Trabajo final

1. PROYECTO FORMATIVO DE MATEMÁTICA
VIBRACIONES MECÁNICAS ESTRUCTURALES
Profesor : PEREZ CUPE,ROSULO HILARION
Bloque : FC-PRE7CIV04B1
Curso : ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES
INTEGRANTES: CÓDIGO:
 PALOMINO BENITES,NoemíYanina 1421247
 PAPUICO LIMAYMANTA , Joavee Willman 1421450
 PUCHURTINTA IRCO,Kelly Yesica 1421242
 QUISPE VASQUEZ, Jakelyn Soledad 1421414
 RETAMOZO TAIPE, Kevin Jesús 1421428
 SOLAR PACHAS , Rosa Milagros 1611199
 SULCA TAIPE ,Jeremías 1421249
Lima – Perú
2016

2. 2
DEDICATORIA
El presente informe va dirigido a Dios por concedernos salud, conciencia para
discernir lo bueno que hemos recibido y por darnos la oportunidad de seguir
con nuestros objetivos y seguir alcanzando nuevas metas.
También a nuestros padres por su apoyo incondicional quienes son participes
a lo largo de esta trayectoria de nuestra formación educativa.

3. 3
AGRADECIMIENTO
 A Dios por su infinito amor y por permitirnos alcanzar tantos proyectos
planeados.
 A nuestros padres, por su dedicación en ámbito del aprendizaje.
 Al docente Pérez Cupe, Rosulo Hilarión, por su empeño profesional y
dirección en el proyecto formativo.
 A todas las personas que, colaboraron en la realización de este proyecto.

4. 4

5. 5
INTRODUCCIÓN
El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones que
estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas
con ella.
Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se
puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la
masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas
potenciales.
El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante
de ingeniería ya que está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.
Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan
un panorama de los diferentes estudios.
Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es
el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores
producen información errónea.
Este PFM está desarrollado con una interesante y eficaz metodología que asegura a un
100% su asimilación; ya que contiene una fiable información para potenciar las
capacidades de comunicación, de investigación, del uso de tecnologías, de resolución de
problemas, del trabajo en equipo y una actitud emprendedora; a través del estudio
multidisciplinario de una situación problemática de contexto relacionada con las
vibraciones que soporta una estructura; haciendo uso de modelos matemáticos, del análisis
económico, y de una oportuna toma de decisiones con responsabilidad social: en síntesis:
 La primera etapa; trata de una búsqueda de información y organización bajo
criterios grupales, comentarios críticos, investigaciones y cuestionarios.
 En la segunda etapa; se aplican los conocimientos matemáticos referente al tema.
 En la tercera etapa; se encuentran las soluciones y conclusiones que se encontraron
durante el desarrollo del proyecto.

6. 6
ABSTRACT
The study also called mechanical vibrations, mechanical vibrations studying the oscillatory
motions of bodies or systems and the forces associated with it.
That speech system body and if a body has the ability to vibrate can be attached to other
and form a system vibrate; for example, a spring-mass where the mass has kinetic energy
characteristics, and spring potential energy characteristics.
The study of mechanical vibrations has become essential for the engineering student as it
is related in many cases with their vibration behavior.
It is important to know the classification of mechanical vibrations as they present us an
overview of the different studies.
Another important tool in the study of mechanical vibrations is the mathematical model.
This procedure must be accurate because errors occur misinformation.
This PFM is developed with an interesting and effective methodology which ensures 100%
assimilation; because it contains reliable information to enhance communication skills,
research, use of modern technologies, problem solving, teamwork and an entrepreneurial
attitude; through the multidisciplinary study of a problematic situation related context
vibration supporting structure; making use of mathematical models of economic analysis
and timely decision making with social responsibility: in brief:
 The first stage; is an information search and organization under group criteria,
critical reviews, research and questionnaires.
 In the second stage; the mathematical knowledge concerning the subject apply.
 In the third stage; solutions are found and conclusions that were found during the
project.

7. 7
ETAPAS
1. PRIMERA ETAPA
1.1 BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN Y ORGANIZACIÓN
La Dirección Nacional de Construcción es el órgano de línea encargado de proponer
lineamientos de política, normas y procedimientos referidos a la construcción de
infraestructura, así como a promover el desarrollo, evaluar su aplicación y estimular la
iniciativa privada a fin de mejorar las condiciones de infraestructura y, por ende, el nivel
de vida de la población.
a) Elabore una lista de acciones que la Dirección Nacional de Construcción ha
realizado a nivel nacional, con el fin de promover la Normatividad para el
Diseño y Construcción de Edificaciones Seguras.
Las acciones que la Dirección Nacional de Construcción ha realizado a nivel nacional, con
el fin de promover la Normatividad para el Diseño y Construcción de Edificaciones
Seguras son las siguientes:
 Seminario- Taller: “Promoción de la Normatividad para el Diseño y Construcción
de Edificaciones Seguras” 27 y 28 de setiembre de 2012 Auditorio del Colegio de
Ingenieros del Perú- Consejo Departamental Moquegua. (Construccion, 2016)
 Seminario- Taller: “Promoción de la Normatividad para el Diseño y Construcción
de Edificaciones Seguras” 18 y 19 de octubre de 2012 Auditorio de SENCICO-
Sede Chiclayo. (Ministerio de Vivienda, 2016)
 Los días 01 y 02 de diciembre se llevará a cabo en el departamento de Junín, el
Seminario de Promoción “Normatividad y Gestión para Edificaciones Seguras y
Saludables”, organizado por la Dirección Nacional de Construcción y el Colegio de
Arquitectos del Perú- Regional Junín. (saneamiento, 2016)

8. 8
b) Elabore una lista de los últimos sismos que han ocurrido en el Perú y
elabore un cuadro en el que se muestre el daño ocasionado a los diversos tipos
de edificaciones.
TABLA N° 1: ÚLTIMOS SISMOS EN PERÚ
FECHA
ESCALA
DE
RITCHER
LOCACION
AFECTADA
DESCRIPCIÓN Figura
23 de Junio
del 2001
8.00
Moquegua,
Tacna y
Arequipa
Se originaron varios miles de réplicas y alcanzó una
intensidad máximas de 8.
( 1 )
8 de Agosto
del 2003
4.6
Cusco y
Apurímac
Dejo un total de 1 112 personas damnificados, 4 793
personas afectadas,1 173 viviendas afectadas y 250
viviendas destruidas.
( 2 )
30 de Abril
del 2004
3.70
Distrito de
Chuschi
Se produjeron cuatro sismos en el distrito de Chuschi.
Como resultado se registraron 850 personas
damnificadas y 1 165 personas afectadas, 170
viviendas destruidas y 391 viviendas afectadas.
( 3 )
25 de
Septiembre
del 2005
7.00 Moyobamba
En cuanto a daños en viviendas se registró lo
siguiente: En Amazonas, 100 viviendas afectadas y
125 destruidas; en Cajamarca, 78 viviendas
destruidas; en La Libertad, 133 viviendas afectadas y
14 viviendas destruidas; en Loreto 82 viviendas
afectadas y 07 viviendas destruidas; en San Martín,
635 viviendas afectadas y 436 viviendas destruidas.
( 4 )
1 de Octubre
del 2005
5.40 Moquegua
Se registró daños personales en los distritos de San
Cristóbal: 469 familias damnificadas y 311 afectadas;
en Cuchumbaya, 02 familias damnificadas y 68
afectadas. También se registraron 471 viviendas
destruidas y 379 afectadas.
( 5 )
15 de
Agosto del
2007
7.90 Pisco
Murieron más de 550 personas y cientos resultaron
heridas. Miles de peruanos resultaron damnificados,
pues el fuerte movimiento telúrico acabó con
viviendas, carreteras, iglesias y hospitales.
( 6 )
Fuente :propia

