Física.pdf

Magnitudes físicas
Lectura de motivación 13
Conceptos previos 14
Magnitudes físicas 16
Análisis dimensional 22
Resolvemos juntos 30
Practiquemos lo aprendido 39
Movimiento vertical de caída libre
(MVCL)
Lectura de motivación
Conceptos previos
Movimiento vertical de caída
libre (MVCL)
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
167
168
169
182
197
Análisis vectorial
Lectura de motivación ' 45
Vector 46
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 97
Movimiento rectilíneo
uniformemente variado (MRUV)
Movimiento rectilíneo uniformemente
variado (MRUV) 131
M ovim iento parabólico de caída libre
(MPCL)
Definición 206
Descripción del movimiento
parabólico 209
Ecuaciones vectoriales del MPCL 220
Ecuaciones generales del MPCL 222
MPCL como superposición de
dos movimientos 226
Movimiento parabólico en un
plano inclinado liso 228
Ecuación de la trayectoria 229
Movimiento circunferencial
Concepto
260
Elementos
260
Movimiento circunferencial
uniforme (MCU)
261

Movim iento circunferencial
uniformemente variado (MCUV) 268 ;
Resolvemos juntos 274 !
Practiquemos lo aprendido
'■ .i
289 !
;
:
Estática
Lectura de motivación F 297 I
:
Concepto 298 |
:
Equilibrio mecánico 299 i
:
Interacción 300
Fuerza O7) 301 I
Ley de acción y reacción
(tercera ley de Newton) 301
Fuerzas usuales 303
Diagrama de cuerpo libre (DCL) 311 j
Operaciones con fuerzas - 313 i
Primera condición del equilibrio
mecánico
‘ 316 :
. :
:
1 Fuerza de rozam iento :
Lectura de motivación 351 I
352 |
Concepto
Representación de la fuerza
i
353 j
353 !
de rozamiento
Tipos
367 í
:
r
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido 385 1
M om ento de una fu e rza
4J
393
Concepto
394
Propiedades
399
Momento resultante (M q S
)
401
Segunda condición para el
equilibrio mecánico
404
Equilibrio mecánico
405
Dinámica
-fe i
Dinámica rectilínea 438
Dinámica circunferencial 447
Trabajo mecánico
Definición 482
Trabajo de una fuerza constante 485
Trabajo de una fuerza variable 490
Trabajo de una fuerza F de módulo
constante y tangente a la trayectoria
en todo instante 492
Trabajo neto (w neto) 493

| Energía
i Energía mecánica en el MAS 582
•
Lectura de motivación 523 Péndulo simple 584
Concepto 524 i Resolvemos juntos 590
Ley de la conservación de la energía 525 j Practiquemos lo aprendido 606
Tipos de energía 526
Relación entre el trabajo y la energía 1*|J. ( Ondas mecánicas
mecánica (w F-EM
) 533
y
t
e
Conservación de la energía mecánica '535
Concepto 616
Potencia mecánica (PM) 538
Propiedades 617
Resolvemos juntos' 543
Tipos 617
Practiquemos lo aprendido 557 ‘
Elementos 618
Función de onda 624
Movimiento armónico simple (M AS)
Ondas sonoras 627
565
Conceptos previos 566 j
Movimiento armónico simple (MAS) 568 í
Ecuaciones del MAS 572 Glosario 652
Periodo de oscilación en el MAS 580 1 Bibliografía 655

;s S
■m
é
Wtmí
mm
i-
W
¡¡m
mgm
W
W
É
W
4
'
! -
CAPITULO

La física trabaja haciendo modelos de diversos fenómenos
para estudiarlos con mayor exactitud. Esto requiere c u a lifi
car o medir las variables presentes en un fenómeno.
La medida consiste en establecer relaciones cuantitativas
entre las diversas variables que intervienen en los fenóme
nos físicos que tienen lugar en la naturaleza. Aquellas pro
piedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos
naturales, y que son susceptibles de ser medidas, reciben el
nombre de magnitudes físicas. Así, la longitud, la masa, la
velocidad, el tiempo, la temperatura son ejemplos de mag
nitudes físicas.
Aprendizajes esperados
• Reconocer un fenómeno físico en el espacio donde nos
desarrollamos.
• Identificar las magnitudes fundamentales y derivadas en
los problemas a desarrollar.
• Diferenciar las magnitudes escalares de las vectoriales en
la vida cotidiana..
• Realizar operaciones algebraicas con las magnitudes
físicas.
¿Por qué es necesario este eonociniSenSo?
Este capítulo explica a los estudiantes que la física es una
ciencia experimental en la cual se busca conocer las leyes
de la naturaleza. Estas leyes se corroboran a través de ex
perimentos que implican realizar mediciones. Por lo tanto
la medición es uná operación física y se realiza mediante las
magnitudes, las cuales se dividen por su origen y su natu-
raleza.

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
ff|'///
En el año 1600, Galileo utilizó
un ingenioso patrón de medida
::r;en:Ía catedral de Pisa; observó
:: que las lamparas se quedaban
balanceando después de que se
encendían con una vara.
■-VT

|{i|i
Rui
v Galileo midió el tiempo, del mo-
:: vímiento de vaivén contando el
número de latidos de su propio
i• pulso.
Mli______________ ..
M ag n itu d e s física s
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Física
La concepción de la física ha variado a lo largo del tiempo.
Inicialmente, se la consideró como una filosofía natural, pues
su fin era el estudio de la naturaleza tal y como se veía. Hoy en
día es una ciencia natural, como lo son la química y la biología,
que estudia el comportamiento y la interacción de la materia,
la energía, el espacio y el tiempo. Abarca desde el estudio de lo
infinitamente pequeño, como las partículas subatómicas, hasta
lo infinitamente grande, como el universo y los cuerpos celes
tes que lo componen.
Máquina a vapor del s. xvm
que era utilizada para trans-
mitir movímiento a.d¡versos
^mecanismos, Y*
La física ha proporcionado a la humanidad las bases para el
desarrollo tecnológico actual. Gracias a los avances en el estu
dio de sus leyes fundamentales, se ha logrado enviar misiones
espaciales, se han creado los microcircuitos, las computadoras,
las técnicas de formación de imágenes que se usan en la in
vestigación científica y la medicina, los medios de transporte
modernos y los grandes avances en las telecomunicaciones.
En conclusión, la física es una ciencia de la naturaleza que se
encarga del estudio de los fenómenos físicos que ocurren en
nuestro entorno.
tomografo, útil herramienta
medica, basa su funcionamiento
en el estudio de los rayos X.

Capítulo 1
Magnitudes físicas
1.2. Fenómenos físicos
Son cambios que se dan en la naturaleza, principalmente
aquellos en donde no se altera la composición química de los
cuerpos.
Ejemplos
1. Como podemos notar, el hielo ha experimentado un cambio
de estado, pero la sustancia sigue siendo agua, ya que no
se alteró su composición química.
yfvS. enerqia
agua
sólida
solar
' hielo
0°C
luego
V i
agua
líquida
J.
2. Observam os la deform ación de un resorte.
w ^ *) ii
3. Observam os ehm ovim iento de un balón antes y después
del impacto. lV 7-
4. Observam os que la reflexión de la luz permite ver nuestro
entorno.
Importante
Los fenómenos en los cuales se
altera la composición química
de los cuerpos se denominan
fenómenos químicos.
•
:':• * | /*
J ' • >
’’
Ejemplo
La oxidación, la cocción de los
alimentos, la fermentación, la
combustión de la madera, etc.
affe ' ; -
hif f§| - , ■
'
... / ..
f -'i—
p
Combustión Oxidación,
A5

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
5. Observamos que en el choque de dos ca
nicas hay disipación de energía en forma
• de calor.
6. Observamos que la vaporización del agua
se da a 100 °C a nivel del mar.
Respecto a los ejemplos, los cuerpos experi
mentan cambios, pero no varían su compo
sición molecular. Asimismo, solo se realizan
descripciones cualitativas de los fenómenos;
ahora, si deseamos medir, calcular y comparar,
es decir, hacer una descripción cuantitativa,
usaremos las magnitudes físicas. ' / ' t
j-
2. MAGNITUDES FISICAS
Una magnitud es todo aquello que puede ser
medido, lo cual nos permite definir alguna cuali
dad de un objeto o fenómeno físico empleando
una unidad patrón con su respectivo símbolo.
M a g n i t u d 1JNIDAD PATRON S»M ¿0
m asa kilogram o kg
longitud m etro m
tiem p o segundo s
Ejemplos
1
. La balanza de pesas determina la masa.
2. La distancia que desciende la pelota se
mide en metros.
— pelota
2.1. Clasificación
2.1.1. Por su origen
a. Magnitudes fundamentales
Son aquellas magnitudes que sirven de base
para expresar las demás magnitudes.
Las magnitudes fundamentales según el Siste
ma5
Internacional son siete.
. .
film
M?Trid5
.
v
ti
T
u
v*
• I
longitud m etro m
tiem po segundo s
masa kilo gram o
kg
tem peratura kelvin K
intensidad de
corriente
am perio A
cantidad de
sustancia
m ol m ol
intensidad
lum inosa candela cd

Capítulo 1
Magnitudes físicas
b. Magnitudes derivadas .
Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las
magnitudes fundamentales.
r 4 '- s i ■ n g i m i
•-V
Sím b o l o
área metros cuadrados m2
volumen metros cúbicos m3
densidad
kilogramos por metros
.cúbicos
kg/m3
velocidad metros por segundo m/s
aceleración
metros por segundo al
cuadrado
m/s2
fuerza newton N
trabajo joule ,s? j J
energía
jí .¿.y
j joule - J
, 'I r
presión ' J
potencia
cantidad de
movimiento
pascal '■
--- .- »|| ¿
S
—
/< --..
.
watts
kilogramos metros
.*
/v por segundó
1 Pa
W
kg •m/s
torque o momento
de una fuerza, 7J
..... ...........
newton metro N-m
cantidad de carga coulomb C
velocidad angular i radianes por segundo rad/s
Ejemplos
1. La fuerza elástica ( se mide en newtorr (N).
Dato curioso
En 1999, la sonda espacial Mars
Climate Orbiter debía aproxi
marse a Marte solo hasta 147 km
por encima de su superficie,
pero los datos revelaron que
lo hizo a 57 km, por lo que la
nave se quemó. Todo se debió
a un error en la navegación. El
equipo controlador en tierra,
fabricante de la sonda espacial,
la diseñó y construyó utilizando
el sistema inglés de unidades,
mientras que la empresa encar
gada de programar los sistemas
de navegación utilizaba el Siste
ma Internacional de Unidades,
lo que trajo como consecuencia
que la nave se desviara y la son
da se quemara.

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
2. La velocidad (v) con la cual se desplaza el automóvil se
mide en metros por segundo (m/s).
,, .t-.s .. i-^y////>Patoiciirio— =; -
:CCú = = = > £
t v / 'V ; v. g: = 2%
11
1iisi Los sistemas de medición - ;
rxrr.-La^medición es un procedimien-
— ~r::::to;por mecho del cual se asigna-/
-^ n v a lo r numérico a una propie-yy
< ^ r :™dadifísica¡ tomando como refe-
S i.''. ‘ * . '
±r rencia una propiedad similar lia- r
r
N ,imada patrón, la cual se adopta
S• i como unidad
. Los sistemas de medición se han
C ¡l -I,i desarrollado debido a la nece-
H i j : jfi sidad del hombre por conocer,
111hi con exactitud los fenómenos
= j observados; Han sido varios; sin
v; ..;1; embargo, el más utilizado es el
i Sistema Internacional (SI).
_____________
3. La probeta determina el volumen de los líquidos en mili
litros (mL) siendo 1 mL=10-3 L=10~6 m3.
Aplicación 7
Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las
proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.
L El kelvin es una unidad de la magnitud física fundamental.
II. La cantidad de sustancia y la masa son la misma magnitud
física fundamental.
III. El pascal es una unidad de la magnitud física fundamental.
Resolución
I. Verdadera
Cuando se trata de la temperatura, la unidad de medida es
el kelvin.
II. Falsa
Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son
magnitudes fundamentales; sin embargo, conceptuaren-
te ambas son diferentes.
III. Falsa t
El pascal es una unidad que pertenece a una magnitud den-
vada denominada presión.

Capítulo 1
Magnitudes físicas
Aplicación 2 Luego
f 1000 m
^j
Señale si las siguientes proposiciones son 72 >rn f 1X
verdaderas o falsas: / '3 6 0 0 sJ
I. Una longitud de 10 nm es igual a 10-8 m.
II. Una velocidad de 72 km/h es igual a Simplificamos y obtenemos que
20 m/s.
72 km/h=20 m/s
III. La cantidad de carga eléctrica tiene como
unidad el coulomb (C).
III. Verdadera
Resolución La unidad de la cantidad de carga
_ . / I I
, f , t ... ^ ... ^
Prefijos para las unidades del SI
l i l i
Ú . 10“1
2 pico- P _ —
9 1er9 .nano- /-n
— r-
1 . 10"6 micro- / ‘i
1 io - 3 mili- m
. --
5 ..1CT2 . .
. centi- 1 c
m
li Ii
lili
ih
(i 103 ..... kilo- y k % * j
106 mega- M
109 giga- G
%¿
HÁlqunas conversiones
11ilTtI -, -
> -
>
■ . 1 min=60 s • 1 h=3600's
. 1 km=103m
Verdadera
L= lOfífn
—^
V 9 m"
y p Á
¿=10x10 9 m=10 8 m
10 nm=10 m
Verdadera
De las conversiones, tenemos que
1 h=3600 s
1 km=1000 m
es el coulomb (C).
2.1.2, Por su naturaleza
á. Magnitudes escalares
Están definidas mediante un número con su
respectiva unidad de medida.
Ejemplos ■
-
• Si el volumen del recipiente es 2 L, entonces
tendremos la ¡dea clara de esta magnitud
y física. El valor es 2 y la unidad es el litro (L).
• La masa de las naranjas es 10 kg
unidad de
medida
m= 10 kg
valor
numérico
• Hoy llegamos hasta 30 °C
unidad de
medida
T= 3g°c
valor
numérico
Las magnitudes escalares se caracterizan por
que se pueden sumar y restar algebraica
mente. Por ejemplo, si sumamos volúmenes:
3 m +5 m =8 m3 o si restamos temperaturas-
180 K-50 K=130 K.
9

