Este documento describe diferentes transformaciones de funciones como funciones lineales, cuadráticas, cúbicas y raíz cuadrada. Explica cómo aplicar transformaciones como traslaciones, reflexiones y estiramientos a las gráficas de estas funciones, mostrando ejemplos de cómo se modifica la gráfica después de aplicar cada transformación.

1. Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Transformaciones de funciones
ExMa-MA0125
exma.emate.ucr.ac.cr
W. Poveda
Universidad de Costa Rica
Setiembre 2009

2. Función lineal
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f : R ! R; f (x ) = x
5
-4 -2
-5
2
4

3. Función lineal
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f : R ! R; f (x ) = x
5
Translación una unidad
hacia la izquierda
y = f (x ) + 1
5
-4 -2
-5
2
4
-4 -2
2
4

4. Función lineal
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f : R ! R; f (x ) = x
5
Translación una unidad
hacia la izquierda
y = f (x ) + 1
5
-4 -2
2
4
-5
-4 -2
Translación una unidad
hacia la derecha
y = f (x )
-4 -2
-5
1
2
4
2
4

5. Función lineal
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f : R ! R; f (x ) = x
5
Translación una unidad
hacia la izquierda
y = f (x ) + 1
5
-4 -2
2
4
-5
-4 -2
Translación una unidad
hacia la derecha
y = f (x )
-4 -2
-5
1
2
2
4
Re‡exión de la grá…ca
y = x, esto es, y =
5
4
-4 -2
-5
2
4
x

6. Función cuadrática
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 2 , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
10
5
-4 -2
0
2
4

7. Función cuadrática
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 2 , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
10
5
-4 -2
Translación una unidad
hacia la izquierda, esto es,
y = f (x + 1) = (x + 1)2
10
5
-4 -2
0
2
4
0
2
4

8. Función cuadrática
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 2 , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
10
5
-4 -2
Translación una unidad
hacia la izquierda, esto es,
y = f (x + 1) = (x + 1)2
0
2
4
Translación una unidad
hacia la derecha, esto es,
y = f (x 1) = (x 1)2
10
10
5
5
-4 -2
0
2
4
-4 -2
0
2
4

9. Función cuadrática
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación una unidad
hacia arriba, esto es,
y = f (x ) + 1 = x 2 + 1
10
5
-4 -2
0
2
4

10. Función cuadrática
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación una unidad
hacia arriba, esto es,
y = f (x ) + 1 = x 2 + 1
Translación una unidad
hacia abajo, esto es,
y = f (x ) 1 = x 2 1
10
10
5
5
-4 -2
0
2
4
-4 -2
0
2
4

11. Función cuadrática
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación una unidad
hacia arriba, esto es,
y = f (x ) + 1 = x 2 + 1
Translación una unidad
hacia abajo, esto es,
y = f (x ) 1 = x 2 1
10
10
5
5
-4 -2
0
2
4
-4 -2
Re‡exión de y = x 2 con respecto
al eje x,esto es y = x 2
-4 -2
-5
-10
0
2
4
0
2
4

12. Función cuadrática
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación una unidad
hacia arriba, esto es,
y = f (x ) + 1 = x 2 + 1
Translación una unidad
hacia abajo, esto es,
y = f (x ) 1 = x 2 1
10
10
5
5
-4 -2
0
2
4
-4 -2
Re‡exión de y = x 2 con respecto
al eje x,esto es y = x 2
-4 -2
-5
-10
0
2
4
0
2
4
Estiramiento de y = x 2

13. Función cúbica
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 3 , su grá…ca es
10
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
-4
-2
2
-10
4

14. Función cúbica
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 3 , su grá…ca es
10
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
-4
-2
2
-10
Translación una unidad
hacia la izquierda esto es,
y = f (x + 1) = (x + 1)
10
-4 -2
-10
2
4
3
4

