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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA INGENERIA INDUSTRIAL PROFESOR: REALIZADO POR: Ing. Efraín López Asig: Ingeniería Económica T.S.U Annerys Carvajal C.I: V-21.095.245 Barcelona, 07 de Junio de 2020 FACTORES QUE AFECTAN EL DINERO
- 2. 2 INDICE PAG Introducción ---------------------------------------------------------------- 2 Factores de pago único (F/P Y P/F) ----------------------------------- 5 Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes (P/A Y A/P --------------------------------------------- 8 Interpolación en tablas de interés -------------------------------------- 13 Factores de gradiente aritmético (P/G Y A/G) ---------------------- 14 Cálculos de tasas de interés desconocidas ------------------------- 23 Conclusión ------------------------------------------------------------------- 28 Bibliografía ------------------------------------------------------------------ 29
- 3. 3 INTRODUCCION Hace algunos decenios, hasta antes de la segunda guerra mundial, los bancos y las bolsas de valores de los países eran las únicas instituciones que manejaban términos como interés, capitalización, amortización. Sin embargo, a partir de los años 50, con el rápido desarrollo industrial de una gran parte del mundo, los industriales vieron la necesidad de contar con técnicas de análisis económico adaptado a sus empresas, creando en ellas un ambiente para tomar decisiones orientadas siempre a la elección de la mejor alternativa en toda ocasión. Así, como los viejos términos financieros y bancarios pasan ahora al ámbito industrial y particularmente al área productiva de las empresas, a este conjunto de técnicas de análisis para la toma de decisiones monetarias, empieza a llamarse Ingeniería Económica. De esta forma con el paso del tiempo se desarrollan técnicas específicas para situaciones especiales dentro de la empresa como: •Análisis solo de costos en el área productiva. • Reemplazo de equipo sólo con el análisis de costos. • Reemplazo de equipo involucrando ingresos e impuestos. • Creación de plantas totalmente nuevas. • Análisis de inflación. • Toma de decisiones económicas bajo riesgo, entre otros.
- 4. 4 Conforme el aparato industrial se volvía más complejo, las técnicas se adaptaron y se volvieron más específicas. Por lo tanto, la ingeniería económica o análisis económico en la ingeniería, se convirtió en: “Conjunto de técnicas para tomar decisiones de índole económica en el ámbito industrial, considerando siempre el valor del dinero a través del tiempo”. La ingeniería económica constituye la consideración estratégica en la mayoría de las actividades de la ingeniería. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos (alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado. La economía pertenece a las disciplinas sociales que tiene como objetivo el estudio del hombre. Esto significa que la economía estudia la forma como los recursos están localizados y como se asignan para las satisfacciones de las necesidades materiales del hombre. Para que una organización perdure, su eficiencia (producto dividendo por insumos) debe exceder la unidad. Es evidente que la ganancia total obtenida por una organización comercial es la suma de los éxitos de todas las actividades llevadas a cabo.
