El documento describe la corriente alterna y sus características principales. La corriente alterna es aquella cuya intensidad cambia periódicamente de dirección debido a los cambios periódicos de polaridad de la tensión aplicada. Puede tener diferentes formas de onda como senoidal, triangular o cuadrada. La forma senoidal es la más común. Las corrientes alternas senoidales tienen ventajas para la generación y transmisión de energía eléctrica.

1. CONCEPTO DE CORRIENTE ALTERNA
La corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente
en un conductor. como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la tensión aplicada
en los extremos de dicho conductor.
La variación de la tensión con el tiempo puede tener diferentes formas: senoidal (la forma
fundamental y mas frecuente en casi todas las aplicaciones de electrotecnia); triangular;
cuadrada; trapezoidal; etc..si bien estas otras formas de onda no senoidales son mas
frecuentes en aplicaciones electrónicas.
Las formasde ondano senoidales pueden descomponerse por desarrollo en serie de Fourier
en suma de ondas senoidales (onda fundamental y armónicos), permitiendo así el estudio
matemático y la de sus circuitos asociados.
Corriente alterna senoidal
VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA
La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de la
energía eléctrica, respecto a la corriente continua:
 1-Generadores y motores mas baratos y eficientes, y menos complejos
 2-Posibilidadde transformarsutensiónde manera simple y barata (transformadores)
 3-Posibilidad de transporte de grandes cantidades de energía a largas distancias con
un mínimo de sección de conductores ( a alta tensión)
 4-Posibilidadde motoresmuysimples,(comoel motorde inducciónasíncronode rotor
en cortocircuito)
 5-Desaparición o minimización de algunos fenómenos eléctricos indeseables
(magnetizaciónenlasmaquinas,ypolarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares
metálicos)

2. La corriente continua, presenta la ventaja de poderse acumular directamente, y para
pequeños sistemas eléctricos aislados de baja tensión, (automóviles) aun se usa (Aunque
incluso estos acumuladores se cargan por alternadores)
Actualmente es barato convertir la corriente alterna en continua (rectificación) para los
receptores que usen esta ultima (todos los circuitos electrónicos).
A CORRIENTE ALTERNA (C.A.)
Además de la existencia de fuentes de FEM de corriente directa o continua (C.D.) (como la que
suministran las pilas o las baterías, cuya tensión o voltaje mantiene siempre su polaridad fija), se
generatambiénotrotipode corriente denominadaalterna(C.A.),que se diferenciade la directa por el
cambio constante de polaridad que efectúa por cada ciclo de tiempo.
Una pila o batería constituye una fuente de suministro de corriente
directa, porque su polaridad se mantiene siempre fija.
La característica principal de una corriente alterna es que durante un instante de tiempo un polo es
negativo y el otro positivo, mientras que en el instante siguiente las polaridades se invierten tantas
veces como ciclos por segundo o hertz posea esa corriente. No obstante, aunque se produzca un
constante cambio de polaridad, la corriente siempre fluirá del polo negativo al positivo, tal como
ocurre en las fuentes de FEM que suministran corriente directa.
Veamos un ejemplo práctico que ayudará a comprender mejor el concepto de corriente alterna:

3. Ventajas de la Corriente Alterna sobre la Continua
- Facilidad de interrupción de la corriente
- Facilidad de transformación, para adaptar el nivel de tensión
Ventajas de la Corriente Continua respecto la Alterna
•Se puede almacenar en baterías
•Mucho menos peligrosa que la corriente alterna
Los númeroscomplejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo
algebraicamentecerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa
como , siendo el conjunto de los reales se cumple que ( estácontenido en ). Los
números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Todo número complejopuede representarse como la suma de un número real y un número
imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o
en forma polar.
Los númeroscomplejossonlaherramientade trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas
de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números
complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y eningeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y lacorriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como
puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
elteorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
solucionescomplejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos
reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
Operaciones con números complejos
Objetivos de aprendizaje
· Sumar números complejos.
· Restar números complejos.
· Multiplicar números complejos.
· Encontrar conjugados de números complejos.
· Dividir números complejos.

4. Introducción
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es,
“¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a
restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los
términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera
similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del
mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no
hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un
radical,aplicanlasmismasreglaspara sumary restar númeroscomplejos.Combinaslaspartes
imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.

5. Ejemplo
Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i =
−3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas
para juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y
3i – 2i = (3 – 2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos
semejantes.
Ejemplo
Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir el
signo de resta a todos los
términos del sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomodalassumas para
juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los términos
semejantes.
Restar. (5 + 3i) – (3 – i)

6. A) 2 + 4i
B) 6
C) 2 + 2i
D) 8 + 2i
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Multiplicando números complejos
De nuevo,consideralasiguienteexpresión.Antesde seguirleyendo,piensaencómola podrías
simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x)
= −15x2
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero
hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.

7. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
Hasta ahora todo va bien, pero el i2
se puede simplificar más.
Cuandomultiplicasunaraízcuadrada por sí misma,obtienesel númerodentrodel radical. Esto
es lo que significa una raíz cuadrada.
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2
es reemplazar i2
con −1.
(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
= −15(−1)
= 15

8. Ejemplo
Problema Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los coeficientes
dei y luegomultiplicai por i.
6i2
= 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2
con –1.
Multiplica.
Respuesta (3i)(2i) = −6
¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de
nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.
Multiplica y simplifica. (3i)( −i)
A) 3
B) −3
C) 3i
D) −3i2
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9. Usando la propiedad distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto
significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que
multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad
distributivade lamultiplicación.) Unavezque losbinomioshansidomultiplicados,simplifica la
expresión combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
= 24x2
+ 12x + 32x + 16
= 24x2
+ 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas
simplificar i2
.
Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están multiplicando dos
binomios, por lo que necesitas la
Propiedad Distributiva de la
Multiplicación.

10. Podríamos usar FOIL e ir
directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
24 + 44i + 16i2
Combinalostérminossemejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2
con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente
ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!
Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el
producto.
36 – 64i2
Combinalostérminossemejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2
con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100

11. Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i sonconjugados. (De nuevo, i es
una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son
complejos,los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que
son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los
términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es
0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de
dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).
Multiplicar. (9 + i)(9 – i)
A) 82 + 18i
B) 80 – 18i
C) 80
D) 82
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División de números complejos
Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que
con expresionesradicales.Estonodeberíasorprenderte,el número i es el radical, después de
todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!

12. Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la
situación cuando el divisor es un monomio.
Ejemplo
Problema Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la divisióncomouna
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene
denominador, no es
necesario seguir
simplificando.
Ejemplo
Problema Simplifica. 32i ÷ 6i
Trata a la divisióncomo una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador. Observa que
en este caso, i es parte del
factor común.
Respuesta
32i ÷ 6i =
La fracción quede en su
forma simple.

13. Ejemplo
Problema Simplifica. 56 ÷ −7i
Trata a la división como una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
En este caso, el
denominador todavía tiene
el término i. Como i es un
radical, debes seguir
simplificando para
racionalizarel denominador.
Como el denominador es
sólo un término, no
necesitas pensar en
conjugados complejos. Sólo
multiplica por 1 en la
forma y simplifica.
(Recuerda, el producto de
dos números imaginarios es
real, por lo que el
denominador es real.)
Respuesta 56 ÷ −7i = 8i
Simplifica. 12 ÷ 10i

14. A)
B)
C)
D)
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Cuandoel divisor(estoes, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes
real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado
complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo
siempre esunnúmeroreal,porloque el denominadorseráunnúmero real. Esto significa que
el resultado será equivalente, pero racionalizado.
Ejemplo
Problem
a
Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)

15. Trata la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor común que
tengan el
numerador y el
denominador, si
existe.
Ten cuidado de
usar la propiedad
distributiva, los
númerosdebenser
un factor
de todoslos
términos.
En este caso, el
denominador aún
tiene el término i.
Para racionalizar el
denominador,
multiplica por el
conjugado
complejo del
denominador. En
este caso, el
conjugado
complejo es (7 –
5i).
(En los conjugados
complejos, las
partes reales son
iguales y las partes
imaginarias son
inversos aditivos.)

16. Expande el
numerador y el
denominador.
Recuerda, el
denominadordebe
ser un número real
(sin el término i) si
escoges el
conjugado
complejo correcto
y realizas la
multiplicación
correctamente.
Reemplaza i2
con
−1 y
simplifica.¡Asegúra
te de remplazar
i2
en el numerador
y en el
denominador!
El cociente puede
escribirse en la
forma a + biusando
fracciones
para a y b.
Siempre
comprueba el
producto final para
ver si se puede
simplificar más. En
este caso, ambas
fracciones pueden
simplificarse.
Respuest
a (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =

17. Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i)
A)
B) 2 – 2i
C)
D)
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Operaciones con números complejos
Para sumar o restar, combinar términos semejantes.
Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números
imaginarios i. Si aparece i2
, reemplazar con −1.
Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.

18. Para dividir, tratar el cociente como una fracción.
· Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es necesario.
· Reemplazar i2
por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.
· Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación
de a yb cuando son fracciones.
Sumario
Los númeroscomplejosse puedensumar,restar,multiplicarydividir usando las mismas ideas
que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar
reemplazar i2
con −1 y continuar simplificando.
Representacióngráfica de números complejos
Podemosrepresentarunnúmerocomplejoenunsistemacartesiano,haciendocoincidirel eje
x (horizontal)conlaparte real del númerocomplejoyel eje y(vertical) conlaparte imaginaria.
En dichocaso el planorecibe el nombre de “planocomplejo”o“diagramade Argand”.

19. El valorabsolutode unnúmerocomplejo eneste casonosda la distanciaentre el origendel
sistema(el númerocomplejo0+ 0i) y el númerocomplejoencuestión.
Ejemplo:
z=2+3i