9. 9
Imágenes:
Fig.01 Terremoto de Tacna del 23 de Junio del 2001
Fig.02 Terremoto en Cusco

10. 10
Fig.03 Terremoto en el distrito de Chischa - Ayacucho
Fig.04 Terremoto en Moyobamba

11. 11
Fig.05 Terremoto en Moquegua
Fig.06 Terremoto en Pisco - Ica

12. 12
c) Investigue qué acciones de mejora han ejecutado las autoridades de los
gobiernos local, regional y/o nacional con el fin de reconstruir las zonas
afectadas por los sismos.
Las autoridades locales, regional y/o nacional trabajan conjuntamente para el bienestar de
la población con empresas públicas o privadas la cual mencionamos a la empresa FORSUR
y mencionamos algunas de las normas y/o apoyos que hace esta empresa ya mencionada
la forma en como clasifica los daños para dar un eficaz desarrollo en los trabajos de
reconstrucción y la demolición de escombros.
El fondo para la reconstrucción Integral de las zonas Afectadas por los Sismos del 15 de
agosto del 2007, denominado FORSUR es una entidad creada por LEY Nº 29078,
publicada el 29 de agosto de 2007 y modificatorias, adscrito a la Presidencia de Consejos
de Ministros, con la finalidad de lograr las acciones de rehabilitación, construcción y
reconstrucción de las zonas afectadas por los sismos del15 de agosto del 2007, declaradas
en estado de emergencia mediante Decreto Supremo Nº 068-2007-PCM, modificatorias,
ampliatorias y prórrogas.
El FORSUR tiene a su cargo la aprobación de proyectos, programas y actividades
necesarias para lograr la construcción, reconstrucción y rehabilitación de la infraestructura
pública de viviendas afectadas, así como el monitoreo, seguimiento y evaluación de la
ejecución de los proyectos, programas y actividades financiados con cargo a los recursos
de citado Fondo.
Ámbito de Intervención del FORSUR
MARCO LEGAL DEL FORSUR
Origen y Fines
Mediante el artículo 1º de la Ley Nº 29078, publicada en el Diario Oficial El Peruano el 29
de agosto 2007, se declaró de prioridad y de interés nacional la ejecución de los planes y
proyectos de la rehabilitación, construcción y reconstrucción de la infraestructura de
comunicaciones y vial, riego, energía eléctrica, saneamiento, habilitaciones urbanas y otros
servicios públicos, así como de viviendas e instituciones educativas, hospitales y postas
médicas, entre otros, orientados a reducir los efectos de la actividad sísmica y de otros

13. 13
fenómenos naturales en las zonas declaradas en estado de emergencia por el decreto
Supremo Nº068-2007-PCM, publicado el 16 de agosto de 2007.
Desde su creación FORSUR estuvo a cargo de un Directorio, el que tenía las funciones
siguientes:
a) Realizar la evaluación general de los efectos de los sismos del 15 de agosto de 2007,
sobre las zonas declaradas en estado de emergencia.
b) Aprobar los planes y proyectos de rehabilitación, construcción y reconstrucción,
necesarios para el cumplimiento de los fines del FORSUR.
c) Priorizar las obras e inversiones a ser ejecutadas con recursos del FORSUR, en el
marco de los planes y proyectos de rehabilitación, construcción y reconstrucción
integral de las zonas declaradas en estado de emergencia.
d) Coordinar y priorizar las obras de rehabilitación, construcción y reconstrucción a
ser ejecutadas por los ministerios y sus organismos públicos descentralizados, con
cargo a sus propios recursos, en el arco de los fines del FORSUR.
Como se puede observar, desde un inicio las entidades responsables de la ejecución de los
proyectos, programas y actividades priorizados por FORSUR, con los recursos de este les
transfiere para dichos efectos; han sido los Ministerios, Gobiernos Regionales, Gobiernos
Locales, Empresas Prestadoras de servicios de Saneamiento, en calidad de Unidades
Ejecutoras, correspondiéndole al FORSUR, las acciones de seguimiento y monitoreo de
los proyectos.
FUNCIONES DEL FORSUR
a) Realizar el monitoreo, seguimiento y evaluación de la ejecución de los proyectos,
programas y actividades por parte de las entidades ejecutoras; si perjuicio de las
atribuciones de supervisión que corresponde a las entidades ejecutoras.
b) Aprobar proyectos, programas y actividades que sean necesarios para el
cumplimiento integral de los fines del FORSUR, en materia de construcción,
reconstrucción y rehabilitación de la infraestructura, así como de vivienda.
c) Desarrollar el asesoramiento técnico que requieran las entidades ejecutoras para el
desarrollo de actividades relacionadas con los proyectos de rehabilitación,
construcción y reconstrucción de infraestructura, así como de vivienda, con cargo
a los recursos del FORSUR.
d) Ejecutar proyectos, programas y actividades en su calidad de unidad ejecutora.

14. 14
1.1.1. SITUACIÓN DE LOS PROYECTOS PRIORIZADOS POR FORSUR
1.1.1.1. Proyectos priorizados por FORSUR
En el marco del proceso de reconstrucción de las zonas afectadas por los sismos del 15 de
agosto de 2007, el FORSUR, al 30 de junio de 2011, en el marco de la Ley Nº 29078 han
priorizado un total de 1070 proyectos, delos cuales, de acuerdo a la disponibilidad de los
recursos del FORSUR y el financiamiento complementario de las unidades ejecutoras y
otras fuentes cooperantes se viene atendiendo 941 proyectos, los que, a partir del mes de
noviembre de 2009, se vienen aprobando previa aplicación de los criterios de Priorización
aprobados por la Presidencia Ejecutiva. Ello ha permitido que de los 1070 proyectos se
atienda, la totalidad de los que corresponde a los Sectores de Salud, Educación, Agua y
Saneamiento, conforme se muestra en el cuadro siguiente.
TABLA N° 02 PRIORIZACIÓN DEL FORSUR SEGÚN SECTORES
SECTOR DE
INTERVENCIÓN
PROYECTOS
PRIORIZADOS
PROYECTOS
ATENDIDOS
SALUD 66 66
EDUCACIÓN 491 491
AGUA Y
SANEAMIENTO
256 256
URBANISMO 87 70
PRODUCCÓN 161 49
ETAPA DE
EMERGENCIA
9 9
TOTAL 1,070 941
Fuente: propia
Los criterios empleados para clasificar los proyectos y sectorizarlos son los siguientes:

15. 15
 Salud: Comprende los proyectos relacionados con la atención de la salud pública
de la población, como: Hospitales Centros de Salud, Postas Médicas, entre otros.
 Educación: Comprende los proyectos relacionados con la infraestructura
Educativa Pública.
 Agua y alcantarillado: Comprende los proyectos relacionados de agua potable y
desagüe (Incluye reservorios, letrinas, entre otros)
 Urbanismo: Comprende los proyectos de habilitación urbana, vías locales y
edificaciones de equipamiento urbano como: Comisarías, Mercados, Penales,
Cementerios, entre otros.
 Ribereña y Vías de interconexión Rural.
 Etapa de emergencia: Comprende la atención que se brindó para la adquisición de
calaminas, módulos de viviendas temporales, adquisición de esteras y materiales, y
otros en la zona de emergencia.
Como se muestra en el cuadro siguiente, los 941 proyectos que se están atendiendo y
financiando, representa una inversión total estimada por toda fuente de financiamiento de
S/. 1,096.82 millones, y corresponde a los cinco principales sectores de intervención:
Salud, Educación, Agua y alcantarillado, Urbanismo y Producción, así como, a las acciones
realizadas durante la Etapa de Emergencia. De la inversión total, el FORSUR viene
financiando con cargo a sus recursos un total de S/. 731.44 millones, financiamiento que
se complementa con la suma de S/. 365.48 millones que financian otras entidades públicas
y/o agentes cooperantes. Cabe señalar que de ésta suma, corresponde a la cooperación
internacional canalizada a través del FORSUR S/. 37.56 millones destinadas a proyectos
priorizados por FORSUR, en los que la donación fue entregada directamente por los
cooperantes a las unidades ejecutoras y en los recursos de donación que fueron depositados
en las cuentas del FORSUR.

16. 16
TABLA N° 03 INTERVENCIÓN PRIORIZADA DE SECTORES
SECTOR DE
INVERSIÓN
NÚMERO DE
PROYECTOS
%DE
INVERSIÓN
SALUD 66 21.41%
EDUCACIÓN 491 23.42%
AGUA Y
SANEAMIENTO
256 27.65%
URBANISMO 70 22.67%
PRODUCCIÓN 49 3.88%
ETAPA DE
EMERGENCIA
9 0.95%
TOTAL 941 100.00%
Fuente: propia
Los recursos trasferidos por el FORSUR a las unidades ejecutoras, para la ejecución delos
proyectos representan aproximadamente en 95.82 %, de los recursos del Fondo, incluyendo
los intereses generado.
1.1.1.2. EJECUCIÓN DE LAS TRANSFERENCIAS EFECTUADAS
POR FORSUR A LAS UNIDADES EJECUTORAS
Las intervenciones del FORSUR según el ámbito geográfico se distribuyen de la siguiente
forma:
 En la Región Ica (comprende las provincias de Ica, Pisco, Chincha, Nazca y Palpa
que fueron las más afectadas por los sismos del 15 de agosto del 2007).Se han
priorizado 382 proyectos que representan una nueva inversión del 72.87%
 En la Región Lima (comprende las provincias de Yauyos y cañete) se han
priorizado 223 proyectos que representan una inversión 14.85%.
 En la Región Huancavelica (comprende las provincias de Huaytará y
Castrovirreyna y los distritos de Acobambilla y Manta en la provincia de
Huancavelica), se han priorizado 336 proyectos que representan una inversión del
12.28%.

17. 17
En el cuadro siguiente se detalla la inversión por ámbito regional:
TABLA N° 04 Intervención del forsur según regiones
REGION DE
INVERSIÓN
NÚMERO DE
PRROYECTOS
% DE
INVERSIÓN
ICA 382 72.82%
LIMA 223 14.45%
HUANCAVELICA 36 12.28%
TOTAL 641 100.00%
Fuente: propia
d) Investigue que materiales alternativos se deben promocionar en la construcción
de viviendas sismos resistentes. Muestre gráficos que ilustren la aplicación de estos
materiales.
De acuerdo a las indagaciones del tema podemos mencionar algunos materiales
alternativos que ya se están promocionando en la construcción de viviendas.
 Aisladores en la base
El aislamiento de la base consiste en dispositivos estructurales dispuestos en la parte
inferior de un edificio que debería sustancialmente desacoplar la estructura del edificio
separándola de las sacudidas del terreno, y de esta manera se reducen las fuerzas aplicadas
por el sismo sobre el edificio manteniendo su integridad y aumentando su desempeño
sísmico. Esta tecnología de ingeniería sísmica, que es una forma de control de vibración,
puede ser aplicada a edificios completamente nuevos (antes de ser construidos) o también
a algunas estructuras existentes (con técnicas de corte y encamisado con acero de las
columnas de la base y colocación de aisladores sísmicos sobre estas).

18. 18
Fig.06 Ubicación de un aislador en la base de una construcción
(rba-global,01)
 Disipadores sísmicos
Los disipadores o amortiguadores sísmicos absorben la energía del movimiento y la disipan
en forma de calor, de esta forma logra "amortiguar" o "descargar" los efectos de resonancia
en estructuras que están conectadas de modo rígido al terreno.
Fig.07 Ubicación de un disparador sísmico
(google i.,www.estructurando.net,2016)

19. 19
 Amortiguadores de masa "sintonizados"
El sistema consistente en varios tipos de amortiguador de masa sintonizado (en inglés:
"tuned mass dampers" o TMD) emplea pesos móviles retenidos por algún tipo de resortes.
Estos típicamente son usados para reducir las oscilaciones debidas al viento en edificios
muy altos y al mismo tiempo muy liviano. Proyectos similares pueden ser desarrollados
para aumentar la resistencia de los edificios que tienen entre ocho y diez pisos, que son los
que con mayor frecuencia son destruidos por las resonancias inducidas en ellos por algunos
terremotos de larga duración.
Fig.08 Aislador de masa para una edificación
(aisladores, 2016)
 Tanque "slosh"
El tanque "de chapoteo" ("slosh tank") consiste en un gran tanque de fluido colocado en un
piso superior (no necesariamente el último, aunque debe estar cercano). Durante un evento
sísmico, el fluido en este tanque se moverá en ondas hacia adelante y atrás (en la dirección
paralela a las ondas sísmicas), y gracias a bafles - divisores internos que impiden que el
mismo tanque llegue a vibrar en resonancia; gracias a su masa el agua puede cambiar el
periodo de oscilación, oponiéndose a que el edificio entre en su periodo de oscilación
resonante que puede dañarlo hasta derrumbarlo completamente. Una cierta cantidad de

20. 20
energía cinética puede ser convertida en calor por los bafles y será disipada en el agua -
con aumentos de temperatura insignificantes.
 Sistemas de control activo
Cuando se construyen edificios muy altos ("rascacielos") con materiales modernos muy
livianos, estos pueden oscilar en modo fastidioso (pero no peligroso) en ciertas condiciones
de viento. Una solución a este problema es la de añadir en uno de los pisos más altos una
gran masa, retenida en alguna forma (colgando, deslizante sobre esferas de acero, etc.) pero
con una libertad de movimiento limitada, y que se deslice sobre un sistema como un cojín
de aire o una película líquida hidráulica. Los pistones hidráulicos, movidos por bombas
eléctricas y acumuladores, son activamente desplazadas para contrastar las fuerzas del
viento y las resonancias naturales.
Fig.09 Sistemas de control activo
(google i. , aisladores en la base , 2016)
D1) ¿Se aplican en la actualidad en el Perú?
Algunos de ellos sí se vienen aplicando, como por ejemplo el drywall, el
quinchacret y el bambú.

