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INTEGRAL 10
Este documento resuelve la integral x^2 sen(2x) dx mediante el método de integración por partes. Se aplica integración por partes dos veces para obtener la solución final de -1/2 x^2 cos 2x + 1/2 xsen 2x + 1/4 cos 2x + K.
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- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMARESUELTO: INTEGRAL Vamos a realizar la integral utilizando el método de integración por partes. 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = − 1 2 cos(2𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 Nótese que para hallar v, basta con hacer 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 cos 2𝑥 Aplicando la regla de la integración por partes tenemos que: 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 − − 1 2 2𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMARESUELTO: INTEGRAL 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 Para realizar la integral que nos aparece, aplicaremos de nuevo la integración por partes, de forma que nos queda: 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 = = 1 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 1 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 1 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 1 4 cos 2𝑥 + 𝐾
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMARESUELTO: INTEGRAL En consecuencia tenemos que: 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 + 1 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 1 4 cos 2𝑥 + 𝐾 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥2 cos 2𝑥 + 1 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 1 4 cos 2𝑥 + 𝐾