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CONCEPTO DE CORRIENTE ALTERNA
La corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente
en un conductor. como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la tensión aplicada
en los extremos de dicho conductor.
La variación de la tensión con el tiempo puede tener diferentes formas: senoidal (la forma
fundamental y mas frecuente en casi todas las aplicaciones de electrotecnia); triangular;
cuadrada; trapezoidal; etc..si bien estas otras formas de onda no senoidales son mas
frecuentes en aplicaciones electrónicas.
Las formasde ondano senoidales pueden descomponerse por desarrollo en serie de Fourier
en suma de ondas senoidales (onda fundamental y armónicos), permitiendo así el estudio
matemático y la de sus circuitos asociados.
Corriente alterna senoidal
VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA
La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de la
energía eléctrica, respecto a la corriente continua:
 1-Generadores y motores mas baratos y eficientes, y menos complejos
 2-Posibilidadde transformarsutensiónde manera simple y barata (transformadores)
 3-Posibilidad de transporte de grandes cantidades de energía a largas distancias con
un mínimo de sección de conductores ( a alta tensión)
 4-Posibilidadde motoresmuysimples,(comoel motorde inducciónasíncronode rotor
en cortocircuito)
 5-Desaparición o minimización de algunos fenómenos eléctricos indeseables
(magnetizaciónenlasmaquinas,ypolarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares
metálicos)
La corriente continua, presenta la ventaja de poderse acumular directamente, y para
pequeños sistemas eléctricos aislados de baja tensión, (automóviles) aun se usa (Aunque
incluso estos acumuladores se cargan por alternadores)
Actualmente es barato convertir la corriente alterna en continua (rectificación) para los
receptores que usen esta ultima (todos los circuitos electrónicos).
A CORRIENTE ALTERNA (C.A.)
Además de la existencia de fuentes de FEM de corriente directa o continua (C.D.) (como la que
suministran las pilas o las baterías, cuya tensión o voltaje mantiene siempre su polaridad fija), se
generatambiénotrotipode corriente denominadaalterna(C.A.),que se diferenciade la directa por el
cambio constante de polaridad que efectúa por cada ciclo de tiempo.
Una pila o batería constituye una fuente de suministro de corriente
directa, porque su polaridad se mantiene siempre fija.
La característica principal de una corriente alterna es que durante un instante de tiempo un polo es
negativo y el otro positivo, mientras que en el instante siguiente las polaridades se invierten tantas
veces como ciclos por segundo o hertz posea esa corriente. No obstante, aunque se produzca un
constante cambio de polaridad, la corriente siempre fluirá del polo negativo al positivo, tal como
ocurre en las fuentes de FEM que suministran corriente directa.
Veamos un ejemplo práctico que ayudará a comprender mejor el concepto de corriente alterna:
Ventajas de la Corriente Alterna sobre la Continua
- Facilidad de interrupción de la corriente
- Facilidad de transformación, para adaptar el nivel de tensión
Ventajas de la Corriente Continua respecto la Alterna
•Se puede almacenar en baterías
•Mucho menos peligrosa que la corriente alterna
Los númeroscomplejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo
algebraicamentecerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa
como , siendo el conjunto de los reales se cumple que ( estácontenido en ). Los
números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Todo número complejopuede representarse como la suma de un número real y un número
imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o
en forma polar.
Los númeroscomplejossonlaherramientade trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas
de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números
complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y eningeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y lacorriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como
puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
elteorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
solucionescomplejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos
reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
Operaciones con números complejos
Objetivos de aprendizaje
· Sumar números complejos.
· Restar números complejos.
· Multiplicar números complejos.
· Encontrar conjugados de números complejos.
· Dividir números complejos.
Introducción
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es,
“¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a
restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los
términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera
similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del
mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no
hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un
radical,aplicanlasmismasreglaspara sumary restar númeroscomplejos.Combinaslaspartes
imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.
Ejemplo
Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i =
−3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas
para juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y
3i – 2i = (3 – 2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos
semejantes.
Ejemplo
Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir el
signo de resta a todos los
términos del sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomodalassumas para
juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los términos
semejantes.
Restar. (5 + 3i) – (3 – i)
A) 2 + 4i
B) 6
C) 2 + 2i
D) 8 + 2i
Mostrar/Ocultar Respuesta
Multiplicando números complejos
De nuevo,consideralasiguienteexpresión.Antesde seguirleyendo,piensaencómola podrías
simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x)
= −15x2
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero
hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.
(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
Hasta ahora todo va bien, pero el i2
se puede simplificar más.
Cuandomultiplicasunaraízcuadrada por sí misma,obtienesel númerodentrodel radical. Esto
es lo que significa una raíz cuadrada.
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2
es reemplazar i2
con −1.