COLECCION ESENCIAL
Asimismo, las magnitudes escalares pueden ser
positivas o negativas; por ejemplo, la tempera
tura (-40 °C), el tiempo (10 s), la masa (10 kg),
la longitud (15 m), la densidad (lOOO-^- , el
v m v
área (2 m2), el volumen (5 m3), la energía (5 J),
el trabajo mecánico (10 J), la presión (4000 Pa),
entre otras.
b. Magnitudes vectoriales
Están definidas mediante un número, su uni
dad de medida y una dirección. La fuerza y la
velocidad son magnitudes vectoriales que se
representan mediante segmentos de recta lia-
mados vectores.
Asimismo, las magnitudes vectoriales se deno
tan con una letra que lleva una flecha encima;
por ejemplo, la velocidad (v), la aceleración (a),¡
la fuerza (f ), entre otras.
•
Ejemplos
1. La veleta es un antiguo instrumento que se
utiliza para indicar la dirección y el sentido
del viento. También puede servir para de-
terminar la rapidez del viento, esto se logra
contando el número de vueltas que dan los
hemisferios de los puntos cardinales. La di
rección del viento que indica la veleta de la
figura es el Norte.
2. La velocidad de la esfera es 20 m/s hacia la
derecha.
unidad de
medida
valor
numérico
v=20 m/s (—►
)
* i S I i * -
dirección hacic
ia derecha
3. Carlitos se desplaza 8 m hacia la izquierda.
d: desplazam iento
Af
Su desplazamiento es
J k jP
' i ■/ € jr
¥ C# ^
% unidad de
medida
d - 8 m (<
—)
valor ‘
numérico
dirección hac¡c
la izquierda
4. Una persona ejerce sobre un auto una
fuerza de 10 N hacia la izquierda.
unidad de
medida
F =10 Ñ (<
—)
■aloi t : '"""v '
----1 dirección h<,u;
U ^quierdvi
numérico

Magnitudes físicas
Las magnitudes vectoriales se pueden sumar
o restar geométricamente, como la acelera
ción (o), la velocidad angular (to), la acelera
ción de la gravedad (g), la cantidad de movi
miento (p), el impulso (/), entre otras.
II. Falsa
v*//V a - ' í ' — - s y '
ImportaiTic:
’Las magnitudes escalares pueden ser a su vez
• La masa es una magnitud fundamental y
escalar.
• El volumen es una magnitud derivada y
escalar.
En cambio, las magnitudes vectoriales única-
mente pueden ser derivadas.
.
r- l
; Ejemplos
■• La velocidad es una magnitud derivada y
vectorial.
. • La fuerza es una magnitud derivada y vec
torial.
r - T V . S . . •Lfii ■
■ i;
g '% %
A plicación 3 m
Señale si la proposición es verdadéraj^falsa.
|. Algunas magnitudes físicas escalares pueden
presentar dirección.
II. Las magnitudes físicas vectoriales no tienen
unidades de medida, t-
III, Una magnitud física escalar se puede sumar
a otra de tipo vectorial.
Resolución
I. Falsa
Las magnitudes escalares no requieren de
una dirección para quedar definidas. Solo
requieren de un valor numérico y una uni
dad de medida.
Todas las magnitudes vectoriales tienen
unidad de medida.
III. Falsa
No se pueden sumar una magnitud vecto
rial con una escalar, porque tienen caracte
rísticas diferentes.
Aplicación 4
¿Cuántas magnitudes son vectoriales?
I. velocidad
II. masa .-
III. aceleración de la gravedad
IV. fuerza de gravedad
V. fuerza magnética
f i r
Resolución (•>
Las magnitudes vectoriales son cuatro: velo
cidad, aceleración de la gravedad, fuerza de
gravedad y fuerza magnética. Mientras que la
masa es una magnitud escalar.
Aplicación 5
¿Cuántas magnitudes son escalares y vectoria
les, respectivamente?
velocidad
desplazamiento
masa r
temperatura
• longitud
• ' tiempo
• aceleración
• fuerza
Resolución
Las magnitudes vectoriales son cuatro: veloci
dad, desplazamiento, aceleración y fuerza.
Las magnitudes escalares son cuatro: masa,
temperatura, longitud y tiempo.

COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Importante
///Mi '' "
ff/¿ ^ ...
J^
yjIjj¡yw
r-, 1
1 ^ v v ... ^^
: Cuando uno se refiere a una
i ecuación dimensional, no se re-
fiere a una ecuación como en el-
j álgebra, sino se hace referencia
| a una propiedad.
.j Ejemplo
W 'W t >/•/// 's/S////// ~ ■
i • 8 m+2 kg=10 s
; Esta operación no se puede
¡ | realizar, ya que los símbolos
I de m, kg y s indican diferen-
; tes propiedades.
V '(;////.
Mjj|(f//
i Y 8 m+100 cm=9 m
. •
' Esta operación sí se puede
realizar, ya que todas ellas
tienen una misma propiedad;;
i (8 m o L, 100 cm o L, 9 m o L)
.
I Por lo tanto, la ecuación dimen-
* ' ’" • i i
! r i / ^ n o l n n q p i m o r ^ n + i n o n
: sional no es una cantidad.
3. ANÁLISIS DIMENSIONAL
Relaciona las magnitudes aprovechando el hecho de que las
dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.
Toda unidad física está asociada con una dimensión física. Asi,
por ejemplo, el metro es la unidad de medida de la dimensión
longitud (¿), el kilogramo es la unidad de la dimensión masa
(M), el segundo es del tiempo (T). Asimismo existen otras uni
dades, las cuales pueden expresarse en términos de las dimen
siones L, M y T.
a,*
!i ”
*
*
•
*
Importante
El símbolo empleado para representar la ecua-
ción dimensional son los corchetes [ ].
|*
'■
■
■
■
■
■
■
v18
*
Ejemplo .
• [masa] se lee: “Ecuación dimensional de la
■
t ... TV
V
- A.' '•
>
masa
[aceleración] se lee: “Ecuación dimensional'
l de la aceleraciónV ,¡ ‘'
0 T§í
'j]
,;
•
'«
w
s
s
s
js
s
s
a
s
«
»
" ^
¡
g
s
L
. .
<
/
3.1. Ecuaciones dirnensioóe, < | gnitudes
fundam entales •ff ^
Son siete en el Sistema Internacional.
Magnitud
longitud
tiempo
masa
temperatura
intensidad de corriente
cantidad de sustancia
intensidad luminosa
L
T
M
0
/
N
J
• mentales. as ma9n|tudes funda-

Capítulo i
Magnitudes físicas
3.2. Ecuaciones dimensionales de algunas
magnitudes derivadas
■•
-
área L2
volumen l?
densidad M L'3
velocidad LT~:
aceleración LT-2
fuerza MLT~2
, v trabajo ML2T~2
potencia ML2T~3
energía ML2T~2 " >,
presión / ’ ML~]-T~2
,
impulso
frecuencia
MLT~
1*
...........
' •
: T~

carga eléctrica V IT
calor ML2T~2
..........................................:.................................%JÍ*
velocidad angular f -1
Aplicación 6 . * V j p
Determine la ecuación dimensional de las si
guientes magnitudes:
a. área ' g. trabajo
b. volumen— h. potencia
c. velocidad i.presión
d. aceleración j. frecuencia
e. fuerza k. carga eléctrica
f. densidad
Resolución
a. Hallamos la ecuación dimensional del
área (ZA).
P ~ C
IL ___ c
h
■ _________________________
El área del rectángulo es
ZA=basexaltura
Luego
[ZA]=[base]x [altura]
Por lo tanto, la base y la altura son longi
tudes.’
[Ik] =LxL
, C
-----~
m=L2
___________X
b. Hallamos la ecuación dimensional del
volumen (V).
El volumen de una tabla es
p % /=largoxanchoxaltura
Luego
- [V/]=[largo] x [ancho] x [altura]
-> [V]=LxLxL
c. Hallamos la ecuación dimensional de la
velocidad (v).
v
Sabemos que
y _ distancia
tiempo
Luego

d. Calculamos la ecuación dimensional de la
aceleración (o).
f. Hallamos la ecuación dimensional de la
densidad (p).
Por definición
cambio de la velocidad
o =
tiempo
Luego
M =
[Av]
M
donde Av es el cambio de la velocidad; la
f %
cual se profundizará en el tema del MRUV.
# áfCJlr,«
/.T“ 1
la] =
T
[o]=¿r-2
e. Hallamos la ecuación dimensional de la
fuerza (f). ■
m F
- L J '
—>
Por definición
F=masaxaceleración
Luego
[F]=[masa] x [aceleración]
-> [F]=MxLT~2
—
[F]=MLT?
Por definición
masa
P =
Luego
volumen
[p ]=
lm]
[V]
r i M
[p]=ML-3
1
g. Calculamos la ecuación dimensional del
trabajo (W).
£Bi r
MI /, |
I
*----- d
Por definición
"W=fuerzax distancia
Luego
[W]=[F]x[d]
[W]={m LT~2)(L)
I |IV] M i'7 ?
—>
2

h. Calculamos la ecuación dimensional de la
potencia (P).
. motor de
; 1000 W
/ de potencia
Por definición
,_ trabajo
P =
tiempo
Luego
M ; t v
2-ft-3
[P)=M^T%
i. Hallamos la ecuación dimensional de< lá;
Por definición
fuerza
P =
Luego
area
w - i a - w -
MLT~2
,2
[ P l- M r 'r 2
Por definición
1 . 1
f =
Luego
periodo T
w - i r ”
-1
[f]= r
Hasta ahora las ecuaciones dimensionales se
han escrito en función de la longitud (L), la
masa (M) y el tiempo (7), pero también se pue
den emplear las otras cuatro magnitudes fun-
‘ damentales: la temperatura (0), la intensidad de
corriente eléctrica (/), la intensidad luminosa (J)
y la cantidad de sustancia (N), por ejemplo
§
k. Calculamos la ecuación dimensional de la
carga eléctrica (g).
. ■ *~
drg3eléctrica I
--------f-
-€©
Por definición
r ,
9 =
intensidad , , .
de corriente JX l^emPo)
Luego
M= intensidad '
_de corriente
k/1-"/;
X [tiempo]

3.3. Reglas de las ecuaciones dimensionales
3.3.1. Regla 1
La adición o sustracción no se aplican a las
ecuaciones dimensionales, sino que sumando
o restando magnitudes de la misma naturaleza
obtendremos otra de la misma naturaleza.
a. LT^+LT~^=LT^
No se cumple en la suma.
b. L~3M -L~3M=L~3M
Observe que no da cero.
3.3.2. Regla 2
c. Los exponentes son números; dado que
y=ex, tendremos que
d. Las constantes matemáticas en sus diferen
tes formas son adimensionales (no tienen
unidades).
* [7t]=1 • [V5] =1 • [80]=1
e. Los ángulos son considerados cantidades
adimensionales.
Las leyes de la multiplicación y la división son
aplicables a las ecuaciones dimensionales. i
a.
T
■
b. Lx LT~^=L2T~
^
■
M AT2 3 3
c. ------- =M T
MT~
1 .
•
3.3.3. Regla 3 % . J r
Las constantes matemáticas (números) son
aquellas que carecen de unidades. Además,
la ecuación dimensional de un número es la
unidad.
[número]=1
[7irad]=
1 [40o]=1
Aplicación 7
En la siguiente ecuación:
Y =7T
---------
> msena
¿qué magnitud representa Y? Se sabe que P es
presión, IA es área y m es masa.
Resolución
Nos piden [K]
Se tiene que
M =[7l]
[p ][a ]
M is e n a] (I)
a. La razón trigonométrica es un número.
:
[cos45°]=1
.
___________ )
b. La función logarítmica es un número.
[log'b]=1
Como b es también un número, tendremos
[b]=1.
De la teoría tenemos lo siguiente:
* [P]: ML^T~2
* [A]: L2 _
* [m] M
* [ti]: 1
* [sena]: 1
presión
área
masa
constante matemática
razón trigonométrica

Magnitudes físicas
Reemplazamos en (I).
M r 1
7
“ 2x/.2
M = (1)-
-> [Y]=lt
Mx(1
)
-2
OD
Sabemos que para la aceleración
[a]=LT-2
Finalmente, de comparar (II) y (III), tenemos
|Y]=aceleración
3.4. Principio de homogeneidad
En una ecuación homogénea de adición o sustracción, todos
los términos tienen la misma ecuación dimensional.
M %
_ y
-
,<
/
’
Si la ecuación A + B -C -D es dimensional-mente correcta, en
tonces se debe cumplir que [A]=[B]=[Q=[D}; es decir, ambas
magnitudes deben presentar la misma ecuación dimensional.
Á esta igualdad se le denomina principio de homogeneidad.
Aplicación 8
Compruebe si las siguientes fórmulas físicas son dimensional
mente correctas: d=vxty vF=vQ
+at, donde d:distancia, t: tiem
po, o: aceleración y v: velocidad
Resolución
Importante
El -análisis dimensional sirve para comparar la
veracidad de las fórmulas físicas usando el prin
cipio de homogeneidad.
11
1i11<
>
i(>
i í •
>
■
■
■“-c .> .•
Reto a l saber
Si la ecuación es dimensional
mente correcta, determine la
dimensión de y.
7iy =Sxlog
ax
donde a es aceleración, § es
área y v es velocidad.
A) LT B) LT2
D) L2T
C) L~2T
E) L2T2
UNMS.M 2012-11
Se tiene
d -v x t -> [d]=[v][t]
L=Jxf x J* —
> L=L
Por lo tanto, es dimensionalmente correcta.

i
Asimismo, vF=v0+ot
-> N = N = M [ t i
L T -^ L r^ L T ^ x T
-> / . r W r ^ / r - 1
ü
Por lo tanto, es dimensionalmente correcta.
A plicación 9
Se muestra una ecuación homogénea, donde
B y C son magnitudes desconocidas y D es la
densidad. Halle [S].
A=fi+CSDsenG
Resolución A '
/ ' j t r
Recordemos que el exponente SOsen8;es un |
número y su ecuación dimensional es 1/ - S
-M, |
—
» [SDsen0]=1
—
>
[S][D][sen 0]=1
[S]x M¿"3x (1)=1
1
[s]=
%m
f
Æ
ML-3 *S'
JP
[5]=M-1/.3
r
Aplicación 10
Determine las dimensiones que deben tener A
y B en la siguiente ecuación homogénea:
20VP=mA+aB
donde
- V volumen - m: masa
- P: peso - a: aceleración
Resolución
Nos piden [A] y [B].
Usamos el principio de homogeneidad en la
ecuación planteada.
[20VP] =[mA¡-[aB]
1e
r 2.o "7!^ •
Igualamos el 1er y 2.° término.
[20}[V)[P]=[m][A
m |H
¡. " &
-> (1)L1x LMT~2=M[A]
Igualamos el 1ery 3 ertérmino.
[20][/][P]=[a][B]
-» 0) /.3x¿M7'~2=¿7'"2[g]
[5]=¿3M
M i »
Para investigar
Ciencia, tecnología y sociedad
La mayoría de los países han adoptado el Sistema Internacional de medidas Solo h
el mundo que utilizan otros sistemas de medidas: Estados Unidos Rirm.ni, i ■ ay tfeS pa'ses en
Estados Unidos utiliza el sistema inglés para medir distancias y pesos V ' ena' En 'a actualidad'
¿Qué inconvenientes comerciales y económicos cree que tiene oara por.'. Qi
parte de los Estados Unidos? q para Peru el uso de' sistema ¡ngtés por

