El documento presenta el sistema de coordenadas polares. Se define el polo u origen O y el eje polar, y se explica cómo cada par ordenado (r, θ) corresponde a un punto P en el plano. Se dan las fórmulas para convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Finalmente, se describe cómo graficar ecuaciones polares y los criterios de simetría en este sistema de coordenadas.

1. El sistema de coordenadas polares
Presentamos el sistema de coordenadas polares. Para esto, fijamos un punto del plano que
lo denotaremos con O y lo llamaremos polo u origen. Partiendo de O construimos un rayo
(semirrecta) al que llamaremos eje polar. Es usual tomar este rayo horizontalmente,
coincidente con semieje positivo de las abscisas, del sistema cartesiano. A cada par
ordenado de números reales (r, Ѳ) asociamos un único punto P del plano, del modo
siguiente: construimos el rayo del plano que partiendo de O forman un ángulo Ѳ (en
radianes) con el eje polar como lado inicial. Para construir este rayo nos movemos en
sentido contrario a las agujas del reloj si Ѳ es positivo, y en el sentido de las agujas si Ѳ es
negativo. Consideramos tres casos:
1. Si r>0, P es el punto que esta sobre el lado terminal del ángulo Ѳ a una distancia
igual a r del polo.
2. Si r<0, P es el punto que está en el rayo opuesto al lado terminal del ángulo y que
está a una distancia igual | 𝑟| = −𝑟 del polo.
3. Si r=0, P es el polo, o sea P=0
Esta correspondencia entre el par ordenado (r, Ѳ) y con el punto P la denotaremos
así P(r, Ѳ), y diremos que r y Ѳ son coordenadas polares de P.
Conversión de coordenadas
El siguiente teorema nos da las fórmulas que nos permiten cambiar coordenadas
polares a rectangulares y viceversa.
Teorema: si las coordenadas polares y rectangulares de un punto son (r, Ѳ) y (x, y),
entonces
1. 𝑥 = 𝑟cos Ѳ
2. 𝑦 = 𝑟 sin Ѳ
3. 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
4. tan Ѳ =
𝑦
𝑥
Gráficos de Ecuaciones Polares
El grafico de una ecuación polar F(r, Ѳ)=0 está conformado por todos los
puntos P del plano que tienen al menos una representación polar (r, Ѳ) que
satisface la ecuación. Una parte muy importante de ecuaciones la
constituyen las funciones
𝑟 = 𝑓(Ѳ)

2. Teniendo en cuenta que las coordenadas (r, Ѳ) y ((−1) 𝑛
𝑟, Ѳ+nπ)
representan al mismo punto, la gráfica de r=f (Ѳ) es la misma que la de:
(−1) 𝑛
𝑟 = 𝑓(Ѳ + 𝑛𝜋), 𝑛 ∈ ℤ
Recordemos que, en coordenadas rectangulares, si c>0, la gráfica de y=f(x-c)
se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades a la derecha, y la
gráfica de y=f(x+c) se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades
a la izquierda. Este criterio, en términos de coordenadas polares dice:
Si α>0, entonces para obtener la gráfica de:
1. 𝑟 = 𝑓(Ѳ − 𝛼) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en
sentido anti horario.
2. 𝑟 = 𝑓(Ѳ + 𝛼) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en
sentido horario.
Criterios de simetría en coordenadas polares
El grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al
1. Eje polar si al reemplazar (r, Ѳ) por (-r,-Ѳ) o (r, π-Ѳ) en la ecuación se
obtiene, una ecuación equivalente.
2. Eje
𝜋
2
si al reemplazar (r,Ѳ) por (r, π-Ѳ) o (-r, -Ѳ)