Este documento presenta una prueba por inducción matemática para demostrar que (2n)! < 22n(n!)2 para cualquier número natural n. La demostración comienza probando que la desigualdad se cumple para n=1, luego asume que es válida para un número k e intenta probar que también lo es para k+1, completando así la inducción.

1. Inducci´n M atem´tica
o a
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
n
1. Probar lo siguiente: (2n)! < 22 (n!)2 , ∀n ∈ N
Soluci´n
o
1. Para n = 1 se verifica, desde que:
2! = 2 < 22 12 = 4
Supongamos se verifique para n = k (Hip´tesis inductiva)
o
veamos se cumpla para n = k + 1
Consideremos
k
(2(k + 1))! = (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2
Hemos usado la H.I. para la desigualdad
k k
(2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2 < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2
Desde que (2k + 1) < (2k + 2) luego
k k
(2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2 = 22 (k + 1)2 22 (k!)2
k k+2
(2(k + 1))! < 22 (k + 1)2 22 (k!)2 = 22 ((k + 1)!)2
(2(k + 1))! < 22(k+1) ((k + 1)!)2
Luego por primer principio de inducci´n
o
n
(2n)! < 22 (n!)2 , ∀n ∈ N.
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