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema M° 1
_____________________
Respecto a los siguientes fenómenos, indique
si son físicos (F) o químicos (Q).
I. dilatación del mercurio en un termómetro
II. oxidación de un clavo
III. freír pescado
IV. evaporación del agua en el mar
A) FQFQ B) FFQQ C) QFFQ
D) QOQF E) FQQF
Resolución
I. Físico
La dilatación del mercurio es un fenóme
no físico, puesto que si lo colocamos en
un niño con fiebre, este no experimenta
cambios en su composición química, solo 1
se expande.
II. Químico- -
La oxidación de un clavo es un fenómeno
químico, ya que si lo exponemos al medio-
ambiente, cambiará su composición quí
mica.
óxido
III. Químico
Al freír un pescado, este cambia de color,
olor y sabor; es decir, se da una reacción
química.
IV. Físico
La evaporación del agua es un fenómeno
físico, ya que, al cambiar de estado, este no
altera su composición química.
Problema N.’ 2'~ _________________ .
¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es
fundamental en el Sistema Internacional (SI)?
A) masa
B) tiempo
C) longitud
D) temperatura
E) área
Resolución
Las magnitudes fundamentales son siete en
el SI: masa, longitud, tiempo, temperatura, in
tensidad de corriente, cantidad de sustancia e
intensidad luminosa.
Por lo tanto, el area no es una magnitud fun
damental.
i Clave í E )
k
3
<

Problema NA 3
Indique cuántas de las siguientes magnitudes
no son fundamentales en el SI: presión, área,
temperatura, longitud, intensidad de corriente
y fuerza.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución
'De la anterior relación de magnitudes se tie
ne que tres son fundamentales: temperatura,
longitud, intensidad de corriente. Mientras que
la presión, el área y la fuerza son magnitudes
derivadas.
Problema NA 4
De las siguientes magnitudes, señale cuántas
corresponden a una magnitud escalar.
• ^distancia • temperatura ,
• velocidad • aceleración '
• masa .

¡Clave i )
•...................................
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Las magnitudes escalares no requieren de una
dirección para quedar definidas, como la dis
tancia, la masa y la temperatura.
Por lo tanto, 3 son escalares y 2 vectoriales.
] Clave V
•
..............•
Tí*
*
*
“
Problema M.° 5 - ______ ______ _ _ _ _
De la siguiente relación de magnitudes físicas,
¿cuál no es una magnitud física vectorial?
A) aceleración
B) fuerza
C) velocidad
D) desplazamiento
E) volumen
Resolución
Las magnitudes vectoriales son aquellas que
presentan dirección, como el caso de la ace
leración, fuerza, velocidad y desplazamiento.
Por lo tanto, el volumen no es vectorial, es
escalar, f
j Clave i }
y ' ^
x,V - « -
Problema N.*
*
*
6
De la siguiente relación de magnitudes físicas,
¿cuántas son escalares y vectoriales, respecti
vamente?
• densidad
• fuerza de tensión
tiempo
velocidad
• trabajo aceleración
A) 2; 4 B) 4; 2
D) 3; 3
C) 5; 1
E) 1
; 5
Resolución
Las magnitudes escalares son la densidad, el
trabajo y el tiempo. Mientras que las vectoria
les son la fuerza, velocidad y aceleración.
i Clave i ;
...........

Problema N.° 7
Determine la ecuación dimensional de x si
x=A ■
fi, donde A: área y B:volumen.
a ) r
D) Z
.
B) L-
-4
C) D
E) L
-5
Resolución
Nos piden [x], Se tiene que x=A-fi.
Luego ~
[x]=[A]-[B -> . [
x]=L2-L3
[x]=L2+s
[x]=LS
/'v■:
: Clave1
:
K
Problema N.° 8
Determine la dimensión de A en la siguiente
ecuación: • •
A =
mv2
~T~
donde m: masa, F: fuerza y v: velocidad.
A) L
D) LT
B) L
-1
-1
C) LT
E) L-T-2
Resolución
Nos piden [A].
Se tiene que A =
mv
~ T
Luego
U]=
[m][vY
[Fi
—
>
MLT
[A]=L
: Clave
Problema N.‘ B _________ .
Calcule la dimensión de B en la ecuación
F xd 2
B =
mv
donde F: fuerza, d: distancia, m: masa y vs ve
locidad.
A) M
D) L
-1
B) M
-1
C) L
E
) LT
-1
Resolución
Nos piden [,
Se tiene que fi =
£
,:%
;
Nos piden [fi].
' F x d 2
mvc
Luego
[fi] =
[F]x[df
[m]x|y]2
—
> [b ] - MLT (¿)2 M l f ^ x /
M x([r1)2 M / f *
[B]=L
Problema N/ 10
! Clave C }
km2
Halle la dimensión de k en la ecuación n t
siendo m: masa, t:tiempo y ti=3(1415
B) MT2 C) M 7"1
E) M~2T
A) MT
D) M2T

Capítulo 1
Resolución
Nos piden [k].
Se tiene que n
km¿
^
o
>
<
>
e
<
>
<
x
*
<
>
o
<
x
<
K
X
>
'X
>
<
>
<
>
<
x
>
c
*
o
c
>
<
>
<
>
<
x
>
<
>
<
>
c
>
<
x
^
Observación
Dado que el exponente debe ser un número,
entonces su ecuación dimensional es la unidad.
0
K
X
x
>
‘X
>
<
X
>
<
>
X
>
<
X
>
<
>
<
>
<
>
C
<
>
<
>
<
>
<
*
>
O
<
X
>
<
>
<
>
<
>
<
>
C
<
>
<
^
^
Luego
km2
. t
[k]M2
=1 -4
IkilrnY
M
=1
= 1 -> [k] = A r /
M¿ i
Jó I/' A
[k]=M~zT
{Clave j )
Problema N / 11
Deterjriine la dimensión de R en la ecuación
rf_ - ò
[sec19°] 0
donde F: fuerza y a: aceleración.
A) M B) M~1 C) M2
D) M- E) M -2
Resolución
Nos piden [/?].
Observamos que sec19° es un número, en
tonces el exponente necesariamente es un
número.
Luego
'RF_
. o J
Magnitudes físicas
[R ]M JJ^ [ R U Ó
M
[R]=M
-1
: Clave
Problema N/12________________________
La ecuación F=-kv2 es dimensionalmente
correcta.
Calcule la ecuación dimensional de k, donde
F: fuerza y vevelocidad.
A) ML
D) M~
B) ML
-1
C) ML2
E) M 2L
Resolución
Nos piden [/r].
ÍS
¡|
jC
-
Se tiene que
F--~--kv¿
Luegó
[F ]= [-1 ]W M 2
-> M ¿ r2=lxw(/.r-')2
.-. W = M i
_ A/f/ -1
i Clave
Problema N
.* 13_______
Si la ecuación E =yj2kv2 es dimensionalmente
correcta, ¿cuál es la dimensión de A
c?
Considere que f es energía y v es velocidad.
A) ML
D) M r 1
B) M C) M -1
E) ML2

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden [k].
Se tiene que E =V2kv2.
Luego
[ E U U z J k M 2
-> M t2r 2=1xW(/.7“1
)2
M jír^ = [k ]x jír
[fc]=M
Problema N.° 14
C/ove u H
Si la ecuación d =■ — es dimensionalmente
o(sen0) ' |
correcta, ¿cuál es el valor de x? Considere que
d: distancia, v: velocidad y a: aceleración. f £
A) 5 B) 3
D) 4
Resolución
Nos piden x.
,,x
Se tiene que d =
C) 2
E) 1
o(sen0)
Luego
[d]=
WY
-» L =
[o][sen©]
ilIT -V
l t ~
2a
L2r 2=Lxr x
t ____ J
Igualamos los exponentes.
.% x=2
Clave IC )
Problema N.° 15
Determine la dimensión de B en la ecuación
5F x t - ¡3B x m
donde F: fuerza, t: tiempo y m: masa.
A) LT
D) LT~2
B) LT
-1 C) LT2
E) r V
Resolución
Nos piden [B].
Se tiene que SFxt-43Bxm .
Del principio de homogeneidad, se cumple
l5]W M =[^][fl][m ]
—
> u tfLT ~ r x lf=T lB ]xtf
•••: : S ¡ •■
; Clave ■
Problema N.’ 16
Halle la dimensión de a y (3 de la siguiente
ecuación:
V=axlh+$xD
donde l/; volumen, Ik: área y D: densidad.
A) L
;M-1/.6 B) L-.ML6
-Q L] M r 6
D) i.-'1
; Mi.5 E
Resolución
Nos piden [a] y [p].
Del principio de homogeneidad tenemos que
di)
M =ta][A] =[p][o]
(i)

De (I)
M=[cc][A] -> L3=[a]L2
[a]=¿
De (II)
M=[0][D] -> L3=[$]ML~3
Problema N.° 18
El valor de la velocidad para un auto se deter
mina según
v =JB2-2A H
donde v: velocidad y H: distancia.
Determine [B]x[A.
-3
ML
[p]=M"1
¿5
Clave vA?
Problema 17
Si la»ecuación es dimensionalmente correcta,;
determine la dimensión de R.
(A +B)sen a
R =
Ó
donde A. velocidad y C: densidad.
,,
4
f%
.'Í
V4 >
'
* A
A) ML5T
D) M -2¿77"-1
b) /w_2¿7r c) M2/.7r
E) M2L7T2
«
■
A
.<
Resolución
Nos piden [/?].
Aplicamos el principio de homogeneidad.
[a ][sena] [fi][sena]
[/?]=
[C]2 leí
(I)
De (I)
[/?]=
¿7~1x1 £7“ 1 . , , ,
(m l ~
3)2 ^
-» [R]=M~¿L'+br
A) LZT3
D) LT
B) ¿27"_3
-1
O ¿“2r 3
E) l ~3
Resolución
Nos piden [A]x[fí],
Se tiene que
•=y ¡ ^ 2AH -» v2=B2-2AH
Del principio de homogeneidad se cumple que
#H Jr (ÍP
lv f =[B? =[2}[a
S iT
i* >
.-. [/?]=M"2¿7r 1
i Clave D
De (I)
[V]2=[B]2 -> G.7"_
1
)2=[6]2
De (II)
[V]Z=[2)[A][H]
-> (/.7'~1
)2=1x[/4]xZ.
¿27"’2=[A]x ¿ -» [A]=/T~2
Luego
[e]x[A]=/.r1
x/.7“ 2
.-. [ñ]x[A]=t2r - 3
i C/ove i B }

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.’ 19
Si la ecuación F =kxa +m — es dimensional-
b
mente correcta, indique qué magnitudes físi
cas representan k y b, donde F: fuerza, a: ace
leración, m: masa y vevelocidad.
A) tiempo y masa
B) área y tiempo
C) masa y tiempo
D) longitud y masa
E) densidad y longitud
Resolución
Nos piden [k] y [b].
Aplicaremos el principio de homogeneidad.
f l_ /
1 1 i
I : : ' V
[F] = W W = [m]M
-T~ — i
— lb
|¡k
W Jf
(i)
De (I)
M =M [o] -> 'w f* =[k ]jJ^
.-. M = M
De (II)
[F] =[m]M _> M ^ =M x ^
44 ;:
r"
[^]=7-
Problema N.° 20
i Clave í
’■
.............Jw r
La ecuación de la energía mecánica de
un sistema bloque-resorte está dado por
^-/V¿+Bxz+Chl donde v velocidad, h: altura
respecto al piso y x: estiramiento del resorte.
Determine la dimensión de ABC.
A) M3LT B) M3LT 4 C) ML5T
3-t
— 2
D) M2LzT~2 E) M3L3r 4
Resolución
Nos piden [AxBxC].
Del principio de homogeneidad, se cumple
(iii)
EL
[e]=[a]Iv? =[B][x? =lc][h]
(ID •
De (I)
m l2t~
2=[A]{lt ~
^
)z
=[Ájk^- -> [a ]=m
í
De (II) , ,
«íJí „> ..4 .
M¿2r 2=[l3]iL2 [fí]=M7"~2
#1
De (III)
27 2=[C]xZ. [C]=MLT~2
Luego
[AxfíxC]=MxM7"~2xM/.7"~2
[Ax Bx C]=M3LT~4
; Clave :
Problema N
.* 21
La amplitud {A) en un movimiento oscilatorio
J82+
f - í
V
se determina según A =^B2+
donde A es amplitud (en metros) y v es veloci
dad. Determine [B][W].
A) LZT
D) r 2r 1
B) LT- i
Q r Y -2
E) LT~3

mm
Capitulo 1 Magnitudes físicas
Resolución
Nos piden [B][W
].
Se tiene
/A2=S2+ —
Vwj
^ = ^ - 4 -
— > [W ]= r'
[n/]2
[B][W]=LT^
Problema N.° 22
; Clave [
La energía cinética de un móvil de masa m y
velocidad v es E=kmavb. Si k es una constante
matemática, halle los exponentes ay b.
A) 1 y 2
B) 1y 1
C) 2 y 2
D) 3 y 2
E) 1y 3
Resolución
m
Comparamos la base L.
¿?=2
Comparamos la base M.
(7
=
1
i Clave [Á
Problema N.° 23
En un movimiento circular de radio /?, si la ve
locidad del móvil es v la aceleración centrípeta
se halla con acp=kvaRb, siendo k una constante
matemática. Halle los exponentes a y b.
A) 2 y -1
B) 2 y -3
C) 2 y - 2 f
D) - 2 y 4
E) 3 y —
1
Resolución
Nos piden ay b.
Se tiene que
[acp]=lk]MaÍR]b
-> LT~2=m{LT~')a[L]b
L T '2=LaT~axí.b
LT-Z=La+bT-a
Comparamos la base T
.
a- 2
(7
Nos piden oy¿.
Se tiene que [C]=[/r][/77]°[u]¿.
-> ML2T~2=0)MaÍLT~1
)b
ML2T~2=MaLbT~b
Comparamos la base L
a+b=1 -» 2+¿»=
1
b=-1
; C/ove i A i
•*
........ «....'n.«
’’

