Este documento explica cómo reducir ángulos trigonométricos a su equivalente en el primer cuadrante. Describe tres casos: 1) ángulos entre 0° y 360°, 2) ángulos mayores que 360°, y 3) ángulos con medida negativa. Para cada caso, provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante en términos de uno dentro.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
180   
CEPUNS R 
360  
  R.T.()
RT() 
Ciclo 2013-II  90   
R    Co  R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220  
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Definición:
Tanº  Tan (270 º 30º )   Cot 30º  3
 240
 
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es * ()
agudo, en función de otro que sí lo sea.
Csc 330 º  Csc(360 º 30 º )  Csc 30 º  2
 
 
R.T.( ) R.T.( )
* ()
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
: no es agudo : sí es agudo En este caso, se procede de la siguiente manera:
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un R.T. () = R.T. () ; donde  360º
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al q
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo Residuo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas. Por ejemplo, calculemos:
Casos:
3
I. Ángulos cuyas medidas están en Sen 2580 º  Sen 60 º  * Tan 3285º = Tan
2
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
2580º 360º 3285º 360º
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo 2520º 7 3240º 9
que sea agudo; para luego aplicar :
* 60º 45º
180    3
R   Sen 2580 Sen 60º.()
º R.T  * Tan 3285º = Tan45º = 1
RT()  360   2
 2580º  
90  360º 3285º 360º
R   Co  R.T.()
 2520º 
220   7 3240º 9
60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca *
el ángulo original " α " Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) =  Csc30º =  2
 
1200º 360º ()
Por ejemplo; calculemos: 1080º 3
3
Sen120 º  Sen (90 º 30 )  Cos 30 º 
 
 
120º
()
2
* Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
1
Cos120 º  Cos(180 º  60º )  Cos60º  
 
  Sen133   Sen 1   1

2 * Cos127  C
* () 2 2 3
133 4 127 6
132 33 126 21
* 1 1
1
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Por ejemplo, calculemos:
* Cos127   Cos 1  1 C  Cos   Cos 2  Cos 3   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
3 3 2 7 7 7 7 7 7
127 6
En esta expresión note que:
126 21   6     Cos   Cos 6 
1 7 7 7 7
 
R.T. a   ; a  2b 2   5     Cos 2   Cos 5 
Es decir, si fuese:  b  7 7 7 7
Se divide: 3   4     Cos 3   Cos 4 
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a "
C   Cos 6   Cos 5   Cos 4   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
Tan 1315   Tan 3  * Sen 1345 7 7 7 7 7 7
4 4 3
Reduciendo, quedaría C = 0
1315 8 1345
51 164 PROBLEMAS RESUELTOS
35
3 1. Reducir:
*
sen(180º ) tg 270º   sec 90º  
Q  
III. Ángulos de medida negativa: Se cos(90º ) ctg 360º   csc 180º  
procede de la siguiente manera: A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx RESOLUCIÓN
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx  Q  sen  ctg    csc 
sen  ctg csc 
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx  Q   1   1   1  1
Por ejemplo, calculemos:
RPTA.: C
2
Sen (45 º )   Sen 45 º  
* 2
2. Si    
Cos (60 º )  Cos 60 º  1 3
* 2 Calcule:
sen  15    cos 92    
Tan (120 º )   Tan 120 º   Tan (90 º 30 º )  (Cot 30 º )  3 P
 
   927    1683  
() sec     csc   
 2   2 
IV. Ángulos relacionados: A)  3 B)  1 C) 1 D) 3 E) 5
16 16 16 16
Senx  Seny 16

