Este documento presenta información sobre la función de transferencia y la respuesta en frecuencia. En particular, describe: 1) La respuesta en frecuencia mide la vibración de una estructura mecánica dividida por la fuerza de entrada; 2) La función de respuesta de frecuencia mide la amplitud, fase y frecuencia; 3) Los diagramas de Bode representan la amplitud y fase de una función de transferencia en función de la frecuencia de manera logarítmica.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión San Felipe
Integrantes:
Jesús Rodríguez CI. 19,061,544
Josef Jiménez CI. 24,167,768
Juana Pinto. CI.22,319,488
Esc 70
Esc. 70
Prof. Marienny Arrieche
Enero 2016
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y
RESPUESTA EN FRECUENCIA

2. Respuesta en Frecuencia
La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene una
respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el
caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de
la vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al
sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecánico, hay que
medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de
vibración .Esto se hace más fácilmente con un analizadorTRF.Las mediciones
de respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas
mecánicos.
La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que
consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella
necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera
de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una
de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la
función es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una
parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada
la parte imaginaria o parte de la cuadratura).
Bode
Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de
salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente
diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las
frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El
diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal
de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en el eje
de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.
En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma
solapada de representar la amplitud de salida en escala logarítmica. Conviene
resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20
de la (ecu.1) se debe en parte al uso de la fracción del belio y en parte al empleo
de la potencia de la señal, lo que hace que haya que elevar al cuadrado la
amplitud dentro del logaritmo y salga fuera de él como un factor de dos. En el eje

3. logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier intervalo que va
desde una determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina
octava a cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble. Trazas
de Bode Trazas de esquina o trazas asintóticas El diagrama de Bode ha recibido
también los nombres de trazas de esquinas o trazas asintóticas ya que las trazas
de Bode se pueden construir empleando aproximaciones en línea recta que son
asintóticas a la gráfica real. En términos simples las trazas de Bode tienen las
siguientes características: 1. El diagrama de bode consta de dos trazados los
mismos que están representados en función de la frecuencia en escala
logarítmica. Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia
Diagrama del ángulo de fase 2. La representación común de la magnitud
logarítmica de G (jw) es 20logG (jw), donde la base del logaritmo es 10. En la
representación logarítmica se dibujan con escala logarítmica para la frecuencia
y la escala para cualquier magnitud (en decibelios) o el ángulo de fase (en
grados). 3.
En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos
de octavas o décadas. a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1,
donde w1 es cualquier frecuencia.
Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es cualquier
frecuencia. 4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa en
dB, los factores de producto y división de G (jw) se vuelve adiciones y
sustracciones, respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y
restadas entre sí de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los
logaritmos expuesta al principio del ensayo. 5. La gráfica de magnitud de las
trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar mediante segmentos de línea
recta, lo que permite el simple bosquejo de las trazas sin cálculos detallados. 6.
El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios
ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero
individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las asíntotas
debidas a cada factor. La característica de fase total, ϕ (w), se obtiene sumando
la fase debida a cada factor.
El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma
que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y el

4. ángulo de fase es ϕ (w)=tan-1wt. 8. Ya que la aproximación en línea recta de las
trazas de Bode es relativamente fácil de construir, los datos necesarios para
otras trazas en el dominio de la frecuencia, tales como la traza polar y la traza
de magnitud-fase, pueden ser fácilmente generados a partir de las traza de Bode.
Ventajas de las trazas de Bode En ausencia de una computadora, las trazas de
Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase con
segmentos de línea recta. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de
fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de
Nyquist.
Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros
se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de
Nyquist.
La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode
Es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma. Cuenta con un
método simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica
Desventajas de las trazas de Bode La estabilidad absoluta y relativa de sistemas
de fase mínima se puede determinar desde las trazas de Bode. No es posible
dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la frecuencia logarítmica (log
0=-∞).
Pasos para Construir el Diagrama de Bode
En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función y por
otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro
paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es: Figura 1: Diagrama
de bode de un filtro paso baja de primer orden A la hora de elaborar un diagrama
de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala correspondiente al
eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué
usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar
datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la
figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos
empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes

5. a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por
debajo de 104 rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas.
Módulo de la función de transferencia empleando una escala lineal en el eje de
frecuencias Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que
permiten representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud,
separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición
del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se
hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos: De este modo, el
orden de magnitud (D) establece un desplazamiento,separando una década (D
= i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden
de magnitud (década) tienen el mismo espacio para ser representados que los
pertenecientes a una década superior. Como ejemplo, en la figura 3 se indica
dónde se ubicarían en un eje logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600
y 6000.
representación de puntos en una escala logarítmica Obsérvese que otra
particularidad del diagrama de Bode en módulo es que se representa en dB. Es
decir, en lugar de representar se representa 20 log . Ésta es otra forma de poder
visualizar también funciones de transferencia que pueden variar en varios
órdenes de magnitud.
NOTA IMPORTANTE: no confundir representar los datos en escala logarítmica
(como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con representar
el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de ordenadas del
diagrama de Bode en módulo). Cuando se usa una escala logarítmica se cambia
la posición de los puntos respecto de una escala lineal, pero se siguen
etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600,… en la figura 3).
Análisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

6. resume el concepto de estabilidad absoluta en un sistema identificado con una
función de transferencia Gs y un controlador con una función de transferencia
Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal senoidal A y consigna U
igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B que es opuesta a la
realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de signo en el nudo de
señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A en otra señal Y
que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y respecto de A no
puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede cerrarse el lazo,
uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B
también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto
grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por
el contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las
señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas
condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que
serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo,
resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que
se iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A,
resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa,
ya que se iguala con B. Es verdad que pueden evitarse señales con una

7. frecuencia tal, que el retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es
aceptable porque toda señal es siempre una superposición de muchas otras,
llamadas armónicos, de modo que alguna de ellas puede coincidir o acercarse
demasiado a la frecuencia que lo inestabiliza, ese armónico será amplificado por
el sistema y terminará dominando la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la
influencia de perturbaciones ajenas al sistema. Este concepto de estabilidad
absoluta solo nos dice si el sistema es estable o no lo es, pero no nos aporta una
medida de la estabilidad. Con los diagramas de Bode también se puede
determinar la estabilidad relativa como se representa en la siguiente figura. Se
conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la frecuencia con la que se
anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es
Igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de
1 es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la
ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de
frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor
frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se
acaba de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de
ganancia, marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y
miden, respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que
faltan para llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable,
se observa que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por
lo que la ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como
en la figura anterior) aumentarán las oscilaciones. En lazo cerrado se denomina
"banda pasante" al intervalo de frecuencias entre las que el sistema mantiene
buena ganancia, concretamente se corresponde con una pérdida en módulo de
3 dB. En esta banda de frecuencias responde con rapidez a las exigencias de
control y lógicamente, interesa que la banda pasante sea grande para que
mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias. La banda pasante
(en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia de corte (en lazo
abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa aumentar la
velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se
aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de ganancia,
acercándose a la inestabilidad. Para mejorar la respuesta se necesita, en

8. consecuencia, aumentar la frecuencia de corte a la vez que se disminuye el
retraso de fase, de forma que el módulo siempre sea menor de cero cuando se
alcance el retraso de 180º. En el siguiente tema veremos los diferentes bloques
o comportamientos que caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador.
Cada bloque tiene su propio diagrama de Bode característico, de forma que
podemos configurar el regulador o controlador con los bloques que mejor se
adapten para mejorar la respuesta del sistema. Como el controlador y el sistema
estarán en serie, sus correspondientes diagramas de Bode pueden sumarse, lo
que permite probar diferentes configuraciones de control hasta alcanzar el
objetivo: Aumentar la frecuencia de corte y disminuir el retraso de fase sin que
se pierda la estabilidad. Para garantizar en la práctica un comportamiento
satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30º y 60º y el margen de
ganancia ser superior a 6 dB.