La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro. ... Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

1. CIRCUNFERENCIA
LUGAR GEOMÉTRICO
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA
Todos los puntos P (x ; y ) donde la distancia de un punto cualquiera de la circunferencia
al centro C ( h ; k); se denomina radio (r).
C. d (PC) = r
√ (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟
ELEMENTOS
Centro de la circunferencia: punto fijo “C(h;k)”.
Radio de la circunferencia: distancia constante del centro a la circunferencia “r”.
Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: cuerda que pasa por el centro y cuya longitud es 2r.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
I. Forma canónica
La circunferencia de centro en el origen
De coordenadas y radio r > 0, tiene
Por ecuación:
C: x2 + y2 = r2

2. II. Forma ordinaria
La ecuación de una circunferencia
de centro el punto C( h;k ) y de radio
r > 0 está dado por:
C: (x - h)2 + (y – k)2 = r2
Sabemos que: d(PC) = r
√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟
C: (x – h)2
+ (y – k)2
= r2
III. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollando la forma ordinaria:
C: (x- h)2
+ (y – k)2
= r2
Obtenemos que: x2
+ y2
– 2hx – 2ky + (h2
+ k2
– r2
) = 0
Haciendo: D = - 2h; E = - 2k; F = h2
+ k2
– r2
La ecuación de la circunferencia sería:
C: x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0 …………..( α )
Comprobando llevaremos la ecuación a la forma inicial:
(𝑥2
+ 𝐷𝑥 +
𝐷2
4
) + (𝑦2
+ 𝐸𝑦 +
𝐸2
4
) =
𝐷2
4
+
𝐸2
4
− 𝐹
(𝑥 +
𝐷
2
)
2
+ (𝑦 +
𝐸
2
)
2
=
1
4
( 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹)

3. Centro:
Radio:
De donde observamos que:
𝐶 = (−
𝐷
2
; −
𝐸
2
)
𝑟 =
1
2
. √ 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
En la ecuación α de dan los siguientes casos:
(.) si: D2
+ E2
– 4F > 0, tenemos la circunferencia de centro C (− 𝐷
2
; − 𝐸
2
)
y 𝑟 =
1
2
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
(..) si D2
+ E2
– 4F = 0, representa el punto 𝐶 = (−
𝐷
2
; −
𝐸
2
)
(…) si D2
+ E2
– 4F < 0, representa un conjunto vacío ∅, es decir , no representa
un lugar geométrico.
Condiciones para que un polinomio de grado 2 represente una
circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
1) Los coeficientes de 𝑥2
𝑦 𝑦2
deben ser “iguales” a la unidad.
Si son iguales y no a 1, se divide a toda la ecuación.
2) No tener término en 𝑥𝑦.
3) (
𝐷
2
)
2
+ (
𝐸
2
)
2
− 𝐹 > 0