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- 1. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 1 El presente material cuenta con temas seleccionados que son de suma importancia en nuestro proceso de formación profesional. El análisis adecuado de los temas mencionados aquí nos permite tomar conciencia y capacitarnos más para evitar errores en las diferentes situaciones que se nos presente en nuestro desarrollo profesional. Además damos a conocer algunas bases teóricas que se debe tener en cuenta para el desarrollo de un determinado tema, las cuales son de vital importancia en el proceso de desarrollo de un programa. La introducción de programas a la ingeniería civil revoluciono el concepto de la programación, aprovechando al máximo los beneficios que este ofrece, esto dio lugar a la exploración de nuevos conocimientos lo que permitió el avance de la ingeniería civil. Este informe servirá más adelante a los alumnos ingresantes a nuestra o a personas que estén interesados en el campo de la ingeniería civil.
- 2. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 2 El presente material dedico a Dios y a mis padres por permitirme seguir adelante en mis estudios, así como también a los docentes que se encargan de guiarme en el proceso de mi formación profesional.
- 3. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 3 Utilización adecuada del programa. Facilitar el cálculo de las raíces un polinomio de segundo grado. Calcular las raíces reales. Calcular las raíces complejas. Interpretar los valores de las raíces.
- 4. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 4 CAP. I DETERMINACION DE LAS RAICES DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO 1.1 POLINOMIOS. Es toda expresión algebraica racional entera, que está definida sobre un campo numérico, las variables no llevan exponentes negativos o fracciones, sin embargo los coeficientes pueden llevar raíces y fracciones. Dónde: 𝑋 𝑖 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑎 𝑖 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑃 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃 𝑎 𝑛 = 1 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑒𝑠 𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜 RAICES DE UN POLINOMIO.- Son soluciones de una ecuación polinomial. La raíz de un polinomio 𝑃( 𝑥) no constante es “( 𝑎)”, si al reemplazar el valor de ( 𝑎) en el polinomio original 𝑃( 𝑥) , ésta resulte cero 𝑃( 𝑎) = 0 . 1.2 POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO Es un polinomio ordenado y completo respecto a un variable determinado. 𝐴 𝑋2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 = 0 Dónde: 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝐴 ≠ 0 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
- 5. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 5 RAICES DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.- Este tipo de polinomio posee dos raíces (reales o imaginarios). La raíz de un polinomio de segundo grado 𝑃( 𝑥) es “( 𝑎)”, si y solo si, al reemplazar el valor de ( 𝑎) en el polinomio original 𝑃( 𝑥) , ésta resulte cero 𝑃( 𝑎) = 0 . ( 𝑎)” es raíz de 𝑃( 𝑥) ↔ 𝑃( 𝑎) = 0 Empleamos una fórmula establecida para determinar las dos raíces del polinomio. 𝑅1 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 𝑅2 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 Esta fórmula se demuestra utilizando el procedimiento de completación de cuadrados. Polinomio inicial 𝐴 𝑋2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 = 0 Factorisando A 𝑃 = 𝐴 [ 𝑋2 + 𝐵 𝐴 𝑋 + 𝐶 𝐴 ] = 0 Completando cuadrados 𝑃 = 𝐴 [(𝑋 + 𝐵 2𝐴 )2 + 𝐶 𝐴 − 𝐵2 4𝐴2 ] 𝑃 = 𝐴 [( 𝑋 + 𝐵 2𝐴 ) 2 − ( 𝐵2 − 4𝐴𝐶 4𝐴2 )] 𝑃 = 𝐴 [( 𝑋 + 𝐵 2𝐴 ) 2 − ( √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 ) 2 ] Asumiendo 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = ∆ Se tiene 𝑃 = 𝐴 [( 𝑋 + 𝐵 2𝐴 ) 2 − ( √∆ 2𝐴 ) 2 ]