Problema N/ 24
Si la ecuación dada es dimensionalmente co
rrecta, donde §: área, o: aceleración y i/: veloci
dad, halle la ecuación dimensional de y.
7iy =§xlog|—
v J
A) L2T
D) LT~2
B) LT C) LT2
E) L~2T
Resolución
Nos piden [y].
Usamos las ecuaciones dimensionales.
M [y] =[§][*]
•(D[yM2M(l)
[y]=L2[x]
log
ax^
u ; .
y
(i)
La función logaritmo se aplica a los números.
Luego,
ax
~ )
debe ser un número.
la][x] . %
. • vm
tr
W - Í 4 M =
LT-1
[a] LT-2
- [x]=T (II)
Reemplazamos (II) en (I).
M = l2t
; Clave (: }
Problema N.’ 25
Si la ecuación es homogénea, determine las
ecuaciones dimensionales de A y B.
VJ-AgH-BP
donde
- W: trabajo
- g: aceleración de la gravedad
- H: altura
- P: potencia
A) M y r~1 B) M2y T C) M y T
E) M “1y r~1
D) M y - r
Resolución
Nos piden [A] y [fij.
Usamos el principio de homogeneidad en la
ecuación planteada.
ÍW =[AgH] =BP]
Igualamos el 1.er y 2.° término.
m =[A][g][H]
ML2T 2=[A]LT~zx L
[A] =M
Igualamos el 1.er y 3.er término.
[W]=[B][P]
-> M í2r 2=[fi]xM[2r 3
[B]=T
i Clave i ■

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1
. Indique cuáles de los siguientes casos son
fenómenos físicos.
I. la deformación de un resorte
II. la combustión de la madera
ill. la oxidación de los metales
IV. el movimiento de un balón
A) solo IV B) Iy IV C) II y III
D) I, II y IV E) todos
t
2. Respecto a las siguientes proposiciones,
indique la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F).
I. Todo fenómeno químico implica una
reacción química.
II. Al mascar una manzana se observa en
ella un fenómeno químico (seoscurece).
f í» !
III. Cuando la fruta se descompone, es un
caso de fenómeno físico.
A) VVV
D) VVF
B) FVV C)?' FFF s;<
i
E). FFV
3. Indique cuál no es una magnitud funda
mental para el Sistema Internacional, p
A) masa
B) densidad
C) longitud
' D) temperatura
E) intensidad de corriente
4. De la siguiente relación de magnitudes
físicas, ¿cuántas son escalares?
• fuerza < • desplazamiento
• temperatura • densidad
• tiempo
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
5. De la siguiente lista de magnitudes físicas,
¿cuántas son escalares y vectoriales, res
pectivamente?
• velocidad • aceleración
• longitud • masa
• volumen • área
A) 3; 3
D) 4; 2
B) 2; 4 C) 1
; 5
E) 5; 1
De la siguiente relación de magnitudes,
¿cuántas son vectoriales?
• trabajo • tensión en una cuerda
• densidad • aceleración
• velocidad • potencia mecánica
A) 3 B) 2
D) 4 .
C) 1
E) 5
.Determine la ecuación dimensional de y si
,y={AxB)4, donde 4: área y B: volumen.
A) L4
D) L~20
B) L
10
C) L
E) L
20
15
8. Determine la dimensión de x en la siguien
te ecuación:
x=25-/77-g-sen20°
Considere que m es masa y g es aceleración
A) MLT 1 B) MLT~2
D) MLT
C)
E) MZLT~2
Si la ecuación A -4 tíRx es dimensionalmen
te correcta, determine x, donde 4: área
R: radio.
A) 1
D ) f
B) 3 C) 2
E) -2

10. La siguiente ecuación es dimensionalmen-
te correcta:
A=tan30°-fí-Cx
Determine x. Considere que A: longitud, B:
aceleración y C: tiempo.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
11. La ley de gravitación de Newton se expresa
por la ecuación
F =
_ G /7i1x m2
donde F: fuerza, /r?1 y m 2: -masas y d: dis
tancia. Determine la dimensión de G.
I %
j¡|* w
A) ML7~1 B) M t } r f C) M~2L2T~]
D) M ' 3T~2 %E) MLT <
12. La siguiente ecuación es dimensionalmen-'
te correcta:
T=2nLxgy ^
Determine x+y. Considere que T
: tiempo,
L: longitud y g: aceleración de la gravedad.
A) 0
D) 2,5
B) 2
F
C) 0,’5
E) -1
13. La ecuación A =-+ B es dimensionalmente
correcta.
Halle la dimensión de B si F es fuerza y t
es tiempo.
A) MLT"2 B) ML
D) MLT' 3
C) MLT
E) LT'2
14. Si la ecuación W =4y¡2vx •my es dimensio
nalmente correcta, halle x+y.
Considere que W: trabajo, v: velocidad y
m masa.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
15. Determine la dimensión dexsi la siguiente
expresión es dimensionalmente correcta: .
W =■
F-vL
x-log100
Considere que W. trabajo, F: fuerza y v: ve
locidad.
A) LT
D) L1Í
-1
B) LT-2
O
E) L2T2
16. Si la ecuación dNsen30 =P es dimensional-
mente correcta, determine las dimensiones
de /^Considere que d: densidad y P: presión.
A)' L 4T 4 B) L2T
2t - 2 -4
D) L4T' 4
C) LT
E) L~4T4
17. Si A representa el área, determine la di
mensión de m y n, respectivamente.
7Alog200 =2^[m+5nz sen60°
A) L; L4
D) L L
B) L '4-,L C) L;L' 4
E) L~4] L~4
18. La ecuación para la altura H de un objeto
está dada por H =At +^ ~
2 '
Determine [A], [x] e y si tes tiempo y B es
aceleración.
A> 1 B) i3
; 2 q L: 2
D> LT ; 2 E) L2: 3

Capítulo 1
Magnitudes físicas
19. La posición (x) de un bloque que oscila se
determina según x =/4sen(cof+0),
donde x: posición (en metros), t: tiempo y
. 0: ángulo. Determine las dimensiones de A
y cd, respectivamente.
A) L ; r ' B) L;T
D) L; T2
C) M
E) L;T
- 2
20. Si la ecuación H =
( 2ux
a¿b
~
2¿y
sen0 es dimen-
sionalmente correcta, determine x+y.
Considere que H:altura, a: velocidad, b:ra
dio y c: aceleración.
0s s
A) 1 B) -1 / : C)
D) -2 ' / E)AQ"’
21. Halle la dimensión de x en la ecuación
H = -+—, donde rrr. masa, c/: dís-
m-senQ d %
.if
tancia y g: aceleración de la gravedad.
A) MT2
D) MT
B) MT~
2 O :MT
E) M2
J
-1 f2r-2
22. De la siguiente ecuación, determine las di
mensiones de k.
,2
/T7l/
s =
3kT
donde S: adimensional, m: masa, v: veloci
dad y T: temperatura.
A) MLT2Q B) M/.27"20~1 C) MLzT2Q
D) ML'^T2Q E) /w rV 2©
23. Dada la siguiente ecuación dimensional-
-Bd
mente correcta: A=ve
, A
determine la dimensión de —.
Considere que i/: velocidad, t: tiempo y
e: base del logaritmo neperiano.
A) ¿ r 1
D) r 1r 1
B) LT
-2
C) LT
E) ¿2r 1
24. Determine las dimensiones de /? si la
siguiente ecuación es dimensionalmente
correcta:
3x4
R =Wvk[n-(ogk)~
donde H/: trabajo y v: velocidad.
A) ML2T~4 B) MLzT~2
D) ML¿T~3
C) M?T~3
E) MT -3
25. Si la ecuación o =/?sen| a +— es dimen-
sionalmente correcta, determine la dimen
sión de X, donde a: aceleración, v: veloci
dad, a: ángulo y t: tiempo.
A) L
D) LT
B) L-1
C) L¿
E) LT-1
26. La siguiente ecuación define la veloci
dad {v) en función del tiempo (f) de un
cuerpo que se desplaza sobre una superfi
cie horizontal:
v=Acocos(cof)
Determine la ecuación dimensional de A.
A) ¿7“ 1
D) 7
” 2
B) L C) 7
“ 1
E) LT

27. La fórmula del periodo del péndulo simple
está dada por T=2nLxgy.
Determine los valores de x e y, donde
T: tiempo; L longitud del péndulo y g: ace
leración de gravedad; además, 71=3,1416.
A
) i ; - 1
4 4
D) ——; 1
6 6
B) - 1
1 1
C) —; - -
5. 5
1 1
E) -
8 8
28. La siguiente ecuación es dimensionalmente
homogénea:
vy
F =P(ü +m— , donde r. radio, F: fuerza,
.r .<
#
&
*
*
»
*
«
*
*
»
m: masa, P: cantidad de movimiento, v e
locidad y co=velocidad angular.
Halle los valores de x e y. %
A) 1
; -2
D) 4; 3
B) 1
; 2 C) 2; -1
E) 4;-3
29. Halle las dimensiones d e xe ysi la siguien
te ecuación es homogénea: 1% ,
xvyjy¡3 +D sen 37°=yAl}
donde v: velocidad, A: área, D: densidad y
L: longitud.
A) ML] L¿T B) ML3T; LT C) MLc]L r
D) ML~4T]ML~
7
r 2 . i 7— 1
E) ML~3; LT~}
30. Halle la ecuación dimensional de 5 si la
siguiente ecuación es adimensional:
/i3/?
r2s
donde A
.á
rea, /?: radio y T: tiempo.
A) i 5r 2
D) ¿4r 2
B) ¿ V 2 C) ¿57 "3
E) ¿6r - ’
31. La velocidad (v) de un cuerpo depende de
su aceleración (a) y de la distancia recorri
da (d). A partir de la ecuación física dimen
sionalmente correcta v=2 axdy, determine
x-y.
A) 1
D) -2
B) 2 C) -1
E) 0
32. Si la siguiente ecuación es dimensional
mente correcta:
mx(H-h)(x+y)
2Qsen0 =
tz eos 37°
donde m masa; H, h: alturas; t: tiempo y
Q: energía calorífica, determine x+y+z.
A) 0
D) 3|
B) 1 C) 2
E) 4
33. Halle la dimensión de N si la siguiente
; ecuación es correcta:
logfx+--l
t K~e “ n)
Adonde co: velocidad angular y t tiempo.
B) T
A) 1
D) T~2
C) 7_1
E) 72
34. Halle la dimensión de — si la
B
ecuación
A=vcos[B-kt) es homogénea,
donde v velocidad y t tiempo.
A) LT~2
D) T
B) LT-1
C) L
E) 1
35. Halle la fórmula dimensional de K si la
,
--------( - N
ecua
ción /c=Vòf/T+ò) -+sen0 (z-b) es dimen-
^ J
sionalmente correcta, donde h: altura.
A) L B) L2
D) L“1
C) L3
E) r 2

Capitulo 1 '
Magnitudes físicas
36. Si la siguiente ecuación física es dimensio-
nalmente correcta:
sen(oo0)
a
Qfícos((3+60°) =l R+j
donde R: radio, f: frecuencia y co
: velocidad
angular, halle las unidades de [ax0] en
el SI.
A) ms
D) m
B) ms-1
C) ms
E) s
-2
37. Si .la siguiente ecuación es dimensional
mente correcta:
r ^
W sen a =6d2Bv1- epV J
donde W: trabajo, d: distancia,’ p: presión,
v: volumen y e: número rea!, determine la
relación 1R
B
..w
A) LT'
D) T
B) ML —1*
-1
C) MLT
E) L2 • "
38. Un ventilador depende de su velocidad an
gular (co) con que gira las hélices, también
del radio de cada hélice (/?) y la densidad
del aire (D)..
Halle una expresión que permita encontrar
la potencia (P) que desarrolla el ventilador.
Considere que K es una constante adimen
sional.
A) P=K(úzR5D
C) P=K(ú2RD5
D) P=K(ü3RsD
B) P=Ku sR3D
E) P=K(úRD¿
39. En un nuevo sistema de unidades creado
por nosotros donde las magnitudes fun
damentales son área {A), fuerza (B) y ve
locidad (Q, ¿cuál sería la ecuación dimen
sional de masa en función de las nuevas
magnitudes fundamentales?
A) ABC
D) A~V2BC2
B) ABC -2
C) /4£T1
C
E) AVZBC—2
40. La presión hidrostática (P) que soporta un
j f ' punto en el interior de un líquido está en
"" ' función de la densidad del líquido (p), de
la aceleración de la gravedad (g) y de la
profundidad (/?) a la que se encuentra el
punto. Determine una expresión para la
presión hidrostática.
A) Kpgh2 B) Kpgh
D) Kpg-^h2
C) Kp2gh2
E) Kpgzh~2
Claves
1 6 1
1 . - ! 16
i
i 21 26 31 ; 36
2 y. 7 12 ! 17
i
; 22 27 32 37
3 • 8 13
! 18 i 23 28 33 38
4 9 14 ' ‘ i 19 i 24
i 29 34 39
5 10 15 ; 20 j 25 30 35 40

ANÁLISIS VECTORIAL
En nuestro país y en el mundo entero se practican muchos
deportes de aventura en los que se aprovecha la fuerza del
viento, como el parapente, el paracaidismo, el paseo en ve
leros, entre otros. Este misterioso carácter del viento ha cau
tivado a la humanidad desde tiempos muy remotos. Grandes
navegantes, como Cristóbal Colón y hasta los españoles in
vasores de América Latina, usaron, su impulso para navegar
a través de vastas regiones de la Tierra. El viento también ha
dado forma a la superficie terrestre y cumple un rol decisivo
en la dispersión de semillas y en la determinación del clima.
El principal factor que determina la dirección y magnitud de
los vientos es la diferencia de densidad entre dos regiones
de la atmósfera, pues el aire fluye espontáneamente desde
las zonas de mayor densidad de aire hacia las zonas de
menor densidad. Este flujo de aire es precisamente lo que
denominamos viento.
Aprendiiajes esperados
• Definir un vector como una herramienta matemática que
nos permita representar las magnitudes vectoriales.
• Diferenciar las operaciones escalares respecto de las
operaciones vectoriales.
• Reconocer los métodos que nos permitan comprender
las operaciones de adición, sustracción y multiplicación
de vec.tores.
¿P@r qyá 05 necesario este conocimiento?
Este capítulo explica a los estudiantes la importancia que tie
nen los vectores para la física, puesto que a través de ellos se
representan las magnitudes vectoriales, las cuales nos per
mitirán describir y comprender mejor los fenómenos físicos.
En ese sentido, el concepto de vector se estableció para po
der describir matemáticamente el espacio en el que vivimos-
todos los vectores, como la fuerza, velocidad y aceleración
están relacionados con el espacio. Todos los fenómenos físi
cos se desarrollan en el espacio; por ello, para describir co
rrectamente un fenómeno físico se requiere necesariamente
el uso de vectores.