21. 21
Fig.10 Drywall en la construcción
(google i. , ailasdores en la base, 2016)
Fig.11 Bambú en la construcción
(google i. , ailasdores en la base, 2016)

22. 22
Fig.12 Quinchacret en la construcción
(imagenes, 2016)
D2) ¿En qué localidades de nuestro país se están utilizando estos materiales
alternativos den la construcción de viviendas?
El quinchacret se viene utilizando sobre todo en lugares cercanos a las playas del norte del
Perú, como Máncora, Zorritos, Punta Sal, etc.
El bambú está siendo utilizado en los departamentos de Cajamarca, Lambayeque y Piura,
impulsado por el proyecto de Sierra Exportadora.
El drywall se ha venido utilizando y a la vez expandiendo su uso en cada vez más lugares
del Perú, sobre todo en Lima, donde podemos ver ejemplos como el hotel Westin y el
Jockey Plaza.
D3) ¿Qué instituciones privadas o del gobierno promocionan el uso de estos
materiales alternativos?
En el caso del bambú, la ONG Hogar de Cristo de Ecuador y a la vez el programa Sierra
exportadora junto a la gerencia regional de Desarrollo Social de Piura impulsan este
proyecto en la localidad de Morropón desde el 2011.

23. 23
El quinchacret, al igual que otros materiales sismo resistente viene siendo impulsado por
la empresa Wuasi.
Finalmente el drywall, viene siendo impulsado desde hace 20 años por el Ministerio del
Trabajo y Promoción del Empleo como una alternativa más económica y mejor resisten a
los sismos que el concreto.
1.2. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA.
Suponga que una compañía fabrica dos productos que se usan como insumos en la
construcción de edificios. Para obtener un dólar por la venta del producto B, la compañía
gasta $0,35 en materiales, $0,15 en mano de obra y $0,10 en gastos generales. Para obtener
un dólar por la venta del producto C, la compañía gasta $0,35 en materiales, $0,25 en mano
de obra y $0,15 en gastos generales.
a) Defina dos vectores, 𝒃⃗⃗ y 𝒄⃗ , que representen el costo por dólar de ingreso de los
dos productos.
𝐵 = 𝑏⃗ = (0.35, 0.15, 0.10)
𝐶 = 𝑐 = (0.35,0.25, 0.15)
b) Suponga que el directorio de la compañía quiere invertir 𝑥1 dólares en la
fabricación del producto B y 𝑥2 dólares en la fabricación del producto C. Modele un
vector que describa los diversos costos que tendrá la compañía en materiales, mano
de obra y gastos generales.
𝐵 × 𝑥1 = 𝑏⃗ 𝑥1 = (0.35𝑥1,0.15𝑥1,0.10𝑥1)
C × x2 = 𝑐x2 = (0.35𝑥2,0.25𝑥2,0.15𝑥2)

24. 24
c) Defina una matriz 𝑈 cuyas columnas describan los costos por dólar de producción
para los productos B y C. Esta matriz se llamará matriz de costo unitario.
𝑈 =
Materiales
M. de Obra
G. Generales
[
0.35 0.35
0.15 0.25
0.10 0.15
]
𝑈: Costo por dólar de producción para los productos de B y C.
d) Sea 𝒙⃗⃗ = ( 𝑥1; 𝑥2) un vector de producción, se define la transformación 𝑇:ℝ2→ℝ2
como:
𝑇(𝒙⃗⃗ )=𝑈𝒙⃗⃗ .
 d1) Modele la regla de correspondencia de la transformación lineal 𝑇
𝑇(𝑥) = [
0.35 0.35
0.15 0.25
0.10 0.15
] [
𝑥1
𝑥2
]
𝑇(𝑥) = [
0.35𝑥1 0.35𝑥2
0.15𝑥1 0.25𝑥2
0.10𝑥1 0.15𝑥2
]
Regla de correspondencia
𝑇( 𝑥1; 𝑥2) = (0.35𝑥1 + 𝑂. 35𝑥2;0.15𝑥1 + 0.25𝑥2;0.10𝑥1 + 0.15𝑥2
𝑥1 Y 𝑥2 representa la producción del producto 𝐵 y 𝐶.
Y 𝑇(𝑥1; 𝑥2) Representa la cantidad de producto para el tipo 𝐵 y 𝐶.
 d2) Intérprete, en términos de la situación problemática planteada, la
linealidad de 𝑇. Plantee algunos ejemplos que ilustren sus respuestas.
Ejemplo 1:
Supongamos que se fabrica 30 unidades para cada producto, entonces
𝑇(30;30) = [
0.35(30) 0.35(30)
0.15(30) 0.25(30)
0.10(30) 0.15(30)
] = [
21
12
7.5
]

25. 25
El resultado que obtuvimos, nos da a entender que el costo en materiales será 14 dólares
en mano de obra y 5 dólares en gasto generales para fabricar 30 productos cada tipo B y C.
El costo total por los 60 productos en general son 40.5 dólares.
Ejemplo 2:
Supongamos que se fabrica 10 unidades del tipo B y 20 unidades del tipo C, entonces:
𝑇(10;20) = [
0.35(10) 0.35(20)
0.15(10) 0.25(20)
0.10(10) 0.15(20)
] = [
10.5
6.5
4
]
Interpretamos el resultado de la siguiente forma, el costo en materiales será 10.5 dólares,
6.5 dólares en mano de obra y 3.5 dólares en gastos generales para fabricar 10 unidades del
tipo B y 20 unidades del tipo C. El costo total por los 30 productos en general son 21
dólares.

26. 26
2. SEGUNDA ETAPA
ESTUDIOS DE CASOS
 CASO 1: Vibraciones en un edificio de una sola planta.
A modo de introducción, comenzamos modelando las vibraciones en un edificio de una
sola planta. En cualquier caso, cuando se inicia la catástrofe, el edificio experimenta
excesiva deflexión lateral, causando daño permanentemente a la estructura. Es muy difícil
modelar los detalles del movimiento de un edificio. Sin embargo, el modelo de edificios
como estructuras idealizadas consta de pisos relativamente pesados, extensos y paredes
elásticas. Teniendo en cuenta cada planta de un edificio con la masa puntual situada en el
centro de masa del piso (figura 1), la analogía con el sistema masa/resorte/amortiguador
del sistema (figura 2) es clara.
Las paredes proporcionan fuerzas elásticas que actúan en dirección opuesta a la dirección
del movimiento cuando cada planta se desplaza de su posición de equilibrio. La rigidez
total del edificio depende de las rigideces de las partes de la estructura.
La primera tarea es derivar la ecuación de movimiento para un edificio de una sola planta.
A continuación examinaremos diversas vibraciones libres y amortiguadas de edificio.
Continuando, vemos los efectos de una fuerza sinusoidal considerando tanto la ausencia y
presencia de amortiguación. Con una comprensión de comportamiento básico del edificio
de una sola planta, se procede en edificios de varios pisos. Ambas vibraciones forzadas y

