Este documento presenta una serie de ejercicios de inducción matemática para sumas, desigualdades, divisibilidad y el binomio de Newton. Los ejercicios piden demostrar diferentes fórmulas y propiedades matemáticas utilizando inducción matemática. Adicionalmente, se pide conjeturar fórmulas para diferentes sumas.
Se resuelven problemas aplicados a la ecuación de la recta, se un analisis no muy común en la educación media...referente a la interseccion de los ejes, simetria, extensión, asintotas y graficas en el espacio y en el plano.
En este contenido se abordan las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, se aplican e identifican propiedades de la recta a si como la aplicación de problemas en la vida real.
Se resuelven problemas aplicados a la ecuación de la recta, se un analisis no muy común en la educación media...referente a la interseccion de los ejes, simetria, extensión, asintotas y graficas en el espacio y en el plano.
En este contenido se abordan las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, se aplican e identifican propiedades de la recta a si como la aplicación de problemas en la vida real.
Se resolvieron ejercicios sobre pendientes para demostrar si dos rectas son paralelas o ,perpendiculares, tambien se encuentra el ángulo entre dos rectas, mediante pendientes a si como problemas aplicados a la vida cotidiana utilizando criterios de pendientes.
Aplicación de las integrales para determinar el área entre dos funciones.paulaisabel4
El Cálculo Integral es una rama de las matemáticas con más aplicaciones, incluso en la física, la química y las ciencias sociales y económicas permite plantear modelos que resuelven problemas surgidos del mundo real.
En esta infografía se trata en específico el tema de las integrales definidas que se puede definir como el límite de una función (F) de un intervalo [a, b]. En ella se demuestra paso a paso como calcular el área de una región acotada por las gráficas de dos funciones utilizando un problema como ejemplo para su máxima comprensión.
Se resolvieron ejercicios sobre pendientes para demostrar si dos rectas son paralelas o ,perpendiculares, tambien se encuentra el ángulo entre dos rectas, mediante pendientes a si como problemas aplicados a la vida cotidiana utilizando criterios de pendientes.
Aplicación de las integrales para determinar el área entre dos funciones.paulaisabel4
El Cálculo Integral es una rama de las matemáticas con más aplicaciones, incluso en la física, la química y las ciencias sociales y económicas permite plantear modelos que resuelven problemas surgidos del mundo real.
En esta infografía se trata en específico el tema de las integrales definidas que se puede definir como el límite de una función (F) de un intervalo [a, b]. En ella se demuestra paso a paso como calcular el área de una región acotada por las gráficas de dos funciones utilizando un problema como ejemplo para su máxima comprensión.
SUMS ARE EVERYWHERE in mathematics, so we need basic tools to handle them. This chapter develops the notation and general techniques that make summation user-friendly.
Estos ejercicios sirven de introducción al desarrollo de sistemas expertos en CLIPS, usando la versión de CLIPS en Java llamada Jess: http://www.jessrules.com/
evalaución de reforzamiento de cuarto de secundaria de la competencia lee
Inducción matemática
1. TAREA # 1
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para sumas, demuestre lo afirmado por inducción matemática.
1.
=
n
i
i
1
=
2
)
1
( +
n
n
2.
=
n
i
i
i
1
!
* = (n+1)! –1
3.
=
−
n
i
i
1
3
)
1
2
( = 2
n (2n 2
-1)
4.
=
n
i
i
1
2
=
6
)
1
2
)(
1
( +
+ n
n
n
5.
=
n
i
i
1
3
= (
2
)
1
( +
n
n
) 2
6.
=
−
n
i
i
1
)
2
6
( = n(3n+1)
7.
=
n
i
i
1 2
1
= 1- n
2
1
8.
= +
−
n
i i
i
1 )
2
3
)(
1
3
(
1
=
4
6 +
n
n
9.
=
n
i
i
i
1
3 =
4
3
)
1
2
( )
1
( +
− n
n
+
4
3
10.
=
+
n
i
id
a
0
)
( =
2
)
2
)(
1
( nd
a
n +
+
11.
= +
+
n
i i
i
i
1 )
2
)(
1
(
1
=
)
2
)(
1
(
4
)
3
(
+
+
+
n
n
n
n
2. 12. ( a + b ) n
=
=
n
i i
n
0
a i
n−
bi
, N
n
; a 0
y b 0
.
13. )
(
1
i
n
i
i b
a +
=
=
=
n
i
i
a
1
+
=
n
i
i
b
1
14.
=
n
i
i
ca
1
= c
=
n
i
i
a
1
, c R
15.
