Este documento demuestra matemáticamente las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de cualquier punto sobre el borde de un disco que rueda a lo largo de un plano horizontal con velocidad constante. Primero se obtienen las ecuaciones de posición x(t) y y(t) en términos del radio R, velocidad angular w y tiempo t. Luego, se derivan estas ecuaciones para encontrar expresiones para la velocidad vx(t), vy(t) y la aceleración ax(t), ay(t). Finalmente, se

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Yarleque Yovera Christian Joel Ciclo: V
5.72. Un disco de radio 𝑹 rueda con una velocidad constante 𝒗 𝟎 a lo largo de un plano
horizontal. Demostrar que la posición de cualquier punto sobre su borde está dado por
las ecuaciones 𝒙( 𝒕) = 𝑹(𝒘𝒕 − 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕))e 𝒚( 𝒕) = 𝑹(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔⁡( 𝒘𝒕)), donde 𝒘 = 𝒗 𝟎/𝑹
es la velocidad angular del disco y 𝒕 se mide desde el instante en que el punto se
encuentra en contacto con el plano. Encontrar también las componentes de la
velocidad y la aceleración del punto.
Dejemos que la rueda ruede un poco y veamos dónde va a parar el punto P de la
circunferencia. Cuando el centro del círculo C ha pasado a C´, el punto P ha pasado a P´.
Este es el punto cuya ecuación queremos. Llamamos a sus coordenadas (𝑥, 𝑦). Como la
rueda no resbala sobre el suelo, lo que sabemos es que la longitud del arco 𝑃′𝐷 sobre la
circunferencia es igual a la longitud del segmento rectilíneo 𝑃𝐷. Si llamamos a al ángulo
𝑃′
𝐶′
𝐷 = 𝛼 medido en radianes, resulta 𝑃′
𝐷 = 𝑃𝐷 = 𝑅𝛼.
Además ya que el punto 𝐶 se mueve a velocidad constante 𝒗0
𝐶𝐶′
= 𝑃𝐷 = 𝑣0 ∗ 𝑡 = 𝑅 ∗ 𝛼
Por otra parte, las coordenadas de 𝑃′ en nuestro sistema son:
𝑥 = 𝑃𝐷 − 𝑃′𝐿
𝑥 = 𝑅 ∗ 𝛼 − 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑦 = 𝐶′
𝐷 − 𝐶′𝐿
𝑦 = 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝛼)
Pero sabemos que:
𝑤 = 𝛼/𝑡
𝛼 = 𝑤𝑡
Entonces:
𝑥(𝑡) = 𝑅𝑤𝑡 − 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

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𝑦(𝑡) = 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡)
𝒙(𝒕) = 𝑹(𝒘𝒕 − 𝒔𝒆𝒏( 𝒘𝒕))
𝒚(𝒕) = 𝑹(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔( 𝒘𝒕))
Para encontrar las componentes de la velocidad aplicamos su definición:
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑥( 𝑡), 𝑦(𝑡))
𝑑𝑡
= (
𝑑(𝑥( 𝑡))
𝑑𝑡
,
𝑑(𝑦( 𝑡))
𝑑𝑡
)
𝑣⃗ = (
𝑑( 𝑅𝑤𝑡 − 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡))
𝑑𝑡
,
𝑑( 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡))
𝑑𝑡
)
𝑣⃗ = (𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡), 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡)) = (𝑣 𝑥( 𝑡), 𝑣 𝑦(𝑡))
𝒗 𝒙( 𝒕) = 𝑹𝒘(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔( 𝒘𝒕))
𝒗 𝒚( 𝒕) = 𝑹𝒘𝒔𝒆𝒏( 𝒘𝒕)
Finalmente para encontrar las componentes de la aceleración aplicamos su definición:
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑣 𝑥( 𝑡), 𝑣 𝑦(𝑡))
𝑑𝑡
= (
𝑑(𝑣 𝑥( 𝑡))
𝑑𝑡
,
𝑑 (𝑣 𝑦( 𝑡))
𝑑𝑡
)
𝑎⃗ = (
𝑑(𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
𝑑𝑡
,
𝑑(𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
𝑑𝑡
)
𝑎⃗ = (𝑅𝑤2
𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅𝑤2
𝑐𝑜𝑠⁡( 𝑤𝑡)) = (𝑎 𝑥( 𝑡), 𝑎 𝑦( 𝑡))
𝒂 𝒙( 𝒕) = 𝑹𝒘 𝟐 𝒔𝒆𝒏( 𝒘𝒕)
𝒂 𝒚( 𝒕) = 𝑹𝒘 𝟐 𝐜𝐨𝐬⁡( 𝒘𝒕)

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5.73. Un disco de radio 𝑹 rueda a lo largo del plano horizontal. Demostrar que en cada
instante la velocidad de cada punto es perpendicular a la línea que une el punto con el
punto de contacto del disco y el plano. Si 𝝆 es la distancia entre estos puntos,
demostrar que la magnitud de la velocidad del punto que se mueve es 𝒘𝝆. ¿Qué
conclusiones obtiene de estos resultados?
Para que la velocidad en cada punto sea perpendicular a la línea que une el punto con
el de contacto debe cumplirse:
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⁡. 𝑣⃗ = 0
Sea el vector: 𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= P’- D
P’= ( 𝑅𝑤𝑡− 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))y D= (𝑅𝑤𝑡; 0)
El vector 𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃′
− 𝐷 = ( 𝑅𝑤𝑡− 𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))− (𝑅𝑤𝑡; 0)
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
Y 𝑣⃗ = (𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡); 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⁡. 𝑣⃗ = 0
(−𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)).(𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡); 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡)) = 0
−𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) + 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)+ 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) − 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡) = 0
0 = 0
∴ 𝑺𝒆⁡𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂⁡𝒒𝒖𝒆⁡ 𝑫𝑷′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⁡𝒚⁡𝒗⃗⃗⃗⁡𝒔𝒐𝒏⁡𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔⁡𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆⁡𝒔𝒊.
𝑣⃗

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Luego para demostrar que si:
𝑷′𝑫 = 𝝆
Entonces:
| 𝒗⃗⃗⃗| = 𝒘𝝆
𝑃′𝐷 = 𝜌
√( 𝑅𝑤𝑡 − 𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡)− 𝑅𝑤𝑡)2 + ( 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)− 0)2 = 𝜌
√( 𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
2
+ 𝑅2 + ( 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
2
− 2 𝑅2
𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡) = 𝜌
√ 𝟐𝑹 𝟐(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬⁡( 𝒘𝒕)) = 𝝆
| 𝑣⃗| = √( 𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
2
+ (𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
2
| 𝑣⃗| = √ 𝑅2 𝑤2 + ( 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
2
− 2 𝑅2
𝑤2 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)+( 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
2
| 𝑣⃗| = √2𝑅2 𝑤2(1 − cos⁡( 𝑤𝑡))
| 𝑣⃗| = 𝑤√2𝑅2(1− cos( 𝑤𝑡))
| 𝒗⃗⃗⃗| = 𝒘𝝆
∴ 𝑺𝒆⁡𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂⁡𝒍𝒂⁡𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