1) El documento introduce conceptos fundamentales de límites, incluyendo definiciones intuitivas y geométricas de límites. Se explican ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar el concepto de límite. 2) Se presentan teoremas de límites, como límites de funciones constantes, suma, diferencia, producto y cociente de funciones. Estos teoremas permiten evaluar límites algebraicamente. 3) Se asigna como tarea el cálculo de límites numéricos aplicando los teoremas presentados.

1. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Límites
Definiciónintuitivae interpretacióngeométricade límite.
Con los siguientes ejemplos se explicará de manera intuitiva la idea de límite.
1) Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Analice y conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el valor de 𝑓 cuando 𝑥 = 2?
b) ¿Cómo se comporta 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 2?
Solución.
a) Evaluamos en la función: 𝑓(2) = 2 ∗ 2 + 1, entonces 𝑓(2) = 5
b) Elaboramos una tabla de valores
A continuación, mostramos el gráfico y su interpretación.
Podemos decir que: “El límite de 𝑓(𝑥) se
aproxima a 𝐿 cuando𝑥 se aproxima a 𝑎”.
En el ejemplo diríamos que “El límite de
2𝑥 + 1 se aproxima a 5 cuando 𝑥 se
aproxima a 2”
lim
𝑥→2
(2𝑥 + 1) = 5
Que es equivalente a decir, que el límite
por la izquierda es igual al límite por la
derecha.
lim
𝑥→2−
(2𝑥 + 1) = lim
𝑥→2+
(2𝑥 + 1)
Por lo tanto, el límite existe.
2) Sea 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑥2
. ¿Cuál es el límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 1?
Evaluamos:
Elaboramos la tabla de valores:
A continuación, mostramos el gráfico y su interpretación.
3) Sea ℎ(𝑥) =
1
𝑥−2
. ¿Cuál es el límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 2?
Solución.
a) Evaluamos en la función: ℎ(2) =
1
2−2
, entonces ℎ(2) =
1
0
ésto nos indica que es un
término no definido, es decir, la función no existe en 𝑥 = 2.
b) Elaboramos la tabla de valores
A continuación, mostramos el gráfico y su interpretación.
“El límite de
1
𝑥−2
se aproxima a −∞
cuando 𝑥 se aproxima a 2 por la
izquierda”
lim
𝑥→2−
(
1
𝑥 − 2
) = −∞
“El límite de
1
𝑥−2
se aproxima a ∞
cuando 𝑥 se aproxima a 2 por la
derecha”
lim
𝑥→2+
(
1
𝑥 − 2
) = +∞
Por lo tanto, el límite NO existe.
Se debe aclarar que ∞ es una cantidad inmensamente grande, así como él −∞ es una
cantidadinmensamente grande ynegativa. También se dice cantidad inconmensurable.
4) Sea 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+2
. ¿Cuál es el límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de –2 ?
Evaluamos:
Elaboramos la tabla de valores:
A continuación, mostramos el gráfico y su interpretación.
5) Sea 𝑓(𝑥) = {
𝑥2+𝑥−12
𝑥−3
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
2, 𝑠𝑖 𝑥 = 3
. ¿Cuál es el límite de ℎ(𝑥)cuando 𝑥 está cerca de 3?
Evaluamos:
Elaboramos la tabla de valores:
A continuación, mostramos el gráfico y su interpretación.
Tabla de valores
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 3
f(x)=2x+1 3 4 4,8 4,98 4,998 4,9998 5 5,0002 5,002 5,02 5,2 6 7
acercamiento por la derecha
acercamiento por la izquierda
Tabla de valores
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 3
-1 -2 -10 -100 -1000 -10000 10000 1000 100 10 2 1
acercamiento por la izquierda acercamiento por la derecha
h 𝑥 =
1
𝑥−2 −∞ +∞

2. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Definiciónformal de límite.
Sea 𝑓 una función definida encada númerode algún intervaloabiertoque contiene a 𝑎,
excepto posiblemente enel número𝑎 mismo. El límite de 𝒇(𝒙) conforme 𝒙 se aproxima
a 𝒂 es 𝑳, lo que se escribe como
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si la proposición es verdadera, se tiene que para cualquier 𝜀 > 0, no importa cuán
pequeña sea, existe un 𝛿 > 0 tal que
𝑠𝑖 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Gráficamente:
Teoremas de límites.
Si 𝐿,𝑀,𝑎 y𝑘 son números reales, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces tenemos:
1. Límite de una función constante.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑘 es una constante, entonces para
cualquier número 𝑎 tenemos
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
2. Límite de la función identidad.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 es la identidad, entoncespara cualquier
número 𝑎 tenemos
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
3. Límite de una constante por una función. - Se define como
lim
𝑥→𝑎
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿
4. Límite de la suma de funciones. - Se define como
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀
5. Límite de la diferencia de funciones. - Se define como
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 − 𝑀
6. Límite del producto de funciones. - Se define como
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
7. Límite del cociente de funciones. - Se define como
lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀 ≠ 0
8. Límite de la n-esima potencia de una función.- Se cumple si 𝒏 es cualquier número
entero positivo, lo que se define como
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛
= [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
= 𝐿𝑛
9. Límite de la raíz n-esima de una función.- Se cumple si 𝒏 es cualquier número entero
positivo, lo que se define como
lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑛
= 𝐿1/𝑛
, 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝒏 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟,𝑳 > 0
Ejercicios:
Aplique los teoremas límites y evalúe:
1) lim
𝑥→3
10 = 4) lim
𝑥→2
[
𝑥
−7𝑥+1
] =
2) lim
𝑥→−1
(10𝑥 − 1) = 5) lim
𝑥→1
[(5𝑥 − 7)]3
=
3) lim
𝑥→4
[𝑥(2𝑥 + 1)] = 6) lim
𝑥→−2
√4𝑥2
− 3 =

3. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Tarea en casa.
Preguntas planteadas.
Parte 1. Definición geométrica de límite
1) Sea 𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
−1, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
. ¿Cuál es el límite 𝑓(𝑥)cuando 𝑥 está cerca de 0?
2) Sea 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2. ¿Cuál es el límite 𝑔(𝑥)cuando 𝑥 tiende a 0?
3) Sea ℎ(𝑥) =
1
𝑥+1
. ¿Cuál es el límite 𝑔(𝑥)cuando 𝑥 tiende a −1?
Parte 2. Evaluación de límites
1) lim
𝑥→−2
[
2𝑥
−7𝑥−3
]=
2) lim
𝑥→−1
[(2𝑥 − 3)]3
=
3) lim
𝑥→−2
√𝑥2
− 2𝑥 =