Si : x  y  180º Cosx  Cosy
Tanx   Tany RESOLUCIÓN

1. sen  15      sen 15        sen    sen 
cos 92     cos 
Senx   Seny  1683  
 csc       sec 
Si : x  y  360º Cosx  Cosy  2 
Tanx   Tany  927  
 sec      csc 
2.  2 
Reemplazando:
2
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P
 sen    cos   
sen  cos  * ctg 2   3   ctg 2  2     ctg 180     ctg 
 csc    sen   1
sen  cos 
sen2  cos2   Q
 cos 2 tg 
 Q
 cos 2

reemplazando: cos 2 ctg  cos 180  2
 tg 90   
 ctg 
3
   
P  sen2    cos2    
 3  3
 Q
 cos 2 ctg 
 2
2  cos 2 ctg 
 3   1 3
2
   RPTA.: D
 2   2
   16
 
RPTA.: A 5. Reducir:
H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

7 7 7
3. Reduce:
cos  x   cos 24  x   cos 53   x 
W A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
 47 
sen  x 
 2  RESOLUCIÓN
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0
H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

RESOLUCIÓN 7 7 7
 3 3  
* cos  x   cos x H  cos  cos

 cos     cos   
7 7  7 
  7
* cos 24   x   cos 2  12  x   cos x
 3 3 
* cos 53   x   cos 52     x   cos    x    cos x H  cos  cos  cos  cos
7 7 7 7
* 
sen  x 
47   47
 sen 

 x   sen  22  3  x 
 2   2 

 2 
 H=0 RPTA.: A
 cos x  cos x   cos x
W     
cos x 6. Si: ctg20  a
 W=1 RPTA.: B Calcule: csc 200º sen110º
E
cos 290º csc 430º
4. Siendo “  ” y “  ” las medidas de dos
A) a B) -a C) a2 D)  a2 E) 1
ángulos complementarios:
RESOLUCIÓN
cos 2  4  tg 3  2 
Q  ( ) ()
cos 4   6  ctg 2  3  E
csc 200 sen110 
  ()
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2 cos 290 csc 430 
() 
RESOLUCIÓN csc 20 sen70
E
sen20 csc 70
*     90 csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
* cos 2   4   cos 2   2  2   cos 180  2   cos 2 cos2 20º
E
sen2 20º
2
* cos 4  6    cos 4  4  2   cos 360º 2    cos2   cos 20 
E   
 sen20 
* tg 3  2   tg 2   2     tg 180º    tg 
E   ctg2 20º
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
E  a2 RPTA.: D  
sec1217   2
I.  6
PROBLEMA DE CLASE n
II. sen(n)  cos(n)  (1) , n  Z
1. Calcular:
 2 3 29 (csc  csc ) ctg  o
R  Cos  Cos  Cos  . . .  Cos III. Si:
 30 30
30  30
Entonces  pertenece al IIIC:
29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
2. Simplificar:
Tan  5    Sen  7    Sec  9    
      8. Si  es un arco del primer cuadrante positivo
K  2   2   2 
Cos (5   )Csc(7   )Ctg(9   ) y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
sen(  ) . Si: 1    2 .
a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
A) cos 2  sen( )  1
3. Cuál es la relación que existe entre x e y. B) -1  sen()  sen1
 40  x   15  4 x  2 y   89  C) -1  sen()  cos1
Tg   Ctg    Cos 
 10   10   2  D) cos1< sen()  1
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k E) sen2 < sen()  1
 9. Reduzca:
4. Sabiendo que:
    
 37   77  E  csc  2005     tg  2003    
Ksen    ctg     cos(sen)   2  
 2   2 
  17    23 
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en csc  2     c ot  2    
x     
términos de K es: (k > 0)
a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0
( k 2  1) ( k 2  1)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
 37 
tg 99  x . cos   x . sec90  x 
5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:  2 
R 
A B C A B C  91 
 sen(A  B  C)  cos2      sen2     ctg   x .sen 40  x 
 2 2 2 2 2 2  2 
Entonces el valor del ángulo D es: a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º?
 3
 a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2
6. Dado el siguiente intervalo: 2 2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
Además:
 
cos   sen tg  ctg
 12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
5; 5 . Calcular:
que:
A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E) 
 2a  3b   6  3a  2b 
Tg   Ctg 0
7. Cuál de las siguientes proposiciones son  8   4 
verdaderas: a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
13. El valor de la siguiente expresión:
4
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Es igual a: PROBLEMA DE REPASO
   
