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Unidad 2. Interés simple y compuesto
Presentación de la unidad
Desde la antigüedad, el ser humano se ha valido del intercambio de bienes para satisfacer necesidades. Con el paso del tiempo, las sociedades implementaron el uso del dinero para realizar estos intercambios. La utilización del dinero implica el uso del interés, que es una cantidad que se tiene que pagar por el uso del mismo. El interés puede expresarse en cantidad o en porcentaje, y este puede ser simple o compuesto, y a través de este último es posible determinar equivalencias del dinero a través del tiempo.
Propósitos
Al finalizar la unidad serás capaz de:
• Entender y explicar el valor presente y futuro.
• Entender y explicar los conceptos de monto, interés y plazo.
• Diferenciar el interés simple del interés compuesto.
• Aplicar el interés compuesto y las ecuaciones de valor cronológico del dinero derivadas.
Competencia específica
Aplicar los diferentes factores de interés (interés simple e interés compuesto) para realizar equivalencias del dinero a través del tiempo. Matemáticas financieras Programa desarrollado 5

2.1. Conceptos básicos
Para garantizar la comprensión al 100% del material de esta unidad, es necesario que realices una revisión de conceptos financieros que te proporcionarán bases fuertes para la utilización de las matemáticas financieras. Tales conceptos son los siguientes: Valor presente y futuro, monto, interés simple, interés compuesto, entre otros. El papel que desempeña el tiempo en el valor del dinero es la idea general que integrará todos los conceptos.
2.1.1. Valor presente y futuro
El valor del dinero a través del tiempo es clave en las matemáticas financieras, en el sentido de que, si tenemos cierta cantidad de efectivo, podemos tener la certeza del valor del dinero hoy, mientras que en el futuro, el valor del efectivo es incierto. Una forma de analizar el dinero a través del tiempo es trasladar las diferentes equivalencias de una cantidad al valor presente.
2.1.2. Monto
Capital o principal ( ) se le denomina al valor del dinero actual o presente. Para ejemplificar lo anterior, supón que el Sr. Ramos pide un préstamo al banco, la cantidad prestada es el capital, al utilizar el crédito en este institución bancaria, éste genera intereses que es la cantidad de dinero extra a pagar por el uso del crédito y el monto es la cantidad total a pagar (monto = capital o capital + interés) y su expresión matemática es: = +
2.1.3. Interés simple
En esta asignatura, llamaremos tasa de interés al costo que genera hacer uso de recursos que no son propios, Se conocen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto. En el interés simple, solamente se ganan intereses a partir del capital o principal. Y se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Matemáticas financieras Programa desarrollado 6

Ejemplo
Si un banco presta $100 pesos ahora al 10% por periodo, al final del periodo 1 la deuda ascenderá a 100+(100 × 0.10) = $110.
(100 ×0.10) Representan los intereses a una tasa de interés simple cuyo valor será uniforme desde 1 hasta el é periodo. Ejemplo
Un microempresario tomó prestado $120, por 5 meses y se cargó el 9% de interés.
1. ¿Cuánto interés pago?
= (interés) se desconoce.
= (principal o capital) es el importe tomado prestado = $120.
= (tasa) es el 9% anual. Cambiar a 0.09 antes de sustituir.
= (tiempo) es 5 meses. =
= 120 0.09 512 = 120 0.09 0.4167 =5412=4.492=$4.50
El cargo por intereses es $4.50. Determinación del valor al vencimiento
2. ¿Cuánto tendrá que liquidar al finalizar los 5 meses? = + = 120 + 4.50 = $124.50 Comprobación: El monto del interés para un periodo corto debe ser pequeño con relación al capital. Por lógica, el importe liquidado tiene que ser mayor que el capital. Matemáticas financieras Programa desarrollado 7