=
n
i
i
a
1
=
−
=
+
1
0
1
n
i
i
a
16.
=
n
i
i
a
0
=
+
=
−
1
1
1
n
i
i
a
17.
=
−
n
i
i
ar
10
1
= a
−
−
r
rn
1
1
; si a R
y r R
- 0,1
18.
=
−
n
i
x
i
sen
1
)
1
2
( =
senx
nx
2
)
2
cos(
1−
3. TAREA # 2
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para desigualdades, demuestre lo afirmado por inducción
matemática.
1. 2n+1 < 2 n
, N
n
: n 3
2. 2 n
> n 2
, N
n
: n 5
3. n < 2 n
, N
n
4. si a > 1 a n
> 1 , N
n
5. 3 n
1+ 2 n
, N
n
6. n 4
< 4 n
, N
n
: n 5
7. N
n
: n > 2
+
n
1
1 n
2
8. N
n
: n >1
n
n
n
+1
> n
9. (1 + x ) n
> 1 + nx , si n > 1 ; xR , x -1
10. 2 1
−
n
(a n
+ b n
) > (a + b) n
, siempre que a+b 0 ; a b y n > 1
11. 3 n
< n , N
n
: n > 6
4. 12. n < n n
, N
n
: n > 1
13. 2 n
< n , N
n
: n > 3
14. .
=
n
i
i
a
1
I
Ia
n
i
i
=1
5. TAREA # 3
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para divisibilidad, demuestre lo afirmado por inducción
matemática.
1. N
n
, 64 3 2
2 +
n
- 8 n - 9
2. N
n
, 9 4 n
- 3 n – 1
3. N
n
, 5 7 n
- 2 n
4. N
n
, 3 4 n
- 1
5. N
n
, 24 5 n
2
- 1
6. N
n
, 3 n3
- 4 n + 6
7. N
n
, 8 5 1
+
n
+ 2 * 3 n
+ 1
8. N
n
, 7 11 n
- 4 n
9. N
n
, 7 3 1
2 +
n
+ 2 2
+
n
10. N
n
, ( x – y ) x n
- y n
6. TAREA # 4
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para el binomio de Newton, demuestre lo afirmado por
inducción matemática.
1. ( a + b ) n
=
=
n
i i
n
0
a i
n−
bi
, N
n
; a 0
y b 0
.
2. n
n
i i
n
2
0
=
=
3. ( ) 0
1
0
=
−
=
i
n
i i
n
4. Demostrar que en el desarrollo de ( a + b ) n
, la suma de los coeficientes de las
potencias pares de a es igual a la suma de los coeficientes de las potencias de
impares de b.
5. N
n
: n > 2
+
n
1
1 n
2
6. N
n
: n >1
n
n
n
+1
> n
7. (1 + x ) n
> 1 + nx , si n > 1 ; xR , x -1
8. 2 1
−
n
(a n
+ b n
) > (a + b) n
, siempre que a+b 0 ; a b y n > 1
7. TAREA # 5
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, miscelánea , demuestra lo afirmado por inducción
matemática.
1. x n
2
> 0 , si x 0 y N
n
2. Un polígono de n lados tiene n vértices, N
n
: n > 2
3. ( a n
) m
= a nm
, N
m
n
, y aR
4. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es ( n – 2 ) 180 °
N
n
: n > 2
5. N
k
m
; N
m
k
, ; k m .
6. Todo entero positivo mayor que uno se puede escribir como producto de números
primos.
7. Sean a i ( i = 1, 2 , ... , n ) números reales, tales que a 1
1 y a n - a 1
−
n 1
entonces a n n .
8. La suma de los cubos de tres enteros positivos consecutivos, cualesquiera, es
divisible por tres.
9. N
n
,
3
)
2
3
( 2
3
n
n
n +
+
es un número entero.
8. 10. N
n
,
6
)
3
2
( 2
3
n
n
n +
+
es un número entero.
12. (1+a
k
2
) =
a
a n
−
− +
1
1 1
2
, k= 0,1, ... , n
En los siguientes ejercicios, conjeture una fórmula para cada una de las sumas que se
indican.
1.
=
−
n
i
i
1
3
)
1
2
( =
2.
=
n
i
i
1
3
)
2
( =
3.
=
+
n
i
i
i
1
)
1
( =
4.
=
n
i
i
1
2 =
5.
=
+
n
i
i
1
)
1
2
( =
6.
=
−
n
i
i
1
)
2
3
( =
7.
=
−
n
i
i
1
)
3
4
( =
8.
= +
−
n
i i
i
1 )
1
2
)(
1
2
(
1
=