27. 27
no forzadas son consideradas. Por último, uno de los pisos del edificio se modela por el
comportamiento real del edificio a ser observado.
a) Ignorando los efectos de amortiguación (omitir los amortiguadores en las
figuras 1 y 2), muestre que os argumentos estándares nos conducen al
problema con valor inicial (PVI) para el desplazamiento del centro de masa
del techo.
mu`` + ku =0, u(0)=uo, u(0)=u1 (1)
Las constantes m y k representan a masa total del techo y la rigidez general de las
paredes, respectivamente
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial
mu`` + ku =0 es P(r)= mr2 + k = 0 y sus respectivas raíces
r1=√
𝑘
𝑚
𝑖 y r2=−√
𝑘
𝑚
𝑖 de donde el sistema fundamental de solución general es:
u = 𝐶1 cos(√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝐶2 sin (√
𝑘
𝑚
𝑡)
Ahora hallamos las constantes C1 y C2
Remplazando el valor u(0)=uo
u(0) = 𝐶1 cos(√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝐶2 sin (√
𝑘
𝑚
𝑡)=uo
Entonces C1=uo,
Ahora hallamos la primera derivada de la solución general
u´= −𝐶1√
𝑘
𝑚
sin (√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝐶2√
𝑘
𝑚
cos(√
𝑘
𝑚
𝑡)

28. 28
Remplazamos el valor u´(0)=u1
u´(0)= −𝐶1√
𝑘
𝑚
sin (√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝐶2√
𝑘
𝑚
cos(√
𝑘
𝑚
𝑡)=u1
La solución de C2=u1√
𝑚
𝑘
La solución general de la solución diferencial es:
u = 𝑢0 cos(√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝑢1√
𝑚
𝑘
sin (√
𝑘
𝑚
𝑡)
Donde:
uo= Desplazamiento inicial
u1= Velocidad inicial
b) ¿Puede decir usted cómo el edificio reacciona a diversas condiciones
iniciales?
El edificio reacciona a condiciones iniciales a través de la ecuación cuando la
ecuación u(0) = uo , la proporción del desplazamiento varía con respecto al tiempo.
c) ¿Puede suponer si el desplazamiento inicial uo y la velocidad inicial u1 son
diferentes de cero?
Si el desplazamiento inicial será uo un valor distinto de cero y el valor de u1 será cero
cuando el tiempo inicia con cero, por consecuente u1 toma valores con respecto al
tiempo.
d) Desde que √
𝒌
𝒎
tiene unidades de tiempo, haga t =√
𝒎
𝒌
𝝉, u = uoy En el PVI de
(1) y reduzca al PVI no dimensional
y´´+ y = 0; y(0)=1; y´(0)=v=
𝒖𝟎
𝒖𝟏
√
𝒎
𝒌
Donde la derivada es con respecto a la
variable 𝝉.
SOLUCION:
Del PVI – 1 se tiene lo siguiente

29. 29
u = 𝑢0 cos(√
𝑘
𝑚
𝑡) + 𝑢1√
𝑚
𝑘
sin (√
𝑘
𝑚
𝑡)
Reemplazando datos se obtiene lo siguiente, cuando t =√
𝑚
𝑘
𝜏, u = uoy:
u = 𝑢0 cos(√
𝑘
𝑚
√
𝑚
𝑘
𝜏) + 𝑢1√
𝑚
𝑘
sin (√
𝑘
𝑚
√
𝑚
𝑘
𝜏)
u = 𝑢0 cos( 𝜏) + 𝑢1√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏)
uoy = 𝑢0 cos( 𝜏) + 𝑢1√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏)
y =
𝑢0 cos( 𝜏)+𝑢1√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏)
uo
y = cos( 𝜏) +
𝑢𝑖
𝑢0
√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏)
Resolviendo la ecuación diferencial ordinaria:
El polinomio característico de la ecuación diferencial es y´´+ y = 0 es
P(r)= r2 + 1 = 0 y sus raíces r1 = -i y r2= i de donde el sistema fundamental de
soluciones es cos( 𝜏), sin( 𝜏) y la solución general es:
y = 𝐶1 cos( 𝜏) + 𝐶2 sin( 𝜏)
Ahora hallamos las constantes C1 y C2
Reemplazando el valor y(0)=1
y(0)= 𝐶1 cos(0)+ 𝐶2 sin(0)=1
Entonces C1 = 1, ahora hallamos la primera derivada de la solución general
y` = −𝐶1 sin( 𝜏) + 𝐶2 cos( 𝜏)
Reemplazamos el valor y´(0)=v=
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
y`(0)= −𝐶1 sin( 𝜏) + 𝐶2 cos( 𝜏)=
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
La solución de C2 =
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
La solución general de la ecuación diferencial es:

30. 30
y= cos( 𝜏) +
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏)
e) Multiplique la EDO dada en (2) por y`, y obtenga
𝒅
𝒅𝝉
𝑬( 𝝉) = 𝟎 Donde 𝑬( 𝝉) =
𝟏
𝟐
[( 𝒚′) 𝟐
+ 𝒚 𝟐]
Se exige a los estudiantes interpretar este resultado analíticamente (la derivada de la
energía es cero), y grafíquela a través de un diagrama de pase (círculo centrado en el
origen), que les permite concluir que la energía se conserva en el sistema. Note que
para este sistema particular, la energía es proporcional al cuadrado de la distancia
desde el origen hasta la trayectoria. Es fácil ver el cambio de la energía se almacena
elásticamente por el resorte, y cuando ‘y’ es cero, toda la energía es cinética.
SOLUCIÓN:
Demostración:
𝑦′( 𝜏) = − sin( 𝜏) +
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
cos( 𝜏)
Elevando al cuadrado:
( 𝑦′)2
= sin( 𝜏)2
− 2. sin( 𝜏) 𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
cos( 𝜏) +
𝑢0
2
𝑢1
2 .
𝑚
𝑘
. cos( 𝜏)2
Elevando al cuadrado la solución de la ecuación diferencial
( 𝑦)2
= cos( 𝜏)2
+ 2. cos( 𝜏)
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏) +
𝑢0
2
𝑢1
2 .
𝑚
𝑘
. sin( 𝜏)2
Remplazando en la ecuación
𝐸( 𝜏) =
1
2
[(sin( 𝜏)2
− 2. sin( 𝜏)
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
cos( 𝜏) +
𝑢0
2
𝑢1
2
.
𝑚
𝑘
. cos( 𝜏)2
)
+ (cos( 𝜏)2
+ 2. cos( 𝜏)
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
sin( 𝜏) +
𝑢0
2
𝑢1
2
.
𝑚
𝑘
. sin( 𝜏)2
)]
𝐸( 𝜏) =
1
2
[2
𝑢0
2
𝑢1
2
.
𝑚
𝑘
(cos( 𝜏)2
+ sin( 𝜏)2) + (cos( 𝜏)2
+ sin( 𝜏)2 )]

31. 31
𝐸( 𝜏) =
1
2
[2
𝑢0
2
𝑢1
2
.
𝑚
𝑘
+ 1]
Entonces la solución es:
𝐸( 𝜏) =
1
2
[2
𝑢0
2
𝑢1
2 .
𝑚
𝑘
+ 1]
DIAGRAMA DE FASE
ANALIZANDO LA GRAFICA:
La energía 𝐸( 𝜏) es constante (sobre la trayectoria y derivada de la trayectoria),
𝐸( 𝜏) = 𝑘
𝑘 =
1
2
[( 𝑦′)2
+ 𝑦2]
[( 𝑦′)2
+ 𝑦2] = 2. 𝑘, ∀ 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Es un lugar geométrico 2. 𝑘 ≥ 0, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑅2
= 2. 𝑘
.( 𝑦′)2
+ 𝑦2
= 𝐶2
Tiene la forma de una circunferencia de radio C en el plano 𝑦′
𝑣𝑠 𝑦