Sen  7   Sen   
 12    12  1. Simplifique:
    7  sec(x  360).cos(x  270)tg(180  x)
Cos   Cos   E
 12   12  cos(270  x).sen(x  306)csc(90  x)
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2 a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
14. Analice la veracidad de las proposiciones 2. Determinar el valor de: Cos1200º
siendo , n  Z 3
i. Sen(n   )  Sen a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2
ii. Sec(781  Cos )  Sec(Cos )
iii.  1 1 3. Simplificar:
Ctg  3n    Ctg  
  3 
 x  x Tg    Tg     Ctg    Ctg 
 . 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV E  2    2 
d) FVVF e) VFVF     .Ctg    
Ctg   3 
 Tg    Tg 
.  
2   2 
15. Si A y B son ángulos complementarios, al a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
simplificar:
4. Si a y b son ángulos complementarios,
Sen (A  2B)Tan (2 A  3 B)
E simplificar la expresión:
Cos (2 A  B)Tan (4 A  3 B)
Sen 6a  7b.Tg 13b  14a
Se obtiene: M
Cos 4b  5a.Tg 10a  11b
a) 3 b) 2 c)  2 d)  1 e) 1 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
5. Del gráfico.
16. Si A y B son ángulos complementarios, al y
simplificar:
Sen (A  2B)Tan (2 A  3 B)
E
Cos (2 A  B)Tan (4 A  3 B)
Se obtiene: b x
a
a) 3 b) 2 c)  2 d)  1 e) 1
17. Del gráfico, calcule: Tg
C Determinar:
 
3 Sen  a  b   Sena  Senb
K  3 
 
6 Cos  a  b   Cosa  Cosb
 6 
1 1 1 1 1
45º a) 2 b) 3 c) 4 d) 2 e) 3
A B
M
 
xy
6. Si 2 entonces al simplificar:
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
3sec x.sec y cos(8x  9y)
F 
tgx  tgy sen(9x  8y)
Se obtiene:
5
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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 13. Simplifique:
sen179  sen173  sen167  sen161
E
 3  3 cos109  cos103  cos97  cos91
tg     
7. Si se cumple:  2  2
a) 2 b)0 c)-1 d)1 e)-1/2
M  13 sen(2)  cos(  )
Calcular: 14. Del gráfico, hallar: Tg
IIC C
1

a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e) 13
 37º
8. Calcule el valor de: A
D
B
M  tg 11  5csc 5  2sec 10 a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
4 6 3
a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3 cot  1,4.
15. De la figura, calcule tg cot , si
y
9. Simplifique:
(a-4;a)
sec(x  360).cos(x  270)tg(180  x)
E
cos(270  x).sen(x  306)csc(90  x)
a) -1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx x
 
sec  x  3   2 a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
10. Si
 2 
d) -12/35 e) -24/35
 17 
cos  x  
P  2  tg 3sen 4cos   4cot   3  3
 11  16. Si
3sec  x  
Calcule:  2  Además
IC y IIC Halle el valor de:
a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14 E  10 sec(180º )  5sen(  270º)
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
11. Calcule el valor de:
cos(20)  cos(160) 17. Si a y c son suplementarios, además a y b son
Q
cot(35).cot(55).sen110 complementarios. Reducir:
a)0 b)-1 c)1 d)-2 e) 2 4 cos(2a  3c)Csc(4b  3c) Sen(a  b  c)
M 
tg (a  b  c) Sen(a  b  c)
12. Si se cumple que: a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
cos300° = n.tg225°
18. Calcular el valor de
 2   8  143
sec      m.sec     Tg
 5   5  6 
E  Cos(2k  1) ; k  Z
109 253 2
Calcule: m + n Sen  Sec
3 6
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2 a) 2 b)  2 c) 2 3 d) 2 3 e) 2 3

7 7 21 21 15
6
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