Este documento presenta la resolución de la pregunta número 3 de un examen de álgebra lineal. Se da un sistema de ecuaciones lineales homogéneo y se procede a encontrar los valores de α y β para los cuales el sistema es linealmente independiente. Se encuentra que α=-2 o α=1 son las únicas soluciones y para α=-2 se genera el subespacio vectorial asociado.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ALGEBRA LINEAL
CORRECIÓN DEL EXÁMEN DE ÁLGEBRA LINEA
PREGUNTA N° 3
27 de Marzo de 2014

2. S=
𝜸 1-𝜸2 - 2𝜸3= 0
2𝜸 1+ 𝜶 𝜸2 - 4 𝜸3= 0
-𝜸 1+𝜷𝜸2 +(𝜶2+𝜶) 𝜸3= 0
(0+0x+0x2) +𝜸3(-2-4x+ (𝛼2+ 𝛼)x2}= {𝜸1(1+2x-x2) +𝜸2(-1+𝛼x+𝛽x2)
(0+0x+0x2) = {𝜸1+2𝜸1x-𝜸1x2
+𝜸2+𝛼 𝜸2 x+𝛽 𝜸2 x2 -2 𝜸3 -4 𝜸3 x+ (𝛼2+ 𝛼) 𝜸3 x2}
(0+0x+0x2) = {(𝜸1- 𝜸2-2 𝜸3) +(2𝜸1x+𝛼 𝜸2 x- 4 𝜸3 x) +(- 𝜸1 x2+ 𝛽 𝜸2 x2+(𝛼2+ 𝛼) 𝜸3 x2)}

3. A =
1 -1 -2
2 𝜶 -4
-1 𝜷 𝜶2 + 𝜶
=
1 -1 -2
0 𝜶 +2 0
0 𝜷-1 𝜶2 + 𝜶-2
F2=F2-2F1
F3=F3-F1
= 1
𝜷-1
= (𝜶 +2 )(𝜶2 + 𝜶-2 )
=𝜶3 + 𝜶2 -2 𝜶+ 2 𝜶2 +2𝜶-4
= 𝜶3 +3 𝜶2 -4
=(𝜶 +2)2( 𝜶 -1)
𝜶 =-2
𝜶 =1
∃ ! Solución
S es L.I ∀ 𝜶, 𝜷 ∈ R -{-2,1}
𝜶 +2 0
𝜶2 + 𝜶-2

4. Para 𝜶=-2 encontrar el s.e.v generado por S
(a+bx+cx2)/( a+bx+cx2)
(a+bx+cx2)
(a+bx+cx2)
𝜸 1-𝜸2 - 2 𝜸3= a
2𝜸 1+ 𝜶 𝜸2 - 4 𝜸3= b
-𝜸 1+𝜷𝜸2 +(𝜶2+𝜶) 𝜸3= c
2 -4 b
~
+𝜸3(-2-4x+ (𝛼2+ 𝛼)x2= 𝜸1(1+2x-x2) +𝜸2(-1+𝛼x+𝛽x2)
= 𝜸1+2𝜸1x-𝜸1x2
+𝜸2+𝛼 𝜸2 x+𝛽 𝜸2 x2 -2 𝜸3 -4 𝜸3 x+ (𝛼2+ 𝛼) 𝜸3 x2
= {(𝜸1- 𝜸2-2 𝜸3) +(2𝜸1x+𝛼 𝜸2 x- 4 𝜸3 x) +(- 𝜸1 x2+ 𝛽 𝜸2 x2+(𝛼2+ 𝛼) 𝜸3 x2)}
𝜶
𝜶2 + 𝜶-1 𝜷 c
1 -1 -2 a
2 -4 b-2
2-1 𝜷 c
1 -1 -2 a
F2=F2-2F1
F3=F3+F1
1 -1 -2 a
0 0 0 b-2a
0 𝜷-1 0 a+c
<S> = (a+bx+cx2)/b-2a=0