- 5. 5 FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P Y P/F) La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado posteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos: P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero. F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado. n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evaluando. i: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto
- 6. 6 Ejemplo: Suponga que usted deposita $ 1.000.00 en una cuenta de ahorros que paga interés de 6% anual, capitalizada cada año. Si usted deja que el dinero se acumule, ¿Qué cantidad tendrá después de 12 años? Datos: P= $ 1.000.00 I = 6% anual N= 12 años F=? Fórmula Factor de valor presente de un Pago Único F/P = (F/P) = (1 + i) (F/P, i %, n)
- 7. 7 Ejercicio # 01: Una vivienda se esta cancelando en 18 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $ 2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda. Datos: N= 18 G (decreciente) = $ 10.000 A= $ 2.500.000. I= 0,03 P= 2.500.000 ( 1+ 0,03 )10 -1 = 10.000 ( 1+ 0,03 )10 -1 + __18_______ (0,03 (1+0,03)10 0,03 (0,03 (1+0,03)10 ( 1+ 0,03 )10 P= 33,323,645.98 0 1 2 3 4 5 P=? 2.500.000 18 Meses
- 8. 8 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cada acción multiplicada por el número de acciones. El aumento de la capitalización en una año es la capitalización al final de dicho año menos la capitalización al final del año anterior. Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta: Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P: F = P (1+i)n Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F:P = F [1 / (1+i)n] Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A: P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n] Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P: A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1] Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F: A = F [i / (1+i)n-1] Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A: F = A [(1+i)n-1 / i]
- 9. 9 Notación estándar de los factores: Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar de los nombres de los factores y ésta será utilizada en lo sucesivo: Nombre del factor notación estándar: Valor presente, pago único (P/F,i,n) Cantidad compuesta, pago único (F/P,i,n) Valor presente, serie uniforme (P/A,i,n) Recuperación del capital (A/P,i,n) Fondo de amortización (A/F,i,n) Cantidad compuesta, serie uniforme (F/A,i,n) La notación anterior es útil para buscar los valores de los factores involucrados los cuales se establecen en las tablas correspondientes.
- 10. 10 Ejercicios: (P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de capitalización. Este factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217 Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos: (P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n] = (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10 = 7.7217 Ejemplos de la utilización de factores: Ejemplo 1: Un contratista independiente realizó una auditoria de algunos registros viejos y encontró que el costo de los suministros de oficinas variaban como se muestra en la siguiente tabla: Año 0 $600 Año 1 $175 Año 2 $300 Año 3 $135 Año 4 $250 Año 5 $400 Si el contratista deseaba conocer el valor equivalente de las 3 sumas más grandes solamente, ¿Cuál será ese total a una tasa de interés del 5%?
- 11. 11 F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=? F = $1931.11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 400 600 Otra forma de solucionarlo P = 600+300(P/F,5%,2)+400(P/F,5%,5) = $1185.50 F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1931.06 Ejemplo 2: ¿Cuánto dinero tendría un hombre en su cuenta de inversión después de 8 años, si depositó $1000 anualmente durante 8 años al 14 % anual empezando en una año a partir de hoy? F = A(F/A,14%,8) = 1000(13.2328) = $13232.80 Ejemplo 3: ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el gasto de $500 dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18% anual? P = F(P/F,18%,7) = 500(0.3139) = $156.95
- 12. 12 Ejemplo 4: ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de interés del 16% anual? P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2763.90 Ejemplo 5: ¿Cuánto dinero debo depositar cada año empezando dentro de 1 año al 5.5% anual con el fin de acumular $6000 dentro de 7 años? A = F(F/A,5.5%,7) = 6000(0.12096) = $725.76 anual.
- 13. 13 INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE INTERÉS La interpolación es un proceso matemático para calcular el valor de una variable dependiente en base a valores conocidos de las variables dependientes vinculadas, donde la variable dependiente es una función de una variable independiente. Se utiliza para determinar las tasas de interés por un período de tiempo que no se publican o no están disponibles. En este caso, la tasa de interés es la variable dependiente, y la longitud de tiempo es la variable independiente. Para interpolar una tasa de interés, tendrás la tasa de interés de un período de tiempo más corto y la de un período de tiempo más largo.
- 14. 14 FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G Y A/G) Gradientes es el aumento o disminución de una serie de flujo de caja, ya sea ingresos o desembolso En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto). Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual). La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:
- 15. 15 Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota. Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado. TIPOS DE GRADIENTES Gradientes Diferidos: Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia. Gradientes Anticipados o Prepagables: Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).
- 16. 16 Gradiente Uniforme: La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto. El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son: Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja: Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable. Gradiente Convencionales o Geométrico: Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E. Valor actual de un gradiente en escalera: Devuelve el valor actual de un gradiente en “escalera”, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.
- 17. 17 Valor futuro de gradientes: A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado. Valor futuro de un gradiente en escalera: Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales. El cálculo del VF de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización. Pago de un gradiente: Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización. En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.
