Este documento presenta información sobre la distribución Chi cuadrado y su uso en pruebas de bondad de ajuste, homogeneidad e independencia. Define la distribución Chi cuadrado, explica cómo calcular la estadística Chi cuadrado observada y cómo compararla con valores críticos de la tabla para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula. Además, incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar la prueba de Chi cuadrado en diferentes contextos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
Calatrava Yanoski
Maldonado Hugo
Rincón Julio
Sevilla Carlos

2. 2

 Las distribución Chi cuadrado, se derivan de la
distribución Normal y están relacionadas con la
teoría del muestreo pequeño n< 30.
 Son muy importantes pues son la base de
metodologías inferenciales, tales como Intervalos de
Confianza y Pruebas de Hipótesis.
 En otros estudios se les define como la suma de
diferencias cuadráticas relativas entre valores
experimentales (observados) y valores teóricos
(esperados).

3. Definición: Sea Sea k
variables aleatorias normales e independientes, cada
una con media 0 y desviación típica 1. entonces, la
variable aleatoria
Se llama la variable aleatoria chi cuadrado con k
grados de libertad.
2


4.  Fórmula de Chi Cuadrado
 α = Nivel de Significancia:
En estadística, un resultado se denomina
estadísticamente significativo cuando no es probable que
haya sido debido al azar.
Son comunes los niveles de significancia del 0,05, 0,01 y
0,1. En algunas situaciones es conveniente expresar la
significancia estadística como percentil 1 − α.
Este valor hace referencia al nivel de confianza que
deseamos que tengan los cálculos de la prueba; es decir, si
queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa
debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento
porcentual de la confianza.
e
e
o
f
f
f
 

2
2
)
(


5.  Hipótesis:
Si un contraste de hipótesis proporciona un valor P
inferior a α, la hipótesis nula es rechazada, siendo tal
resultado denominado “estadísticamente significativo”.
Cuanto menor sea el nivel de significancia, más fuerte será la
evidencia de que un hecho no se debe a una mera
coincidencia (al azar).
 Grados de Libertad: GL=k-1
En estadística, grados de libertad es un estimador del
número de categorías independientes en una prueba
particular o experimento estadístico. Se encuentran mediante
la fórmula n − r, donde n=número de sujetos en la muestra,
también pueden ser representados por k − r,
k=número de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y
no con sujetos individuales
r=número de sujetos o grupos estadísticamente dependientes

6. 2


7. 2


8. 2


9. Ch² observado < Ch² critico Rechazar
Ho
Aceptar Ho
Si
No

10.  Para determinar si la muestra se ajusta o no se ajusta a una
distribución teórica.
 Para saber si la(s) poblacione(s) son homogénea(s) o no.
 Para determinar la dependencia e independencia la(s)
variable(s) a analizar.
2


11. Prueba de
Chi Cuadrado
Dos Variables
Prueba de
Homogeneidad
Prueba de
Independencia
Una Variable
Prueba de
Bondad de
Ajuste
2


12. Se utiliza para la comparación de la distribución de una
muestra con alguna distribución teórica que se supone
describe a la población de la cual se extrajo.
 Ho : La variable tiene comportamiento normal se distribuye
de manera uniforme
 H1 : La variable no tiene comportamiento normal, no se
distribuye de manera uniforme.
e
e
o
f
f
f
 

)
(
2


13. Un gerente de ventas que tiene su mercado dividido en
cuatro zonas le indica a sus vendedores que las zonas tienen
el mismo potencial de ventas.
Ante la duda de los vendedores sobre el potencial de sus
zonas el gerente hace el siguiente procedimiento :Se extrae
una muestra de los archivos de la empresa de 40 ventas
realizadas el año pasado y encuentra que el numero de
ventas por zona son: zona 1 = 6, Zona 2 = 12, Zona 3 = 14 y
zona 4 = 8 . En vista de esos resultados se realiza una prueba
de bondad de ajuste.

14. Planteamiento de Hipótesis
 H0 : las ventas están igualmente distribuidas.
 H1: las ventas no están igualmente distribuidas
Nivel de Significancia
 α = 5% = 0.05
Cálculos
 GL= k-1 = 4-1 = 3
 El critico = 7.81 (Según Tabla)
2


15. 2


16.  Elaborar la tabla de y y calcular el .
ZONAS
A B C D
Frecuencia
observada (fo) 6 12 14 8 40
Frecuencia
esperada (fe) 10 10 10 10 40
Ch² 1.6 0.4 1.6 0.4 4
Los individuales se calculan con la
formula; y luego se suman:
Este valor es el observado = 4
e
e
o
f
f
f
2
2
)
(
 


o
f e
f
2

2

2


17.  Como: observado < Critico
observado (4) < critico (7.81) Si se Cumple
entonces, no rechazamos Ho.
Es decir que la Ho de que las ventas se encuentran
igualmente distribuidas en las cuatro zonas no se puede
rechazar para un nivel de significancia de 5%.
2
 2