- 6. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 6 Resolviendo la diferencia de cuadrados 𝑃 = 𝐴 ( 𝑋 + 𝐵 2𝐴 − √∆ 2𝐴 )( 𝑋 + 𝐵 2𝐴 + √∆ 2𝐴 ) 𝑃 = 𝐴 ( 𝑋 + 𝐵 − √∆ 2𝐴 )( 𝑋 + 𝐵 + √∆ 2𝐴 ) El polinomio queda expresada por 𝑃 = 𝐴( 𝑋 − 𝑅1)( 𝑋 − 𝑅2) 𝑅1 = −𝐵 + √∆ 2𝐴 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 𝑅2 = −𝐵 − √∆ 2𝐴 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 Dónde: ∆= 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑅1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑅2 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 1.2.1 CLASES DE RAICES DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. Para determinar las clases de las raíces, se analiza la discrimínate de la ecuación cuadrática. Polinomio inicial 𝐴 𝑋2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 = 0 , 𝐴 ≠ 0 𝑅1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑅2 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 Discrimínate del polinomio ∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶 𝑆𝑖: ∆> 0 𝐸𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (𝑅1 ≠ 𝑅2) 𝑃( 𝑥) = 3𝑥2 − 11𝑥 − 13 𝑅1 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = 11 + √(−11)2 − 4(3)(−13) 2(3) = 4.60722 𝑅2 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = 11 − √(−11)2 − 4(3)(−13) 2(3) = −0.94055
- 7. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 7 𝑆𝑖: ∆= 0 𝐸𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑚𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠ó𝑙𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑅1 = 𝑅2) P(x) = 3x2 + 6x + 3 𝑅1 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = −6 + √(6)2 − 4(3)(3) 2(3) = −1 𝑅2 = 𝑅1 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = −6 − √(6)2 − 4(3)(3) 2(3) = −1 𝑆𝑖: ∆< 0 𝐸𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑚𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 ( 𝑅1 = 𝑚 + 𝑛𝑖 , 𝑅2 = 𝑚 − 𝑛𝑖). P(x) = 4x2 − 3x + 2 𝑅1 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = 3 + √(−3)2 − 4(4)(2) 2(4) = 6 + 9.59166 𝑖 𝑅2 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 = 3 − √(−3)2 − 4(4)(2) 2(4) = 6 − 9.59166 1.2.2 PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. Se tiene el polinomio 𝐴 𝑋2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 = 0 𝐴 ≠ 0 Cuyas raíces son: 𝑅1 = −𝐵 + √∆ 2𝐴 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 𝑅2 = −𝐵 − √∆ 2𝐴 = −𝐵 − √𝐵2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 Donde: 𝑅1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑅2 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 Cumplen las siguientes propiedades: Adición de raíces 𝑅1 + 𝑅2 = −𝐵 𝐴 Multiplicación de raíces 𝑅1 𝑅2 = 𝐶 𝐵 Además 𝐴 𝑋2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 = 𝐴( 𝑋 − 𝑅1)( 𝑋 − 𝑅2)
- 8. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 8 CAP. II PROGRAMANDO EN EXEL Eleccion de un polinomio de segundo grado. Analizar la discriminante del polinomio dado. Si la discriminante es positiva o igual a cero, existe una fórmula adecuada para determinar las raíces de la educación. 𝑅1,2 = −𝐵 ∓ √∆ 2𝐴 = −𝐵 2𝐴 ∓ (√𝐵2 − 4𝐴𝐶) 2𝐴 Sabemos que: 𝑆𝑖: ∆> 0 La ecuacion tiene raices reales diferentes 𝑆𝑖: ∆= 0 La ecuacion tiene raices reales iguales Si la discriminante es negativa, existe una fórmula adecuada para determinar las raíces de la educación. 𝑆𝑖: ∆< 0 La ecuacion tiene raices complejas conjugadas 𝑅1,2 = −𝐵 ∓ √∆ 2𝐴 = −𝐵 2𝐴 ∓ (√4𝐴𝐶− 𝐵2) 𝑖 2𝐴 Estas raices son introducidas en la hoja exel adecuadamente, respetando los algoritmos para evitar errores.