- 18. 18 Ejercicio # 01 Calcula el valor de los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros, para tener en 15 años un capital de $400.000.000 si se sabe que los depósitos crecen $2000 respecto del anterior y se colocan a una tasa de interés del 26% anual pagadero quincenal por los primeros 7 años y del 15 % semestral ahí en adelante. Solución: El primer PASO Para realizar el ejercicio es necesario graficar y de esta manera ilustrar de una manera clara para poder desarrollarlo, se debe tener en cuenta los datos claves para ubicarlos y utilizaros en el ejercicio. Se presentan dos tasa de interés, una que abarca los primeros catorce semestres con 26% anual pagadero quincenal (i1) y del 15% semestral (i2) por los 16 semestres restantes.
- 19. 19 Posee un crecimiento de 2000 se identifica como gradiente aritmético creciente. EL SEGUNDO PASO es transformar las tasas de interés a efectivas. EL TECER PASO es identificar cual formula se va a usar para solucionarlo. Debido a que nos dan el futuro que es 119.000.000 proseguimos a usar claramente la fórmula de futuro.
- 20. 20 Dónde: F: futuro n= cantidad de pagos G=crecimiento de cada consignación i= tasa de interés A= anualidad EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los valores en la fórmula:
- 21. 21 Ejercicio # 02: Un préstamo se debe cancelar a 5 años y un interés de financiación del 36% anual pagadero mensual. Si las cuotas son quincenales e iguales dentro de cada semestre, pero, semestre a semestre decrecen en $ 1.500, encontrar el valor de la primera cuota si el préstamo era de $ 3.000.000. Solución: En este problema nos piden hallar el valor de la primera cuota, para ello sacaremos los respectivos datos los cuales se plasmaran en la grafica DATOS P= 3.000.000 I= 36 % apm = 1.48 % quincenal Los pagos se realizaran durante 5 años, sin embargo, estos decrecerán semestralmente, por ende existen 10 semestres en 5 años y por cada semestre hay 12 quincenas. Decrece 1,500
- 22. 22 En este problema empleara la fórmula de anualidades Despejando X que es el valor de la cuota inicial Cuota inicial = 58, 267
- 23. 23 CÁLCULOS DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS Tasa de Interés Efectiva Cuando hablamos de tasa de interés efectiva, nos referimos a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo de tiempo. La tasa efectiva siempre es compuesta y vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo. Si invertimos $100 al 2% efectivo mensual durante 2 meses obtendremos: en el primer mes $102 y $104,04 en el segundo mes, ya que estamos aplicando en el segundo mes la tasa de interés del 2% sobre el acumulado al final del segundo mes de $102. Debemos recordar que cuando trabajamos con tasas efectivas no podemos decir que una tasa de interés del 2% mensual equivale al 24% anual, ya que esta tasa genera intereses sobre los intereses generados en periodos anteriores. En caso de invertir los $100 durante un año al 2% efectivo mensual el cálculo sería el siguiente: Usamos la fórmula de la tasa de interés compuesto: VF= $100*(1+0,02)^12 VF= $126,82 La tasa efectiva del 2% mensual expresada anualmente sería ($126,82- $100)/$100= 26,82% diferente de 24%.
- 24. 24 Tasa de Interés Nominal Por otro lado, la tasa de interés nominal es una tasa expresada anualmente que genera intereses varias veces al año. Para saber los intereses generados realmente necesitaremos cambiar esta tasa nominal a una efectiva. Retomando el ejemplo anterior, si invertimos $100 al 24% capitalizable trimestralmente, significa que obtendremos intereses a una tasa del 6% cada tres meses. La tasa de interés la calculamos así: i=24%/4, dónde 4 es el número de veces que se capitaliza al año (12meses/3meses) i=6% Para saber el interés real generado utilizamos de nuevo la fórmula del interés compuesto: VF= $100*(1+0,06)^4 VF= $126,24 La tasa efectiva del 6% trimestral expresada anualmente sería ($126,24- $100)/100=26,24% diferente de 24% nominal. Se le llama nominal ya que solo es por nombre y no representa la realidad, sin embargo se utiliza mucho para denotar el tipo de interés que se va a aplicar.
