Apuntes de la clase de matemáticas IV

1. MATEMÁTICAS IV Bloque 6

2. FUNCIÓN RACIONAL
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Ejemplos:
𝑓 𝑥 =
6
𝑥
𝑓 𝑥 =
3𝑥−5
𝑥2−8
𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥2−7𝑥+12

3. DOMINIO
𝑓 𝑥 =
6
𝑥
Dom 𝑓 𝑥 = ℝ − 0
𝑓 𝑥 =
3𝑥−5
𝑥2−4
Dom 𝑓 𝑥 = ℝ − −2,2
𝑓 𝑥 =
3𝑥−5
𝑥2+3𝑥
Dom 𝑓 𝑥 = ℝ − −3,0
𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥2−7𝑥+12
Dom 𝑓 𝑥 = ℝ − 3,4

4. ASÍNTOTAS VERTICALES
𝑓 𝑥 =
6
𝑥
x = 0
𝑓 𝑥 =
−5
𝑥2−4
x = −2 ; x = 2
𝑓 𝑥 =
5𝑥2−7𝑥+6
𝑥2+3𝑥
x = −3 ; x = 0
𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥2−7𝑥+12
x = 3 ; x = 4

5. ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Caso 1: el numerador y
denominador tienen el mismo
grado  división de cocientes
del grado mayor
Caso 2: denominador tiene grado
mayor que el numerador  0
Caso 3: numerador tiene grado
mayor que el denominador  no
𝑓 𝑥 =
3𝑥−5
𝑥2−4
y = 0
𝑓 𝑥 =
5𝑥2−7𝑥+6
𝑥2+3𝑥
y = 5
𝑓 𝑥 =
𝑥3−8
𝑥2−9
no tiene asíntota
horizontal

6. ASÍNTOTA OBLICUA
La asíntota oblicua está dada por el resultado de la división.
Ejemplo
𝑓 𝑥 =
𝑥2+5
𝑥+1
𝑥 − 1 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 6
Asíntotas oblicuas en 𝑦 = 𝑥 − 1
1 0
5
-1 0 -1
1
1 -1
6

7. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
Cuando el valor de x=a vuelve 0 tanto P(x) como Q(x), se dice que
existe una discontinuidad removible y se puede simplificar la función
eliminando factores lineales idénticos arriba y debajo de la función.
Ejemplo
𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
para x=1
𝑓 1 =
(1)2−1
(1)−1
=
0
0
Entonces
𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
=
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥−1
= 𝑥 + 1
Para encontrar la coordenada de
la discontinuidad se sustituye
x=a en la nueva función.
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑓 1 = 1 + 1 = 2
1,2

8. TRAZAR GRÁFICA
Pasos:
1. Encontrar intersección en eje y
sustituyendo f(0)
2. Encontrar si hay intersección
en eje x igualando el
numerador a 0 y despejando x
3. Encontrar asíntotas
4. Encontrar discontinuidades
removibles
5. Tabular 2 valores arriba y
debajo de la asíntota vertical.
6. Unir puntos
Ejemplo: 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥+2
1. 𝑓 0 =
0
0+2
=
0
2
= 0
2. 𝑥 = 0
3. Asíntota vertical: 𝑥 =
− 2
4. Asíntota horizontal:
y = 1
5. No tiene asíntota
oblicua
6. No tiene
discontinuidad
removible
x y
-4 2
-3 3
-2 Indefinid
o
-1 -0.5
0 0