Lunes 17

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TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

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16 de febrero de 2014

Ecuaciones

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ECUACION
def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones es
algebraica recibe el nombre de ecuaci´n.
o
Ejemplo:
3x = 1
9x + 2 = 5 − 3x

´

´
ECUACION LINEAL
Este tipo de ecuaciones son las que contienen una s´la inc´gnita
o
o
de grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma:
ax + c = 0; a, c ∈ R

´

´
´
SOLUCION DE UNA ECUACION
Es el valor ´ valores de la inc´gnita que al ser sustituidos en la
o
o
ecuaci´n la transforman en una igualdad num´rica verdadera.
o
e
Resolvamos el siguiente ejemplo:
x − (2x + 1) = 8 − (3x + 3)
x − 2x − 1 = 8 − 3x − 3
−x − 1 = 5 − 3x
−x − 1 + 3x = 5 − 3x + 3x
−1 + 2x = 5
−1 + 1 + 2x = 5 + 1
2x = 6
x= 6
2
x=3

´

´
CONJUNTO SOLUCION
Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuaciń se le llama
o
conjunto soluciń. En el ejemplo anterior tenemos que el valor
o
de x que es soluciń es 3
o
∴ S = {3}

´

´
CONJUNTO SOLUCION
Podemos verificar fćilmente que el valor obtenido es,
a
efectivamente, una soluciń:
o
2(3)=6
6=6
Obtenemos una igualdad num´rica verdadera. Tomemos 5 y
e
problemos si es soluciń:
o
2(5)=6 ; 10=6
Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S

´

NOTAS:
1

Las ecuaciones de primer grado con una inc´gnita tienen
o
una o ninguna soluciń.
o

2

A las soluciones de una ecuaciń se les llama tambiń
o
e
ra´
ıces de la ecuaciń.
o

´

Resolvamos m´s ecuaciones lineales
a
1

15x − 10 = 6x − (x + 2) + (−x + 3)

2

(5 − 3x) − (−4x + 6) = (8x + 11) − 3x − 6

3

30x − (−x + 6) + (−5 + 4) = 5x + 6 − 8 + 3x

4

−3(2x + 7) + (−5x + 6) − 8(1 − 2x) − (x − 3) = 0

5

(x − 2)2 − (3 − x)2 = 1

´

´
ECUACIONES CUADRATICAS
Unas niãs muy precoces,
n
al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.

Las que al principio empezaron
con esto se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me digas
sin miedo y sin compasiń
o
ˆ
A¿Cuńtas eran al principio
a
de este juego juguetń?.
o
Alejandro Bravo,
Margarita Espinosa.

´

´
def. Una ecuaciń cuadr´tica o de segundo grado en una
o
a
variable con coeficientes reales es una ecuaciń que puede
o
escribirse como:
ax2 + bx + c = 0;
a, b, c ∈ R, a = 0
Ejemplo:
x2 − 6x − 3 = 0
donde a=1 , b=-6 , c=-3

´

´
Para resolver una ecuaciń de este tipo requeriremos de los
o
m´todos de factorizaciń estudiados previamente,
e
o
principalmente inspecciń, completar cuadrados ´ la f´rmula
o
o
o
general que veremos a continuaciń:
o
√
−b ±
F´rmula General:
o
2a
Discriminante:
= b2 − 4ac
donde :
1

Si

> 0, ecuaciń tiene dos soluciones reales.
o

2

Si

= 0, ecuaciń tiene una soluciń real.
o
o

3

Si

< 0, ecuaciń no tiene soluciones reales.
o

´

Resolvamos las siguientes ecuaciones:
1

x2 − x − 6 = 0

2

x2 + 7x = 18

3

2x2 = 2x −

4
5
6

1
2

5(x2 + 1) = 8x
√
3t2 − 15t + 2 = 0
√
3x2 + 3 2x = 4

´

ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2
Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemos
utilizar los siguientes m´todos de factorizaciń principalmente:
e
o
factor comń, agrupamiento y divisiń sint´tica. Ve´mos el
u
o
e
a
siguiente ejemplo:
x3 − 7x + 6 = 0

