Este examen de álgebra lineal cubre 5 temas: 1) definiciones de conceptos básicos como conjuntos generadores y espacios isomorfos, 2) subespacios de un espacio vectorial y sus bases, 3) cambio de bases y matrices de transición, 4) transformaciones lineales y sus núcleos, y 5) sistemas de ecuaciones lineales, valores y vectores propios, y diagonalización de matrices. El examen evalúa la comprensión de estos conceptos fundamentales de álgebra lineal a través de preguntas teóricas

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
TERCERA EVALUACIÓN DE ALGEBRA LINEAL PARA AUDITORÍA
16 de febrero del 2012
Nombre: _____________________________________________________
Paralelo:_______
TEMA 1 (20 puntos)
a) Defina: (10 puntos)
i) Conjunto generador
ii) Espacio fila de una matriz
iii) Espacios isomorfos
iv) Recorrido de una transformación lineal
v) Matrices semejantes

2. b) Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes-
Justifique formalmente su respuesta.
i) Sea WVT : una transformación lineal. Si  ( ) 0vNu T  ,
entonces T es un isomorfismo.
ii) Dada una base ordenada B del espacio vectorial V, entonces las
coordenadas de cualquier vector de V con respecto a la base B son únicas

3. TEMA 2 (20 puntos)
Sea 2V P . Considere los subespacios:
   2
2/ 2 0; , , ( ) / (0) (1)H ax bx c a b c a b c W p x P p p         
Determine:
a) Una base y la dimensión de WH 
b) Si WH  es un subespacio de V
c) Una base y la dimensión de WH 
d) El subespacio WH 

4. TEMA 3 (20 puntos)
Considere el espacio vectorial 3
R y sea  3211 ,, uuuB  una base de 3
R y el conjunto
 3212 ,, vvvB  donde:
1 1 2 2 2 3 3 1 2 3; ;v u u v u u v u u u      
a) Determine la matriz de transición (de cambio de base) de 2B a 1B
b) Si    1
1,1, 1B
w  , determine   2B
w las coordenadas del vector w con respecto a la
base 2B

5. TEMA 4 (20 puntos)
Sea





















 0/3
zyx
z
y
x
H un subespacio vectorial de 3
 .
a) Construya una transformación lineal 2
3
PendeT  tal que:
1
1
0
0
,2
0
1
1
,)( 2






















 
xTxTHTNu
b) Determine











2
1
1
T

6. TEMA 5 (20 puntos)
Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:
2 1
3 2 0
2
x
x y z
x z


  
   
Determine:
a) Los valores propios de A.
b) Los espacios asociados a los valores propios de A.
c) Si A es diagonalizable, la matriz D y la matriz C.