Importante
Gal¡leo Gálilei fue uno de. los
primeros en utilizar vectores al
estudiar el movimiento de los
proyectiles; tuvo la necesidad
de representar la velocidad en
un instante dado. Asimismo,
Isaac Newton utilizó los vecto
res para representar las fuerzas
Y operar con ellas al establecer
las leyes del movimiento.
En términos biológicos, un vec
tor es cualquier agente (perso
na,': animal o microorganismo)
que transporta y transmite una
enfermedad a otro organismo
vivo. Los vectores biológicos; se
estudian por ser causa de enfer
medades, pero también como
posibles curas.
; : .......— :
A n álisis vecto rial
1. VECTOR
Es un segmento de recta orientado (flecha), el cual nos permite
representar geométricamente las magnitudes vectoriales.
Ejemplos
Veamos algunas magnitudes vectoriales representadas geomé
tricamente.
1
. El desplazamiento de un proyectil
4. La aceleración de la gravedad cuando los cuerpos experi
mentan caída libre

Capítulo 2
Análisis vectorial
1.1, Representación de un vector
Notación
Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabe
to, con una pequeña flecha en la parte superior.
P: se lee “vector P”.
0 70:
/{s % '■
También se denota indicando el origen y el extremo del vector.
AB: se lee “vector AB”. - '' ~ y y
Ambas notaciones: son válidas y pueden usarse
;indistintamente, es decir, P =AB.
Ji i M:Mu.i l
1.2, Elementos de un vector
1.2.1. Módulo del vector
Es la medida, tamaño o magnitud del vector. Está conformado
por un valor numérico y su unidad de medida.
El módulo del vector P se representa como el vector entre ba
rras o simplemente con la letra (sin flecha).
Módulo del vector P:Po P
unidad de medida
Del gráfico, |P|=10 u
■
valor numérico
Dato curioso
En las instalaciones de dise
ño de los vehículos premium
BMW en Munich, Alemania, las
computadoras y estaciones de
trabajo de gran potencia es
tán realizando simulaciones a
prueba de choques con el fin de
diseñar vehículos más seguros.
Los cálculos que los ingenieros
programan en las computado
res se basan en los métodos de
suma vectorial de fuerzas.

A plicación 7
Se tiene el siguiente vector. Determine su mó
dulo.
1
1
I
__
1
“l
n
n
1 u
1.2.2. Dirección del vector
Está definida por la medida del ángulo obteni
do a partir del eje horizontal positivo y la línea
de acción del vector, medido en sentido anti
horario.
Dirección del vector P: 0D
Ejemplos
Resolución
Nos piden a
.
En el gráfico se indica que el lado de cada cua
dradlo mide 1 u, además, se observa que el
vector coincide con la hipotenusa de un trián
gulo rectángulo cuyo lado mide 4 u, tal como j
se indica en el siguiente gráfico:
Su módulo se determina aplicando el teorema
de Pitágoras.
a =¡P~+42=V16 +16 =V§2
-^ U I =V l6x2= V Í6xV 2
U I =4>/2 u
Importante
Para obtener mayor información de ciertos
j eventos es necesario indicar una dirección. Por
ejemplo, si dos 'autos, en una pista, son igual
de rápidos, podemos señalar una diferencia
indicando hacia donde se dirigen, puesto que
;las direcciones de sus avances son distintas. Los
vectores señalan una dirección.
vrv'
sw-
h
I
1
.-Q--- <v
-o----nd

Capítulo 2 Análisis vectorial

COLECCION ESENCIAL
..........................•
•
•
•
CSNNÍt N N - ,,,,.,»y-
Dos o más vectores son colinea: ;
Ies si se encuentran contenidos ’
^ L 'c en una misma línea de acción.
lili (ff/Á
rrrrfr'— |4
| I !?///.
A b C
!i//
ü —
S^y ' A, B y C son vectores colineales, .
.
.
¡vl iK////////7//z7^
/ f í ) ' ./. 'V jV
# / / / £ &
Importante
[l| ||
j lj í i | Los vectores paralelos son aque-
~irj ' líos que tienen sus líneas de ac-
í ción respectivamente paralelas.
<:q
A-
>
u i i
¡Hi h :
■ i ' ■ . - V
1
a i; ■ ' - ' ; . .
—» —♦
i A y B son vectores paralelos.
¡m í ■
>
Lumbreras Editores
1.4. Multiplicación de un vector por un escalar
En el estudio de los vectores es necesario comparar un vector
con otro. De esta manera al encontrarles alguna similitud se les
da una denominación en particular.
Sea el vector B y un número real n, tenemos el vector nB,
cuyo módulo será n veces el módulo del vector B y colineal al
vector B.
vi:T"?
Importante
iíTTJiT • . . ................
• Si n es positivo, el vector nB
no cambia de dirección.
v.sí : —
• Si n es negativo, el vector nB
...cambia de dirección.
Ejemplo
Sea el vector A de módulo igual a 2 ú.
...-vector A m ~
'
y■
»'
ra
d
* ♦
c
€ victor A
cuádruple
del opuesto
del vector A
opuesto _
de! vector A
,i if/y;
No olvide
En general, sean los vectores A y B.
Sil! •y---.
/ 8
V ■
S iA y B son paralelos, se debe verificar que el
U M f il
. . un número real —i
VülLLir
5i

Capítulo 2
Análisis vectorial
1.5. Descomposición rectangular de vectores
Es un procedimiento que consiste en expresar un vector en
función de otros dos vectores mutuamente perpendiculares a
los cuales se les denomina componentes.
Sea el vector fuerza (f ) cuyo módulo es 50 N'y 0=37°.
Procedimiento para la descomposición
Identificamos las direcciones perpendiculares donde se ubica-
trazamos dichos componentes.
A
F
donde ^
- Fx:componente horizontal del vector F
- Fy. componente vertical del vector F
Ahora para hallar los módulos de los componentes podemos
hacer uso de la forma geométrica o trigonométrica.
• Primera forma: geométrica
Comparando las hipotenusas, 5F=50 -» k=10 ■
Luego, F=(40 N; 30 N).
Dato curioso
La utilidad de la descomposi
ción rectangular está en com
prender algunos cambios que
pueden darse en la horizontal y
r í
en la vertical.
Por ejemplo, al patear un balón
de fútbol, la velocidad luego del
lanzamiento varía por acción
de la tierra, el aire, etc., pero se
puede estudiar estos cambios
conociendo cómo cambian los
componentes de la velocidad.
El conocimiento de los triángu
los notables y la proporción de
sus catetos van a facilitar la des
composición de los vectores.
Aquí algunos triángulos rectán
gulos notables.

COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Este segundo método es muy útil cuando nc
se conoce el módulo de la magnitud vectorial,
pero igual se logra descomponer.
vseh'tí
A plicación 2
Dado el vector A de módulo 20 unidades, ex
prese el vector A en función de sus compo
nentes rectangulares.
• Segundaform
a:trigonométrica
Luego
F =(50eos37°;50sen37°) =(^
50x | ;50 x |
-> F =(40 N; 30 N)
msen0
50 N
m
cosG
37°
50cos37
Resolución
Para hallar los componentes rectangulares del
vector A, usaremos la forma geométrica, ya
que se conoce el módulo del vector.
Comparamos las hipotenusas de los triángulos
sombreados.
2k=2Ó
, k=10
Luego, |Ax|=10u y
a y=10^3 u.
A =(l0 u; 1oV3 u)
1.6.¥ector unitario íu v)
Es aquel vector^que tiene la misma dirección
que el vector A y cuyo módulo es igual a la
unidad.
'
43 = 1 U
k
. —
------->
Gráficamente, tenemos

Capítulo 2
Análisis vectorial
Matemáticamente, el vector unitario de un
vector está definido como la relación entre di
cho vector y su módulo.
donde
A
- vector unitario del vector A
- A: vector Á *
- a |
: módulo del vector A
|y
I
|A^
|: módulo del vector unitario del vector A
Ejemplo
Determine el vector unitario de A.
¿ y
W
fA . I
i
^ J
I
L
m
f
r
T
Nos piden fi¿. éT '
A
%
Se tiene
De la descomposición rectangular^/
/i
(*)/, V '
/4=(3 u; 4 u)
Reem plazam os en (*).
~ 3 u; 4 u 3 u , 4 u
5 5 ' 5
Va =
3 .1 , u
5' 5
1.6.1. Vectores unitarios en la dirección de
los ejes coordenados
a. En el plano
Los vectores unitarios
paralelos y asociados
a los ejes coordena
dos cartesianos X e Y
(positivos) son ? y j.
Y ‘
J .
i
____ ----------->-
- t
■<
---------
X
1
i" J
Del-gráfico, se tiene A=Axi +Ayj.
Su módulo Ul =J a x +A?
y ,
% donde
T: vector unitario (0 asociado al eje X
positivo
- j: vector unitario (j ) asociado al eje Y
positivo
Siendo
1
+
—>
II
1
+
’■
—>
II
| -' / / if//t ...... ' - ■
' .. . '
Importante
La dirección de un vector se puede expresar
mediante los vectores unitarios.
‘ 5 -m/s
- " Tf-y¿í d.'K
-;..ion
) Se tiene v=5 m/s (+?)
tx modulo
é
<
lu
't‘cChjn.
10 m/s" Se tiene 5=10 m/s2 (~j)
IííÍIíIlV. .módulo
------ ----------■
-------------- J

Ejemplo
Exprese el vector B en términos de los vectores
unitarios.
De la descomposición rectangular, se tiene
p-
X
*Y
~
~ ' V -A,
C'Q. i v/~‘ Y
¿Y
X W J
Del gráfico
fl=(4; -4) •
... e= 4?-4i
A plicación 3
Dado el vector A cuyo módulo es de 10 u(de->
termine el vector unitario del vector A
~ ¿
0-
g
Se tiene que
A A
Va =
Ul
n
Del gráfico
A=8?+6j
Del dato
• |X|=10 u
Reemplazamos en (*).
^ 8?+6?
•
•
• J*
a = I(4<
'+37)
mW Dv
'^
f %
•/
'*
Resolución
/s
.
Nos piden
De la descomposición rectangular de un vec
tor, se tiene
Á
.J
Qr
& T t: rf#<*sspacio
Todo vector en el espacio puede ser expre
sado en función de sus vectores unitarios
(?;?;».
Sea el vector A

Se tiene que
Del gráfico, se tiene
A=AX?+Ayj+ A zk
Su módulo U| =^A2
x +Ay +A
?z
siendo |±íi=|±y|=|±fc|=1,
donde k es el vector unitario {k) asociado al
eje Z positivo.
A plicación 4
Determine el vector unitario del vector A ubi
cado en el cubo mostrado de 10 u de arista.
A s i
R
esolución
a ' ' V
Jos piden
)e la descomposición rectangular en tres di
mensiones, tenemos
primera
A_
Ul
(*)
Del gráfico
A = 10?+10y+1o£
donde el módulo del vector /I lo determina
mos de la siguiente forma:
UI =Vl02+102+102
-> Á=10>/3 u
- .. 10í+.10?+10?
imTOfttllté -"
■':■
. ■
- ■
■ .
. '
• Todo vector está definido por el producto
entre su módulo y su vector unitario corres
pondiente.
A — I A 1 1 1 •
**- lA'i 4
• El módulo de cualquier vector unitario es
siempre 1
.
Todo vector con su respectivo vector unita
rio siempre son paralelos.
• A los vectores unitarios también se les de-
í; nomina vectores direccionales porque su
dirección nos da la dirección del vector al
cual corresponden.

fj . ''N M _~
~■
?'///:Imporíaníe
Sumar vectorialmente no es lo
mismo que sumar cantidades
numéricas (escalares), pues aquí
para sumar, además de los mó
dulos, importan también las di
recciones.
<
:•
' --v •
>
'jHi UMi n >
;í
_J
1,7. Operaciones con vectores
Entre las operaciones básicas con vectores, tenemos:
1.7.1, Suma de vectores
Es un procedimiento mediante el cual, dados dos o más vec
tores, se obtiene un solo vector, denominado vector suma o
vector resultante (/?), el cual reemplaza a los vectores que se
suman.
AMOR A SOFÍA
En la imagen anterior podemos percibir que todas las personas
transfieren movimiento en una sola dirección, la cual nos da la
idea del vector resultante.
Para sumar vectores, existen dos métodos: el geométrico y el
analítico.
a. Método geométrico
Este método nos:permite representar gráficamente al vec
tor resultante.
Método del triángulo
Nos permite hallar la resultante de dos vectores. El procedi
miento consiste en graficar los vectores uno a continuación
de otro (en forma consecutiva).
Consideremos a dos jóvenes tratando de mover un auto, a
los cuales representaremos con los vectores A y fí.

Del gráfico, tenemos
punto
final
El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer
vector con el extremo del último vector.
Matemáticamente
R = A + B (suma vectorial)
¿a*
*
8
A plicación 5 ^
« r mm
Para el sistema de vectores mostrados, determine e
sultante.- % #1 W .€/
el vector re-
Resolucion
Nos piden el vector resultante R.
El vector R se determina así:
R =A +B +C (*)
Del gráfico, nótese que la suma de A y B es C debido a que los
vectores A y B son consecutivos.
R =A+_B+C
c
/. ~
R=2C
Dados dos vectores _A y 8, se ;
f - - - ,
v cumple que R =A +8 >y tam
bien se puede expresar de la ;
W
VIi i Ii 1
1i i J///J ' r-----!
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-*
siguiente forma:v R =B +A i ya l
í|1ñ 1
1 A , . .
— 7 s
que para la suma vectorial se :
cumple la ley conmutativa.
,5 tK i» > iw .T O v í> » y .v .w * » í« r iv ^ V **..«; * V V v *
Importante
Si con los vectores dados se for
ma una figura cerrada (polígo
no cerrado), es decir, el origen
del primer vector coincide con
el extremo del último vector;
entonces el vector resultante es
nulo.
A
punco
..Inicial
m
X
X
y
/
puriori
d ;•; ;A 4
, punte- /
in¡oa¡ /
C--' pnin'j • al
x .
0
V
V
x'x
En ambos casos
L
> o I
R X j J
'LiÜJU

Método del polígono
Es un método que nos permite determinar
el vector resultante de tres a más vectores.
Consideremos tres lanchas tratando de
mover un contenedor, las cuales represen
taremos con los vectores A, B y C.
A plicación 6
Para el sistema de vectores mostrados, deter
mine el vector resultante.
punto
final
El procedimiento para determinar el vec
tor resultante es el mismo del método del
triángulo.
Matemáticamente
r = a + b +c (suma vectorial)
Resolución
Nos piden /?.
El vector resultante lo determinamos de la si
guiente forma:
~
R=A+~B+C +D+~E (*)
Del gráfico podemos notar que los vectores A,
;?
$ ,C y D forman un polígono cerrado.
W * -
i| Reemplazamos en (*).
R =A +B+C +D +E
v
------ v------'

cero
R = í
b. Método analítico
Son métodos con los que mediante el uso
de ecuaciones matemáticas podemos de
terminar los elementos (módulo y direc
ción) del vector resultante.
Método del triángulo
A través de este método podemos resolver
un triángulo vectorial si conocemos algu
nos de sus lados y ángulos usando la ley
de senos.