Determinación de la tasa Ejemplo
Una deuda de $260 se liquidó al finalizar 3 meses con $5.20 pesos adicionales por concepto de intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés?
I es el importe del interés $5.20.
P es el importe tomado prestado = $260. r se desconoce.
= 3 meses, o 312, o 0.25 de un año. = 5.20 = 260 14
Multiplica 260 por ¼ para simplificar el coeficiente de r 5.20 = 65 Divide ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de r
5.2065 =65 65 = 0.08 = 8%
La tasa es 8% anual. Como el tiempo se utilizó como parte de 1 año, la tasa también se basa en un año. Determinación del tiempo El tiempo es una “magnitud física que permite ordenar la secuencia de los sucesos, estableciendo un pasado, un presente y un futuro. Su unidad en el Sistema Internacional es el segundo.” (RAE, 2011)
Para fines prácticos, en esta asignatura, el tiempo será un periodo, que como tal, puede durar un día, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año, etcétera. Matemáticas financieras Programa desarrollado 8

Ejemplo
Una deuda de $480 se liquidó con un cheque por el importe de $498. Si la tasa de interés fue del 712%, ¿cuánto tiempo se tuvo prestado el dinero? = $480 = 712% = 0.075 t es la incógnita = $498 Para determinar el interés, resta el valor al vencimiento del principal = $498 − $480 = $18 = 18 = (480)(0.075) 18 = 36 1836=36 36 0.5 = 12 =
El tiempo es 12 año, o 0.5 años. Como la tasa es una tasa anual, el tiempo también es parte de un año. Comprobación: el tiempo es inferior a un año. Esto es cierto en la mayor parte de los problemas de interés simple. Determinación del principal o capital Ejemplo
¿Cuánto se tomó prestado si el interés es $27, la tasa es 9% y el tiempo 2 meses? = $27 P se desconoce Matemáticas financieras Programa desarrollado 9

= 9% = 0.09
= 2 meses, o 212 de un año. Se utilizará el quebrado 2/12 en lugar del decimal repetitivo equivalente, es decir,0.16666666, ya que el quebrado es exacto. = $27 = 0.09 212
Multiplica 0.09 por 2 y divide el resultado entre 12 27 = (0.015)
Divide ambos lados entre el coeficiente de 270.015= 0.015 0.015 $1,800 =
El capital (principal) es $1,800
Comprobación: = = (1,800) (0.09)212 = 27 Matemáticas financieras Programa desarrollado 10

2.1.4. Plazo
El plazo el intervalo regular establecido (que puede ser anual, semestral, trimestral) por el cual se calcula el interés y después de añade al principal o capital ( ). Ejemplo
¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de interés anual simple? De la formula: = (1+ )
Suponiendo que =2 y =1 2=1 1+ 0.49 1+0.49 =2 0.49 =2−1=1 =1/0.49 =2.04 ñ 0.04 ñ =365(0.040) í =14.84 í =2 ñ 15 í ,
Nota que para calcular esto sólo se necesitó suponer un monto del doble de cualquier capital. Utilizando =30 =15. 30=15(1+0.49 ) 3015=1+0.49
2=1+0.49 Que es la misma expresión anterior. Ejemplo
¿En cuánto tiempo se acumularían $5,000 si se depositaran hoy $3,000 en un fondo que paga 4% simple anual? = 5,000 = 3,000 = 0.04 5,000=3,000(1+0.04 ) 5,0003,000=1+0.04 1.666667=1+0.04 0.04 =0.666667 =0.666667/0.04 Matemáticas financieras Programa desarrollado 11

=16.67
Como la tasa estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en también está en meses, y 0.67 meses=0.67(30) días=20.1 días; entonces, se acumulan $5,000, si se depositan hoy $3,000 a 4% mensual simple en 16 meses y 20 días, aproximadamente. Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de mencionar un número de meses o años. Ejemplo
¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10,000 depositado el 15 de mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 49% anual simple? =10,000 =0.49 =?
a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurren entre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita y retira una cantidad el mismo día, no se pagan intereses).
16 días de mayo 30 días de junio 31 días de julio 31 días de agosto 30 días de septiembre 31 días de octubre 30 días de noviembre 24 días de diciembre 223
, =223/365 =10,000 1+ 019 (223365) =10,000(1.116082) =11,160.82 Matemáticas financieras Programa desarrollado 12

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enteros de 30 días y años de 360 días:
Del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al 24 de diciembre: 7 30 +9=219 í =219360 =$10,000.00 1+0.1 219360 = =10,000(1.115583) =11,155.83 Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el cálculo aproximado del tiempo debido a que es más sencillo.
2.1.5. Descuento
El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en bancos, y consiste en que éstos adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nominal descuentan una cantidad equivalente a los intereses que adquiriría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha límite o fecha de vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento. Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: Descuento comercial En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento. Descuento real o justo A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal. Matemáticas financieras Programa desarrollado 13

Ejemplo descuento comercial
Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166,666.67. Si el tipo de descuento es de 30% y el vencimiento del pagaré era 4 meses después de su descuento. ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento? Solución: =166,666.67 =0.30 =4/12=1/3
Tomar en cuenta que el descuento ( )= = + = + = + − = 1− = = 1− =166,666.67 0.30 1/3 1− 0.30 (1/3)=166,666.67 0.10 1−0.10=16,666.670.90= =$18,518.52 Y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es: 166,666.67+18,518.52=$185,185.19 Ejemplo descuento real o justo: De los mismos datos del ejemplo anterior: =166,666.67 =0.30 =4/12=1/3 Solución: =166,666.67 1+0.3 13 =166,666.67(1.10) Matemáticas financieras Programa desarrollado 14

=$183,333.34
Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaré habría sido de $183,333.34.
Actividad 1: Ensayo En esta actividad, integrarás todos los conceptos expuestos en el contenido de la unidad, mediante la explicación del valor del dinero en el tiempo.
1. Investiga en fuentes primarias y secundarias (libros de texto, revistas, material virtual, entre otros) el valor del dinero a través del tiempo.
2. Analiza la información y elabora un ensayo en un documento, en el cual expliques, con tus propias palabras el valor del dinero a través del tiempo.
*Recuerda que tu argumento debe de ser apropiado y bien organizado.
3. Guarda tu archivo con la nomenclatura MF_U2_A1_XXYZ, y envíalo a tu Facilitador(a) a través de la sección de Tareas y espera retroalimentación.
Ejercicios
Lee con atención el enunciado y resuelve lo que se te pide. Identifica el tipo de ejercicio que estás solucionando. Recuerda que debes escribir todo el desarrollo del problema.
1. El señor Pérez solicita un préstamo bancario por
pesos para completar el enganche de una motocicleta. Acuerda pagar un total de
pesos por concepto de intereses. ¿Qué monto deberá pagar al término del plazo establecido?
2. Mariana depositó en una cuenta bancaria
pesos hace un año. Al final de este tiempo se le entregaron
pesos. Identifica el capital, el monto y calcula el interés ganado.
3. Encuentra el valor presente de
pesos utilizando una tasa de interés de
mensual, nueve meses antes de la fecha de vencimiento.
4. ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga
para acumular al final del quinto año
pesos?

5. Determina la tasa de interés efectiva que se recibe de un préstamo si la tasa nominal es de
capitalizables semanalmente.
6. Se invirtieron
pesos al
mensual de interés compuesto mensualmente durante
meses ¿Cuál es el valor futuro al finalizar este tiempo?
7. ¿Qué cantidad debe de ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el
anual de modo que puedan retirar
pesos al final del año
,
al final del año
y
pesos al final del año
, y la cuenta quede agotada?
8. Encuentra el valor presente de una serie de ingresos en la cual el flujo de caja en el año
es de
pesos y crece por año hasta el año
a un interés de
.

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