(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
= −15(−1)
= 15
Ejemplo
Problema Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los coeficientes
dei y luegomultiplicai por i.
6i2
= 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2
con –1.
Multiplica.
Respuesta (3i)(2i) = −6
¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de
nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.
Multiplica y simplifica. (3i)( −i)
A) 3
B) −3
C) 3i
D) −3i2
Mostrar/Ocultar Respuesta
Usando la propiedad distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto
significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que
multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad
distributivade lamultiplicación.) Unavezque losbinomioshansidomultiplicados,simplifica la
expresión combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
= 24x2
+ 12x + 32x + 16
= 24x2
+ 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas
simplificar i2
.
Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están multiplicando dos
binomios, por lo que necesitas la
Propiedad Distributiva de la
Multiplicación.
Podríamos usar FOIL e ir
directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
24 + 44i + 16i2
Combinalostérminossemejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2
con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente
ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!
Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el
producto.
36 – 64i2
Combinalostérminossemejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2
con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100
Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i sonconjugados. (De nuevo, i es
una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son
complejos,los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que
son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los
términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es
0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de
dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).
Multiplicar. (9 + i)(9 – i)
A) 82 + 18i
B) 80 – 18i
C) 80
D) 82
Mostrar/Ocultar Respuesta
División de números complejos
Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que
con expresionesradicales.Estonodeberíasorprenderte,el número i es el radical, después de
todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!
Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la
situación cuando el divisor es un monomio.
Ejemplo
Problema Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la divisióncomouna
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene
denominador, no es
necesario seguir
simplificando.
Ejemplo
Problema Simplifica. 32i ÷ 6i
Trata a la divisióncomo una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador. Observa que
en este caso, i es parte del
factor común.
Respuesta
32i ÷ 6i =
La fracción quede en su
forma simple.
Ejemplo
Problema Simplifica. 56 ÷ −7i
Trata a la división como una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
En este caso, el
denominador todavía tiene
el término i. Como i es un
radical, debes seguir
simplificando para
racionalizarel denominador.
Como el denominador es
sólo un término, no
necesitas pensar en
conjugados complejos. Sólo
multiplica por 1 en la
forma y simplifica.
(Recuerda, el producto de
dos números imaginarios es
real, por lo que el
denominador es real.)
Respuesta 56 ÷ −7i = 8i
Simplifica. 12 ÷ 10i
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Cuandoel divisor(estoes, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes
real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado
complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo
siempre esunnúmeroreal,porloque el denominadorseráunnúmero real. Esto significa que
el resultado será equivalente, pero racionalizado.
Ejemplo
Problem
a
Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)
Trata la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor común que
tengan el
numerador y el
denominador, si
existe.
Ten cuidado de
usar la propiedad
distributiva, los
númerosdebenser
un factor
de todoslos
términos.
En este caso, el
denominador aún
tiene el término i.
Para racionalizar el
denominador,
multiplica por el
conjugado
complejo del
denominador. En
este caso, el
conjugado
complejo es (7 –
5i).
(En los conjugados
complejos, las
partes reales son
iguales y las partes
imaginarias son
inversos aditivos.)
Expande el
numerador y el
denominador.
Recuerda, el
denominadordebe
ser un número real
(sin el término i) si
escoges el
conjugado
complejo correcto
y realizas la
multiplicación
correctamente.
Reemplaza i2
con
−1 y
simplifica.¡Asegúra
te de remplazar
i2
en el numerador
y en el
denominador!
El cociente puede
escribirse en la
forma a + biusando
fracciones
para a y b.
Siempre
comprueba el
producto final para
ver si se puede
simplificar más. En
este caso, ambas
fracciones pueden
simplificarse.
Respuest
a (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =
Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i)
A)
B) 2 – 2i
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Operaciones con números complejos
Para sumar o restar, combinar términos semejantes.
Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números
imaginarios i. Si aparece i2
, reemplazar con −1.
Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.
Para dividir, tratar el cociente como una fracción.
· Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es necesario.
· Reemplazar i2
por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.
· Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación
de a yb cuando son fracciones.
Sumario
Los númeroscomplejosse puedensumar,restar,multiplicarydividir usando las mismas ideas
que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar
reemplazar i2
con −1 y continuar simplificando.
Representacióngráfica de números complejos
Podemosrepresentarunnúmerocomplejoenunsistemacartesiano,haciendocoincidirel eje
x (horizontal)conlaparte real del númerocomplejoyel eje y(vertical) conlaparte imaginaria.
En dichocaso el planorecibe el nombre de “planocomplejo”o“diagramade Argand”.
El valorabsolutode unnúmerocomplejo eneste casonosda la distanciaentre el origendel
sistema(el númerocomplejo0+ 0i) y el númerocomplejoencuestión.
