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                           o        a
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                                                a

                                       n
  1. Probar lo siguiente:    (2n)! < 22 (n!)2 , ∀n ∈ N

Soluci´n
      o
  1. Para n = 1 se verifica, desde que:

                                   2! = 2 < 22 12 = 4

    Supongamos se verifique para n = k (Hip´tesis inductiva)
                                          o
    veamos se cumpla para n = k + 1
    Consideremos
                                                                                   k
    (2(k + 1))! = (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2

    Hemos usado la H.I. para la desigualdad
                                               k                               k
           (2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2 < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2

    Desde que (2k + 1) < (2k + 2) luego
                                                       k                  k
              (2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2 = 22 (k + 1)2 22 (k!)2
                                                   k       k+2
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                                         o
                                           n
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  • 1. Inducci´n M atem´tica o a Helmuth villavicencio fern´ndez a n 1. Probar lo siguiente: (2n)! < 22 (n!)2 , ∀n ∈ N Soluci´n o 1. Para n = 1 se verifica, desde que: 2! = 2 < 22 12 = 4 Supongamos se verifique para n = k (Hip´tesis inductiva) o veamos se cumpla para n = k + 1 Consideremos k (2(k + 1))! = (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2 Hemos usado la H.I. para la desigualdad k k (2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 1)22 (k!)2 < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2 Desde que (2k + 1) < (2k + 2) luego k k (2(k + 1))! < (2k + 2)(2k + 2)22 (k!)2 = 22 (k + 1)2 22 (k!)2 k k+2 (2(k + 1))! < 22 (k + 1)2 22 (k!)2 = 22 ((k + 1)!)2 (2(k + 1))! < 22(k+1) ((k + 1)!)2 Luego por primer principio de inducci´n o n (2n)! < 22 (n!)2 , ∀n ∈ N. 1