Este documento presenta 12 temas sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Cada tema contiene una o más preguntas sobre cómo construir transformaciones lineales que satisfagan ciertas propiedades, encontrar reglas de correspondencia, bases de núcleos e imágenes, y representaciones matriciales respecto a bases dadas. El documento proporciona las herramientas necesarias para analizar y construir transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita.

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 13: Construcción de Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita tal que  dim 3V  . Entonces es posible construir una
transformación lineal :T V W tal que   1v T  y el   3T 
b) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Si la    dim dimV W , entonces existe una
transformación lineal :T V W tal que  det 0TA  siendo TA la matriz asociada a T
c) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que   0v T  y el    dimT W 
d) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que    dimT W 
e) Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W tal que    dimv T V
f) Es posible construir una transformación lineal inyectiva 2 2 2: xT P S tal que 2 2Im( ) xT D
g) Existe una transformación lineal
3
1:T P R que es sobreyectiva
Tema 2
Sea
2
1:T P R una transformación lineal tal que:
 
1
2
5
T x
 
   
 
 
2
1 3
7
T x
 
   
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 3
Sea
2
2:T R P una transformación lineal tal que:
22
1
1
T x x
 
   
 
23
2 4
1
T x x
 
   
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 4
Sea
33
: RRT  una transformación lineal, tal que:





















2
0
1
1
1
1
T





















1
1
0
1
0
1
T





















1
0
1
1
1
0
T
Encuentre la regla de correspondencia de T

2. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea
2
1:T P R una transformación lineal tal que:
 
4
5 2
1
T x
 
   
 
 
1
8 3
7
T x
 
   
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 6
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2:T P R tal que:
 2
2
1 0
1
T x x
 
 
    
 
 
 2
3
1 2 1
0
T x
 
 
   
 
 
 2
1
2
3
T x x
 
 
   
 
 
Tema 7
Construya, de ser posible, una transformación lineal 22: PPT  tal que:
  RbaaxbaTNu  ,/)()(

22
)1( xxxT 
Tema 8
Construya, de ser posible, una transformación lineal 2
3
: PRT  que cumpla con las siguientes condiciones:






















 Rttctbta
c
b
a
TNu ,2,,/)(
  bacPcbxaxT  /)Im( 2
2

2
2
3
1
0
xxT 










 y
2
1
1
1
1
xT 










Tema 9
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
22: RST x  que cumpla con las siguientes condiciones:













 02/)( 22 cbcaS
cb
ba
TKer x

















4
1
3
20
01
T y

















0
1
1
12
20
T






















 0/)Im( 3
zyxR
z
y
x
T

3. Ramiro J. Saltos
Tema 10
Construya, de ser posible, una transformación lineal 222: xSPT  que cumpla con las siguientes condiciones:
  2
2( ) / 2 0Nu T ax bx c P a c b c       
 2 2Im( ) / 5 3 0x
a b
T S a b c
b c
  
      
  
  2 5 1
2 1
1 0
T x x
 
    
 
y  
3 0
1
0 1
T x
 
   
 
Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2 2: xT R S que cumpla con las siguientes condiciones:
   3
/ 2 0
a
Nu T b R b a c
c
  
  
      
  
  
   2 2Im / 3 0x
a b
T S a b c
b c
  
      
  

1
1 0
1
0 1
1
T
 
  
      
 
1
0 1
0
1 3
1
T
 
  
       
Tema 12
Sea
3
2 2: xT R S una transformación lineal tal que:
5 1 3
1 1 3
0 2 4
A
  
 
   
 
 
Es la representación matricial de T respecto a las bases 1
0 1 1
1 , 0 , 1
1 1 0
B
      
      
       
      
      
y 2
1 1 1 1 1 0
, ,
1 1 1 0 0 0
B
      
       
      
de
3
R y 2 2xS respectivamente.
a) Encuentre la regla de correspondencia de T
b) Determine una base y la dimensión del núcleo y la imagen de T
Tema 13
Sea 22: PPT  un operador lineal tal que:
1)( xT 2
3)1( xxT  1)2( 2
 xxT
a) Determine una regla de correspondencia para T
b) Respecto al resultado anterior, encuentre )(),(),Im(),( TTTTNu 
c) Determine la representación matricial de T respecto a la base canónica de 2P

4. Ramiro J. Saltos
Tema 14
Sea
3
2:T P R una transformación lineal tal que:
1 1 2
4 2 2
3 0 1
A
   
 
  
 
 
Es la representación matricial de T respecto a las bases  2
1 1; 1;1B x x x    y 2
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
B
      
      
       
      
      
de 2P y
3
R respectivamente
Determine:
a) La regla de correspondencia de T
b) Una base y la dimensión de la Im( )T
c) Una base y la dimensión del ( )Nu T
Tema 15
Sea 22: PPT  una transformación lineal definida por:
   BB vvT









 

210
101
111
)(
 xxxxB  222
,1,
Determine:
a) La regla de correspondencia de T
b) Una base y la dimensión del núcleo de T
c) Una base y la dimensión de la imagen de T