Capítulo 2
Análisis vectorial
Consideremos a dos jóvenes tratando de
trasladar una caja con frutas, a los cuales
representaremos con los vectores A y B.
Resolución
Nos piden U i
Del sistema de vectores, tenemos
De la ley de senos, se verifica
Ul fel !/?k
sen(3 senO
V
seria
J
A plicación 7
Para el sistema de vectores que se muestra,
determine el módulo de A si IB |=
15>
/2*lí
Luego, de la ley de senos
Isl Ijl
sen45° sen53°
Reemplazamos valores.
M - M ^ ¡5 x ¿ í
y r r 5 ' 4
=24 u
Método del paraielogramo
Es un método que nos permite hallar el
módulo del vector resultante usando la ley
de cosenos. Para ello, los vectores deben
formar un ángulo en sí.
Consideremos a dos jóvenes jalando un
bote.

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
donde la resultante es la diagonal del pa-
ralelogramo, la cual es trazada desde el
origen de los vectores.
Vectorialmente, tenemos
R -= A + B
En módulo
r = J a ¿ + B 2 + 2 M - fi
Aplicación 8 ' J
Para el siguiente sistema de vectores;determi
ne el módulo del vector resultante. %j
Considere a 1=
2 u y |fí|=1 u.
Resolución
Nos piden |/?|.
Representamos gráficamente el vector resul
tante.
Se sabe que
p=y
¡A2 +B2 +2-A-B-cosQ
|/?
|=^22+1
2+2-2-1-cos60°
r = ^4 +1+ X x
|
r |=V5 +2

r =I7 u
Casos particulares
1
. Si los vectores A y B son mutuamente per
pendiculares
W
" 1M
B
Entonces
r ~V/í2+ (teorema de Pitáaoras’*
Ejemplo
Determine el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
A *
4 u
□_
_
Nos piden R

Análisis vectorial
Representamos gráficamente al vector R.
’ R
Bu '
Se tiene que
IffU'/Á2+s2
|ff|=V42+82 S * * ~ ~ * * ,
Ir 1=4^5 u . / S Z ^
f;.
2. Si los vectores A y B tienen la misma direc
ción (0=0°) *,0^
A ■8
Del gráfico, ubicamos los vectores en for
ma consecutiva.
y a A 8
Ó •
£
>.
i i
i |R| R I Entonces
Entonces

r =a +b
Esta resultante es la máxima.
Ejemplo
Determine el módulo de la resultante para
los vectores mostrados.
3 u
4 u
Nos piden |/?|.
Para este caso, los módulos de los dos vec
tores se suman directamente.
3 u 4 u
7 u R
R=7 u
3. Si|los vectores A y B tienen direcciones
opuestas (0=180°)
Del gráfico ubicamos los vectores en forma
consecutiva.
7?I
— —
R B
- A -B iA>B)
Esta resultante es la mínima y la dirección
del vector resultante la determina la direc
ción del vector de mayor módulo.

Análisis vectorial
Ejemplo
120°
5 u
R=5u
Oato curioso
1|iW p) rriétodo del paralelogramo, la diagonal;
trazada del origen de los vectores nos repre-
j sentaba el vector resultante. Ahora si trazamos
■
■
7 • /N
o
*y { ******
A / D
/ líMt*,
$ '
' '¡m ' x/m
llpf , i
S
f •4
~
x
íC
'-
- /V / /
■ — ' - •
>
> « í < ' • / T ' ■ :• ¿ :• • w V: ' •-•
'<
-■•.y >*' .# * > / . •
<
.
’f,‘------------■ • '
- .« ■ wi.-'f-
D - A - B
|n sí|{
>
donde
I s|m h h t /////■:■
<
■
■
■
■/
Demostración
Se tiene B +D =A.
Luego, D =A -B .
También se tiene
A,
. v -
Demostración
Se tiene A +D =B.
.
Luego,D =B -A .
Para ambos casos, el módulo del vector dife
rencia (d ) se obtiene de la ley de cosenos.
ü =jA " +B?-2A B cosí)
1.7.2. Producto de vectores
En el álgebra vectorial se definen dos formas
para realizar el producto de vectores: una es el
producto escalar y la otra es el producto vec
torial.
a. Producto escalar
Es una operación en la cual al multiplicar
escalarmente dos vectores, el resultado es
una cantidad escalar.
Primera forma
Si se conoce el módulo de cada vector y el
ángulo que forman los dos vectores
Se define como
- * -:m •i: y
0^ J
jp
k / r-----
>
ó H ■
■
■
'. ' V-
■ i . . ■ A s = U l Is lc o s e !
■
' í ;M ¡ }<
! ; ^ : K
.
__ --------- -------------- )
• ís. — llamado también
producto punto
donde 0 es el ángulo que forman entre sí
los vectores AyB.
Ejemplo
Sean A y B dos vectores. Calcule A-~B.
Nos piden A-B.
Se tiene que A B =Ulle|cos0.

COLECCIÓN ESENCIAL
/A-6 =2x4xcos60°= 8x-
Z
A-B =4 u 2
Propiedades
1. A-B =B-A (propiedad conmutativa)
2. A-{b +c )=A-B +A-C (propiedad distri
butiva)
3. a{A-B) ={aA)-'B =A-{ciB)
Es un número real.
4. A B =0
Esta propjedad se cumple cuando los
vectores A y B son mutuamente per
pendiculares.
5. A A M f ■
.4^ ^ ¡
‘ . • , . -----—’—:
—'—■
—--------------------
1
I_ '/£■ m
Dato curioso
Para el caso de los vectores unitarios cartesia-
• nos ( il j, k), tenemos
II! : ‘ ' I fe W .
JK . %
%
■Jp 7 •
'
■ / - ■
V/s
■
Si los vectores unitarios son colineales,
aplicando la quinta propiedad se verifica
Iílili A A A A . .
, -í =y-7=
A:-A:=
1
'//////
Si los vectores unitarios son perpendiculares,
aplicando la cuarta propiedad se verifica
T - j - j - k -
,v..
t k-0
Segunda forma
Si tenemos los vectores A y B en función de
sus componentes cartesianos, es decir,
A=AX?+Ayj+ Azk
B=BX?+Byj+ Bzk
El producto escalar se determina de la si
guiente forma:
A - B = A..By + A. B., + A B
A 1A V V Z Z
Es una multiplicación directa de sus módulos.
Ejemplo
Sean A y B dos vectores. Calcule A •B.
A=2?+3j+5k
~B=5?+2j-k
Nospiden A-B.
r ; ' Se tiene que
t, ' j , ' , s
»■B=AA + AyBy+AA
V
A-~B=(2)(5)+(3)(2)+(5)(-1)
-> A-B=10+6-5
A B=1
1
Aplicación 9
Si los vectores
^=2?+4mj+r y 8=6?+2y-4¡t
son mutuamente perpendiculares, halle m.
Resolución
Nos piden m.
De la cuarta propiedad del producto escalar
tenemos que
A-B =0

Capítulo 2
Análisis vectorial
Luego
¿•fl=(2)(6) +(4m)(2)+(1)(-4)
-> 0=12+8m -4
-» 0=8+8m
m=-1
; s' - : . W i
Dato curioso
r| u IIi f 777/i / Jff/S s S ,S. ■
■ - - v ^ y y W A
Muchas magnitudes físicas resultan del pro-
i ducto escalar de dos magnitudes vectoriales.
: Por ejemplo, la cantidad de trabajo mecánico
(W) es el producto escalar de la fuerza (f) y el
desplazamiento (d).
W-F'd
_-___...... Ò
b. Producto vectorial
Es una operación en la cual al multiplicar:
vectorialmente dos vectores, el resultado
es otro vector.
Primera forma /S, %
Si se conoce el módulo de cada vector y el
ángulo que forman los vectores entre sí.
Notamos que el resultado del producto
vectorial es otro vector, el cual es perpen
dicular al plano formado por A y fí.
Su módulo se determina así:
Ax c u u i r¿isen0
Ejemplo
Sean A y B dos vectores, calcule el módulo
de A x f í. r . ' ■ ■
Nos piden Uxfíl.
Representamos geométricamente el pro
ducto vectorial AxB.
Se tiene que Uxfi| =U||slsene.
Reemplazamos los datos.
U x fì| =(5)(6)sen30°=30 x ~
•
•
• U xfíl =15 u2

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Propiedades
t 4 x 6 =-6 x 4 (anticonmutatividad)
2. A x {b +c )=A x B+A x C (propiedad dis
tributiva)
3. m (íx fi) =(mÁ)x 8 - /Íx(mfí)
Es un número real. —^
4. 4 x 6 =0
Esta propiedad se cumple cuando los
vectores A y B son paralelos.
f í /í 'V"///■*■..- 7~7 * B
” 7
' *...... .......
Importante
!| u U ! | f f J / S J J j f j v-N H .N : ""«TT! * -<*, ' >
. A
« - - :
: : £ é ■ '
Z
Z
Z
Z
X
Z
zz ' . . . ■ f-
■■■ ■ . • < ' y t
Wif
w.
<>
— A — ►W/J
X ■
ai | í | ¡X /////////// x x z
M5¡||S ■ * ........
i • Si los vectores unitarios son coli
aplicando la cuarta propiedad se verifigl^.
H íi-ltn ix x , X '.-• — »
, V>
u In liiilf/X * ~
7 x T = j x j = k x k = o ^
• Si los vectores unitarios son perpendiculares,
aplicando la definición general setiene
r .
XX
s,y'¿y y?'
X</f; 7 x j = k
s . X
V
¡xk=i
i/f-////y■
S/-
lf/// //
m i! r / / / /
,n|; MxX/fi/Zf:
;' ■ : -'///y//• .
v • : ■ . —
---
, X
X
V
/rxr =) - ' ■
x.x^,xy
/.x'
Segunda forma
Si tenemos los vectores A y B en función de
sus componentes cartesianos, es decir,
A=Axi+Ayj+ Azk
B=B¿+B j+Bzk
El producto vectorial se determina a través
del siguiente determinante:
AxB =
? J k
Ax Ay Az
Bx By Bz
AxB=(AyBz-ByAz)7-(AxBz -BxAzV +
+{A:,By~BxA'X
Aplicación 70
Sean los vectores
A=3'i+4j-k
B=2?+j+2k
• M
Determine el módulo del producto vectorial
A x B x x %
x%
Resolución
f'Nos piden U xel.
Primeramente, determinemos el producto vec
torial de 4 x 6 a través del uso de la determi
nante.
4 x 6 =
A A A
? J k
3 4 -1
2 1 2
4xfl=(4x2-1(-1))í-(3x2-2(-1))J+
+(3x 1 -2 x 4)k
~AxB=9?-Qj-Sk
Finalmente
a x b =¡92 +(-8)2+(-5)2
•
•
• Kxe| =VÍ70

Comúnmente, cuando representamos un vector, no nos enfocamos der
su punto de aplicación. Por ello, se te invita a investigar y conocer más
tinuación detallaremos.
Para i
Vector libre
Existen magnitudes físicas cuya descripción no requiere precisar el punto de aplicación, pues para cual
quier punto de aplicación, los efectos físicos siempre serán los mismos. Por ejemplo, la velocidad de un
automóvil.
V.

concepto
----, ——
ANALISIS VECTORIAL
representación
Es un segmento de recta que
representa geométricamente a
las magnitudes vectoriales.
p —
• p: módulo del vector P
• Q
p:dirección del vector P
Representación Multiplicación Descomposición Vector
cartesiana
V
- . ____ ■
v por un escalar
^----—
___-___:
_;
_^
rectangular unitario
7
Jr =i>
Si n>0 >nB no cambia !
de dirección,
Si n<0 -> nB cambia de
dilección. r
OPERACIONES
>
o
V '
donde PÁ=
A
Suma de vectores i
^ .•
....J % %. ;
.,. . .. I ,, .... .
Producto de vectores
---- — - - - - —
Método
(- - - - - - 7 w " — ^
Método
r >
Producto Producto
geométrico analitici
V . . V . .... ...J
escalar
■ j
vectorial
donde
r =A+B+C
donde
R =A +B D =A -B
En módulo
a ±b =Jaz+B2±2AScos0
Primera forma
ce b
Se define A •B =AB eos6
3
Segunda forma
Se define
_A 'B~ AxBx+AyBy+AzBz
Primera forma
AxB
—
Se define su módulo.
Axfí| =AfisenO
Segunda forma
A x ï = i Ay
+
*z
8, By Sz

E ? ■
RESOLVEMOS JUMTOS
Problema N.‘ 1
A partir del gráfico mostrado, determine el
módulo del vector A.
1 u
A) 6u
D) 12 u
B) 6^2
/E ) 12^2 u
/ , r ,
| J|k' -fe
1
Resolución
Nos piden IA |
.
Como se sabe, el módulo es la longitud del
segmento dirigido. ;
;
'f
% m
v#
6 u
□ 1
En el triángulo rectángulo sombreado, aplica
mos el teorema de Pitágoras.
|2l=V62+62
... 1^
1=671 u
i Clave ÍB ;
Problema M.° 2
Del siguiente gráfico, determine la dirección
del vector B contenida en la siguiente cua
drícula:
1 u
A) 45° B) 53° C) 60°
D) 120° ; E) 135°
Resolución
Nos piden 0e.
La dirección es la medida del ángulo que for
ma,el vector con el eje X positivo.
Del gráfico
45° +0fi=18O°
0fí=135°
i Clave

Problema N.‘ 3 ____________________________j Problema N.' ____________________________________
A partir del gráfico, exprese el vector A en tér- j De acuerdo al gráfico mostrado, determine la
minos de los vectores unitarios. j secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)
j respecto a las siguientes proposiciones.
Finalmente, de la descomposición rectangular
tenemos
A = (12; -16)
X=12?-16?
Clave í
A=2?+Sj
Verdadera
De igual forma, podemos notar que
B=6?+3j