32. 32
 CASO 2: Vibraciones forzadas
En el caso anterior, la dinámica del sistema depende de ciertas constantes intrínsecas a él.
Supongamos ahora que se aplican una fuerza externa llamada excitación 𝐹𝐸 sobre el
sistema masa-resorte-amortiguador.
K

33. 33
En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por 𝐹 = 𝐹𝑅 + 𝐹𝐴 +𝐹𝐸 =
−𝐾𝑥 − 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐹𝐸 donde 𝑐 > 0 es la constante de proporcionalidad. De acuerdo con la
segunda ley de Newton y ordenando los términos, se obtiene
O bien la forma
La fuerza externa de excitación 𝐹𝐸 desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas
internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca
un aumento. Cuando la fuerza de excitación 𝐹𝐸 sea distinta de cero, diremos que el sistema
masa-resorte-amortiguador está forzado.
a) Considere 𝑭 𝑬 = 𝑭 𝟎 𝑪𝑶𝑺( 𝒘 𝒆 𝒕) Explique la relación que debe existir entre las
soluciones de la EDO homogénea y 𝜔, para determinarla solución de la EDO dada
por (3).
Solución
La relación que debe haber es que las soluciones es la siguiente:
X = Xc + Xp
Donde:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡)
Además
𝑋 𝑐 = 𝐴𝑒 𝑟1
+ 𝐵𝑒 𝑟2
; Donde r1 y r2 se calcula de: 𝑚 𝑟2
+ 𝑐𝑟 + 𝑘 = 0
La solución particular es un polinomio de la forma similar a: 𝑋 𝑝 = 𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡)
Entonces 𝑋 𝑝 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)
Este método relacionara la frecuencia angular del sistema con la ecuación diferencial
homogénea.

34. 34
b) Un sistema masa-resorte-amortiguador, con masa igual a 5 kg, constante 𝑐 igual a
5 N.s/m y 𝑘 = 1,03N. Si se aplica una fuerza de excitación 𝐹𝐸 = 150cos(2𝑡)
b1) Resuelva la EDO que se obtiene al sustituir en (3) los valores dados.
Solución
Como es de conocimiento tenemos:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡)
𝑚𝑦′′
+ 𝑐𝑦′
+ 𝑘 𝑥 = 𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡)
Reemplazando los datos:
5𝑦′′ + 5𝑦′
+ 1.03 = 𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡)
Entonces:
5𝑟2
+ 5𝑟 + 1.03 = 0 → (𝑟1 = −0.29; 𝑟2 = −0.71)
𝑋 𝑐 = 𝐴𝑒−0.29𝑡
+ 𝐵𝑒−0.71𝑡
Para calcular la solución particular y el cálculo de las constantes se tiene:
𝑋 𝑝 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)
𝑘. 𝑋 𝑝 = 𝑘[ 𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)] …………………………………………(1)
Necesitamos calcular y´´; y´ para asemejar a la ecuación diferencial original
𝑋′ 𝑝 = −𝑎 𝑤𝑒 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑤𝑒 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡)
𝐶 𝑋′ 𝑝 = 𝐶 [−𝑎 𝑤𝑒 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑤𝑒 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡)]…………………………………..(2)
𝑋′′ 𝑝 = −𝑎 𝑤𝑒
2
𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) − 𝑏 𝑤𝑒
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)
𝑚 𝑋′′ 𝑝 = 𝑚[−𝑎 𝑤𝑒
2
𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) − 𝑏 𝑤𝑒
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)]……………………………….(3)
Ahora sumando 1, 2 y 3 se tiene:
𝑚 𝑋′′ 𝑝 + 𝐶 𝑋′ 𝑝 + 𝑘. 𝑋 𝑝
𝑚[−𝑎 𝑤𝑒
2
𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) − 𝑏 𝑤𝑒
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)] + 𝐶 [−𝑎 𝑤𝑒 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑤𝑒 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡)] + 𝑘[ 𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)]
Agrupando términos:
𝑚 𝑋′′ 𝑝 + 𝐶 𝑋′ 𝑝 + 𝑘. 𝑋𝑝 = [( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝑎 + 𝐶 𝑤𝑒 𝑏] 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + [( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝑏 − 𝐶 𝑤𝑒 𝑎] 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)

35. 35
Igualando las ecuaciones
𝐹0 𝐶𝑂𝑆( 𝑤𝑒 𝑡) = ( 𝑘𝑎 − 𝑐𝑏𝑤𝑒 + 𝑚 𝑎𝑤𝑒
2) 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + ( 𝑘𝑏 − 𝑐𝑎𝑤𝑒 − 𝑚 𝑏𝑤𝑒
2) 𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)
Donde se obtiene:
[( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝑎 + 𝐶 𝑤𝑒 𝑏] = 𝐹0 …………………………………i
[( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝑏 − 𝐶 𝑤𝑒 𝑎] = 0…………………………………..ii
Despejando las ecuaciones i y ii encontramos:
𝑎 =
( 𝑘−𝑚 𝑤 𝑒
2) 𝑏
𝐶 𝑤 𝑒
………………………………………….iii
𝐹0 = [
( 𝑘− 𝑚 𝑤 𝑒
2)∗( 𝑘− 𝑚 𝑤 𝑒
2)
𝐶 𝑤 𝑒
+ 𝐶 𝑤𝑒 𝑏]……………………..iv
Despejando de iv tenemos
𝑏 = [
𝐶 𝑤𝑒 𝐹0
(( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2))
2
+ ( 𝐶 𝑤𝑒)2
]
Reemplazando en iii tenemos
𝑎 = [
( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝐹0
(( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2))
2
+ ( 𝐶 𝑤𝑒)2
]
Por lo tanto la solución particular es:
𝑋 𝑝 = [
( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2) 𝐹0
(( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2))
2
+ ( 𝐶 𝑤𝑒)2
] 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑒 𝑡) + [
𝐶 𝑤𝑒 𝐹0
(( 𝑘 − 𝑚 𝑤𝑒
2))
2
+ ( 𝐶 𝑤𝑒)2
]𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑒 𝑡)
Como de datos tenemos (m=5; c=5; k=1.03; F0=150 we =2)
𝑋 𝑝 = −6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
En conclusión la solución de la ecuación es
𝑋 = 𝑋 𝐶 + 𝑋 𝑝
𝑋 = 𝐴𝑒−0.29𝑡
+ 𝐵𝑒−0.71𝑡
− 6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)+ 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
b2) Determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo, suponiendo que (0)
= 0 metros y (0) = 0 m/s.
Solución
Partimos de la ecuación 𝑋 = 𝐴𝑒−0.29𝑡
+ 𝐵𝑒−0.71𝑡
− 6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)+ 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
En: 𝑋(0) = 𝐴𝑒−0.29𝑡
+ 𝐵𝑒−0.71𝑡
− 6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)+ 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡) = 0
Entonces