- 9. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 9 ALGORITMO PARALA DISCRIMINANTE ∆= ( 𝐁𝟏𝟒 ∗ 𝐁𝟏𝟒 − 𝟒 ∗ 𝐁𝟏𝟑 ∗ 𝐁𝟏𝟓) ALGORITMO PARALA RAIZ REAL 𝑹 𝟏 = (= −𝑩𝟏𝟒 + 𝑹𝑪𝑼𝑨𝑫( 𝑩𝟏𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟒 − 𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ∗ 𝑩𝟏𝟓) 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ) 𝑹 𝟐 = (= −𝑩𝟏𝟒 − 𝑹𝑪𝑼𝑨𝑫( 𝑩𝟏𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟒 − 𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ∗ 𝑩𝟏𝟓) 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ) ALGORITMO PARALA RAIZ COMPLEJA 𝑹 𝟏 = (= − 𝑩𝟏𝟒 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑)(= + 𝑹𝑪𝑼𝑨𝑫( 𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ∗ 𝑩𝟏𝟓 − 𝑩𝟏𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟒) 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑 ) 𝑹 𝟐 = (= − 𝑩𝟏𝟒 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑)(= 𝑹𝑪𝑼𝑨𝑫( 𝟒∗ 𝑩𝟏𝟑 ∗ 𝑩𝟏𝟓 − 𝑩𝟏𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝟒) 𝟐 ∗ 𝑩𝟏𝟑 )
- 10. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 10 EJEMPLOS 1).- Eleccion de un polinomio de segundo grado. 𝐏( 𝐱) = 𝟑𝐱 𝟐 − 𝟏𝟏𝐱− 𝟏𝟑 Intruduccion de coeficientes del polinomio Analisis de la discriminante Raices reales diferentes del polinomio 2).- Eleccion de un polinomio de segundo grado. 𝐏( 𝐱) = 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟑 Intruduccion de coeficientes del polinomio Analisis de la discriminante Raices reales diferentes del polinomio 3).- Eleccion de un polinomio de segundo grado. 𝐏( 𝐱) = 𝟒𝐱 𝟐 − 𝟑𝐱 + 𝟐 Intruduccion de coeficientes del polinomio Analisis de la discriminante Raices reales diferentes del polinomio
- 11. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 11 CAP. III APLICACIÓN DEL PROGRAMA EN LA CARRERA
- 12. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 12
- 13. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 13 Es de suma importancia conocer el marco teórico del tema. Es importante conocer el tema adecuado para realizar un programa. Es necesario realizar un análisis adecuado antes de programar. Utilizando el programa es fácil calcular las raices.
- 14. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 14 INTRODUCCIÓN……………………………….1 DEDICATORIA………………………………….2 OBJETIVOS…………………………..…………3 CAPITULO I UNIONES DE ARMADURAS PLANAS……………….4 Uniones remachadas o roblonadas…………..5 Uniones atornilladas……………………………6 Uniones por soldadura…………………………7 Uniones en madera……………………………..9 Uniones en aluminio……………………………13 Uniones de acero……………………………….14 CAPITULO II UNIONES DE MARCOS ESPACIALES………………15 Uniones de acero……………………………….16 Uniones en aluminio…………………………….20 Uniones de madera……………………………..22 CAPITULO III VALORES PERMITIDOS DE PANDEO EN COLUMNAS…………….26 Valores de k para el pandeo de columnas……………………...27 CAPITULO IV ESFUERZOS EN SECCIONES TRANSVERSALES DE VIGA……….32 Fuerzas resistentes………………………………………………..33 CAPITULO V TIPOS DE ARCOS POR SU FORMA…………………………………..40 Línea de empujes en arcos………………………………………44 Tipos de arcos……………………………………………………..45 CAPITULO VI CÚPULAS………………………………………...57 Sistemas constructivos…………………59 Función estructural……………………..61 Tipos de cúpulas………………………..65 CONCLUSIONES…………………………….......69 CONTENIDO………………………………………70 BIBLIOGRAFÍA…………………………………….71
- 15. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 15 FULLER MOORE: Comprensión de las Estructuras en Arquitectura. F.MORENO GARCIA: Arcos y Bóvedas. JAVIER PAJON PERMUY: Teoría de Estructuras JUAN CARLOS ARROLLO PORTERO: Juntas Estructurales FRANCIACO JAVIER ENRIQUEZ SANTOS: Análisis de Pandeo por Flexión. E.POPOV: Pandeo de Columnas JAIME SANTOS DOMINGO SANTILLANA: Flexión IGNACIO REQUENA RUIZ: Análisis de Tipologías Estructurales Bóveda, Lamina, Cúpula y Paraboloide. BASILIO PAVON MALDONADO: Bóvedas y Cúpulas en la Arquitectura Árabe de Occidente. www.wolfcraft.es:Ensamblaje de madera www.finnforest.es: Construcción con paneles prefabricados con madera http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tipos_de_arcos http://es.scribd.com/doc/54915226/Tipos-de-Armanduras http://www.cypelatam.com/images/stories/images_octubre_2010/uniones_celosi as_planas_perfiles_tubulares__01.jpg http://www.bibliocad.com/biblioteca/armaduras_31854 http://www.docstoc.com/docs/12678971/41-Uniones-y-montaje http://www.ingenieria.unam.mx/~deptoestructuras/labmateriales/flexionycortant ematII.htm http://www.slideshare.net/arquiman/05-marcos-espaciales http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%Cúpula_geod%C3%A9sica
- 16. ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA BASICA – 2012 Página 16