: La siguiente función está
acotada inferiormente (por P = -5, -6, -7, -8,…)
El ínfimo es el número -5. Como la gráfica
pasa por él, es también mínimo absoluto.
Una función está acotada si lo está superior e
inferiormente.
Ej.: La siguiente función está
acotada inferiormente por -1 y acotada superiormente
por +1. Decimos entonces que es una función acotada.
1.1. Asíntotas
Cuándo para valores muy grandes de “x” próximos (o valores muy pequeños, próximos a )
sus imágenes “y” se aproximan a un valor fijo “k”, decimos que f tiene una asíntota horizontal en
Ej.: asíntota horizontal en la recta y = 2 , pues , además
-10 -5 5 10
-5
5
10
x
y
-10 -5 5 10
-5
5
10
y
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
y=x*sin x
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-10
-5
5
10
15
x
y
y = 2
k = 2
- +

4. 4
En otros casos, cuando los valores de “x” están
próximos a un número “a”, sus imágenes crecen
hasta valores muy grandes (o valores muy
pequeños ).
Se dice que hay una asíntota vertical en
Ej.: Observa que la siguiente gráfica tiene una
asíntota vertical en .
Pues para valores de próximos a 2, las
imágenes son cada vez más grandes, o cada vez
más pequeñas.
Ejercicio.- Estudia la acotación, simetría, crecimiento y decrecimiento (tendencias), supremos,
ínfimos, máximos y mínimos absolutos.
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
O O O
O O O
4
2
-2
a) b) c)
d) e) f)
3
-3
-2 +2
5
-4 4
-4
-2 +2
+2
-2