´

Resolvamos m´s ejemplos:
a
1

x4 − 10x2 + 9 = 0

2

x2 (3x2 + 2) = 4(x2 − 3) + 13

3

x6 = x3 + 12

4

x5 + 2x4 − 10x3 − 20x2 + 9x + 18 = 0

´

ECUACIONES RACIONALES
En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicas
racionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprender
como se resuelven:
x−1 x−2
x
+
=1+
2
4
3
4(x − 1) + 2(x − 2)
3+x
=
8
3
6x − 8
3+x
=
8
3
3(6x − 8) = 8(3 + x)
18x − 24 = 24 + 8x
10x = 48
24
x=
5
24
S=
5

´

SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistemas de ecuaciones lineales en las inc´gnitas x, y
o
o sistema 2X2 es una expresiń de la forma:
´
o
ax − by = e
cx − dy = f
donde a, b, c, d, e, f ∈ R.
Una soluciń del sistema es una par ordenado (x0 , y0 );
o
x0 , y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.
Estudiaremos cuatro m´todos para resolver sistemas de
e
ecuaciones: igualaciń, suma y resta, sustituciń y
o
o
mediante una gr´fica.
a

´

´
IGUALACION
Resuelva el siguiente sistema:
2x + 3y = 1
5x + 4y = 2
1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones:
1 − 3y
2
2 − 4y
x=
5
x=

´

´
IGUALACION
2)Luego, igualamos ambas expresiones:
1 − 3y
2 − 4y
=
2
5
5(1 − 3y) = 2(2 − 4y)
5 − 15y = 4 − 8y
5 − 4 = −8x + 15y
1 = 7y
1
y=
7

´

´
IGUALACION
3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de las
expresiones anteriores:
5x + 4( 1 ) = 2
7
5x + 4 = 2
7
4
5x = 2 − 7
5x = 10
7
2
x= 7
2 1
S=
,
7 7

´

Sustituci´n
o
2x + 3y = 1
5x + 4y = 2( )
1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones.
x=

1 − 3y
(♠)
2

2)Sustituimos el valor de x en ( )
5

1 − 3y
2
y=

+ 4y = 2
1
7

´

Sustituci´n
o
3)Sustituimos el valor de y en (♠):
1 − 31
2
7
=
2
7
2 1
,
∴S=
7 7
y=

´

SUMA Y RESTA
2x + 3y = 1
5x + 4y = 2
(2x + 3y = 1)5
(5x + 4y = 2) − 2
10x + 15y = 5
−10x − 8y = −4
7y = 1
1
y=
7

´

SUMA Y RESTA
Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del
sistema inicial:
1
=1
7
2
x=
7
2 1
∴S=
,
7 7
2x + 3

´

´
LENGUAJE MATEMATICO
La suma de 10 y x: 10 + x
x
La mitad de un n´mero:
u
2
2 m´s que a: a + 2
a
La diferencia de dos n´meros: x − y
u
El producto de dos n´meros: xy
u
x
El cociente de dos n´meros:
u
y
El doble de un n´mero: 2a
u
El triple de un n´mero: 3a
u

´

´
LENGUAJE MATEMATICO
Traduzcamos las siguientes frases:
1

Un n´mero disminuido en 16:
u

2

Un tercio de w:

3

El cociente de 25 entre un n´mero:
u

4

Luis tiene 4 helados m´s que Mar´
a
ıa:

5

El total de d´ en x horas
ıas

6

Dos veces t menos nueve:

7

La suma de dos n´meros es 81:
u

´

´
LENGUAJE MATEMATICO
Saber realizar este tipo de traducciń nos ayuda a la resoluciń
o
o
de problemas. Ejemplo:
El padre tiene 51 aõs, el hijo tiene 9 aõs.A¿Al cabo de
n
n ˆ
cuńtos aõs ser´ la edad del padre 8 veces la edad del hijo?
a
n
a

´

EJERCICIOS

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