- 25. 25 Importancia en el Análisis Financiero En muchas ocasiones se generan problemas al no saber interpretar las tasas de interés y los tipos de interés, más aun teniendo en cuenta las muchas formas en las cuales se pueden encontrar expresadas las tasas de interés nominales y efectivas. En el análisis financiero lo ideal es llevar todo a tasas efectivas para evitar confusiones que pueden generar imprevistos en las inversiones personales o de una organización. La ECUACION PARA OBTENER LA TASA DE INTERES EFECTIVA A PARTIR DE LA TASA DE INTERÉS NOMINAL: Dónde: i= tasa de interés efectivo del período. r= tasa de interés nominal. t= número de período de capitalización.
- 26. 26 Ejercicio # 01: Con base en las tasas efectivas, ¿qué es más conveniente? a. Invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital cada 36 meses. b. Depositar el dinero en una cuenta que reconoce el 34% capitalizable trimestralmente. Respuesta: opción b. Ejercicio # 02: ¿En cuánto tiempo debemos retirar una inversión realizada en el día de hoy, a una tasa nominal del 41.91% capitalizable mensualmente, si deseamos que se triplique la inversión? Respuesta: 32 meses Ejercicio # 03: Una persona debe $10.000.000 pagaderos dentro de 2 años y $20.000.000 dentro de 5 años. Pacta con su acreedor efectuar un pago único al final de 3 años a la tasa del 15% semestral. Calcular el valor único de pago. Respuesta: $24.660.064.91 Ejercicio # 04: Se estima que una casa que vale hoy $70.000.000 incrementa su valor así: el primer año un 20%; el segundo año un 18% y el tercer año un 22%. ¿Cuál es el valor de la casa después de 3 años? Respuesta: $120.926.400 Ejercicio # 05: Calcula el interés simple de un capital de 24.000€ invertido durante 3 años al 5% anual.
- 27. 27 Datos: Capital inicial 24.000€ Tiempo 3 años Interés simple 5% anual Solución: I= 24.000 x 0,05 x 3 = 3.600 € Respuesta: Si invertimos 24.000€ durante 3 años al 5% de interés simple anual, obtenemos unos intereses de 3.600€ Ejercicio # 06: Al cabo de un año, el banco nos ha ingresado en nuestra cuenta de ahorro la cantidad de 870€ en concepto de intereses. Siendo la tasa de interés del 2% anual, ¿cuál es el capital de dicha cuenta? Datos: Tiempo 1 año Interés 870€ Interés simple 2% anual Solución: 970 = Co x 0, 02 x 1 Co = 970 / 0,02 = 43.500 € Respuesta: Si invertimos 43.500€ durante 1 año al 2% de interés anual, obtenemos unos intereses de 870€. Ejercicio # 07: Por un préstamo de 19.000€ hemos tenido que pagar 21.200€ al cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés que nos han cobrado? Datos: Capital inicial 19.000€ Tiempo 1 año Capital final 21.200€ Interés 21.200 – 19.000 = 2.200€ Solución: 2.200 = 19.000 x i x 1 I= 2.200 / 19.000 = 11,58 % Respuesta: La tasa de interés anual es de 11,58%
- 28. 28 CONCLUSION Puedo concluir diciendo que la ingeniería económica se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (Tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, entre otros), proporcionado por el diseño propuesto a la solución del problema. También cabe destacar los siguientes aspectos: Los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Las Técnicas de análisis económico adaptadas a sus empresas, creando en ellas un ambiente para toma de decisiones orientadas siempre a la ejecución de la mejor alternativa en toda ocasión. En el nombre, la ingeniería económica lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicios.