El documento resume los principales métodos para factorizar polinomios como factor común, agrupamiento, diferencia de cuadrados, inspección y completar cuadrados. También presenta teoremas importantes como el teorema del factor y del residuo para aplicar en la factorización de polinomios.

1. TALLER
DE NIVE´
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2014
´
TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014
11 de febrero de 2014
M´todos de factorizaci´n
e
o

2. TALLER
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´
FACTOR COMUN, AGRUPAMIENTO,
´
DIFERENCIA DE CUADRADOS, INSPECCION

3. TALLER
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ˆ
A¿Qu´ es factorizar?
e
Factorizar un polinomio en una variable real x consiste en
expresarlo como producto de polinomios de grado menor.
Para factorizar existen diversos m´todos que estudiaremos
e
hoy, empezando por factor com´n, agrupamiento, diferencia
u
de cuadrados e inspecci´n.
o

4. TALLER
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´
FACTOR COMUN
Cuando tenemos un polinomio primero debemos fijarnos si
en sus t´rminos existen factores comunes. Observemos este
e
ejemplo:
3x2 y 4 z + 6xy 3 + 9xy 2
el factor com´n que encontramos en cada t´rmino es 3xy 2 .
u
e
Lo siguiente ser´ extraer el factor com´n del polinomio y lo
a
u
expresamos como un producto, de la siguiente forma:
3xy 2 (xy 2 z + 2y + 3)

5. TALLER
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AGRUPAMIENTO
Algunas veces se nos presenta un polinomio en el que no
encontramos factores comunes y se nos dificulta realizar
aplicar la t´cnica anterior, es entonces cuando podemos
e
considerar el m´todo de agrupaci´n o agrupamiento que
e
o
consiste en agrupar t´rminos en los que se encuentren
e
factores comunes para luego aplicar el m´todo que acabamos
e
de aprender. Tenemos el siguiente polinomio:
a2 x + bx − a2 z − bz
En este caso podemos agrupar los t´rminos de la siguiente
e
forma:
(a2 x + bx) + (−a2 z − bz)

6. TALLER
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AGRUPAMIENTO
Luego extraemos los factores comunes de cada par´ntesis:
e
x(a2 + b) + (−z)(a2 + b)
(a2 + b)(x − z)
NOTA: Tambi´n se pueden agrupar los t´rminos de modo
e
e
que nos quede una f´rmula notable. Ejemplo:
o
x2 − y 2 + 10x + 25
= (x2 + 10x + 25) − y 2
= (x + 5)2 − y 2
= (x + 5 + y)(x + 5 − y)

7. TALLER
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DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se utilizar´ la tercera f´rmula notable para m´todo de
a
o
e
factorizaci´n:
o
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Ejemplos:
Factorice 3x3 − 3xy 2
= 3x(x2 − y 2 )
= 3x(x + y)(x − y)
Factorice x6 − z 6
= (x3 − z 3 )(x3 + z 3 )
= (x − z)(x2 + xz + z 2 )(x + z)(x2 − xz + z 2 )

8. TALLER
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´
INSPECCION
Este en un m´todo muy util para factorizar trinomios de la
e
´
2 + sx + t. Utilizando el siguiente ejemplo lo
forma rx
podremos comprender mejor:
x2 + 7x + 12
x
4
x
3
Mulpliticamos en X y sumamos los t´rminos: 3x + 4x = 7x
e
observe que la suma de esos t´rminos nos da como resultado
e
el t´rmino del centro, eso nos dice que la inspecci´n
e
o
est´ bien hecha, por lo que la factorizaci´n queda de la
a
o
siguiente forma: (x + 4)(x + 3)

9. TALLER
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COMPLETAR CUADRADOS, TEOREMA DEL
FACTOR Y DEL RESIDUO

10. TALLER
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COMPLETAR CUADRADOS
En este m´todo lo que hacemos es sumar y restar un mismo
e
t´rmino para completar un trinomio cuadrado perfecto.
e
Ve´mos el siguiente ejemplo:
a
x2 + 2x − 5
=
+ 2x + 1 − 1 − 5
(Sumamos y restamos 1)
2−6
=
o
√ (x + 1) √ (F´rmula Notable)
(x + 1 − 6)(x + 1 + 6)
(Diferencia de cuadrados)
x2

11. TALLER
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COMPLETAR CUADRADOS
ˆ o
A¿C´mo saber que valor debemos sumar y restar?
La expresi´n x2 + 2x − 5 es de la forma ax2 + bx + c donde
o
a = 1, b = 2, c = −5.
El valor que debemos de sumar y restar al trinomio es el que
b
2 2
corresponde a ( )2 , en este caso tenemos (
) =1
2a
2(1)

12. TALLER
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TEOREMAS IMPORTANTES PARA
´
FACTORIZACION

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TEOREMA DEL FACTOR
Si P (x) es un polinomio y c ∈ R es un cero de P (x) si y s´lo
o
si x − c es un factor de P (x).
TEOREMA DEL RESIDUO
Si P (x) es un polinomio, el residuo que se obtiene al hacer la
divisi´n P (x) ÷ (x − c) donde c ∈ R, es igual a P (c)
o
TEOREMA
1
Un polinomio de grado n con coeficentes reales tiene a
lo sumo n ceros reales.
2
Un polinomio con coeficientes reales, de grado
impar,tiene al menos un cero real.

14. TALLER
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TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES
Si P (x) es un polinomio de grado n tal que a0 es el t´rmino
e
constante y an es el coeficiente principal, entonces todo cero
racional de P (x) es de la forma p donde p es un divisor de
q
a0 y q es un divisor de an

15. TALLER
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Esto nos dice que los posibles ceros racionales de un
polinomio se encuentran entre los cocientes que se forman
con los divisores del t´rmino constante del polinomio entre
e
divisores del coeficiente de la potencia mayor del polinomio.

16. TALLER
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´
APLICACION DE ESTOS TEOREMAS
Los teoremas enunciados anteriormente nos son utiles para
´
factorizar frecuentemente polinomios de grado mayor a 2.
Trabajemos en algunos ejemplos para ver la aplicaci´n de
o
ellos:
1
2x3 + x2 − 13x + 6
2
x4 − 5x3 − 5x2 + 23x + 10
3
x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6

17. TALLER
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ˆ
A¡Hagamos algunos ejercicios!