Este documento resuelve la integral x^2 sen(2x) dx mediante el método de integración por partes. Se aplica integración por partes dos veces para obtener la solución final de -1/2 x^2 cos 2x + 1/2 xsen 2x + 1/4 cos 2x + K.

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular una integral mediante el método de integración por partes.

2. ENUNCIADO
Calcula la integral:
𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥
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Vamos a realizar la integral utilizando el método de integración por partes.
𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑣 = −
1
2
cos(2𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
Nótese que para hallar v, basta con hacer 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
cos 2𝑥
Aplicando la regla de la integración por partes tenemos que:
𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2 cos 2𝑥 − −
1
2
2𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

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𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
Para realizar la integral que nos aparece, aplicaremos de nuevo la integración por partes, de forma que nos
queda:
𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 =
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥
=
=
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
4
cos 2𝑥 + 𝐾

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En consecuencia tenemos que:
𝑥2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2 cos 2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2 cos 2𝑥 +
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
4
cos 2𝑥 + 𝐾
𝑥2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2
cos 2𝑥 +
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
4
cos 2𝑥 + 𝐾