15. Función cúbica
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = x 3 , su grá…ca es
10
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
-4
-2
2
4
-10
Translación una unidad
hacia la derecha esto es,
Translación una unidad
hacia la izquierda esto es,
y = f (x + 1) = (x + 1)
y = f (x
1) = (x
10
10
-4 -2
-10
3
2
4
-4 -2
-10
2
4
1)
3

16. Función cúbica
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación dos unidades
hacia arriba esto es,
y = f (x ) +2 = x 3 +2
10
-4 -2
-10
2
4

17. Función cúbica
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación dos unidades
hacia arriba esto es,
Translación dos unidades
hacia abajo esto es,
y = f (x ) +2 = x 3 +2
y = f (x )
10
-4 -2
-10
2 = x3 2
10
2
4
-4 -2
-10
2
4

18. Función cúbica
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación dos unidades
hacia arriba esto es,
Translación dos unidades
hacia abajo esto es,
y = f (x ) +2 = x 3 +2
y = f (x )
10
-4 -2
-10
2 = x3 2
10
2
4
-4 -2
-10
2
4
Re‡exión de y = x 3 , con respecto al eje y , esto es, y =
10
-4 -2
-10
2
4
x3

19. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Sea f : [0, ∞[! R; f (x ) =
p
x, su grá…ca es
6
4
2
0
10
20
30

20. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Sea f : [0, ∞[! R; f (x ) =
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
p
x, su grá…ca es
6
4
2
0
10
Translación una unidad
hacia la izquierda p es,
esto
y = f (x + 1) = x + 1
4
2
-2
2
4
20
30

21. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Sea f : [0, ∞[! R; f (x ) =
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
p
x, su grá…ca es
6
4
2
0
10
Translación una unidad
hacia la izquierda p es,
esto
y = f (x + 1) = x + 1
20
30
Translación dos unidades
hacia la derecha esto es,
p
y = f (x
4
4
2
2) = x
2
0
-2
2
4
2
4
2

22. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
p
y = f (x ) +3 = x +3
4
2
-2
2
4

23. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
p
y = f (x ) +3 = x +3
4
0
2
-2
p
Re‡exión de y = x , con
respecto al eje x,
p
x
esto es, y =
10
2
4
-5
20
30

24. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
p
y = f (x ) +3 = x +3
4
0
2
10
-2
2
-5
4
p
Re‡exión de y = x , con
respecto al eje y ,esto es,
p
y=
x
2
1
0
-4
p
Re‡exión de y = x , con
respecto al eje x,
p
x
esto es, y =
-2
0
20
30

25. Función raiz cuadrada
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
p
y = f (x ) +3 = x +3
4
0
2
10
-2
2
20
30
-5
4
p
Re‡exión de y = x , con
respecto al eje y ,esto es,
p
y=
p
Re‡exión de y = x , con
respecto al eje x,
p
x
esto es, y =
x
Translación horizontalmente
p
y re‡exión de y = x ,
con respecto al p y ,
eje
esto es, y =
x 1
2
1
0
-4
-2
0
4
2
0

26. Función racional
Ir al inicio
Sea f : R
f0g ! R; f (x ) =
1
, su grá…ca es
x
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-5
5
-5

27. Función racional
Ir al inicio
Sea f : R
f0g ! R; f (x ) =
1
, su grá…ca es
x
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-5
5
-5
Translación una unidad
hacia la izquierda esto es,
y = f (x + 1) =
1
x +1
5
-4 -2
-5
2
4

28. Función racional
Ir al inicio
Sea f : R
f0g ! R; f (x ) =
1
, su grá…ca es
x
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-5
5
-5
Translación una unidad
hacia la izquierda esto es,
y = f (x + 1) =
1
x +1
Translación una unidad
hacia la derecha esto es,
y = f (x
1) =
5
-4 -2
-5
1
x
5
2
4
-4 -2
-5
2
4
1

29. Función racional
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
3
hacia arriba
2
3
y = f (x ) +
2
1 3
y= +
x
2
Translación
4
2
-4
-2
2
-2
-4
4

30. Función racional
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
3
hacia arriba
2
3
y = f (x ) +
2
1 3
y= +
x
2
Translación
3
hacia abajo
2
3
y = f (x )
2
1 3
y=
x
2
Translación
4
2
-4
4
2
-2
2
4
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
4