2
 2


18. Se usa para analizar la frecuencia de dos variables con
categorías múltiples para determinar si las dos variables son
independientes o no.
 Hipótesis nula (H0) : Las variables X e Y son independientes, (
X e Y no están relacionadas)
 Hipótesis alternativa (H1): Las variables X e Y no son
independientes, (X e Y están relacionadas)

 




F
i
C
j ij
ij
ij
C
F
E
E
O
1 1
2
)
1
)(
1
(
2 )
(


19.  Grados de libertad GL= (m-1)(n-1)
 Calculo de frecuencia esperado.
 Una Tabla de contingencia con r filas y c columnas tiene la
siguiente forma:
)
(
)
(
)
(
total
columna
suma
fila
suma
fe


Los datos de variables cualitativa o categóricas
representan atributos o categorías y se organizan en tablas
llamadas tablas de contingencia o tablas de clasificación
cruzada.

20. Donde:
Oi j : es el número de sujetos que tienen las características Ai y Bj
a la vez.
Ri : (i = 1,…,r) es la suma de la i-ésima fila de la tabla. Es decir, es
el total de sujetos que poseen la característica Ai.
Cj :(j = 1,…,c) es la suma de la j-ésima columna de la tabla. Es
decir, es el total de sujetos que poseen la característica Bj.
n : representa el total de observaciones tomadas.

 




F
i
C
j ij
ij
ij
C
F
E
E
O
1 1
2
)
1
)(
1
(
2 )
(


21. El uso de bebida ordenado con alimentos en un
restaurante ¿es independiente de la edad del consumidor?
Se toma una muestra aleatoria de 309 clientes del
restaurante de donde resulta el siguiente cuadro de valores
observados. Utilice α = 1% para determinar si las dos
variedades son independientes.
EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE
21 – 34 26 95 18
35 – 55 41 40 20
>55 24 13 32

22. Planteamiento de Hipótesis
 H0 : El tipo de bebida preferida es independiente de la edad
 H1 : El tipo de bebida preferida no es independiente ,esta
relacionada con la edad
Nivel de significancia
 α = 0.01
Cálculos
 Grados de Libertad GL = (m-1)(n-1)
Tenemos 3 filas y tres columnas, es decir
GL = (3-1)(3-1) = 4
 El critico = 13.27 (Según Tabla)
2


23. 2


24. Calculo de frecuencia esperado. )
(
)
(
)
(
total
columna
suma
fila
suma
fe


EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL
21 – 34 26 95 18 139
Frecuencia
Esperada
35 – 55 41 40 20 101
Frecuencia
Esperada
≥55 24 13 32 49
Frecuencia
Esperada
Total fo 91 148 50 289
Total fe
43,8 71,2
EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL
21 – 34 26 95 18 139
Frecuencia
Esperada
43.8 71.2 24.0 139,0
35 – 55 41 40 20 101
Frecuencia
Esperada
31.8 51.7 17.5 101,1
≥55 24 13 32 49
Frecuencia
Esperada
15.4 25.1 8.5 49,0
Total fo 91 148 50 289
Total fe 91.0 148.0 50,0 289,0

25.  Como: observado < Critico
observado (97,93) < critico (13,27)
No se Cumple
entonces, rechazamos H0, es decir se acepta la hipótesis
alternativa H1
Las dos variables, bebida preferida y edad, no son
independientes. El tipo de bebida que un cliente ordena con
alimentos está relacionada con la edad y depende de está.
2
 2

2
 2


26. Se extraen Muestras Independientes de varias
poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con
respecto a algún criterio de clasificación.
 H0 = Las Poblaciones son Homogéneas
 H1 = Las Poblaciones no son Homogéneas

 




F
i
C
j ij
ij
ij
C
F
E
E
O
1 1
2
)
1
)(
1
(
2 )
(


27. La siguiente tabla indica las familias de cuatro distritos y
el número de personas que vieron un programa especial de
política económica nacional. Use α=1%
A B C D TOTAL
Número de personas que si vio 10 15 5 18 48
Número de personas que no vio 40 35 45 32 152
50 50 50 50 200

28. Planteamiento de Hipótesis
 H0: todos vieron el programa
 H1: No todos vieron el programa
Nivel de Significancia
 α = 0.011
Cálculos
 GL = (m-1)(n-1) = (2-1)(4-1) = 3
 = 11.35
 Calcular las frecuencias esperadas y el Ch2 observado.
2


29. A B C D TOTAL
VEN EL PROGRAMA 0.33 0.75 4.08 3.00
NO VEN EL PROGRAMA 0.11 0.24 1.29 0.95
TOTAL 10.75
Como el valor observado (10.75) es menor que el
valor critico (11.35). No podemos rechazar H0 para un nivel
del 1%. La diferencia de las proporciones no es
suficientemente grande para rechazar H0.

30.  Lipschutz. S., Schiller. J., Introducción a la Probabilidad y
Estadística. 2001 Editorial Mc Graw Hill.
 Evans. M., Rosenthal. J. Probabilidad y Estadística. 2005
Editorial Reverte