Ejemplo:
z=2+3i

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Concepto de corriente alterna

  • 1. CONCEPTO DE CORRIENTE ALTERNA La corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente en un conductor. como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la tensión aplicada en los extremos de dicho conductor. La variación de la tensión con el tiempo puede tener diferentes formas: senoidal (la forma fundamental y mas frecuente en casi todas las aplicaciones de electrotecnia); triangular; cuadrada; trapezoidal; etc..si bien estas otras formas de onda no senoidales son mas frecuentes en aplicaciones electrónicas. Las formasde ondano senoidales pueden descomponerse por desarrollo en serie de Fourier en suma de ondas senoidales (onda fundamental y armónicos), permitiendo así el estudio matemático y la de sus circuitos asociados. Corriente alterna senoidal VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de la energía eléctrica, respecto a la corriente continua:  1-Generadores y motores mas baratos y eficientes, y menos complejos  2-Posibilidadde transformarsutensiónde manera simple y barata (transformadores)  3-Posibilidad de transporte de grandes cantidades de energía a largas distancias con un mínimo de sección de conductores ( a alta tensión)  4-Posibilidadde motoresmuysimples,(comoel motorde inducciónasíncronode rotor en cortocircuito)  5-Desaparición o minimización de algunos fenómenos eléctricos indeseables (magnetizaciónenlasmaquinas,ypolarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares metálicos)
  • 2. La corriente continua, presenta la ventaja de poderse acumular directamente, y para pequeños sistemas eléctricos aislados de baja tensión, (automóviles) aun se usa (Aunque incluso estos acumuladores se cargan por alternadores) Actualmente es barato convertir la corriente alterna en continua (rectificación) para los receptores que usen esta ultima (todos los circuitos electrónicos). A CORRIENTE ALTERNA (C.A.) Además de la existencia de fuentes de FEM de corriente directa o continua (C.D.) (como la que suministran las pilas o las baterías, cuya tensión o voltaje mantiene siempre su polaridad fija), se generatambiénotrotipode corriente denominadaalterna(C.A.),que se diferenciade la directa por el cambio constante de polaridad que efectúa por cada ciclo de tiempo. Una pila o batería constituye una fuente de suministro de corriente directa, porque su polaridad se mantiene siempre fija. La característica principal de una corriente alterna es que durante un instante de tiempo un polo es negativo y el otro positivo, mientras que en el instante siguiente las polaridades se invierten tantas veces como ciclos por segundo o hertz posea esa corriente. No obstante, aunque se produzca un constante cambio de polaridad, la corriente siempre fluirá del polo negativo al positivo, tal como ocurre en las fuentes de FEM que suministran corriente directa. Veamos un ejemplo práctico que ayudará a comprender mejor el concepto de corriente alterna:
  • 3. Ventajas de la Corriente Alterna sobre la Continua - Facilidad de interrupción de la corriente - Facilidad de transformación, para adaptar el nivel de tensión Ventajas de la Corriente Continua respecto la Alterna •Se puede almacenar en baterías •Mucho menos peligrosa que la corriente alterna Los númeroscomplejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamentecerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que ( estácontenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejopuede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. Los númeroscomplejossonlaherramientade trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y eningeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y lacorriente eléctrica. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es elteorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n solucionescomplejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1 Operaciones con números complejos Objetivos de aprendizaje · Sumar números complejos. · Restar números complejos. · Multiplicar números complejos. · Encontrar conjugados de números complejos. · Dividir números complejos.
  • 4. Introducción Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Sumando y restando números complejos Primero, considera la siguiente expresión. (6x + 8) + (4x + 2) Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables. (6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10 De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales. Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente. El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical,aplicanlasmismasreglaspara sumary restar númeroscomplejos.Combinaslaspartes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.
  • 5. Ejemplo Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i) −3 + 3i + 7 – 2i = −3 + 7 + 3i – 2i Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes. Respuesta −3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i (−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i Combina los términos semejantes. Ejemplo Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i) (−3 + 3i) – (7 – 2i) = −3 + 3i – 7 + 2i Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo. −3 – 7 + 3i + 2i Reacomodalassumas para juntar los términos semejantes. Respuesta −3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i (−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i Combina los términos semejantes. Restar. (5 + 3i) – (3 – i)
  • 6. A) 2 + 4i B) 6 C) 2 + 2i D) 8 + 2i Mostrar/Ocultar Respuesta Multiplicando números complejos De nuevo,consideralasiguienteexpresión.Antesde seguirleyendo,piensaencómola podrías simplificar. (5x)(−3x) Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables. (5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x) = −15x2 Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.