31. Función racional
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Re‡exión de y =
y=
1
x
1
,
x
4
2
-4
-2
-2
-4
2
4

32. Función racional
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Re‡exión de y =
y=
1
x
1
,
x
Translación horizontal y vertical,
elongación de y =
y=
3
x
2
1
, esto es,
x
+1
4
5
2
-4
-2
-2
-4
2
4
-5
5
-5

33. Función valor absoluto
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = jx j , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-10
-5
5
10

34. Función valor absoluto
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = jx j , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-10
-5
Translación una unidad
hacia laizquierda esto es,
y = f (x + 1) = jx + 1j
5
-10
10
5
10

35. Función valor absoluto
Ir al inicio
Sea f : R ! R; f (x ) = jx j , su grá…ca es
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
-10
-5
5
10
Translación una unidad
hacia laizquierda esto es,
Translación una unidad
hacia laderecha, esto es,
y = f (x + 1) = jx + 1j
y = f (x
5
5
-10
1) = jx
10
-10
10
1j

36. Función valor absoluto
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
y = f (x ) + 3 = jx j + 3
5
-10
10

37. Función valor absoluto
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Translación tres unidades
hacia arriba esto es,
y = f (x ) + 3 = jx j + 3
Translación dos unidades
hacia abajo esto es,
y = f (x )
5
2 = jx j
5
-10
-10
10
10
2

38. Función valor absoluto
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Re‡exión de y = jx j,
esto es, y = jx j
-10
-2
-4
-6
10

39. Función valor absoluto
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Re‡exión de y = jx j,
esto es, y = jx j
-10
-2
-4
-6
Translación horizontal y vertical
y elongación y re‡exión de y = jx j
esto es y = 3 jx 5j + 2
5
10
-5
5
-5
10

40. Gra…car
Ir al inicio
f (x ) = x 2
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
2

41. Gra…car
Ir al inicio
f (x ) = x 2
2
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
1
Gra…camos x 2
2
-4 -2
-5
2
4

42. Gra…car
Ir al inicio
f (x ) = x 2
2
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5
1
Gra…camos x 2
2
-4 -2
2
4
-5
2
Le aplicamos valor absoluto, recordando que un valor
absoluto siempre es positivo, por lo que la curva bajo el
eje x no es parte del valor absoluto, re‡ejamos esa curva
con respecto al eje x
5
-4 -2
-5
2
4

43. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f (x ) =
p
x2

44. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f (x ) =
p
x2
5
-4 -2
-5
2
4

45. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f (x ) =
p
x2
5
-4 -2
-5
Recuerde que
2
p
4
x 2 = jx j

46. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f (x ) =
p
3+
x
( x )3 + 2
si
si
x
1
x >1

47. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
p
3+
x
( x )3 + 2
f (x ) =
si
si
x
1
x >1
p
p
f1 ( x ) = 3 +
x. Se trata de una re‡exión de y = x con
respecto al aje y con un desplazamiento vertical de tres
unidades hacia arriba con dominio x
1.
10
-4
-2
2
-10
4

48. Gra…car
Ir al inicio
Transformaciones
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
f2 (x ) = ( x )3 + 2. Como ( x 3 ) = x 3 8x 2 R, la función
describe una re‡exión de y = x 3 con respecto al eje x con un
desplazamiento vertical de 2 unidades hacia arriba con dominio
x > 1. Ahora, f2 (1) = ( 1)3 + 2 = 1.La parte en negro
describe la grá…ca de f2 (x ) = ( x )3 + 2 para x > 1.
10
-4
-2
2
-10
4

49. Gra…car
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Transformaciones
La grá…ca de f (x ) =
Función lineal
Función
cuadrática
Función cúbica
Función raiz
cuadrada
Función racional
Función valor
absoluto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
p
3+
x
( x )3 + 2
si
si
x
1
es
x >1
10
5
-4
-2
2
-5
-10
4