36. 36
𝐴 + 𝐵 = 6.19……………….(i)
Derivando
𝑋′
(𝑡) = −0.29𝐴𝑒−0.29𝑡
− 0.71𝐵𝑒−0.71𝑡
+ 12.38 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)+ 6.52𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
𝑋′(0) = −0.29𝐴𝑒−0.29𝑡
− 0.71𝐵𝑒−0.71𝑡
+ 12.38 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)+ 6.52𝑐𝑜𝑠(2𝑡) = 0
Entonces
−0.29𝐴 − 0.71𝐵 = 0………..(ii)
De (i) y (ii)
A=-5.06; B = 11.25
Por lo tanto la solución de la ecuación es
𝑋( 𝑡) = −5.06𝑒−0.29𝑡
+ 11.25𝑒−0.71𝑡
− 6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)+ 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
b3) ¿Qué tipo de movimiento provoca la fuerza de excitación a medida que trascurre
el tiempo?
La fuerza de excitación produce un movimiento oscilatorio forzado amortiguado por tanto
la parte exponencial de la función puede ser despreciado cuando el tiempo es muy grande
es decir la solución complementaria es igual a cero (Xc=0), entonces la función solo
depende de la solución particular, por ello el modelo matemático estaría representado por:
𝑋( 𝑡) = −6.19 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 3.26𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

37. 37
3. TERCERA ETAPA
3.1 RESPONSABILIDAD SOCIAL Y CONTAMINACIÓN AMBIENTAL
a) Elabore un organizador gráfico que ilustre algunas situaciones típicas de
trabajo y entretenimiento que causan vibraciones mecánicas.
Fuente: propia
Situaciones típicas
de trabajo y
entretenimiento que
causan vibraciones
mecánicas.

38. 38
b) Describa con detalle las consecuencias más importantes de la contaminación
acústica para la salud.
Según la Procuraduría Ambiental y el ordenamiento territorial del D.F, mencionan en su
artículo titulado: “Contaminación por ruido y vibraciones: Implicaciones en la salud y
calidad de vida de la población urbana” que la contaminación acústica puede afectar
de manera negativa la salud de las personas.
Asimismo, este artículo indica que en las Guías para el Ruido Urbano se nombran las
principales consecuencias de la contaminación acústica. Estas consecuencias serán
descritas a continuación:
Trastornos del sueño. El ruido produce trastornos primarios durante las horas de
sueño y efectos secundarios al día siguiente; esto es, los efectos primarios se
presentan como dificultad o imposibilidad para conciliar el sueño, interrupción del
sueño y alteración en la profundidad del sueño; y como consecuencia de lo
señalado, se pueden producir cambios en la presión arterial y arritmia cardiaca,
vasoconstricción, variación en el ritmo respiratorio, y sobresaltos corporales. En el
caso de que el ruido no sea continuo, sino intermitente (por ciclos) o un ruido
impulsivo, la probabilidad de despertar aumenta con el número de eventos por
noche, disminuyendo la calidad del sueño. Los efectos secundarios o posteriores se
presentan a la mañana siguiente o incluso puede prolongarse por varios días en
personas hipersensibles; tales efectos son por ejemplo, fatiga, depresión y reducción
del rendimiento. Si estas situaciones se prolongan por días, el equilibrio físio-
psicológico se verá seriamente perturbado.
La OMS indica que para tener un descanso apropiado el nivel de sonido equivalente
no debe exceder de 30 dB(A) para el ruido continuo de fondo y, para el caso de
ruido producido por fuentes fijas individuales no debe superar los 45 dB(A).

39. 39
Cuando se estudia el problema de nivel sonoro emitido por una fuente individual,
debe prestarse atención especial a las causas en un ambiente con bajos niveles de
ruido de fondo, fuentes de ruido con componentes de baja frecuencia y
combinaciones de ruido y vibraciones. (p.8-9)
Efectos sobre las funciones fisiológicas. De acuerdo con la OMS, «La exposición
al ruido puede tener un impacto permanente sobre las funciones fisiológicas de los
trabajadores y personas que viven cerca de aeropuertos, industrias y calles ruidosas.
Después de una exposición prolongada, los individuos susceptibles pueden
desarrollar efectos permanentes, como hipertensión y cardiopatía asociadas con la
exposición a altos niveles de sonido. La magnitud y duración de los efectos se
determinan en parte por las características individuales, estilo de vida y condiciones
ambientales. Los sonidos también provocan respuestas reflejo, en particular cuando
son poco familiares y aparecen súbitamente.»
Asimismo, señala que la exposición de largo plazo al ruido del tránsito con valores
de Neq de 65 a 70 dB(A) en periodos de exposición de 24 horas también puede
inducir padecimientos cardiovasculares como la hipertensión, siendo la cardiopatía
isquémica la afección más seria que se puede presentar.(p.9)
Interferencia con la comunicación oral. La comprensión en una conversación
normal depende del nivel sonoro emitido al hablar, de la entonación en la
pronunciación, de la distancia entre el parlante e interlocutor, del nivel y las
características del ruido de fondo o circundante y de la agudeza auditiva y capacidad

40. 40
de atención de los parlantes. La energía acústica del habla se genera en la banda de
frecuencia de 100 a 6,000 Hz y la señal más común es de 300 a 3 000 Hz. El nivel
de presión sonora de la comunicación oral normal es de 50 a 55 dB(A) a un metro
de distancia, y las personas que hablan en voz alta o a gritos, pueden emitir
presiones acústicas de 75 u 80 dB(A). La voz hablada es inteligible cuando su
intensidad supera al ruido de fondo en 15 dB(A) pero, en medios acústicos en los
que el ruido supera los 40 dB(A), se empieza a dificultar la comunicación oral y a
partir de los 65 dB(A) la comunicación obliga a elevar la voz.
El ruido interfiere en la comunicación hablada a tal grado que en muchas ocasiones
constituye una seria limitante social y en ocasiones genera problemas de
personalidad y cambios en la conducta. Las investigaciones demuestran que los
grupos particularmente vulnerables por interferencias auditivas son las personas de
la llamada tercera edad y los niños en el proceso de adquisición de la lengua. (p.9)
Efectos sobre la audición. La deficiencia auditiva o pérdida progresiva de la
audición es el riesgo más grave que puede sufrir el ser humano expuesto a elevados
niveles de presión acústica. La OMS señala que en la mayoría de los casos el
problema de deficiencia auditiva se origina predominantemente en la banda de
frecuencia de 3,000 a 6,000 Hz pero, si el tiempo de exposición al Neq es superior
a 8 horas, la deficiencia auditiva puede ocurrir en frecuencias bajas como los 2,000
Hz.
En general, las personas con mayor riesgo de sufrir deficiencia auditiva son las
expuestas a niveles de Neq por arriba de 75 dB(A) en ambientes laborales y con
periodos de exposición superiores a 8 horas. Se considera que las personas

41. 41
expuestas al ruido ambiental en periodos hasta de 24 horas y un Neq menor de 70
dB(A) no sufrirán pérdida de la audición. No obstante, todavía no existe una
confirmación de los efectos aquí indicados basada en hechos experimentales, dado
que los efectos perjudiciales de la exposición a niveles de ruido elevados se detectan
a largo plazo. (p.9)
c) Investigue lo relacionado con el día internacional contra el ruido. ¿En nuestro país
se toma en serio la contaminación sonora?
En el artículo llamado “Contaminación por ruido y vibraciones: Implicaciones en la
salud y calidad de vida de la población urbana” se encuentra información escrita por
el autor Fernando Elizondo acerca del Día Internacional contra el Ruido:
El 30 de abril se celebra el Día Internacional Contra el Ruido o el día de
concientización sobre el ruido (International Noise Awareness Day). El evento se
celebró por primera vez el 30 de abril de 1996 bajo la coordinación de la League
for the Hard of Hearing LHH de Nueva York, NY, USA y desde entonces se ha
buscado ampliar su alcance a nivel mundial, tanto con la participación de
organizaciones profesionales y de las comunidades. La meta de estos eventos
anuales es el educar al público, en general, acerca de los efectos nocivos del ruido
en la audición, la salud y la calidad de vida, para lo cual una variedad de actividades,
como las siguientes, son implementadas por los grupos participantes alrededor del
mundo.
Entrenamiento y capacitación de organizadores, para estar al tanto, al menos en
forma superficial, de:
• Qué es el ruido, cómo se produce y cómo se evita.
• Efectos nocivos del ruido en la audición, salud y calidad de vida.
• Principales problemas de ruido en la ciudad o comunidad.

