Este documento trata sobre transformaciones lineales y cómo representarlas mediante matrices. Explica que para cualquier transformación lineal de Rn en Rm existe una única matriz AT tal que Tx = ATx para todo vector x en Rn. También describe cómo obtener la matriz de representación para transformaciones de proyección mediante multiplicación de vectores por matrices de identidad. Proporciona ejemplos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales y sus correspondientes matrices de representación.

1. UNIDAD 5
TRANSFORMACIONES LINEALES
Integrantes del equipo:
Briyit Campos Catalán
Ángel Enrique Martínez
Maldonado
Víctor Manuel Ballesteros
Robledo

2. 5.3 La matriz de
una
Transformación
lineal
Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 𝑋 𝑛 y ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑚
está definida por
𝑇𝑥 = 𝐴𝑥, entonces, 𝑇 es una transformación lineal. Ahora
se verá que para toda transformación lineal de ℝ 𝑛en ℝ 𝑚
existe una matriz 𝐴 de 𝑚 𝑋 𝑛 tal que 𝑇𝑥 = 𝐴𝑥 para todo
𝒙 ∈ ℝ 𝑛
.
TEOREMA 1
Sea T:Rn→Rm una transformación lineal. Existe entonces
una matriz única de m X n, AT tal que
𝑇𝑥 = 𝐴 𝑇 𝑥 para toda 𝒙 ∈ ℝ 𝑛

5. Para obtener la representación matricial de una transformación de proyección, donde se
toma un vector y se proyecta sobre otro plano, se toma el vector original y se multiplica por
una matriz de identidad de acuerdo al plano en el que se quiere proyectar.
Por ejemplo, la proyección de un vector en ℝ3 sobre un plano 𝑥𝑦 se representaría como:
Si el vector es
𝑥
𝑦
𝑧
, y se quiere proyectar sobre un plano 𝑥𝑦, entonces la transformación la
representaríamos como 𝐴 𝑇 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
de manera que solo quedaran los vectores
correspondientes a 𝑥 𝑦 𝑦. El resultado sería:
𝐴 𝑇 =
𝑥
𝑦
𝑧
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∗
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥
𝑦
0

6. Si se tiene una transformación T: ℝ3 → ℝ4 dada por T
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥 − 𝑦
𝑦 + 𝑧
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧
−𝑧 + 𝑦 + 2𝑧

7. Si se tiene una transformación T: ℝ 𝟑 → ℝ 𝟑 dada por T
𝑥
𝑦
𝑧
=
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧
4𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧
−6𝑥 + 3𝑦 − 9𝑧