Análisis vectorial
■
Problema N.° 8___________________ _
Para los vectores mostrados, determine el
módulo del vector resultante.
A) 3 u B) 372 u C) 4u
D) 472 u E) 5u
Resolución «
ti#
»
*S
»
s
Nos piden I/?I
.
Para ello trazaremos líneas paralelas a los vec
tores con la finalidad de formar un paralelo-
gramo. V /
Problema N,° 9_____________________
Dos fuerzas, F^ y F2, cada una de 100 N de
magnitud, actúan sobre un punto como se
muestra en la figura. Determine la magnitud
de la fuerza que equilibra estas dos fuerzas.
A) 200 N B) 50 N C) 100^3 N
D) 100V2 N E) 100 N
U N M SM 2015-1
V i
Resolución"
Nos piden |f3 .
Para que el punto esté en equilibrio, se debe
cumplir que la fuerza resultante debe ser cero
o nula; y para el caso de dos fuerzas, estas de
ben ser de direcciones opuestas y en módulo
(magnitud) deben ser iguales.
De la ley de cosenos, tenemos
R l=V(1)2 +(3V2) +2x1x372 xcos45°
ff|=Jl +18+6 ^ X - l r -> P | = v S
R =5 u
i Clave i )

Problema N.° 10
Los lados del rectángulo son de 3 u y 6 u.
Determine el módulo de la resultante.
A) 3 u
D) 8u
B) 9u C) 6u
E) 12 u
Resolución
Nos piden r
.
I _l
De la descomposición rectangular de vectores,
se tiene
6 y
■
!
--------------------^ A
3 u
=
=
<--------------------
3 r
6 u J C
Del gráfico, los vectores que tienen^mismo
módulo pero con direcciones opuestas se
anulan y los que tienen la misma dirección se
suman.
6 u
6 u
6 u 6 u
R
|fl|=12 u
Clave í }
Problema N.° 1
1
A partir, del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo a para que la resultante de
los vectores sea vertical. (A=12 u; B=16 u).
A) 45°
D) 37°
B) 30° C) 53°
E) 60°
Resolución ?
Nos piden a.
0*V
M
í'
Para que la resultante sea vertical, la resultante
en la Horizontal necesariamente debe ser nula.
Descomponiendo rectangularmente los vecto
res, tenemos
16cps53c
Por condición del problema
16cos53°=12cosoc
4
íx
5
a=37°
)éx^- =)2 cosa -> i =cosa
Clave

Problema N.° 14
Determine el módulo de la resultante de los
vectores que se muestran en la siguiente cua-
Problema M.° 15
drícula:
4
1 u
t r - ' ^ " i ~ -
-
-
-
- O
í- Ti
1P 1
i p/r i
i - - n-
-
-
-
-1
-
-
-
-
-
1 1 /
-- 1
1 1 1/
i v :d/
i y t
1 A 1
i/■ i i
~
i
X 1 1
/ i i i
1 u
A) 3u
D) 6 u
B) 4u ,€ f 5 u
E) 8 ú
Resolución 'V ' 1
Nos piden |R |
. y
Para determinar el módulo de la resultante
hallemos primeramente el vector R, parado
cual representamos los vectores como pares -
ordenados. - ^
% l¡r
A=2?+0j
B= -3?-2j
c=or-i?
D= S?+ 6j
R=4?+3j
En módulo
r =v 4^+32
fíl=5 u
; Clave i C }
Una de las operaciones que se realiza con los
vectores es la suma vectorial. Esta es importan
te para conocer la resultante de un conjunto
de vectores, ya sean velocidades, fuerzas, etc.
Se muestra un conjunto de vectores. Calcule la
resultante de estos.
A) E
B) D
C) -D
D) C
E) -C
Resolución
Nos piden7?.
f y o
La resultante del sistema de vectores es
R =A+~B+C +D+1 (*)
Del gráfico, los vectores A, B,Cy D forman una
figura cerrada.
R-A+B+C+D+E
v
-------v------- '
cero
¡R=E
i Clave .A •
•

Capítulo 2
Problema U: 16
De los vectores mostrados, ¿cuál es el módulo
de su resultante? (|fí|=5 u):
A) 4 u
D) 6 u
B) 8u C) 3 u
E) 10 u
Resolución v >
.
Nos piden r . - , . • v / #
Completamos con un vector sobredas líneas
punteadas del gráfico adjunto.
Del gráfico, se tiene
R —A +5 +E +D +C
x x
R=2x
Luego, en módulo
r =2x -> Itfl=2x4
/. |j?|=8u
: Clave i !
Problema NC 17
Los vectores A, B, C, D y E forman el paralelo-
gramo mostrado en el gráfico.
Calcule B+C+ A-D+ E.
A) A
B) B
C) E
D) -E
E) -B ' '
ftesotucióñ A
Nos piden R =~
B+C +A -D +E.
n
Del gráfico notamos que los vectores A y C son
opuestos y de igual módulo; de igual forma
los vectores fi y -D . Por lo tanto, se anulan.
Luego
-y —/ —/ —
j .
R =,B +r + / - D +E
R =E
■Clave [ C )

Problema N
.* 18_______________ _
En un techo se encuentra incrustado fuerte
mente un clavo. Con la intención de retirar di
cho clavo, dos personas amarran el clavo con
cuerdas, y luego jalan de las cuerdas con fuer
zas de magnitud ^=5 N y F2=1 N, tal como se
muestra. Determine la magnitud de la fuerza
resultante que experimenta el clavo.
|^|=^1+25 +Í íx ^ = V l +25 +6
|fl|=V32
|fi|=W2 N
: Clave í :.‘;;
............F
iiW
*
*
A) 6N B) 9N
D) 2V2 N
Resolución
Problema N.° 19______________________ _
Dos vectores, A y fí, forman entre sí un ángulo
de 60° y el módulo de A es de 3 u. Calcule el
módulo de B para que A -B sea perpendicular
al vector A.
A) X s S u B) 3 u
D) 2V3 u'
m
jfSÉolüdóní5
Wmw * a % è
í Nos piden Ifi |
.
C) 1,5 u
E) 6u
U N M SM 2006-II
Nos piden R.
Para determinar el vector resultante,%|razámos
paralelas a los vectores mostrados^ j-
Representamos gráficamente el enunciado del
texto.
Del triángulo notable de 30° y 60° se deduce
que|fi|=6 u.
De la ley de cosenos, se tiene
' i ~
|tf|=>/l2+52+2x1x5xcos530
Clave
lfi|=6u

Capítulo 2
Análisis vectorial
Problema N.“20
Si abcdefes un hexágono regular cuyo lado es
de 3 u, determine el módulo de la resultante
de los vectores mostrados.
b
A) 3V3 u
D) 3u
B) 3>/2 u jZfTu*****^
E) 6u
I '-z?fyyy
Resolución |
• * ysw §
Nos pidenr
. ' V 4 /
Como los lados del hexágono regular son
iguales, trasladamos el vector B paralelamente
detrás del vector C.
Notamos que el vector R reemplaza a los vec
tores; y como está ubicado exactamente en
un lado del hexágono, entonces su módulo
será 3 u.
: Clave i
R 1=3 u
Problema N.° 21
En el sistema de vectores se verifica que
x=nA+mB. Determine m+n.
A) 4
B) 2
C) 1
» !
0 !
Resolución
Nos piden m+n.
T 3
kr_
A
Como O es punto medio de la figura cuadran
glar, entonces también será punto medio de
ambos lados.
Del triángulo vectorial sombreado
í - 7 7 3 .
x= -A + -B= nA + m B
¿ ¿ t
Comparamos términos.
1 1
n = - y m = -
2 y 2
m+n=1
Clave
Á
9

Problema N.‘ 22 _______________
En el sistema de vectores mostrado, se verifica
que x=mA+nB. Determine m-n.
A) 1 B) i
3 « i
D) 2
/ f • ,
Resolución
/ < '
Nos piden m-n. ‘i / - ■
'
Notamos que la base del triángulo está divi
dida en tres partes iguales. Aquí ubicaremos
convenientemente un vector auxiliary.
Reemplazamos (I) en (II).
x +2{x - a )=B
x = -A+ -B= m A+ nB
3 3 t
Comparamos términos.
Luego, m -n =-
2
3
1
m -n =-
3
■ 1
j •
: Clave í
-v *..................
Problema N/33 _________
A partir del sistema de vectores, determine el
. vector unitario de A si la resultante es hori
zontal.
Del triángulo izquierdo, se tiene
A +y =x y =x - A (I)
Del triángulo derecho, se tiene
x +2y =B
A) |(4Í+3;) B) j {4?+3j ) C) ~(4T+3j )
D) 1(4'+3j ) E) ¿(4Í+ 3?)
(II)

■
'• V'' ■
. ...
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. A partir del conjunto de vectores, deter
mine el módulo del vector resultante.
3 u
6 u
8 u
A) 17 u
D) 5u
B) 1u C) 1
1 u
E) 7 u
2. En el sistema de vectores mostrado en el
siguiente gráfico, determine el módulo del
vector resultante.
X
,v> N
d f ' jfk.
6 u
8 | W m i 1
.
éw'
%
A) 14 u
D) 0
B) 16 u C) 8u
E) ,12 lì
3. Dado el siguiente conjunto de vecto
res, determine r =
a +B~c 'si U|=7 u,
b =4 u y Ic|=6 u.
B
C
A) 5 u
D) 3u
B) 13 u C) 9u
E) 17 u
4. A partir del conjunto de vectores, deter
mine el módulo de la resultante de dichos
vectores.
a
6 u
5 u
A) 13 u B) 17 u C) 21 u
D) VÍ5 u E) VÍ9 u
5. Para el siguiente conjunto de vectores, de
termine el módulo del vector resultante.
• ■■
:
i
é7 é
-
.
12 u
8 u r 8 u.
5 u -
A) 16 u
D) 0
B) 17 u C) 7u
E) 8u
6. Para el sistema de vectores mostrados e
la gráfica, determine el módulo del vectc
resultante.
6 cm
A) 4 cm B) 2 cm
D) 10 cm
C) 6 cm
E) 12 cm

7. Para el conjunto de vectores mostrados en
la gráfica, determine el módulo del vector
resultante.
A) 3 cm
D) 10 cm
C) 7 cm
E) 14 cm
8. Dado el vector v de módulo 30 unidades,
halle sus componentes rectangulares (Xe Y).
A) (24; 18) u
B) (-24; -18) u
C) (-24; 18) u
jM
S
L
, m
ff%. %
A . A
D) (24; -18) u
E) (0; 30) u V
Para el sistema de vectores mostrados en
el siguiente gráfico, halle el módulo del
vector resultante.
l
<
*12 u ; .
N
. 1 /
/ 5 u
¡g/
gX /
i
i X
A) 7u B) 17 u
D) 13 u
C) 15 u
E) 1
1 u
10. Para el conjunto de vectores que se mues
tra, determine el módulo del vector resul
tante.
A) 5 cm
D) 12 cm
5 cm
B) 10 cm G) 15 cm
E) 18 cm
11. Si U|=6 u y |fí|=6 u, determine la direc
ción del vector resultante.
--------------- n
A) 15°
D) 60°
B) 53° C) 30°
E) 45°
12. Para los vectores mostrados en la siguiente
gráfica, determine el módulo de la resul
tante.
|S|=6
A) 3^3 u B) 3Í7 u C) 3 u
D) 6u E) 7u
8

22. Para el sistema mostrado, determine el
módulo del componente horizontal y ver-
ticaídel vector resultante.
A) 7 u; 2 u B) 0; 3 u C) 4 u; 0
D) 5 u; 4 u E) 3 u; 4 u
■
í# .
23. Determine el módulo del vector resultante
en el sistema mostrado.
A) 1u B) 2 u C) 3u
D) 4 u E) 5 u
24. Del sistema de vectores mostrados, deter
mine el vector unitario de la resultante.

gg

■
fj
Capítulo 2
Análisis vectorial
37. La resultante del sistema de vectores mos
trados es R=mB. Determine m.
39. Sean los vectores
A=2'i+3j+k y
B=?+3j+k
Determine el vector unitario del producto
vectorial entre A y B.
A) 1 B) 2 C). -1
D) -2 E) 3
38. Los tres vectores del gráfico presentan
igual módulo (20 u). Determine la suma de
los módulos de los componentes de A y C
a lo largo del vector B.
A)
D)
-j+ 3k j +3k
B) V i o
C)
V i o
j +3k
E)
r s
j- 3 k
Vio
- j- 3 k
V i o
40. Dados los siguientes vectores A y B. Ha
lle el producto A-B si el vector A es para
lelo a 5?+3j y el vector B es paralelo a
6Í+I87; además, la suma de los vectores
« es32?+48j.
A) 13 u B) 26 u
D) 52 u
C) 39 u y/A) 630 B) 640
E) 6 5 .i|f^ í D) 670
C) 650
E) 672
Claves
1 6 1
1 16 : 21
1
26 | 31 36
2 :"K 7 12 17 ; 22 27 32 | 37
3 8 13 18 : 23
1
28 33 | 38
4 ' 9 14 19 : 24 29 34 39
5 10 15 20 : 25 30 35 40

___________
* '
-' 'i /^
Al diseñar grandes autopistas se toman en cuenta los fun
damentos de la cinemática para reducir las posibilidades de
accidentes de tránsito. Las curvas en las carreteras tienen
una forma prolongada e inclinada, llamada peralte, para que
los vehículos no pierdan con facilidad la estabilidad. Por otro
lado, este diseño permite que la rapidez pueda mantenerse
constante durante todo el recorrido y así facilitar el movi
miento ágil y rápido. '
Sin embargo, este tipo de construcciones no es común en
las pistas de nuestro país, por lo que los conductores tienen
que disminuir su rapidez para dar la vuelta correctamente a
una curva y así evitar los accidentes y no ser vencidos por las
leyes de la física.
esperados
• Conocer los conceptos y elementos para describir un
movimiento mecánico.
• Identificar las características del movimiento rectilíneo
uniforme (MRU) en el análisis de los problemas.
• Utilizar las ecuaciones del MRU tomando en cuenta sus
características.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Esta unidad pretende explicar que todo se mueve sin consi
derar las causas que lo generan, como la gente por las calles,
los automóviles, los átomos, las galaxias en el universo, etc.
Unos mantienen la misma velocidad, como el sonido, mientras
que otros aceleran o frenan, como los automóviles. Algunos
movimientos son en línea recta, como el de la luz, otros en
cambio varían constantemente su dirección, por ejemplo, las
gaviotas. Pero también unos van rápido, como el rayo, y otros
van lentos, como la tortuga.