42. 42
• Leyes, reglamentos y normas sobre ruido en vigor.
• Autoridad responsable para cada tipo de problema de ruido.
Un minuto de silencio, para dar a los oídos un descanso, efectuando un
experimento de silencio de un minuto de duración. La LHH propone de las 2:15 a
las 2:16 pm (sin importar la zona de tiempo).
Este período de un minuto resaltará el impacto que el ruido tiene sobre la audición
y la salud, mientras da al participante un respiro de los ruidos que lo rodean todos
los días.
60 segundos de ruido. Si no es posible controlar las fuentes de ruido, se puede
hacer que la persona las identifique y tome conciencia de ellas, pues durante la vida
cotidiana no se les presta atención.
Audiometrías Gratuitas. Utilizando unidades audiométricas móviles, donde se
puedan conseguir.
Distribución de Protectores Auditivos. Se pueden distribuir protectores auditivos
en las audiometrías, reuniones públicas, diferentes lugares comerciales, educativos
e industriales.
Reuniones Públicas, para "hacer ruido sobre el ruido", en diferentes lugares de la
comunidad para ofrecer a los residentes un foro para que expresen sus opiniones o
problemas con respecto al ruido.

43. 43
Caminatas Sonoras, por el centro de la ciudad o una zona de la ciudad donde se
puedan apreciar diferentes ambientes acústicos, con diferentes fuentes de ruido o
ausencia de ellas.(p.10-11)
Fuente: Fernando J. Elizondo.- Laboratorio de Acústica,
FIME/UANL, San Nicolás Nuevo León, México.
En nuestro país no se toma en serio la contaminación sonora ya que si revisamos las páginas
oficiales de las Municipalidades de Lima no encontramos eventos, capacitaciones o
reuniones en la que se mencione el Día Internacional contra el Ruido. Son muy pocas las
municipalidades que realizan este tipo campañas o concientización tales como la
Municipalidad de Miraflores, Surco, San Borja y San Isidro.
d) Investigue si, en materia de contaminación por vibraciones mecánica, a la fecha
existe alguna norma oficial peruana por medio de la cual se pueda regular la emisión
de este agente contaminante.
En la actualidad contamos con el “Reglamento de estándares nacionales de calidad
ambiental para el ruido control de la contaminación sonora y de vibraciones” generado
mediante el decreto supremo N° 085-2003-PCM, el 24 de Octubre del 2003 durante el
gobierno del expresidente Alejandro Toledo Manrique, que tiene como objetivo establecer
los estándares nacionales de calidad ambiental para ruido y los lineamientos para no
excederlos, con el fin de proteger la salud, mejorar la calidad de vida y promover el
desarrollo sostenible.
El reglamento en sí se divide en 5 títulos:
 Objetivo, Principios y Definiciones
 Estándares Nacionales de Calidad Ambiental
 Proceso de Aplicación de los Estándares Nacionales de Calidad Ambiental
 Situaciones Especiales
 De las competencias Administrativas

44. 44
En estos títulos se presenta los límites máximos de contaminación, dividiéndolos en
sectores y presentando los lineamientos y disposiciones a tomar en cuenta para hacer
cumplir la norma.
Por último, presenta tres Disposiciones Complementarias y dos Disposiciones Transitorias
como anexo de los 5 títulos presentados anteriormente.
e) Elabore un cuadro en el que se muestren los conceptos sonido, ruido, presión
acústica y sus respectivas unidades de medida.
Fuente: Propia
SONIDO
• Es un fenomeno vibratorio que a partir de una perturbación
inicial del medio elástico donde se produce, bien sea gaseoso,
líquido o sólido; se propaga, en ese medio, bajo la forma de una
vibracion periodica de presión.
• La forma en la que el sonido se mide son los Hertz.
RUIDO
• Es el sonido no deseado que interfiere en alguna actividad
humana y que es una mezcla compleja de sonidos con
frecuencias fundamentales diferentes, donde el grado de molestia
de un ruido depende del nivel de presión acústica .
• La unidad de medida es el decibelio (dB).
PRESIÓN ACÚSTICA
• Es el resultado de las vibraciones de presión que experimenta las
ondas de sonido en el aire. La presión acústica mínima que
pueden oir las personas es llamado umbral del sonido, y la mayor
que se puede soportar es conocido como el umbral del dolor.
• La unidad de medida es de kgf/cm^2 o "bar".

45. 45
f) Elabore una gráfica en la que muestre la escala comparativa de medición del
sonido
Fuente: https://www.google.com/presion+comparativo+de+la+medicion+del+sonido

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CONCLUSIONES
1. El crecimiento de la población conlleva al aumento de la vulnerabilidad en las zonas
de alta e intermedia actividad sísmica, es preciso adoptar metodologías en la
prevención de desastres para minimizar el riesgo. A la vez los sismos son
fenómenos destructores que afectan los sectores sociales, económicos y
ambientales de una región y del país entero, del mismo modo son actividades
devastadoras que no se pueden predecir con exactitud.
2. Las diversas instituciones de nuestro país proporcionan datos e informes sobre el
sismo (reportes, mapas e imágenes satelitales); pero afrontan dificultades para
obtenerlos, procesarlos y difundirlos, debido a la carencia temporal de recursos
económicos, a la insuficiente cantidad de equipos y redes, así como la falta de
tecnologías apropiadas. Estas circunstancias afectan negativamente la oportunidad
y calidad de información.
3. Las autoridades tienen un rol importante para con la ciudadanía ya que ellos tienen
la obligación de proteger a la ciudadanía en eventos catastróficos como son los
sismos y/o terremotos brindando apoyo de primera necesitad en consecuencia
brindar la reconstrucciones de colegios, hospitales etc.
4. El Ministerio de Vivienda, Construcción y saneamiento debe de hacer un
seguimiento a la ciudadanía en la planificación de Urbanizaciones, asentamientos
humanos, para así contrarrestar las construcciones mal planificadas y prevenir
mayores desastres, perdida humana, etc.
5. Por lo general los terremotos tienen un efecto devastador en los edificios, a través
de las EDO podemos desarrollar modelos matemáticos que nos permitan
determinar las vibraciones que pueden desarrollar los edificios, con PVI podemos
determinar las constantes y así acercarnos a los valores casi reales con ayuda de
los modelos matemáticos.

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6. La rigidez de los edificios hacen que las vibraciones genere mayor daño ya que
concentra la energía de las vibraciones, cuando las vibraciones se desarrollan en
tiempos más largos hace que la estructura también sufra mayor daño es así cuando
un terremoto se desarrolla en más tiempo genera mayor desastre.

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REFERENCIAS
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