En el presente informe, presentamos los ejercicios de alonso-finn ej 3.22 3.23-3.24. ¡Disfrútelo! Deja tu comentario si te fue de ayuda, me ayuda a crecer!!

1. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
Solucionario
3.22.- Encontrar la distancia del punto P(4,5,-7) a la recta que pasa por el punto
Q(-3,6,12) y es paralela al vector V(4,-1,3). Encontrar también la distancia del
puntpo P al plano que pasa por Q y es perpendicular a V.
Solución:
a) Para hallar la distancia del punto a la recta:
Sabemos por inspección de la gráfica:
𝑑 = ‖ 𝑄𝑃‖ cos 𝜃
Si a la forma lo multiplicamos por el módulo de V y lo dividimos a la vez:
𝑑 =
‖ 𝑄𝑃‖ cos 𝜃 𝑉
‖ 𝑉‖
Por lo tanto resultaría:
𝑑 = |
𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑉⃗
‖ 𝑉‖
|

2. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
Con lo que resultaría la distancia buscada:
𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,5, −7) − (−3,6,12)
𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (7, −1, −19)
𝑉⃗ = (4,1,3)
‖ 𝑉‖ = √26
Reemplazando:
𝑑 = |
(7, −1, −19). (4,1,3)
√26
|
𝑑 =
30
√26
𝑑 = 5,88
b) Para hallar la distancia al plano debemos recordar que la ecuación del
plano en función al vector normal y a un punto dados del mismo es el
siguiente:
𝑉⃗ . ( 𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑉⃗ . 𝑄⃗
Por lo tanto:
(4,1,3). ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4,1,3). (−3,6,12)
4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 30 = 0
Por lo tanto aplicando la fórmula:
𝑑 =
| 𝐴𝑃𝑋 + 𝐵𝑃𝑌 + 𝐶𝑃𝑍 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Donde:
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷
𝑃( 𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑃𝑧)
Aplicando la fórmula:
𝑑 =
|(4)(4) + (1)(5) + (1)(−7) − 30|
√42 + 12 + 12
𝑑 = 3,77
3.23 Demostrar que la distancia entre la recta que pasa por P1 y es paralela a
V1 y la recta que pasa por P2 y es paralela a V2 es:

3. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
(𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ )
‖ 𝑉1 𝑥𝑉2‖
Para poder desarrollar el siguiente problema, debemos entender que dos rectas
en el espacio son capaces de formar planos paralelos (dependiendo de una
correcta orientación). Fig 1
Además de esto, al escoger un punto arbitrario ( Sea P1 perteneciente al plano
de la recta paralela a V1 o un punto P2 perteneciente al plano de la recta P2)
siempre podré hallar la distancia perpendicular de las dos rectas proyectando el
punto ortogonalmente hacia el otro plano. Fig 2
FIG1
FIG2

4. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
El ángulo que forma la distancia entre los planos y el segmento P1P2 lo
llamaremos θ
En el gráfico por efecto del programa se conoció el valor de θ, sin embargo
generalizaremos ese ángulo.
Según la FIG2:
𝑑 = ‖𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ cos θ … . (1)
Ahora, debido a que V1 y V2 son vectores paralelos, estos pueden ser
contenidos en un solo plano, y su producto vectorial resultara un vector
perpendicular a cualqueriera de los dos planos y con el mismo sentido del vector
cuya magnitud es la distancia d.
𝑡 = 𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗
Ahora, procederé a multiplicar escarlamente el vector t y el vector P1P2
𝑡. 𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝑡‖‖𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ cos θ … (2)
Reemplazando (1) en (2):
𝑡. 𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝑡‖𝑑
(𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ). (𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ‖𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ‖𝑑
Despejando de tenemos:
𝑡
d

5. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
(𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ).(𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
‖𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ‖
= 𝑑
Con lo que logramos demostrar la ecuación.
Ejm: Aplicar cuando P1(4,5,-7), P2(-3,6,12), V1(1,1,1,), V2(-2,1,3)
Desarrollo:
𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3,6,12) − (4,5, −7)
𝑃1 𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−7,1,19)
𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 1
−2 1 3
= (2, −5,3)
‖𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ‖ = √22 + (−5)2 + 32
‖𝑉1
⃗⃗⃗ 𝑥𝑉2
⃗⃗⃗ ‖ = √38
Reemplazando en la fórmula:
𝑑 =
(−7,1,19). (2, −5,3)
√38
𝑑 =
38
√38
= √38
𝑑 = 6,16
3.24.- Dados una recta que pasa por P(4,5,-7) paralela a V1(-1,2,-4) y un plano a
través de Q(-3,6,12) y perpendicular a V2(1,-1,2).
a) Escribir las ecuaciones respectivas en coordenadas rectangulares.
Desarrollo:
La ecuacion de la recta se define como:
𝑥 − 4
−1
=
𝑦 − 5
2
=
𝑧 + 7
−4
4 − 𝑥 =
𝑦 − 5
2
=
−𝑧 − 7
4
La ecuación del plano se define como:
(1, −1,2). (x, y, z) = (1, −1,2). (−3,6,12)
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 15 = 0
b) Encontrar el punto de intersección de la recta y el plano.
4 − 𝑥 =
𝑦 − 5
2
=
−𝑧 − 7
4
= 𝑘

6. Chinga García Arnold Smith Ciclo: V
𝑥 = 𝑘 + 4, 𝑦 = 2𝑘 + 5, 𝑧 = −4𝑘 − 7
Reemplazando en la ecuación del plano:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 15 = 0
𝑘 + 4 − (2𝑘 + 5) + 2(−4𝑘 − 7) − 15 = 0
−9𝑘 − 30 = 0
𝑘 = −
30
9
Reemplazando para hallar las coordenadas:
𝑥 =
2
3
𝑦 = −
5
3
𝑧 =
19
3
c) Hallar el ángulo entre la recta y el plano:
El vector normal V2 del plano y el vector V1 forman el complemento del ángulo
buscado, con lo cual bastaría con aplicar la sigueinte fórmula.
V1
⃗⃗⃗ . V2
⃗⃗⃗⃗ = ‖V1
⃗⃗⃗ ‖‖V2
⃗⃗⃗⃗ ‖ cos(90 − 𝜃)
(−1,2, −4). (1, −1,2) = √21√6 cos(90 − 𝜃)
−11 = 3√14 cos(90 − 𝜃)
−11
3√14
= cos(90 − 𝜃)
90 − 𝜃 = 168.50
𝜃 = −78.51
El signo negativo quiere decir que se ha tomado en sentido horario el ángulo,
debido a una mala ubicación en los sentidos de los vectores.
θ