  • 7. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más. Cuandomultiplicasunaraízcuadrada por sí misma,obtienesel númerodentrodel radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada. Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a . Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 = −15(−1) = 15
  • 8. Ejemplo Problema Multiplica. (3i)(2i) (3i)(2i) = (3)(2)(i)(i) = 6i2 Multiplica los coeficientes dei y luegomultiplicai por i. 6i2 = 6(−1) 6(−1) = −6 Reemplaza i2 con –1. Multiplica. Respuesta (3i)(2i) = −6 ¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de nuevo cuando multipliquemos dos números complejos. Multiplica y simplifica. (3i)( −i) A) 3 B) −3 C) 3i D) −3i2 Mostrar/Ocultar Respuesta
  • 9. Usando la propiedad distributiva La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad distributivade lamultiplicación.) Unavezque losbinomioshansidomultiplicados,simplifica la expresión combinando los términos semejantes. (6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2) = 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2) = 24x2 + 12x + 32x + 16 = 24x2 + 44x + 16 De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i2 . Ejemplo Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i) (6 + 8i)(4 + 2i) 6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i) 6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) 24 + 12i + 32i + 16i2 Se están multiplicando dos binomios, por lo que necesitas la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.
  • 10. Podríamos usar FOIL e ir directamente a 6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) . 24 + 44i + 16i2 Combinalostérminossemejantes. 24 + 44i + 16(-1) 24 + 44i – 16 8 + 44i Reemplaza i2 con −1 y simplifica. Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué! Ejemplo Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i) (6 + 8i)(6 – 8i) 6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i) 36 – 48i + 48i – 64i2 Usa FOIL para expandir el producto. 36 – 64i2 Combinalostérminossemejantes. 36 – 64(−1) 36 + 64 100 Reemplaza i2 con −1 y simplifica. Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100
  • 11. Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i sonconjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos,los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo). Multiplicar. (9 + i)(9 – i) A) 82 + 18i B) 80 – 18i C) 80 D) 82 Mostrar/Ocultar Respuesta División de números complejos Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresionesradicales.Estonodeberíasorprenderte,el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!
  • 12. Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio. Ejemplo Problema Simplifica. −24i ÷ 6 Trata a la divisióncomouna fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene denominador, no es necesario seguir simplificando. Ejemplo Problema Simplifica. 32i ÷ 6i Trata a la divisióncomo una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. Observa que en este caso, i es parte del factor común. Respuesta 32i ÷ 6i = La fracción quede en su forma simple.
  • 13. Ejemplo Problema Simplifica. 56 ÷ −7i Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. En este caso, el denominador todavía tiene el término i. Como i es un radical, debes seguir simplificando para racionalizarel denominador. Como el denominador es sólo un término, no necesitas pensar en conjugados complejos. Sólo multiplica por 1 en la forma y simplifica. (Recuerda, el producto de dos números imaginarios es real, por lo que el denominador es real.) Respuesta 56 ÷ −7i = 8i Simplifica. 12 ÷ 10i
  • 14. A) B) C) D) Mostrar/Ocultar Respuesta Cuandoel divisor(estoes, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre esunnúmeroreal,porloque el denominadorseráunnúmero real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado. Ejemplo Problem a Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)
  • 15. Trata la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor común que tengan el numerador y el denominador, si existe. Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los númerosdebenser un factor de todoslos términos. En este caso, el denominador aún tiene el término i. Para racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado complejo del denominador. En este caso, el conjugado complejo es (7 – 5i). (En los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.)
  • 16. Expande el numerador y el denominador. Recuerda, el denominadordebe ser un número real (sin el término i) si escoges el conjugado complejo correcto y realizas la multiplicación correctamente. Reemplaza i2 con −1 y simplifica.¡Asegúra te de remplazar i2 en el numerador y en el denominador! El cociente puede escribirse en la forma a + biusando fracciones para a y b. Siempre comprueba el producto final para ver si se puede simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse. Respuest a (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =
  • 17. Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i) A) B) 2 – 2i C) D) Mostrar/Ocultar Respuesta Operaciones con números complejos Para sumar o restar, combinar términos semejantes. Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números imaginarios i. Si aparece i2 , reemplazar con −1. Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.
  • 18. Para dividir, tratar el cociente como una fracción. · Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es necesario. · Reemplazar i2 por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario. · Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación de a yb cuando son fracciones. Sumario Los númeroscomplejosse puedensumar,restar,multiplicarydividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar reemplazar i2 con −1 y continuar simplificando. Representacióngráfica de números complejos Podemosrepresentarunnúmerocomplejoenunsistemacartesiano,haciendocoincidirel eje x (horizontal)conlaparte real del númerocomplejoyel eje y(vertical) conlaparte imaginaria. En dichocaso el planorecibe el nombre de “planocomplejo”o“diagramade Argand”.
  • 19. El valorabsolutode unnúmerocomplejo eneste casonosda la distanciaentre el origendel sistema(el númerocomplejo0+ 0i) y el númerocomplejoencuestión. Ejemplo: z=2+3i