El guepardo es el animal más
rápido en campo abierto sobre
la superficie de la Tierra; En tra
mos cortos es capaz de alcanzar
hasta 120 km/h, lo cual equivale
a 33 m/s aproximadamente:
COLECCION ESENCIAL
Importante
El ¡hombre siempre ha tenido
conciencia del movimiento; sin
embargo, describirlo a pesar,
de que parece un hecho simple
preocupó al hombre durante
siglos, sobre todo en; la épo
ca de Galileo, cuando se inició
adecuadamente la descripción
del movimiento.
Hf f/f/<
f///'*
<
*
'*
* *
»- ^
la superticie
mne rnrtn<;
M o v i m i e n t o r e c t i l í n e o u n i f o r m e ( M R U )
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Cinemática
Es la rama de la física que estudia el movimiento mecánico de
los cuerpos sin considerar las causas que originan o modifican
este movimiento.
1.2, Movimiento mecánico
Imagine que viaja sentado junto a la ventana de un bus con
su amiga, observa las casas a su alrededor y afirma que el bus
está yendo muy rápido. Su amiga le dice: “No es así, porque si
te fijas, los asientos del bus no se mueven”.
Entonces los objetos se mueven o no dependiendo desde
donde se miren. A dicho lugar se le denomina, por lo general,
sistema de referencia. Asimismo, al trasladarse en el bus, por
ejemplo de la casa al colegio, cambia continuamente de posi
ción o lugar, es decir, experimenta un movimiento mecánico.
Observo que el bus se
aleja, es decir,, cambia
de posición, entonces
desarrolla un movi
miento mecánico.
Para ubicar en un instante determinado la posición de un cuer
po, se requiere de un sistema de referencia (SR), el cual está
conformado por un observador o cuerpo de referencia, un
aparato para medir el paso del tiempo y un sistema de ejes de
coordenadas (X y Y).

Veamos.
final inicial
1,2.1. Elementos
Para describir el movimiento mecánico, debemos tener pre
sente sus elementos; estos son el móvil, la trayectoria, el reco
rrido, el desplazamiento (d), la distancia (d) y la velocidad (v).
a. Móvil
Experimenta el m ovim iento mecánico.
b. Trayectoria
Es la línea imaginaria que describe el móvil.
c. Recorrido (e)
Es la medida de la longitud de la trayectoria.
d. Desplazam iento id)
Es la magnitud vectorial que expresa el cambio de posición
o lugar que experimenta un móvil y se representa mediante
un vector, el cual está dirigido desde la posición inicial a
la final.
La forma de la trayectoria defi
ne, en parte, el nombre de un
movimiento mecánico.
• Si la trayectoria es rectilínea,
se denomina movimiento
rectilíneo.
...-.....• -o
• Si la trayectoria es parabóli
ca, se denomina movimien
to parabólico.
Si la trayectoria es circunfe
rencial, se denomina movi
miento circunferencial.

e. Distancia (cf)
Es el módulo del desplazamiento y, de ma
nera-práctica, es la medida del segmento
de recta que une el punto de partida con
el de llegada del móvil.
llegada
A plicación 7
Un roedor se desplaza siguiendo la trayectoria
mostrada. Determine la distancia y el recorrido 1
en el tramo AB. f
Resolución
Nos piden e y d.
En este caso, notamos que la trayectoria está
conformada por dos tramos rectos, entonces
el recorrido es
e=eAM + eMB e=3m+4m
.*
. e-7 m
Como se sabe, la distancia es la longitud del
segmento de recta que une la posición inicial
y final del móvil.
Se ha formado un triángulo rectángulo donde
la distancia es la medida de su hipotenusa.
.Aplicando elteorema de Pitágoras tenemos
s d =y¡32+42 —
> d-y¡9+16 =V25
¥= 5m
Aplicación 2
Un joven se desplaza siguiendo la trayectoria
mostrada para llegar a la casa de Mario. Deter
mine la distancia y el recorrido en dicho tramo.

Resolución
Nos piden e y d.
La trayectoria está formada por tres tramos
rectos.
I 60 m
M 50 m
Del gráfico, el recorrido es
e ~eAM+ eMN+ eNB
—
» e=30 m+60 m+50 m
e=140 m
Asimismo, del triángulo rectángulo sombrea
do, la distancia es la medida de la hipotenusa.
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
¿2=(80)2+(60)2
' ___________
-> d =76400 +3600
."■
v
l
d =yf0000
d =100 m
%
------1 —■ ■ ■
>
Importante “ /
-
V
ti
V = —
De las aplicaciones se deduce r
I C|U6 /
----- : ....—---------------- --------- ^
f. Velocidad (v)
Es una magnitud vectorial que mide qué i
tan rápido un móvil va cambiando de posi- j
ción o lugar.
m
importante
Consideremos lo siguiente:
r • -- ■
AVf<
í l
Dos jóvenes compiten en una maratón y
notamos que ambos son igual de rápidos,
. pero se mueven en direcciones diferentes.
Luego para caracterizar este fenómeno, |
haremos uso de la magnitud vectorial lia- :
mada velocidad.
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
Se evalúa en general
; unidad: m/s
1 i
En módulo
d: desplazamiento, en m
d: distancia,- en m
t: tiempo, en s
v: rapidez, en m/s
jm m à
.

COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
^////.-s
, --....__
Importante
''V ■V 'W
S
,»
.«
W
*
X
V
f
W
.V
,«
v
..............................
íj; í X- y ;• » $ ' i v:. Í / í.' n '•■V
. ^ 'V ,. ’’V. v«MWSV'«*v .;<í
] La rapidez es una magnitud
~
j ■' escalar que mide qué tama /
; : prisa se mueve un cuerpo *•
v■' < '■ ‘‘íj . •>. í ■. ;* .j J ^ ■/-i f
«
*
*
*
*
<
*
»
"
«
* r-' "-"1
%
W
»%CV |-M?£II////
: ' Ejemplo > .
>
•
1
' —- w v y v / jí a i i i i ;;¡¡Mí[//;
„ ,,i Veamos el caso de dos mó-
S tK trr z Z / v ■ : .- ¡m r
v c > viles que parten simultanea-
i ■ j
mente con el objetivo de
i recorrer un tramo de 100 m.
■ i | P I j jji
i a ^'~~'^=é o i
r . «y- |{|{|
: *---------
m,
■
'.i'"
i Podemos notar que el móvil
Allega primero a la meta, es
decir, emplea menos tiem-
! ' po, entonces decimos que
; es más rápido.
j . Cuando decimos que un
automóvil viaja a 60 km/h,
nos referimos a su rapidez.
I Pero si señalamos que se
mueve 60 km/h al norte,
i especificamos su velocidad,
|f puesto que señalamos su
i dirección. -
60 k m /h
velocidad.- ,
'/
v - 60 km/h [-+].
iapiíte-7 : ! I
Ít ' ; i / ' ' í í h : : i í .
Aplicación 3
Un auto se desplaza por la vía. Determine su velocidad.
-5 s
-10 m
Resolución
Nos piden v.
Se tiene
/---- Convencíonalmente indica
_ ^ _
|_
*
|q a la derecha.
v t éS ■
. •
• t -Á /.‘v
>
v =+2 m/s |
i ' ' ' : ¿ u -
1.2.2. Consideracíóneá importantes ;
a. La velocidad la representamos mediante un vector cuya
/ t C
b. La expresión de las velocidades de dos partículas que se
mueven en direcciones opuestas y con el mismo módulo
se diferencian en el signo.
_^10m/s Í0 m/s
- o - — ff» -
En este caso, tenemos
v¿ =+10m/s a V e=-10 m/s
c. Se denomina velocidad instantánea a la que se da en un
instante específico o en una posición específica de la tra
yectoria.
tg-5 m/s v^^lO m/s ^ =15 m/s
donde v2 y v3 son velocidades instantáneas.

Capítulo 3
d. La velocidad es en todo instante tangente
a la trayectoria.
v=S0 m/s
Aplicación 4
Un auto emplea 10 s en ir desde A hasta B.
Determine su rapidez para este tramo.
Resolución
■Nos piden v.
Se tiene que
Reemplazamos.
e. La velocidad de un cuerpo puede ser cons
tante o variable.
Es constante si su módulo y.dirección
se mantienen constantes.
• Es variable si cambia su módulo o di
rección.
2 m/s 3 m/s 4 m/s
Cambia su módulo.
10 m/s I
v =
200 m
10 s
.-. v =20 m/S;
2. flcl¥f#IE|Í® í5
RECT!LÍNEO UNIFORME
El movimiento rectilíneo uniforme es aquel
movimiento que desarrolla un cuerpo con ve
locidad constante.
Ì
Importante
Consideremos lo siguiente:
Cuando se maneja un automóvil, continua
mente modificamos la velocidad, unas veces
frenando y otras acelerando, cuando el tránsito
lo requiere.. Pocas veces se consigue una velo
cidad constante en las pistas de la ciudad. Sin
embargo, no es difícil obtener una velocidad
constante (misma rapidez y dirección), ello se
puede conseguir en una autopista de tránsito
rápido, como las vías hacia el norte del país.
V
__________ ■

Ejemplos
1. El movimiento de una escalera eléctrica en
los supermercados
2. El movimiento de las fajas transportadoras
2.1. Características
a. La trayectoria es rectilínea.
trayectoria
b. En tiempos iguales, el auto recorre distan-
-cias iguales.
3. El vuelo de un avión
trayectoria rectilíneai:>'
del humo
c. El módulo y la dirección de la velocidad se
mantienen constantes.
10 m/s 10 m/s
•d. Los recorridos son directamente propor
ciónales a los tiempos.
importante v $
S un'-auto se traslada con una velocidad de
v =+10 m/s constante; significa que por cada
^ '— haría la Horprha
1 s el auto avanza 10 m hacia la derecha.
Veamos.
i H l I I
*
'SfjáiSiBjpB tP » .
.
.
.
. ..
’V
T
T
p
»
»
-
.
.
.
f —* d
2t -> 2d
3t —►3d
De lo cual se deduce que la razón entre d y f
es una constante.
—=cte.=v
t

Capítulo 3 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
- v
-
-
: ■d.
v =— /---- ;
t v ;
C
v , J V
t tiempo transcurrido, en sr fi /
.
.. £
- •
, . y; rapidez, en m/s, km/h y t¡P /
C w '
A plicación 5
Para el siguiente movimiento mecánico que
se muestra, determine si las proposiciones son ¿
verdaderas (V) o falsas (F).
10 m/s
10 m/s
I. El cuerpo desarrolla un MRU.
II. La velocidad es constante.
III. La dirección del movimiento es variable.
Resolución
I. Falsa
En un MRU, la trayectoria es rectilínea; en
nuestro caso, la trayectoria es curvilínea.
Por lo tanto, no es un MRU.
II. Falsa
Se sabe que la velocidad es constante si
su módulo y dirección son constantes. En
nuestro caso, solo el módulo de la veloci
dad es constante, su dirección está cam
biando.
III. Verdadera
La dirección de la velocidad indica la direc
ción del movimiento. En nuestro caso, la
dirección de la velocidad cambia constan
temente; por ende, también el movimiento.
Aplicación 6
Si la partícula que se muestra desarrolla un
MRU, determine la distancia en el tramo BC.
Resolución
Nos piden d.
Como las distancias recorridas son proporcio
nales al tiempo, se tiene
^AB _ jB C
*AB fBC
Reemplazamos datos.
2 =d
_
1 ~ 5
• d=10 m
•TV

2.2. Casos particulares
a. Tiempo de encuentro (fe)
Cuando dos móviles van apéncuentro.
b. Tiempo de alcance (ta)
Para dos móviles, en que uno va al alcance
de otro.
Vi!I* & / / / / / $ $ :
V
i En ambos casos, d es la distancia de separación
inicial entre los móviles.
Aplicación 7
José y María realizan un MRU y van al encuen
tro. Determine el tiempo que emplean para
encontrarse.
Resolución
Nos piden t. ¿ r ?
s m/g
t De la ecuación del tiempo de encuentro, se
tiene
; va >vb
-> t=
30
10+5
30
15
t=2s

Capítulo B Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Aplicación 8
En el gráfico, un niño persigue a su mascota
con la intención de atraparla. Si ambos realizan
un MRU, determine el tiempo que emplea el
niño en atraparlo.
4 m/s
Resolución
Se debe tener presente que cuando el auto
empieza a cruzar el puente, su parte delantera
coincide con el inicio del puente, y cuando ter
mina de cruzarlo, su parte posterior coincide
con el final del puente.
Graficamos.
/a /a a v a v / v a v *í *2© >
t
i ||
i
1
i )
X- 3 !TH --------- 57 m
i
i »
1 V -yí-
| W :
-X
Resolución
Nos piden t.
Aplicamos la ecuación del tiempo de alcance.
u ._ —v
nino perro
Por conveniencia, trabajaremos con un punto
de la parte posterior del auto, en nuestro caso
será el punto A.
t- 6 s
Se tiene que
dA=vAxt
—
> 60=yx6
v=10 m/s
t =2s
A plicación 9
Un auto de 3 m de longitud que experimenta
un MRU demora 6 s en pasar completamente
por el puente. Determine su rapidez.
Reto al saber
Un automóvil que se mueve a una rapidez
constante .de 90 km/h llega a su destino lúe-
9o ^
horas' E°r contrario, si se desplazara
a 120 km/h, se demoraría una hora menos. ¿A
qué rapidez tiene que ir para llegar luego de
(t+1) horas?
A) 70 km/h B) 72 km/h . C) 74 km/h
°) 78 km/h E) 80 km/h
UNMSM 2013-11

Aplicación 10
Un tren de 200 m pasa por el costado de un
poste durante 20 s. Si el tren realiza MRU,
determine cuánto tiempo estuvo completa
mente dentro de un túnel de 700 m.
Resolución
En este problema se presentan dos casos que
debemos diferenciar claramente.
Caso 2
El tren está dentro del túnel.
Graficamos la posición inicial y final en que el
tren está completamente dentro del túnel.
posición ' * posición
Caso 1
El tren emplea 20 s en pasar por el costado de
un poste, esto ayudará a determinar la rapidez
del tren.
cuando inida
su paso por el ' ..
poste —
i^ 2 0 0 m - i
1 . |
, , . ; t = 2 0 s :
cuanao termina ¡ _____
su paso por el
poste ' | cm
T h •
w "1/ 1
1
/* *' y
......
( V. , i . „ ' < .
V-----d ----- *
Luego • J J
d=vxt —
> 200=v(20)
v=10 m/s
Como el tren tiene una longitud de 200 m,
vamos a trabajar con el punto A de su parte
posterior. La rapidez del punto A es igual a la
rapidez del tren.
1/4=10 m/s
t
■Del gráfico y del MRU, se tiene
dA=vAxt —
> 500=10x í
7=50 s

Física.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Física.pdf

Similar a Física.pdf (20)

Último

Último (20)

Física.pdf